Henri Poincaré

Jules Henri Poincaré ([US: estrés final syllable], Francés:[Marcas] ()escucha); 29 abril 1854 – 17 julio 1912) fue un matemático francés, físico teórico, ingeniero y filósofo de la ciencia. A menudo se le describe como un polimatismo, y en matemáticas como "El último universalista", ya que superó en todos los campos de la disciplina como existía durante su vida.

Como matemático y físico, hizo muchas contribuciones fundamentales originales a las matemáticas puras y aplicadas, la física matemática y la mecánica celeste. En su investigación sobre el problema de los tres cuerpos, Poincaré se convirtió en la primera persona en descubrir un sistema caótico determinista que sentó las bases de la moderna teoría del caos. También se le considera uno de los fundadores del campo de la topología.

Poincaré dejó en claro la importancia de prestar atención a la invariancia de las leyes de la física bajo diferentes transformaciones, y fue el primero en presentar las transformaciones de Lorentz en su forma simétrica moderna. Poincaré descubrió las restantes transformaciones relativistas de velocidad y las registró en una carta a Hendrik Lorentz en 1905. Así obtuvo la invariancia perfecta de todas las ecuaciones de Maxwell, un paso importante en la formulación de la teoría de la relatividad especial. En 1905, Poincaré propuso por primera vez las ondas gravitacionales (ondes gravifiques) que emanan de un cuerpo y se propagan a la velocidad de la luz como lo requieren las transformaciones de Lorentz.

El grupo de Poincaré utilizado en física y matemáticas lleva su nombre.

A principios del siglo XX, formuló la conjetura de Poincaré, que con el tiempo se convirtió en uno de los famosos problemas matemáticos sin resolver hasta que fue resuelto en 2002-2003 por Grigori Perelman.

Vida

Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en el barrio de Cité Ducale, Nancy, Meurthe-et-Moselle, en el seno de una influyente familia francesa. Su padre Léon Poincaré (1828–1892) fue profesor de medicina en la Universidad de Nancy. Su hermana menor, Aline, se casó con el filósofo espiritual Émile Boutroux. Otro miembro notable de la familia de Henri fue su primo, Raymond Poincaré, miembro de la Académie française, quien fue presidente de Francia de 1913 a 1920.

Educación

Plaque en el lugar de nacimiento de Henri Poincaré en casa número 117 en la Grande Rue en la ciudad de Nancy

Durante su infancia estuvo gravemente enfermo de difteria y recibió instrucción especial de su madre, Eugénie Launois (1830–1897).

En 1862, Henri ingresó al Lycée en Nancy (ahora rebautizado como Lycée Henri-Poincaré [fr] en su honor, junto con la Universidad Henri Poincaré, también en Nancy). Pasó once años en el Lycée y durante este tiempo demostró ser uno de los mejores estudiantes en cada tema que estudió. Se destacó en la composición escrita. Su profesor de matemáticas lo describió como un "monstruo de las matemáticas" y ganó los primeros premios en el concurso general, una competencia entre los mejores alumnos de todos los liceos de Francia. Sus materias más pobres fueron la música y la educación física, donde fue descrito como "promedio en el mejor de los casos". Sin embargo, la mala vista y la tendencia a la distracción pueden explicar estas dificultades. Se graduó en el Lycée en 1871 con un bachillerato en letras y ciencias.

Durante la guerra franco-prusiana de 1870, sirvió junto a su padre en el Cuerpo de Ambulancias.

Poincaré ingresó a la École Polytechnique como el máximo calificador en 1873 y se graduó en 1875. Allí estudió matemáticas como alumno de Charles Hermite, continuó sobresaliendo y publicó su primer artículo (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'superficie) en 1874. De noviembre de 1875 a junio de 1878 estudió en la École des Mines, mientras continuaba el estudio de las matemáticas además del plan de estudios de ingeniería de minas, y recibió el grado de ordinario ingeniero de minas en marzo de 1879.

Como graduado de la École des Mines, se unió al Corps des Mines como inspector de la región de Vesoul en el noreste de Francia. Estuvo en la escena de un desastre minero en Magny en agosto de 1879 en el que murieron 18 mineros. Llevó a cabo la investigación oficial del accidente de una manera característicamente minuciosa y humana.

Al mismo tiempo, Poincaré se preparaba para su Doctorado en Ciencias en Matemáticas bajo la supervisión de Charles Hermite. Su tesis doctoral fue en el campo de las ecuaciones diferenciales. Se llamó Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles. Poincaré ideó una nueva forma de estudiar las propiedades de estas ecuaciones. No solo se enfrentó a la cuestión de determinar la integral de tales ecuaciones, sino que también fue la primera persona en estudiar sus propiedades geométricas generales. Se dio cuenta de que podrían usarse para modelar el comportamiento de múltiples cuerpos en movimiento libre dentro del Sistema Solar. Poincaré se graduó de la Universidad de París en 1879.

