Heptadecágono

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Poligono con 17 bordes

En geometría, un heptadecágono, septadecágono o 17-gon es un polígono de diecisiete lados.

Heptadecágono regular

Un heptadecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {17}.

Construcción

Publication by C. F. Gauss in Intelligenzblat der allgemeinen Literatur-Zeitung

Como 17 es un Fermat prime, el heptadecagón regular es un polígono constructible (es decir, uno que se puede construir utilizando una brújula y una recta sin marcar): esto fue mostrado por Carl Friedrich Gauss en 1796 a la edad de 19. Esta prueba representó el primer progreso en la construcción regular de polígonos en más de 2000 años. La prueba de Gauss se basa en primer lugar en el hecho de que la constructibilidad es equivalente a la expresibilidad de las funciones trigonométricas del ángulo común en términos de operaciones aritméticas y extracción de raíz cuadrada, y en segundo lugar en su prueba de que esto puede hacerse si los factores principales impares de $N$ , el número de lados del polígono regular, son diferentes primas de Fermat, que son de la forma ${displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ para algunos enteros no negativos $n$ . Construir un heptadecagón regular por lo tanto implica encontrar el cosino de $2pi /17$ en términos de raíces cuadradas. El libro de Gauss Disquisición Arithmeticae da esto (en la notación moderna) como

{displaystyle {begin{aligned}cos {frac {2pi }{17}}=&{frac {1}{16}}left({sqrt {17}}-1+{sqrt {34-2{sqrt {17}}}}right)\&+{frac {1}{8}}left({sqrt {17+3{sqrt {17}}-{sqrt {34-2{sqrt {17}}}}-2{sqrt {34+2{sqrt {17}}}}}}right).\end{aligned}}}

Construcción Gaussiana del heptadecagón regular.

Euclides había dado construcciones para el triángulo regular, el pentágono, el pentadecágono y los polígonos con 2^h veces más lados, pero las construcciones basadas en los números primos de Fermat distintos de 3 y 5 eran desconocidas para los antiguos. (Los únicos números primos de Fermat conocidos son F_n para n = 0, 1, 2, 3, 4. Son 3, 5, 17, 257 y 65537.)

La construcción explícita de un heptadecágono fue dada por Herbert William Richmond en 1893. El siguiente método de construcción utiliza círculos de Carlyle, como se muestra a continuación. Basado en la construcción del 17-ágono regular, uno puede fácilmente construir n-ágonos con n siendo el producto de 17 con 3 o 5 (o ambos) y cualquier potencia de 2: uno regular de 51 gon, 85-gon o 255-gon y cualquier n-gon regular con 2^h veces más lados.

Regular Heptadecagon Using Carlyle Circle.gif

Construcción según Duane W. DeTemple con círculos de Carlyle, animación 1 min 57 s

Otra construcción del heptadecágono regular usando regla y compás es la siguiente:

Regular Heptadecagon Inscribed in a Circle.gif

T. P. Stowell de Rochester, N. Y., respondió a Query, por W.E. Heal, Wheeling, Indiana en The Analyst en el año 1874:

"Para construir un polígono regular de diecisiete lados en un círculo. Dibuje el radio CO en ángulo recto con el diámetro AB: En OC y OB, tome OQ igual a la mitad y OD igual a la octava parte del radio: Haga que DE y DF sean iguales a DQ y EG y FH respectivamente igual a EQ y FQ; tómese OK una media proporcional entre OH y OQ, y por K trácese KM paralela a AB, cortando en M la semicircunferencia descrita sobre OG; dibujar MN paralelo a OC, cortando el círculo dado en N – el arco AN es la decimoséptima parte de la circunferencia total."

Construcción según
"sentido por T. P. Stowell, acreditado a la Matemática de Leybourn. Repositorio, 1818".
Añadido: "tomar OK una media proporcional entre OH y OQ"

Construcción según
"sentido por T. P. Stowell, acreditado a la Matemática de Leybourn. Repositorio, 1818".
Añadido: "tomar OK una media proporcional entre OH y OQ", animación

El siguiente diseño simple proviene de Herbert William Richmond del año 1893:

OA, OB (fig. 6) ser dos radios perpendiculares de un círculo. Hacer OI una cuarta parte de OB, y el ángulo OIE una cuarta parte de OIA; también encontrar en OA produjo un punto F tal que EIF es 45°. Dejar el círculo en AF como diámetro cortado OB en K, y dejar el círculo cuyo centro es E y radio EK cortado OA en N₃ y N₅; entonces si ordena N₃P₃, N₅P₅ se dibujan en el círculo, el arco AP₃, AP₅ serán 3/17 y 5/17 de la circunferencia."

El punto N₃ está muy cerca del punto central del teorema de Thales sobre AF.

Construcción según H. W. Richmond

Construcción según H. W. Richmond como animación

La siguiente construcción es una variación de la construcción de H. W. Richmond.

Las diferencias con el original:

El círculo k₂ determina el punto H en lugar del bisector w₃.
El círculo k₄ alrededor del punto G' (reflexión del punto G a m) produce el punto N, que ya no está tan cerca de M, para la construcción del tangente.
Algunos nombres han sido cambiados.

Heptadecagon en principio según H.W. Richmond, una variación del diseño respecto al punto N

Callagy proporciona otra construcción más reciente.

