Helicidad magnética

En física del plasma, la helicidad magnética es una medida del enlace, torsión y contorsión de un campo magnético. En la magnetohidrodinámica ideal, la helicidad magnética se conserva. Cuando un campo magnético contiene helicidad magnética, tiende a formar estructuras de gran escala a partir de estructuras de pequeña escala. Este proceso puede denominarse transferencia inversa en el espacio de Fourier.

Una segunda propiedad de la helicidad magnética es: los flujos turbulentos tridimensionales tienden a "destruir" estructura, en el sentido de que los vórtices de gran escala se dividen en otros cada vez más pequeños (un proceso llamado "cascada de energía directa", descrito por Lewis Fry Richardson y Andrey Nikolaevich Kolmogorov). En las escalas más pequeñas, los vórtices se disipan en calor mediante efectos viscosos. A través de una especie de "cascada inversa de helicidad magnética", ocurre lo contrario: pequeñas estructuras helicoidales (con una helicidad magnética distinta de cero) conducen a la formación de campos magnéticos de gran escala. Esto es visible, por ejemplo, en la lámina de corriente heliosférica, una gran estructura magnética del Sistema Solar.

La helicidad magnética es un concepto significativo en el análisis de sistemas astrofísicos, donde la resistividad puede ser muy baja para que la helicidad magnética se conserve a una muy buena aproximación. Por ejemplo, las dinámicas de helicidad magnética son importantes para analizar las bengalas solares y las eyecciones de masa coronal. La helicidad magnética está presente en el viento solar. Su conservación es significativa en los procesos de dinamo. También juega un papel en la investigación de fusión, por ejemplo en experimentos de pellizco de campo inverso.

Definición matemática

Generalmente, la helicidad ${displaystyle H^{mathbf {f}$ de un campo vectorial liso ${displaystyle mathbf {f}$ limitado a un volumen ${displaystyle V}$ es la medida estándar de la medida en que las líneas de campo envuelven y coil alrededor del otro. Se define como el volumen integral sobre ${displaystyle V}$ del producto del cuero cabelludo ${displaystyle mathbf {f}$ y su rizo, ${displaystyle nabla times {mathbf}}$:

${displaystyle H^{mathbf {f}=int _{V}{mathbf {f}cdot left(nabla times {mathbf}right) DV.}$

Helicidad magnética

Helicidad magnética ${displaystyle H^{mathbf {M}$ es la helicidad de un potencial vectorial magnético ${displaystyle {Mathbf}}$ Donde ${displaystyle nabla times {mathbf {A}={mathbf {B}$ es el campo magnético asociado limitado a un volumen ${displaystyle V}$. La helicidad magnética se puede expresar como

${displaystyle H^{mathbf {M}=int _{V}{mathbf {A}cdot {fnMithbf {B}dV.}$

Dado que el potencial del vector magnético no es invariante de calibre, la helicidad magnética tampoco es invariante de calibre en general. Como consecuencia, la helicidad magnética de un sistema físico no se puede medir directamente. Sin embargo, en determinadas condiciones y bajo determinadas suposiciones, se puede medir la helicidad actual de un sistema y, a partir de ella, cuando se cumplan otras condiciones y bajo otras suposiciones, deducir la helicidad magnética.

La helicidad magnética tiene unidades de flujo magnético al cuadrado: Wb² (webers al cuadrado) en unidades SI y Mx² (maxwells al cuadrado) en unidades gaussianas.

Helicidad actual

La actual helicidad, o helicidad ${displaystyle M^{mathbf {J}$ del campo magnético ${displaystyle mathbf {B}$ limitado a un volumen ${displaystyle V}$, se puede expresar como

${displaystyle H^{mathbf {J}=int _{V} {f}cdot {fnh}cdot {fnh}dV}$

Donde ${displaystyle {mathbf {}=nabla times {mathbf}}}$ es la densidad actual. A diferencia de la helicidad magnética, la helicidad actual no es un invariante ideal (no se conserva incluso cuando la resistencia eléctrica es cero).