The young Henri Poincaré in 1887 aged 33

Primeros logros científicos

Después de recibir su título, Poincaré comenzó a enseñar como profesor junior de matemáticas en la Universidad de Caen en Normandía (en diciembre de 1879). Al mismo tiempo, publicó su primer artículo importante sobre el tratamiento de una clase de funciones automórficas.

Allí, en Caen, conoció a su futura esposa, Louise Poulain d'Andecy (1857–1934), nieta de Isidore Geoffroy Saint-Hilaire y bisnieta de Étienne Geoffroy Saint-Hilaire y el 20 de abril de 1881, ellos estan casados. Juntos tuvieron cuatro hijos: Jeanne (nacida en 1887), Yvonne (nacida en 1889), Henriette (nacida en 1891) y Léon (nacida en 1893).

Poincaré se estableció inmediatamente entre los más grandes matemáticos de Europa, atrayendo la atención de muchos matemáticos destacados. En 1881 Poincaré fue invitado a ocupar un puesto docente en la Facultad de Ciencias de la Universidad de París; aceptó la invitación. Durante los años 1883 a 1897, enseñó análisis matemático en la École Polytechnique.

En 1881–1882, Poincaré creó una nueva rama de las matemáticas: la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales. Mostró cómo es posible derivar la información más importante sobre el comportamiento de una familia de soluciones sin tener que resolver la ecuación (ya que esto no siempre es posible). Utilizó con éxito este enfoque para problemas de mecánica celeste y física matemática.

Carrera

Nunca abandonó por completo su carrera en la administración minera por las matemáticas. Trabajó en el Ministerio de Servicios Públicos como ingeniero a cargo del desarrollo ferroviario del norte de 1881 a 1885. Eventualmente se convirtió en ingeniero jefe del Corps des Mines en 1893 e inspector general en 1910.

A partir de 1881 y durante el resto de su carrera, enseñó en la Universidad de París (La Sorbona). Inicialmente fue designado como maître de conférences d'analyse (profesor asociado de análisis). Eventualmente, ocupó las cátedras de Mecánica Física y Experimental, Física Matemática y Teoría de la Probabilidad, y Mecánica Celeste y Astronomía.

En 1887, a la temprana edad de 32 años, Poincaré fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Francia. Se convirtió en su presidente en 1906 y fue elegido miembro de la Académie française el 5 de marzo de 1908.

En 1887, ganó el Oscar II, el concurso matemático del rey de Suecia por resolver el problema de los tres cuerpos relacionado con el movimiento libre de múltiples cuerpos en órbita. (Consulte la sección del problema de los tres cuerpos a continuación).

En 1893, Poincaré se unió al Bureau des Longitudes francés, que lo comprometió con la sincronización del tiempo en todo el mundo. En 1897, Poincaré respaldó una propuesta fallida para la decimalización de la medida circular y, por lo tanto, del tiempo y la longitud. Fue esta publicación la que lo llevó a considerar la cuestión del establecimiento de zonas horarias internacionales y la sincronización del tiempo entre cuerpos en movimiento relativo. (Consulte el trabajo sobre la sección de relatividad a continuación).

En 1904, intervino en los juicios de Alfred Dreyfus y atacó las falsas afirmaciones científicas sobre las pruebas presentadas contra Dreyfus.

Poincaré fue presidente de la Société Astronomique de France (SAF), la sociedad astronómica francesa, de 1901 a 1903.

Estudiantes

Poincaré tuvo dos notables estudiantes de doctorado en la Universidad de París, Louis Bachelier (1900) y Dimitrie Pompeiu (1905).

Muerte

En 1912, Poincaré se sometió a una cirugía por un problema de próstata y posteriormente murió de una embolia el 17 de julio de 1912 en París. Tenía 58 años. Está enterrado en el panteón de la familia Poincaré en el Cementerio de Montparnasse, París, en la sección 16 cerca de la puerta Rue Émile-Richard.

Un exministro de Educación francés, Claude Allègre, propuso en 2004 que Poincaré fuera enterrado de nuevo en el Panteón de París, que está reservado para los ciudadanos franceses de mayor honor.

The Poincaré family grave at the Cimetière du Montparnasse

Trabajo

Resumen

Poincaré hizo muchas contribuciones a diferentes campos de las matemáticas puras y aplicadas como: mecánica celeste, mecánica de fluidos, óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuántica, teoría de la relatividad y cosmología física.

También fue un divulgador de las matemáticas y la física y escribió varios libros para el público lego.

Entre los temas específicos en los que contribuyó se encuentran los siguientes:

• topología algebraica (un campo que Poincaré prácticamente inventó)
• la teoría de las funciones analíticas de varias variables complejas
• la teoría de las funciones abelianas
• geometría algebraica
• la conjetura Poincaré, probada en 2003 por Grigori Perelman.
• Teorema de recurrencia Poincaré
• geometría hiperbólica
• teoría del número
• el problema de tres cuerpos
• la teoría de ecuaciones diofantinas
• electromagnetismo
• la teoría especial de la relatividad
• el grupo fundamental
• En el campo de las ecuaciones diferenciales Poincaré ha dado muchos resultados que son críticos para la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, por ejemplo la esfera Poincaré y el mapa Poincaré.
• Poincaré sobre "la creencia de todos" en la Ley Normal de Errores (ver distribución normal para una cuenta de esa "ley")
• Publicado un papel influyente que proporciona un argumento matemático novedoso en apoyo de la mecánica cuántica.