Valor exacto de seno y coseno de mπ/(17 × 2n)

Si ${displaystyle A={sqrt {2(17pm {sqrt {17}})}}}$ , ${displaystyle B=({sqrt {17}}pm 1)}$ y ${displaystyle C=17mp 4{sqrt {17}}}$ entonces, dependiendo de cualquier número entero

{displaystyle cos{frac {mpi }{17}}=pm {frac {(Apm B)pm 2{sqrt {(Amp B){sqrt {C}}}}}{16}}}

{displaystyle =pm {frac {{sqrt {34pm {sqrt {68}}}}pm ({sqrt {17}}pm 1)pm 2{sqrt {{sqrt {34pm {sqrt {68}}}}mp ({sqrt {17}}pm 1)}}{sqrt {sqrt {17mp {sqrt {272}}}}}}{16}}}

Por ejemplo, si m = 1

{displaystyle cos{frac {pi }{17}}={frac {{sqrt {34-{sqrt {68}}}}-{sqrt {17}}+1+2{sqrt {{sqrt {34-{sqrt {68}}}}+{sqrt {17}}-1}}{sqrt {sqrt {17+{sqrt {272}}}}}}{16}}}

Estas son las expresiones simplificadas en la siguiente tabla.

Cos y Sin (m π / 17) en el primer cuadrante, del cual otros cuadrantes son computibles.
m	16 porque (m π / 17)	8 pecado (m π / 17)
1	${displaystyle +1-{sqrt {17}}+{sqrt {34-{sqrt {68}}}}+{sqrt {68+{sqrt {2448}}+{sqrt {2720+{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34-{sqrt {68}}-{sqrt {136-{sqrt {1088}}}}-{sqrt {272+{sqrt {39168}}-{sqrt {43520+{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
2	${displaystyle -1+{sqrt {17}}+{sqrt {34-{sqrt {68}}}}+{sqrt {68+{sqrt {2448}}-{sqrt {2720+{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34-{sqrt {68}}+{sqrt {136-{sqrt {1088}}}}-{sqrt {272+{sqrt {39168}}+{sqrt {43520+{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
3	${displaystyle +1+{sqrt {17}}+{sqrt {34+{sqrt {68}}}}+{sqrt {68-{sqrt {2448}}-{sqrt {2720-{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34+{sqrt {68}}-{sqrt {136+{sqrt {1088}}}}-{sqrt {272-{sqrt {39168}}+{sqrt {43520-{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
4	${displaystyle -1+{sqrt {17}}-{sqrt {34-{sqrt {68}}}}+{sqrt {68+{sqrt {2448}}+{sqrt {2720+{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34-{sqrt {68}}-{sqrt {136-{sqrt {1088}}}}+{sqrt {272+{sqrt {39168}}-{sqrt {43520+{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
5	${displaystyle +1+{sqrt {17}}+{sqrt {34+{sqrt {68}}}}-{sqrt {68-{sqrt {2448}}-{sqrt {2720-{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34+{sqrt {68}}-{sqrt {136+{sqrt {1088}}}}+{sqrt {272-{sqrt {39168}}+{sqrt {43520-{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
6	${displaystyle -1-{sqrt {17}}+{sqrt {34+{sqrt {68}}}}+{sqrt {68-{sqrt {2448}}+{sqrt {2720-{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34+{sqrt {68}}+{sqrt {136+{sqrt {1088}}}}-{sqrt {272-{sqrt {39168}}-{sqrt {43520-{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
7	${displaystyle +1+{sqrt {17}}-{sqrt {34+{sqrt {68}}}}+{sqrt {68-{sqrt {2448}}+{sqrt {2720-{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34+{sqrt {68}}+{sqrt {136+{sqrt {1088}}}}+{sqrt {272-{sqrt {39168}}-{sqrt {43520-{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$
8	${displaystyle -1+{sqrt {17}}+{sqrt {34-{sqrt {68}}}}-{sqrt {68+{sqrt {2448}}-{sqrt {2720+{sqrt {6284288}}}}}}}$	${displaystyle {sqrt {34-{sqrt {68}}+{sqrt {136-{sqrt {1088}}}}+{sqrt {272+{sqrt {39168}}+{sqrt {43520+{sqrt {1608777728}}}}}}}}}$

Por lo tanto, aplicando inducción con m=1 y comenzando con n=0:

{displaystyle cos {frac {pi }{17times 2^{0}}}={frac {1-{sqrt {17}}+{sqrt {34-{sqrt {68}}}}+{sqrt {68+{sqrt {2448}}+{sqrt {2720+{sqrt {6284288}}}}}}}{16}}}

{displaystyle cos {frac {pi }{17times 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2+2cos {frac {pi }{17times 2^{n}}}}}{2}}}

{displaystyle sin {frac {pi }{17times 2^{n+1}}}={frac {sqrt {2-2cos {frac {pi }{17times 2^{n}}}}}{2}}.}

Simetría

Simetrías de un heptadecagón regular. Los vértices son coloreados por sus posiciones de simetría. Las líneas de espejo azul se dibujan a través de vértices y bordes. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El heptadecágono regular tiene simetría Dih17, orden 34. Dado que 17 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih₁, y 2 simetrías de grupos cíclicos: Z₁₇ y Z₁.

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el heptadecágono. John Conway los etiqueta con una letra y un orden de grupo. La simetría completa de la forma regular es r34 y ninguna simetría está etiquetada como a1. Las simetrías diédricas se dividen según pasen por vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares), y i cuando la reflexión trayectoria de las líneas a través de ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g para sus órdenes de giro central.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g17 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas.

Polígonos relacionados

Heptadecagramos

Un heptadecagrama es un polígono en estrella de 17 lados. Hay siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli: {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} y {17/ 8}. Dado que 17 es un número primo, todas estas son estrellas regulares y no figuras compuestas.

Imagen	{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}
Ángulo interior	■137.647°	■116.471°	/64/95.2941°	■74.1176°	/64/52.9412°	/64/31.7647°	■10.5882°

Polígonos de Petrie

El heptadecágono regular es el polígono de Petrie para un politopo convexo regular de dimensión superior, proyectado en una proyección ortogonal sesgada:

16-simplex (16D)