Henri lebesgue

Henri Léon Lebesgue ForMemRS (francés: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ]; 28 de junio de 1875 - julio 26, 1941) fue un matemático francés conocido por su teoría de la integración, que fue una generalización del concepto de integración del siglo XVII: la suma del área entre un eje y la curva de una función definida para ese eje. Su teoría se publicó originalmente en su disertación Intégrale, longueur, aire ("Integrale, length, area") en la Universidad de Nancy durante 1902.

Vida privada

Henri Lebesgue nació el 28 de junio de 1875 en Beauvais, Oise. El padre de Lebesgue era tipógrafo y su madre era maestra de escuela. Sus padres armaron en casa una biblioteca que el joven Henri pudo utilizar. Su padre murió de tuberculosis cuando Lebesgue era aún muy pequeño y su madre tuvo que mantenerlo sola. Como mostró un notable talento para las matemáticas en la escuela primaria, uno de sus profesores consiguió el apoyo de la comunidad para continuar su educación en el Collège de Beauvais y luego en el Lycée Saint-Louis y el Lycée Louis-le-Grand de París.

En 1894, Lebesgue fue aceptado en la École Normale Supérieure, donde continuó enfocando su energía en el estudio de las matemáticas, y se graduó en 1897. Después de graduarse, permaneció en la École Normale Supérieure durante dos años, trabajando en la biblioteca, donde se dio cuenta de la investigación sobre la discontinuidad realizada en ese momento por René-Louis Baire, recién graduado de la escuela. Al mismo tiempo, comenzó sus estudios de posgrado en la Sorbona, donde conoció el trabajo de Émile Borel sobre la teoría de la medida incipiente y el trabajo de Camille Jordan sobre la medida de Jordan. En 1899 pasó a ocupar un puesto de profesor en el Lycée Central de Nancy, mientras continuaba su doctorado. En 1902 obtuvo su doctorado en la Sorbona con la tesis fundamental sobre 'Integral, Longitud, Área', presentada con Borel, cuatro años mayor, como asesor.

Lebesgue se casó con la hermana de uno de sus compañeros de estudios, y él y su esposa tuvieron dos hijos, Suzanne y Jacques.

Después de publicar su tesis, a Lebesgue se le ofreció en 1902 un puesto en la Universidad de Rennes, donde dio clases hasta 1906, cuando se trasladó a la Facultad de Ciencias de la Universidad de Poitiers. En 1910, Lebesgue se trasladó a la Sorbona como maître de conférences, siendo ascendido a profesor a partir de 1919. En 1921 dejó la Sorbona para convertirse en profesor de matemáticas en el Collège de France, donde dio conferencias e investigó durante el resto de su vida.. En 1922 fue elegido miembro de la Académie des Sciences. Henri Lebesgue murió el 26 de julio de 1941 en París.

Carrera de Matemáticas

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitivos, 1904

El primer artículo de Lebesgue se publicó en 1898 y se tituló "Sur l'approximation des fonctions". Se trató del teorema de Weierstrass sobre la aproximación a funciones continuas mediante polinomios. Entre marzo de 1899 y abril de 1901, Lebesgue publicó seis notas en Comptes Rendus. La primera de ellas, ajena a su desarrollo de la integración de Lebesgue, trataba de la extensión del teorema de Baire a funciones de dos variables.. Los siguientes cinco trataron sobre superficies aplicables a un plano, el área de polígonos sesgados, integrales de superficie de área mínima con un límite dado, y la nota final dio la definición de integración de Lebesgue para alguna función f(x). La gran tesis de Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, con el relato completo de este trabajo, apareció en Annali di Matematica en 1902. El primer capítulo desarrolla la teoría de la medida (ver Borel). En el segundo capítulo define la integral tanto geométrica como analíticamente. Los siguientes capítulos amplían las notas de Comptes Rendus que tratan sobre la longitud, el área y las superficies aplicables. El capítulo final trata principalmente del problema de Plateau. Esta disertación se considera una de las mejores jamás escritas por un matemático.

Sus conferencias de 1902 a 1903 se recopilaron en un "tratado de Borel" Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions natives. El problema de la integración considerado como la búsqueda de una función primitiva es la nota clave del libro. Lebesgue presenta el problema de la integración en su contexto histórico, dirigiéndose a Augustin-Louis Cauchy, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann. Lebesgue presenta seis condiciones que es deseable que la integral satisfaga, la última de las cuales es "Si la sucesión f_n(x) aumenta hasta el límite f(x), la integral de f_n(x) tiende a la integral de f(x)." Lebesgue muestra que sus condiciones conducen a la teoría de la medida y funciones medibles y las definiciones analíticas y geométricas de la integral.

Pasó a las funciones trigonométricas con su artículo de 1903 "Sur les séries trigonométriques". Presentó tres teoremas principales en este trabajo: que una serie trigonométrica que representa una función acotada es una serie de Fourier, que el n^ésimo coeficiente de Fourier tiende a cero (el lema de Riemann-Lebesgue), y que una serie de Fourier es integrable término a término. En 1904-1905, Lebesgue volvió a dar una conferencia en el Collège de France, esta vez sobre series trigonométricas y luego publicó sus conferencias en otro de los "Tractos de Borel". En este tratado trata una vez más el tema en su contexto histórico. Expone sobre las series de Fourier, la teoría de Cantor-Riemann, la integral de Poisson y el problema de Dirichlet.