Problema de los tres cuerpos

El problema de encontrar la solución general al movimiento de más de dos cuerpos en órbita en el Sistema Solar había eludido a los matemáticos desde la época de Newton. Esto se conocía originalmente como el problema de los tres cuerpos y luego como el problema de los n cuerpos, donde n es cualquier número de más de dos cuerpos en órbita. La solución de n-cuerpos se consideró muy importante y desafiante a fines del siglo XIX. De hecho, en 1887, en honor a su 60 cumpleaños, Oscar II, rey de Suecia, asesorado por Gösta Mittag-Leffler, estableció un premio para cualquiera que pudiera encontrar la solución al problema. El anuncio fue bastante específico:

Dado un sistema de puntos de masa arbitrarios que atraen cada uno según la ley de Newton, bajo la suposición de que no hay dos puntos nunca collide, trate de encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que es una función conocida del tiempo y para todos cuyos valores la serie converge uniformemente.

En caso de que el problema no pudiera resolverse, cualquier otra contribución importante a la mecánica clásica se consideraría merecedora de un premio. El premio finalmente fue otorgado a Poincaré, aunque no resolvió el problema original. Uno de los jueces, el distinguido Karl Weierstrass, dijo: "No se puede considerar que este trabajo proporcione la solución completa de la cuestión propuesta, pero que, sin embargo, es de tal importancia que su publicación inaugurará un nuevo era en la historia de la mecánica celeste." (La primera versión de su contribución incluso contenía un error grave; para más detalles, consulte el artículo de Diacu y el libro de Barrow-Green). La versión finalmente impresa contenía muchas ideas importantes que condujeron a la teoría del caos. El problema tal como se planteó originalmente fue finalmente resuelto por Karl F. Sundman para n = 3 en 1912 y se generalizó al caso de n > 3 cuerpos de Qiudong Wang en la década de 1990. Las soluciones en serie tienen una convergencia muy lenta. Se necesitarían millones de términos para determinar el movimiento de las partículas incluso durante intervalos de tiempo muy cortos, por lo que son inutilizables en el trabajo numérico.

Trabajar en relatividad

Marie Curie y Poincaré hablan en la Conferencia Solvay de 1911

Hora local

El trabajo de Poincaré en el Bureau des Longitudes sobre el establecimiento de zonas horarias internacionales le llevó a considerar cómo los relojes en reposo en la Tierra, que se moverían a diferentes velocidades en relación con el espacio absoluto (o el "aether luminifero"), podría sincronizarse. Al mismo tiempo, el teórico holandés Hendrik Lorentz estaba desarrollando la teoría de Maxwell en una teoría del movimiento de partículas cargadas ("electronos" o "iones"), y su interacción con la radiación. En 1895 Lorentz había introducido una cantidad auxiliar (sin interpretación física) llamada "tiempo local" t.. =t− − vx/c2{displaystyle t^{prime }=t-vx/c^{2},}e introdujo la hipótesis de contracción de longitud para explicar el fracaso de experimentos ópticos y eléctricos para detectar movimiento relativo al éter (ver experimento Michelson-Morley). Poincaré era un intérprete constante (y a veces crítico amigable) de la teoría de Lorentz. Poincaré como filósofo estaba interesado en el "profundo significado". Así interpretó la teoría de Lorentz y, al hacerlo, se presentó con muchas ideas que ahora están asociadas con la relatividad especial. En la Medida del Tiempo (1898), Poincaré dijo, "Un poco de reflexión es suficiente para entender que todas estas afirmaciones no tienen por sí mismas ningún significado. Pueden tener uno solo como resultado de una convención". También argumentó que los científicos tienen que establecer la constancia de la velocidad de la luz como postulado para dar teorías físicas la forma más simple. Basándose en estas suposiciones discutió en 1900 la "invención doble" de Lorentz de tiempo local y señaló que surgió cuando los relojes móviles se sincronizan mediante el intercambio de señales de luz que se supone que viajan con la misma velocidad en ambas direcciones en un marco en movimiento.

Principio de relatividad y transformaciones de Lorentz

En 1881 Poincaré describió geometría hiperbólica en términos del modelo hiperboloide, formulando transformaciones dejando invariable el intervalo Lorentz x2+Sí.2− − z2=− − 1{displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}, que los hace matemáticamente equivalentes a las transformaciones de Lorentz en 2+1 dimensiones. Además, los otros modelos de geometría hiperbólica de Poincaré (modelo de disco Poincaré, modelo de medio plano Poincaré) así como el modelo Beltrami-Klein pueden estar relacionados con el espacio de velocidad relativista (ver espacio Gyrovector).