Interpretación topológica

El nombre "helicidad" se basa en el hecho de que la trayectoria de una partícula fluida en un fluido con velocidad ${displaystyle {boldsymbol}}$ y vorticidad ${displaystyle {boldsymbol {omega }=nabla times {boldsymbol {v}}}$ forma un helix en regiones donde la helicidad cinética ${displaystyle textstyle H^{K}=int mathbf {v} cdot {boldsymbol {omega }neq 0}$. Cuando ${displaystyle textstyle ¿Qué?$, la helix es diestra y cuando ${displaystyle textstyle ¿Qué?$ es zurdo. Este comportamiento es muy similar a las líneas de campo magnético.

Regiones, donde la helicidad magnética no es cero, también pueden contener otros tipos de estructuras magnéticas como líneas de campo magnético helicoidal. La helicidad magnética es de hecho una generalización del concepto topológico de vincular el número a las cantidades diferenciales necesarias para describir el campo magnético. El número de enlace describe cuántas líneas de campo magnético están interrelacionadas (ver una prueba matemática de ella). A través de un simple experimento con papel y tijeras, se puede demostrar que las líneas de campo magnético que se dan la espalda se pueden considerar interrelacionadas (figura 5). Así, la presencia de helicidad magnética se puede interpretar como líneas de campo magnético helicoidal, estructuras magnéticas interrelacionadas, pero también líneas de campo magnético girando el uno al otro.

Las líneas de campo magnético que giran entre sí pueden adoptar varias formas. Consideremos, por ejemplo, un conjunto de líneas de campo magnético giratorias en una vecindad cercana, que forma el llamado "tubo de flujo magnético" (ver figura para una ilustración).

"Twist" significa que el tubo de flujo gira alrededor de su propio eje (figuras con Twist=${displaystyle pm 1}$). Topológicamente hablando, unidades de giro y de writhe (lo que significa, la rotación del eje del tubo de flujo en sí - figuras con Writhe=${displaystyle pm 1}$) se puede transformar en uno al otro. También se puede demostrar que los nudos son equivalentes a unidades de giro y/o escritura.

Como ocurre con muchas cantidades en el electromagnetismo, la helicidad magnética (que describe las líneas del campo magnético) está estrechamente relacionada con la helicidad mecánica de los fluidos (que describe las líneas de flujo de los fluidos) y sus dinámicas están interconectadas.

Invarianza cuadrática ideal

A finales de la década de 1950, Lodewijk Woltjer y Walter M. Elsässer descubrieron de forma independiente la invariancia ideal de la helicidad magnética, es decir, su conservación cuando la resistividad es cero. La demostración de Woltjer, válida para un sistema cerrado, se repite a continuación:

En magnetohidrodinámica ideal, la evolución temporal de un campo magnético y el potencial del vector magnético se puede expresar utilizando la ecuación de inducción como

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {mathbf {B}} {partial t}=nabla times ({mathbf {v}times {mathbf {B}),quad {frac {partial {mathbfff}}}} {fnMitbf {f}}} {fnMitbf}}}}}}f}f}f}f}f}fnMissssssssssssssssscH00}fnMissssssssssssssssssssssssss_\\\\\fnMisscnMisssssssssssp\fnhnhnMissssssssspfnun\\\\\\\\cH00}\cH00}fnhnMin {A} {fn} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {f}} {fnMicrosoft}}}}} {fn}}}}} {fnMicrosoft}}}}}} {f}}}}}}}}}}} { {fnMitbf} }times {mathbf {B}+nabla Phi}$

respectivamente, donde ${displaystyle nabla Phi }$ es un potencial escalar dado por la condición de medidor (ver § Consideraciones de Gauge). Elegir el calibre para que el potencial de escalar se desvaneca, ${displaystyle nabla Phi =mathbf {0}$, la evolución del tiempo de la helicidad magnética en un volumen ${displaystyle V}$ es dado por:

