Helicidad hidrodinámica

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En dinámica de fluidos, la helicidad es, en condiciones apropiadas, una invariante de las ecuaciones de Euler del flujo de fluidos, teniendo una interpretación topológica como una medida de vinculación y/o nudos de las líneas de vórtice en el flujo.. Esto fue demostrado por primera vez por Jean-Jacques Moreau en 1961 y Moffatt lo derivó en 1969 sin el conocimiento del artículo de Moreau. Esta invariante de helicidad es una extensión del teorema de Woltjer para la helicidad magnética.

Vamos. ${displaystyle mathbf {u} (x,t)}$ ser el campo de velocidad y ${displaystyle nabla times mathbf {u}$ el campo de vorticidad correspondiente. En las siguientes tres condiciones, las líneas de vórtice se transportan con (o 'congeladas') el flujo: (i) el fluido es invisivo; (ii) el flujo es incompresible ( ${displaystyle nabla cdot mathbf {u} =0}$ ), o es compresible con una relación barotrópica ${displaystyle p=p(rho)}$ entre presión $p$ y densidad $***$ ; y iii) cualquier fuerza corporal que actúe en el fluido es conservadora. Bajo estas condiciones, cualquier superficie cerrada $S$ cuyos vectores normales son ortogonales a la vorticidad (es decir, ${displaystyle mathbf {n} cdot (nabla times mathbf {u}=0}$ ) es, como vorticidad, transportado con el flujo.

Sea $V$ el volumen dentro de dicha superficie. Entonces la helicidad en $V$ , denotada como $H$ , está definida por la integral de volumen

{displaystyle H=int _{V}mathbf {u} cdot left(nabla times mathbf {u} right),dV;.}

Para una distribución de vorticidad localizada en un fluido ilimitado, $V$ puede considerarse como todo el espacio, y $H$ es entonces la helicidad total del flujo. $H$ es invariante precisamente porque las líneas de vórtice están congeladas en el flujo y, por lo tanto, su vinculación y/o nudos se conserva, como lo reconoce Señor Kelvin (1868). La helicidad es una cantidad pseudoescalar: cambia de signo cuando se cambia de un marco de referencia diestro a zurdo; puede considerarse como una medida de la lateralidad (o quiralidad) del flujo. La helicidad es una de las cuatro invariantes integrales conocidas de las ecuaciones de Euler; los otros tres son energía, momento y momento angular.

Para dos tubos de vórtice sin anotar conectados que tienen circulaciones ${displaystyle kappa _{1}$ y ${displaystyle kappa _{2}$ , y ningún giro interno, la helicidad es dada por ${displaystyle H=pm 2nkappa ¿Qué? ¿Qué?$ , donde $n$ es el Gauss que une el número de los dos tubos, y el plus o menos se elige según el enlace es de mano derecha o izquierda. Para un solo tubo de vórtice anudado con circulación ${displaystyle kappa }$ , entonces, como muestra Moffatt " Ricca (1992), la helicidad es dada por ${displaystyle H=kappa ^{2}(Wr+Tw)}$ , donde ${displaystyle Wr.$ y ${displaystyle Tw!$ son el ardor y el giro del tubo; la suma ${displaystyle Wr+Tw!$ se sabe que es invariante bajo deformación continua del tubo.

La invariancia de la helicidad proporciona una piedra angular esencial de la materia de dinámica de fluidos topológica y magnetohidrodinámica, que se ocupa de las propiedades globales de los flujos y sus características topológicas.

Meteorología

En meteorología, la helicidad corresponde a la transferencia de vorticidad del medio ambiente a una parcela de aire en movimiento convectivo. Aquí la definición de helicidad se simplifica para usar solo el componente horizontal del viento y la vorticidad, y para integrar solo en la dirección vertical, reemplazando la integral de volumen con una integral definida unidimensional o una integral de línea:

{displaystyle H= {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnh}cdot {fnMic {fnMicrosoft} }_{h},d{Z}=int {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {V}_{h}cdot nabla times {vec {V}_{h},d{Z}

dónde

${displaystyle Z}$ es la altitud,
${displaystyle {vec}_{h}}$ es la velocidad horizontal,
${displaystyle {vec {zeta }$ es la vorticidad horizontal.

Según esta fórmula, si el viento horizontal no cambia de dirección con altitud, $H$ será cero como ${displaystyle V_{h}$ y ${displaystyle nabla times V_{h}$ son perpendiculares, haciendo su nil de producto de escalar. $H$ es entonces positivo si el viento veer (se gira en sentido de reloj) con altitud y negativo si retrocede (se gira en sentido contrario). Esta helicidad utilizada en la meteorología tiene unidades de energía por unidad de masa [m²/s²] y por lo tanto se interpreta como una medida de transferencia de energía por el derrame de viento con altitud, incluyendo direccional.

Esta noción se utiliza para predecir la posibilidad de desarrollo de tornados en una nube de tormenta. En este caso, la integración vertical se limitará por debajo de las cimas de las nubes (generalmente 3 km o 10 000 pies) y el viento horizontal se calculará para calcular el viento relativo a la tormenta restando su movimiento:

{displaystyle mathrm {SRH} =int {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnh}- {fnK} {C}right)}cdot nabla times {vec {fnMicrosoft Sans}

Donde ${displaystyle {vec}}$ es el movimiento de la nube relativo al suelo.

Los valores críticos de SRH (Storm Relicicidad R) para el desarrollo de tornados, según se investiga en América del Norte, son:

SRH = 150-299... supercells posibles con tornados débiles según escala Fujita
SRH = 300-499... muy favorable para el desarrollo de supercells y tornados fuertes
SRH Ø 450... tornados violentos
Cuando se calcula sólo por debajo de 1 km (4.000 pies), el valor de corte es 100.

La helicidad en sí misma no es el único componente de las tormentas severas, y estos valores deben tomarse con precaución. Por eso se ha creado el Índice de Helicidad Energética (EHI). Es el resultado de la SRH multiplicada por la CAPE (Energía Potencial Disponible Convectiva) y luego dividida por una CAPE umbral:

{displaystyle mathrm {EHI} ={frac {mathrm {CAPE} times mathrm {SRH} {text{160,000}}}}}

Esto incorpora no sólo la helicidad sino también la energía de la parcela de aire y, por lo tanto, intenta eliminar el potencial débil de tormentas eléctricas incluso en regiones SRH fuertes. Los valores críticos de EHI:

EHI = 1... posibles tornados
EHI = 1-2... tornados moderados a fuertes
EHI 2... tornados fuertes

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