En 1892, Poincaré desarrolló una teoría matemática de la luz que incluía la polarización. Su visión de la acción de polarizadores y retardadores, actuando sobre una esfera que representa estados polarizados, se denomina esfera de Poincaré. Se demostró que la esfera de Poincaré posee una simetría lorentziana subyacente, por lo que puede usarse como una representación geométrica de las transformaciones de Lorentz y las adiciones de velocidad.

Discutió el "principio del movimiento relativo" en dos artículos en 1900 y lo denominó principio de relatividad en 1904, según el cual ningún experimento físico puede discriminar entre un estado de movimiento uniforme y un estado de reposo. En 1905, Poincaré le escribió a Lorentz sobre el artículo de Lorentz de 1904, que Poincaré describió como un "artículo de suprema importancia". En esta carta, señaló un error que había cometido Lorentz cuando aplicó su transformación a una de las ecuaciones de Maxwell, la del espacio ocupado por carga, y también cuestionó el factor de dilatación del tiempo dado por Lorentz. En una segunda carta a Lorentz, Poincaré dio su propia razón por la que el factor de dilatación del tiempo de Lorentz era correcto después de todo (era necesario hacer que la transformación de Lorentz formara un grupo) y dio lo que ahora se conoce como la velocidad relativista. -ley de la suma. Poincaré luego entregó un documento en la reunión de la Academia de Ciencias en París el 5 de junio de 1905 en el que se abordaron estos temas. En la versión publicada de eso, escribió:

El punto esencial, establecido por Lorentz, es que las ecuaciones del campo electromagnético no se alteran por una determinada transformación (que llamaré por el nombre de Lorentz) de la forma:

x.. =kl l ()x+ε ε t),t.. =kl l ()t+ε ε x),Sí... =l l Sí.,z.. =l l z,k=1/1− − ε ε 2.{displaystyle x^{prime }=kell left(x+varepsilon tright)!,;t^{prime }=kell left(t+varepsilon xright)!,;y^{prime }=ell y,;z^{prime }=ell z,;k=1/{sqrt {1-varepsilon ^{2}}}

y demostró que la función arbitraria l l ()ε ε ){displaystyle ell left(varepsilon right)} debe ser unidad para todos ε ε {displaystyle varepsilon } (Lorentz había establecido l l =1{displaystyle ell =1} por un argumento diferente) para hacer las transformaciones forman un grupo. En una versión ampliada del papel que apareció en 1906 Poincaré señaló que la combinación x2+Sí.2+z2− − c2t2{displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}} es invariante. Observó que una transformación de Lorentz es meramente una rotación en espacio cuaddimensional sobre el origen introduciendo ct− − 1{displaystyle ct{sqrt {-1}} como cuarta coordinación imaginaria, y usó una forma temprana de cuatro-vectores. Poincaré expresó la falta de interés en una reformulación cuadrienal de su nueva mecánica en 1907, porque en su opinión la traducción de la física al lenguaje de la geometría cuadrienal implicaría demasiado esfuerzo para obtener ganancias limitadas. Así que fue Hermann Minkowski quien sacó las consecuencias de esta noción en 1907.

Relación masa-energía

Como otros antes, Poincaré (1900) descubrió una relación entre la masa y la energía electromagnética. Mientras estudiaba el conflicto entre el principio de acción/reacción y la teoría del éter de Lorentz, trató de determinar si el centro de gravedad todavía se mueve con una velocidad uniforme cuando se incluyen los campos electromagnéticos. Se dio cuenta de que el principio de acción/reacción no se aplica solo a la materia, sino que el campo electromagnético tiene su propio impulso. Poincaré concluyó que la energía del campo electromagnético de una onda electromagnética se comporta como un fluido ficticio (fluide fictif) con una densidad de masa de E/c². Si el marco del centro de masa está definido por la masa de materia y por la masa del fluido ficticio, y si el fluido ficticio es indestructible, no se crea ni se destruye, entonces el movimiento del marco del centro de masa permanece uniforme. Pero la energía electromagnética se puede convertir en otras formas de energía. Entonces Poincaré asumió que existe un fluido de energía no eléctrica en cada punto del espacio, en el que se puede transformar la energía electromagnética y que también lleva una masa proporcional a la energía. De esta forma, el movimiento del centro de masa permanece uniforme. Poincaré dijo que uno no debe sorprenderse demasiado por estas suposiciones, ya que son solo ficciones matemáticas.

Sin embargo, la resolución de Poincaré llevó a una paradoja al cambiar de marco: si un oscilador hertziano irradia en una dirección determinada, sufrirá un retroceso por la inercia del fluido ficticio. Poincaré realizó un impulso de Lorentz (para ordenar v/c) al marco de la fuente en movimiento. Señaló que la conservación de la energía se mantiene en ambos marcos, pero que se viola la ley de conservación del impulso. Esto permitiría el movimiento perpetuo, una noción que aborrecía. Las leyes de la naturaleza tendrían que ser diferentes en los marcos de referencia, y el principio de relatividad no se cumpliría. Por lo tanto, argumentó que también en este caso tiene que haber otro mecanismo de compensación en el éter.