En un artículo de 1910, "Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz" trata de la serie de funciones de Fourier que satisfacen una condición de Lipschitz, con una evaluación del orden de magnitud del término restante. También demuestra que el lema de Riemann-Lebesgue es el mejor resultado posible para funciones continuas y da cierto tratamiento a las constantes de Lebesgue.

Lebesgue escribió una vez, "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu." ("Reducidas a teorías generales, las matemáticas serían una forma hermosa sin contenido.")

En el análisis de la teoría de la medida y ramas relacionadas de las matemáticas, la integral de Lebesgue-Stieltjes generaliza la integración de Riemann-Stieltjes y Lebesgue, preservando las muchas ventajas de esta última en un marco teórico de la medida más general.

Durante el transcurso de su carrera, Lebesgue también hizo incursiones en los ámbitos del análisis complejo y la topología. También tuvo un desacuerdo con Émile Borel acerca de cuál integral era más general. Sin embargo, estas incursiones menores palidecen en comparación con sus contribuciones al análisis real; sus contribuciones a este campo tuvieron un tremendo impacto en la forma del campo actual y sus métodos se han convertido en una parte esencial del análisis moderno. Estos tienen importantes implicaciones prácticas para la física fundamental de las que Lebesgue habría sido completamente inconsciente, como se señala a continuación.

La teoría de la integración de Lebesgue

Aproximación del Riemann integral por áreas rectangulares.

La integración es una operación matemática que corresponde a la idea informal de encontrar el área bajo la gráfica de una función. La primera teoría de integración fue desarrollada por Arquímedes en el siglo III a. C. con su método de cuadraturas, pero esto solo podía aplicarse en circunstancias limitadas con un alto grado de simetría geométrica. En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron la idea de que la integración estaba intrínsecamente ligada a la diferenciación, siendo esta última una forma de medir qué tan rápido cambiaba una función en cualquier punto dado del gráfico. Esta sorprendente relación entre dos importantes operaciones geométricas en cálculo, diferenciación e integración, ahora se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo. Ha permitido a los matemáticos calcular una amplia clase de integrales por primera vez. Sin embargo, a diferencia de Arquímedes' basado en la geometría euclidiana, los matemáticos sintieron que el cálculo integral de Newton y Leibniz no tenía una base rigurosa.

En el siglo XIX, Augustin Cauchy desarrolló los límites épsilon-delta, y Bernhard Riemann continuó con esto al formalizar lo que ahora se llama la integral de Riemann. Para definir esta integral, uno llena el área debajo del gráfico con rectángulos cada vez más pequeños y toma el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos en cada etapa. Sin embargo, para algunas funciones, el área total de estos rectángulos no se aproxima a un solo número. Como tales, no tienen integral de Riemann.

Lebesgue inventó un nuevo método de integración para resolver este problema. En lugar de usar las áreas de los rectángulos, que ponen el foco en el dominio de la función, Lebesgue miró el codominio de la función como su unidad fundamental de área. La idea de Lebesgue era definir primero la medida, tanto para conjuntos como para funciones en esos conjuntos. Luego procedió a construir la integral para lo que llamó funciones simples; Funciones medibles que toman solo un número finito de valores. Luego lo definió para funciones más complicadas como el límite superior mínimo de todas las integrales de funciones simples más pequeñas que la función en cuestión.

La integración de Lebesgue tiene la propiedad de que cada función definida en un intervalo acotado con una integral de Riemann también tiene una integral de Lebesgue, y para esas funciones las dos integrales concuerdan. Además, cada función acotada en un intervalo acotado cerrado tiene una integral de Lebesgue y hay muchas funciones con una integral de Lebesgue que no tienen integral de Riemann.

Como parte del desarrollo de la integración de Lebesgue, Lebesgue inventó el concepto de medida, que extiende la idea de longitud de intervalos a una clase muy grande de conjuntos, llamados conjuntos medibles (así, más precisamente, las funciones simples son funciones que toman un número finito de valores, y cada valor se toma en un conjunto medible). La técnica de Lebesgue para convertir una medida en una integral se generaliza fácilmente a muchas otras situaciones, lo que lleva al campo moderno de la teoría de la medida.

La integral de Lebesgue es deficiente en un aspecto. La integral de Riemann se generaliza a la integral de Riemann impropia para medir funciones cuyo dominio de definición no es un intervalo cerrado. La integral de Lebesgue integra muchas de estas funciones (siempre reproduciendo la misma respuesta cuando lo hace), pero no todas. Para funciones en la línea real, la integral de Henstock es una noción aún más general de integral (basada en la teoría de Riemann en lugar de la de Lebesgue) que subsume tanto la integración de Lebesgue como la integración impropia de Riemann. Sin embargo, la integral de Henstock depende de las características de ordenación específicas de la línea real y, por lo tanto, no se generaliza para permitir la integración en más espacios generales (digamos, variedades), mientras que la integral de Lebesgue se extiende a tales espacios con bastante naturalidad.