${displaystyle {begin{aligned}{partial H^{mathbf {fnK} {fnMicroc {fnMicroc {fnMithbbf} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}fnK}f}f}} {f}f} {f}f}fnKf}f}f}}}}\\f}}}}}\\\\\\\\\\f}}f}\\\f}fn\\\\\f}\\\\fn\\\\\\\\\cH00}}}cH00}\\cH00}fnK\\fnK}}}\\cH00}}}\\\\\\\c}cH {} {fn} {fnMitbf}}} {cdot {f}}} {cdot {f} {cdot {f}}}}}} {cdot {cH0}}}} {cdot {cdot {cdot {cHFF}}}} {cdot}}}} {cdot} {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot} {cdot {f}}}} {cdot {cdot {cdot {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {cdot {cdot {cdotcdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {f} {B}}+{mathbf}cdot {frac {partial {Mathbf {B}}{partial t}right)d V\=int _{V}({mathbf {v} #times {mathbf {B}]cdot {mathbf {B} }dV+int _{V}{mathbf {A}cdot left(nabla times {frac {partial {mathbf {A}} {partial t}right)dV.end{aligned}}$

El producto del punto en el componente del primer término es cero desde ${displaystyle {Mathbf}}$ es ortogonal al producto de la cruz ${displaystyle {Mathbf} }times {mathbf {B}$, y el segundo término puede ser integrado por partes para dar

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} H^{mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cdot {fnMicrosoft Sans Serif}}cdot {frac {partial {mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}cdot dmathbf}cdot {S}$

donde el segundo término es una superficie integral sobre la superficie fronteriza ${displaystyle partial V}$ del sistema cerrado. El producto de puntos en el componente del primer término es cero porque ${displaystyle nabla times {mathbf {A}={mathbf {B}$ es ortogonal a ${displaystyle partial {mathbf {A}/partial t.}$ El segundo término también desaparece porque los movimientos dentro del sistema cerrado no pueden afectar el potencial vectorial fuera, de modo que en la superficie de límites ${displaystyle partial {mathbf}/partial t=mathbf {0}$ ya que el potencial vectorial magnético es una función continua. Por lo tanto,

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} H^{mathbf {M}} {partial t}=0,}$

y helicidad magnética es idealmente conservada. En todas las situaciones en que la helicidad magnética es invariante, la helicidad magnética es idealmente conservada sin la necesidad de la elección de medidor específica ${displaystyle nabla Phi =mathbf {0}$

La helicidad magnética permanece conservada en una buena aproximación incluso con una resistividad pequeña pero finita, en cuyo caso la reconexión magnética disipa la energía.

Propiedad de transferencia inversa

Las estructuras helicoidales de pequeña escala tienden a formar estructuras magnéticas cada vez más grandes. Esto puede denominarse una transferencia inversa en el espacio de Fourier, a diferencia de la cascada de energía (directa) en flujos hidrodinámicos turbulentos tridimensionales. La posibilidad de tal transferencia inversa fue propuesta por primera vez por Uriel Frisch y sus colaboradores y ha sido verificada mediante muchos experimentos numéricos. Como consecuencia, la presencia de helicidad magnética es una posibilidad para explicar la existencia y sostenimiento de estructuras magnéticas de gran escala en el Universo.

Un argumento para esta inversa transferencia tomada de aquí se repite, que se basa en la llamada "condición de realidad" en el espectro de helicidad magnética Fourier ${fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fn}}_ {fn}fn}}cdot {hat {fnhm}}}}_ {fnh} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cdot} {f} {f}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}} {cdot} {cdot}}}}}}}}}}}} {cdot {cdo$ (donde) ${displaystyle {hat {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}} {fn}} {fn}}}$ es el coeficiente de Fourier en el medidor de ondas ${displaystyle {mathbf}}$ del campo magnético ${displaystyle {Mathbf}}$, y de forma similar para ${displaystyle {hat {fnMithbf {}}$, la estrella denotando el complejo conjugado). La "condición de realidad" corresponde a una aplicación de la desigualdad Cauchy-Schwarz, que produce:

$${fnMicrosoft Sans Serif}. {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft} {f}} {fnMicrosoft} }$$