El mismo Poincaré volvió sobre este tema en su conferencia de St. Louis (1904). Rechazó la posibilidad de que la energía lleve masa y criticó su propia solución para compensar los problemas antes mencionados:

El aparato recuperará como si fuera un cañón y la energía proyectada una bola, y eso contradice el principio de Newton, ya que nuestro proyector actual no tiene masa; no es materia, es energía. [..] ¿Debemos decir que el espacio que separa al oscilador del receptor y que la perturbación debe atravesar pasando de uno a otro, no está vacío, sino que se llena no sólo con éter, sino con aire, o incluso en espacio interplanetario con algún fluido subtil, pero ponderable; que este asunto recibe el choque, como lo hace el receptor, en el momento en que la energía lo alcanza, y retrocede cuando la perturbación deja? Eso salvaría el principio de Newton, pero no es verdad. Si la energía durante su propagación permaneciera siempre apegada a algún substratum material, este asunto llevaría la luz junto con ella y Fizeau ha mostrado, al menos para el aire, que no hay nada del tipo. Michelson y Morley han confirmado esto. También podríamos suponer que las mociones de materia propia fueron compensadas exactamente por las del éter; pero eso nos llevaría a las mismas consideraciones que las hechas hace un momento. El principio, si así se interpreta, podría explicar cualquier cosa, ya que cualquiera que sea el movimiento visible podríamos imaginar movimientos hipotéticos para compensarlos. Pero si puede explicar algo, no nos permitirá predecir nada; no nos permitirá elegir entre las diversas hipótesis posibles, ya que explica todo de antemano. Por lo tanto, se vuelve inútil.

En la cita anterior, se refiere a la suposición de Hertz de arrastre total de éter que fue falsificado por el experimento de Fizeau, pero ese experimento sí muestra que esa luz es parcialmente 'transportada'. con una sustancia. Finalmente, en 1908, revisa el problema y termina abandonando por completo el principio de reacción a favor de apoyar una solución basada en la inercia del propio éter.

Pero hemos visto más arriba que el experimento de Fizeau no permite retener la teoría de Hertz; por lo tanto, es necesario adoptar la teoría de Lorentz, y en consecuencia renunciar al principio de la reacción.

También discutió otros dos efectos no explicados: (1) la no conservación de masa implicada por la masa variable de Lorentz γ γ m{displaystyle gamma m}, la teoría de Abraham de la masa variable y los experimentos de Kaufmann sobre la masa de electrones en movimiento rápido y (2) la no conservación de la energía en los experimentos radiales de Marie Curie.

Según el concepto de equivalencia masa-energía de Albert Einstein (1905), un cuerpo que pierde energía en forma de radiación o calor pierde una cantidad de masa m = E/c² que resolvió la paradoja de Poincaré, sin utilizar ningún mecanismo de compensación dentro del éter. El oscilador hertziano pierde masa en el proceso de emisión y el impulso se conserva en cualquier marco. Sin embargo, con respecto a la solución de Poincaré del problema del centro de gravedad, Einstein señaló que la formulación de Poincaré y la suya propia de 1906 eran matemáticamente equivalentes.

Ondas gravitacionales

En 1905, Poincaré propuso por primera vez ondas gravitacionales (ondes gravifiques) que emanaban de un cuerpo y se propagaban a la velocidad de la luz. El escribio:

Se ha convertido en importante examinar esta hipótesis más de cerca y en particular para preguntar de qué maneras nos requeriría modificar las leyes de la gravedad. Eso es lo que he intentado determinar; al principio fui llevado a asumir que la propagación de la gravedad no es instantánea, pero sucede con la velocidad de la luz.

Poincaré y Einstein

El primer artículo de Einstein sobre la relatividad se publicó tres meses después del breve artículo de Poincaré, pero antes de la versión más larga de Poincaré. Einstein se basó en el principio de la relatividad para derivar las transformaciones de Lorentz y utilizó un procedimiento de sincronización de reloj similar (sincronización de Einstein) al que Poincaré (1900) había descrito, pero el artículo de Einstein fue notable porque no contenía referencias en todas. Poincaré nunca reconoció el trabajo de Einstein sobre la relatividad especial. Sin embargo, Einstein expresó indirectamente su simpatía por la perspectiva de Poincaré en una carta a Hans Vaihinger el 3 de mayo de 1919, cuando Einstein consideraba que la perspectiva general de Vaihinger era cercana a la suya y la de Poincaré cercana a la suya. Vaihinger's. En público, Einstein reconoció a Poincaré póstumamente en el texto de una conferencia de 1921 titulada "Geometrie und Erfahrung (Geometría y experiencia)" en relación con la geometría no euclidiana, pero no en relación con la relatividad especial. Unos años antes de su muerte, Einstein comentó sobre Poincaré como uno de los pioneros de la relatividad, diciendo que "Lorentz ya había reconocido que la transformación que lleva su nombre es esencial para el análisis de las ecuaciones de Maxwell, y Poincaré profundizó esta percepción aún más...."