${textstyle E_{mathbf {k} ♫ {M}={frac {2} {fn} {fn} {fnh} {fnh}}cdot {f}cdot {f {fn} {fn}fnh} {fnfnfn}} {fn}}} {f}}}} {fn}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${fnMicrosoft Sans Serif} }_{mathbf {k} }sobrevivir {mathbf {k} } sobrevivió {hat {mathbf {A} {fnMithbf {k} } {perp } sobrevivir$

${displaystyle {hat {mathbf {} {\fnMitbf} {fnK} {f}.$

${displaystyle {hat {mathbf}_{mathbf {k} }=i{mathbf {k} }times {hat {mathbf {} {fn} {fnMithbf}}$

${displaystyle {frac}{2}int ¿Qué? {}cdot {cH00}cH00}cdot {cH00}cdot {cH00}$

Uno puede entonces imaginar una situación inicial sin campo de velocidad y un campo magnético sólo presente en dos vendadores de onda ${displaystyle mathbf {p}$ y ${displaystyle mathbf {q}$. Asumimos un campo magnético totalmente helicoidal, lo que significa que satura la condición de realizabilidad: ${fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {f}}} {fn} {f}}} {fn}}}} {fnf}}}}}}}}}}}}}}$ y ${fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? } {fn} {fnMitbf {fnh}$. Suponiendo que todas las transferencias de energía y helicidad magnética se realicen con otro vendaval de ondas ${displaystyle mathbf {k}$, la conservación de la helicidad magnética por un lado y de la energía total ${displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}$ (la suma de energía magnética y cinética) por otro lado da:

$${displaystyle H_{mathbf {k} } {M}=H_{mathbf {} {M} {f} {\fnMitbf {}} {M}}$$

$${displaystyle E_{mathbf {k} - ¿Qué? Oh, Dios mío.$$

La segunda igualdad de energía proviene del hecho de que consideramos un estado inicial sin energía cinética. Entonces tenemos el necesariamente ${displaystyle Silenciomathbf {k} Silencioleqmax(Sobrevivirmathbf {p} Silenciosomathbf {q}$. De hecho, si lo hubiéramos hecho ${displaystyle Silenciomathbf {k} Entendidomax(Principiomathbf {p} Silencio, esperamathbf {q} Silencio)}$Entonces:

$${displaystyle H_{mathbf {k} } {M}=H_{mathbf {p} {M} {cH_{mthbf {q} {fnh} {fnh}} {fnh} {fnh}} {fnh}}\fnh}}\fnMitbf {fnK}}\fnMitbf {cHFF}}\fnMitbf} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft {fnMicroc {2left {fnMicrosoft} {f}} {fn}}\fnMicrosoft {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMitbf}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}f}}}}}}f}}}}f}f}}} {f} {f}f}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}f}f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f} {f}f}}f}}} Silencio. Oh, Dios mío. } {M} {mathbf {k}$$

que rompería la condición de realizabilidad. Esto significa que ${displaystyle Silenciomathbf {k} Silencioleqmax(Sobrevivirmathbf {p} Silenciosomathbf {q}$. En particular, para ${fnMicrosoft Sans Serif} }Principalmente$, la helicidad magnética se transfiere a un vencedor de onda más pequeño, lo que significa a grandes escalas.

Consideraciones sobre el calibre

Helicidad magnética es una cantidad dependiente de calibre, porque ${displaystyle mathbf {A}$ se puede redefinir añadiendo un gradiente a él (la elección del medidor). Sin embargo, para la conducción perfecta de los límites o sistemas periódicos sin un flujo magnético neto, la helicidad magnética contenida en todo el dominio es medidor invariante, es decir, independiente de la elección del medidor. Un medidor invariante helicidad relativa se ha definido para volúmenes con flujo magnético no cero en sus superficies fronterizas.