Evaluaciones sobre Poincaré y la relatividad

El trabajo de Poincaré en el desarrollo de la relatividad especial es bien conocido, aunque la mayoría de los historiadores enfatizan que, a pesar de las muchas similitudes con el trabajo de Einstein, los dos tenían agendas de investigación e interpretaciones del trabajo muy diferentes. Poincaré desarrolló una interpretación física similar de la hora local y notó la conexión con la velocidad de la señal, pero a diferencia de Einstein, continuó usando el concepto de éter en sus artículos y argumentó que los relojes en reposo en el éter muestran la "verdad".; hora, y los relojes en movimiento muestran la hora local. Entonces Poincaré trató de mantener el principio de la relatividad de acuerdo con los conceptos clásicos, mientras que Einstein desarrolló una cinemática matemáticamente equivalente basada en los nuevos conceptos físicos de la relatividad del espacio y el tiempo.

Si bien esta es la opinión de la mayoría de los historiadores, una minoría va mucho más allá, como E. T. Whittaker, quien sostuvo que Poincaré y Lorentz fueron los verdaderos descubridores de la relatividad.

Álgebra y teoría de números

Poincaré introdujo la teoría de grupos en la física y fue el primero en estudiar el grupo de transformaciones de Lorentz. También hizo importantes contribuciones a la teoría de los grupos discretos y sus representaciones.

Transformación topológica de una taza en un toro

Título página al volumen I de Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste (1892)

Topología

El tema está claramente definido por Felix Klein en su "Programa Erlangen" (1872): la geometría invariantes de la transformación continua arbitraria, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido, como sugirió Johann Benedict Listing, en lugar del "Analysis situs" utilizado anteriormente. Enrico Betti y Bernhard Riemann introdujeron algunos conceptos importantes. Pero el fundamento de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creado por Poincaré. Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894.

Su investigación en geometría condujo a la definición topológica abstracta de homotopía y homología. También introdujo por primera vez los conceptos básicos y las invariantes de la topología combinatoria, como los números de Betti y el grupo fundamental. Poincaré probó una fórmula que relaciona el número de aristas, vértices y caras de un poliedro n-dimensional (el teorema de Euler-Poincaré) y dio la primera formulación precisa de la noción intuitiva de dimensión.

Astronomía y mecánica celeste

Movimiento caótico en problema de tres cuerpos (simulación de ordenador).

Poincaré publicó dos monografías ahora clásicas, "Nuevos métodos de mecánica celeste" (1892–1899) y "Conferencias sobre mecánica celeste" (1905-1910). En ellos, aplicó con éxito los resultados de su investigación al problema del movimiento de tres cuerpos y estudió en detalle el comportamiento de las soluciones (frecuencia, estabilidad, asintótica, etc.). Introdujeron el método de parámetros pequeños, puntos fijos, invariantes integrales, ecuaciones variacionales, la convergencia de las expansiones asintóticas. Generalizando una teoría de Bruns (1887), Poincaré demostró que el problema de los tres cuerpos no es integrable. En otras palabras, la solución general del problema de los tres cuerpos no puede expresarse en términos de funciones algebraicas y trascendentales a través de coordenadas y velocidades inequívocas de los cuerpos. Su trabajo en esta área fue el primer gran logro en mecánica celeste desde Isaac Newton.

Estas monografías incluyen una idea de Poincaré, que luego se convirtió en la base de la "teoría del caos&#34 matemática; (ver, en particular, el teorema de recurrencia de Poincaré) y la teoría general de los sistemas dinámicos. Poincaré fue autor de importantes trabajos sobre astronomía para las figuras de equilibrio de un fluido giratorio gravitatorio. Introdujo el importante concepto de los puntos de bifurcación y demostró la existencia de figuras de equilibrio como los no elipsoides, incluidas las figuras en forma de anillo y de pera, y su estabilidad. Por este descubrimiento, Poincaré recibió la Medalla de Oro de la Royal Astronomical Society (1900).

Ecuaciones diferenciales y física matemática

Después de defender su tesis doctoral sobre el estudio de los puntos singulares del sistema de ecuaciones diferenciales, Poincaré escribió una serie de memorias bajo el título "Sobre curvas definidas por ecuaciones diferenciales" (1881–1882). En estos artículos, construyó una nueva rama de las matemáticas, llamada "teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales". Poincaré demostró que incluso si la ecuación diferencial no puede resolverse en términos de funciones conocidas, sin embargo, a partir de la forma misma de la ecuación, se puede encontrar una gran cantidad de información sobre las propiedades y el comportamiento de las soluciones. En particular, Poincaré investigó la naturaleza de las trayectorias de las curvas integrales en el plano, dio una clasificación de puntos singulares (silla, foco, centro, nodo), introdujo el concepto de ciclo límite y el índice de bucle, y mostró que el número de ciclos límite siempre es finito, excepto en algunos casos especiales. Poincaré también desarrolló una teoría general de invariantes integrales y soluciones de las ecuaciones variacionales. Para las ecuaciones en diferencias finitas, creó una nueva dirección: el análisis asintótico de las soluciones. Aplicó todos estos logros para estudiar problemas prácticos de física matemática y mecánica celeste, y los métodos utilizados fueron la base de sus trabajos topológicos.

• Los puntos singulares de las curvas integrales
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  Saddle

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  Focus

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  Center

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  Node

Personaje

Retrato fotográfico de H. Poincaré por Henri Manuel

Los hábitos de trabajo de Poincaré se han comparado con una abeja que vuela de flor en flor. Poincaré estaba interesado en la forma en que funcionaba su mente; estudió sus hábitos y dio una charla sobre sus observaciones en 1908 en el Instituto de Psicología General de París. Vinculó su forma de pensar a cómo hizo varios descubrimientos.

El matemático Darboux afirmó que era un intuitif (un intuitivo), argumentando que esto se demuestra por el hecho de que trabajó tan a menudo mediante la representación visual. Jacques Hadamard escribió que la investigación de Poincaré demostró una claridad maravillosa y el propio Poincaré escribió que creía que la lógica no era una forma de inventar sino una forma de estructurar ideas y que la lógica limita las ideas.

Caracterización de Toulouse

La organización mental de Poincaré fue interesante no solo para el propio Poincaré sino también para Édouard Toulouse, psicólogo del Laboratorio de Psicología de la Escuela de Estudios Superiores de París. Toulouse escribió un libro titulado Henri Poincaré (1910). En él, habló sobre el horario regular de Poincaré:

• Trabajó durante los mismos tiempos cada día en períodos cortos de tiempo. Realizó investigaciones matemáticas durante cuatro horas al día, entre las 10 a.m. y el mediodía de nuevo de 5 p.m. a 7 p.m.. Leería artículos en revistas más tarde por la noche.
• Su hábito de trabajo normal era resolver un problema completamente en su cabeza, luego comprometer el problema completo al papel.
• Era ambidextroso y cercano.
• Su capacidad de visualizar lo que escuchó resultó especialmente útil cuando asistió a conferencias, ya que su visión era tan pobre que no podía ver correctamente lo que el profesor escribió en la pizarra.

Estas habilidades fueron contrarrestadas hasta cierto punto por sus defectos:

• Él era físicamente torpe y artísticamente inepto.
• Siempre estaba apurado y no le gustaba volver a hacer cambios o correcciones.
• Nunca pasó mucho tiempo en un problema ya que creía que el subconsciente seguiría trabajando en el problema mientras trabajaba conscientemente en otro problema.

Además, Toulouse afirmó que la mayoría de los matemáticos trabajaban a partir de principios ya establecidos, mientras que Poincaré partía siempre de principios básicos (O'Connor et al., 2002).

Su método de pensamiento se resume así:

Habitué à négliger les détails et à ne regarder que les cimes, il passait de l'une à l'autre avec une promptitude surprenante et les faits qu'il découvrait se groupant d'eux-mêmes autour de leur centre étaient instantanément et automatiquement classés dans sa mémoire. (Acosado a descuidar los detalles y a mirar sólo en las cimas de las montañas, pasó de un pico a otro con sorprendente rapidez, y los hechos que descubrió, agrupando alrededor de su centro, fueron instantánea y automáticamente arrasados en su memoria.)

—Belliver (1956)

Publicaciones

• Leçons sur la théorie mathématique de la lumière (en francés). París: Carrè. 1889.
• Soluciones periodiques, non-existence des integrales uniformes, soluciones asymptotiques (en francés). Vol. 1. París: Gauthier-Villars. 1892.
• Métodos de mm. Newcomb, Gylden, Lindstedt et Bohlin (en francés). Vol. 2. París: Gauthier-Villars. 1893.
• Oscilaciones électriques (en francés). París: Carrè. 1894.
• Invariantes integradoux, soluciones periodiques du deuxieme género, soluciones doblement asymptotiques (en francés). Vol. 3. París: Gauthier-Villars. 1899.
• Valeur de la science (en francés). París: Flammarion. 1900.
• Electricité et optique (en francés). París: Carrè & Naud. 1901.
• Science et l'hypothèse (en francés). París: Flammarion. 1905.
• Thermodynamique (en francés). París: Gauthier-Villars. 1908.
• Dernières climaes (en francés). París: Flammarion. 1913.
• Science et méthode. Londres: Nelson y Sons. 1914.

Honores

Premios

• Oscar II, competencia matemática del rey de Suecia (1887)
• Miembro de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos (1897)
• American Philosophical Society 1899
• Medalla de oro de la Royal Astronomical Society de Londres (1900)
• Premio Bolyai en 1905
• Medalla de Matteucci 1905
• Academia Francesa de Ciencias 1906
• Académie française 1909
• Bruce Medal (1911)

Nombrado en su honor

• Institut Henri Poincaré (centro de matemáticas y física teórica)
• Premio Poincaré (Premio Internacional de Física Matemática)
• Annales Henri Poincaré (Scientific Journal)
• Seminario Poincaré (nombrado "Bourbaphy")
• El cráter Poincaré en la Luna
• Asteroid 2021 Poincaré
• Lista de cosas llamadas por Henri Poincaré

Henri Poincaré no recibió el Premio Nobel de Física, pero tuvo defensores influyentes como Henri Becquerel o el miembro del comité Gösta Mittag-Leffler. El archivo de nominaciones revela que Poincaré recibió un total de 51 nominaciones entre 1904 y 1912, año de su muerte. De las 58 nominaciones al Premio Nobel de 1910, 34 nombraban a Poincaré. Los nominadores incluyeron a los premios Nobel Hendrik Lorentz y Pieter Zeeman (ambos de 1902), Marie Curie (de 1903), Albert Michelson (de 1907), Gabriel Lippmann (de 1908) y Guglielmo Marconi (de 1909).

El hecho de que renombrados físicos teóricos como Poincaré, Boltzmann o Gibbs no fueran galardonados con el Premio Nobel se considera una prueba de que el comité del Nobel tenía más en cuenta la experimentación que la teoría. En el caso de Poincaré, varios de los que lo nominaron señalaron que el mayor problema era nombrar un descubrimiento, invención o técnica específica.

Filosofía

Primera página de Ciencia e hipótesis (1905)

Poincaré tenía puntos de vista filosóficos opuestos a los de Bertrand Russell y Gottlob Frege, quienes creían que las matemáticas eran una rama de la lógica. Poincaré no estuvo de acuerdo, afirmando que la intuición era la vida de las matemáticas. Poincaré da un punto de vista interesante en su libro Ciencia e hipótesis de 1902:

Para un observador superficial, la verdad científica está más allá de la posibilidad de duda; la lógica de la ciencia es infalible, y si los científicos a veces se equivocan, esto es sólo de su equivocación de gobierno.

Poincaré creía que la aritmética es sintética. Argumentó que los axiomas de Peano no pueden demostrarse de forma no circular con el principio de inducción (Murzi, 1998), por lo que concluyó que la aritmética es a priori sintética y no analítica. Poincaré luego continuó diciendo que las matemáticas no se pueden deducir de la lógica ya que no son analíticas. Sus puntos de vista eran similares a los de Immanuel Kant (Kolak, 2001, Folina 1992). Se opuso firmemente a la teoría de conjuntos cantoriana, objetando su uso de definiciones impredicativas.

Sin embargo, Poincaré no compartía los puntos de vista kantianos en todas las ramas de la filosofía y las matemáticas. Por ejemplo, en geometría, Poincaré creía que la estructura del espacio no euclidiano se puede conocer analíticamente. Poincaré sostuvo que la convención juega un papel importante en la física. Su punto de vista (y algunas versiones posteriores, más extremas) llegó a conocerse como "convencionalismo". Poincaré creía que la primera ley de Newton no era empírica sino un supuesto marco convencional para la mecánica (Gargani, 2012). También creía que la geometría del espacio físico es convencional. Consideró ejemplos en los que se puede cambiar la geometría de los campos físicos o los gradientes de temperatura, ya sea describiendo un espacio como no euclidiano medido por reglas rígidas, o como un espacio euclidiano donde las reglas se expanden o encogen por una distribución de calor variable.. Sin embargo, Poincaré pensó que estábamos tan acostumbrados a la geometría euclidiana que preferiríamos cambiar las leyes físicas para salvar la geometría euclidiana en lugar de cambiar a una geometría física no euclidiana.

Libre albedrío

Las famosas conferencias de Poincaré ante la Société de Psychologie de París (publicadas como Ciencia e hipótesis, El valor de la ciencia y Ciencia y método ) fueron citadas por Jacques Hadamard como la fuente de la idea de que la creatividad y la invención consisten en dos etapas mentales, primero combinaciones aleatorias de posibles soluciones a un problema, seguidas de una evaluación crítica.

Aunque él habló con mayor frecuencia de un universo determinista, Poincaré dijo que la generación subconsciente de nuevas posibilidades involucra el azar.

Es cierto que las combinaciones que se presentan a la mente en una especie de iluminación repentina después de un período algo prolongado de trabajo inconsciente son generalmente combinaciones útiles y fructíferas... todas las combinaciones se forman como resultado de la acción automática del ego subliminal, pero las únicas que son interesantes encuentran su camino hacia el campo de la conciencia... Unos pocos son armoniosos, y por consiguiente, útiles y hermosos, y serán capaces de afectar la sensibilidad especial del geométrico de la que he estado hablando; que, una vez excitado, dirigirá nuestra atención sobre ellos, y les dará así la oportunidad de ser conscientes... En el ego subliminal, por el contrario, reina lo que yo llamaría libertad, si uno pudiera dar este nombre a la mera ausencia de disciplina y al desorden nacido de la casualidad.

Las dos etapas de Poincaré (combinaciones aleatorias seguidas de selección) se convirtieron en la base del modelo de libre albedrío de dos etapas de Daniel Dennett.