Haz gaussiano

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haz de luz monocromo cuyo sobre de amplitud es una función Gausiana

Instantáneo valor absoluto de la parte real de la amplitud del campo eléctrico de un TEM₀₀ viga gaussiana, región focal. Mostrando

{displaystyle |{mathcal {Re}}(E(t_{1}))|}

así con dos. picos para cada onda positiva.

Parte superior: perfil de intensidad transversal de un haz Gaussiano que se propaga fuera de la página. Curva azul: amplitud de campo eléctrica (o magnética) vs. posición radial del eje del haz. La curva negra es la intensidad correspondiente.

A 5 mW perfil de haz de puntero láser verde, mostrando el TEM₀₀ perfil.

En óptica, un haz gaussiano es un haz de radiación electromagnética con alta monocromaticidad cuya envolvente de amplitud en el plano transversal viene dada por una función gaussiana; esto también implica un perfil de intensidad (irradiación) gaussiana. Este modo gaussiano transversal fundamental (o TEM₀₀) describe la salida prevista de la mayoría (pero no de todos) los láseres, ya que dicho haz se puede enfocar en el punto más concentrado. Cuando dicho haz es reenfocado por una lente, se altera la dependencia de la fase transversal; esto da como resultado un haz gaussiano diferente. Los perfiles de amplitud del campo eléctrico y magnético a lo largo de cualquier haz gaussiano circular (para una longitud de onda y polarización dadas) están determinados por un solo parámetro: la llamada cintura $w 0$ . En cualquier posición $z$ en relación con la cintura (foco) a lo largo de un haz que tiene un $w 0$ , las amplitudes y fases del campo se determinan como se detalla a continuación.

Las ecuaciones a continuación asumen una viga con una sección transversal circular en todos los valores de $z$ ; esto se puede ver observando que aparece una única dimensión transversal, $r$ . Vigas con secciones transversales elípticas, o con cinturas en diferentes posiciones en $z$ para las dos dimensiones transversales (vigas astigmáticas) también pueden ser descritos como haces gaussianos, pero con valores distintos de $w 0$ y de $z = 0$ ubicación para las dos dimensiones transversales $x$ y $y$ .

Las soluciones arbitrarias de la ecuación paraxial de Helmholtz se pueden expresar como combinaciones de modos Hermite-Gaussianos (cuyos perfiles de amplitud son separables en $x$ y $y$ usando coordenadas cartesianas) o de manera similar como combinaciones de modos Laguerre-Gaussianos (cuyos perfiles de amplitud son separables en $r$ y $θ$ usando coordenadas cilíndricas). En cualquier punto a lo largo de la viga $z$ estos modos incluyen el mismo factor gaussiano que el modo gaussiano fundamental multiplicando los factores geométricos adicionales para el especificado modo. Sin embargo, diferentes modos se propagan con una fase de Gouy diferente, por lo que el perfil transversal neto debido a una superposición de modos evoluciona en $z$ , mientras que la propagación de cualquier modo simple Hermite-Gaussiano (o Laguerre-Gaussiano) conserva la misma forma a lo largo de un haz.

Aunque existen otras posibles descomposiciones modales, estas familias de soluciones son las más útiles para problemas que involucran haces compactos, es decir, donde la potencia óptica está bastante confinada a lo largo de un eje. Incluso cuando un láser no opera en el modo gaussiano fundamental, su potencia generalmente se encontrará entre los modos de orden más bajo utilizando estas descomposiciones, ya que la extensión espacial de los modos de orden superior tenderá a exceder los límites de un resonador láser (cavidad). "Haz gaussiano" normalmente implica radiación confinada al modo Gaussiano fundamental (TEM₀₀).

Forma matemática

Perfil de haz Gausiano con

w 0 = 2 λ

El haz gaussiano es un modo electromagnético transversal (TEM). La expresión matemática de la amplitud del campo eléctrico es una solución a la ecuación paraxial de Helmholtz. Suponiendo polarización en la dirección $x$ y propagación en la dirección $+ z$ dirección, el campo eléctrico en notación fasorial (compleja) viene dado por:

{displaystyle {mathbf {E} (r,z)}=E_{0},{hat {mathbf {x} }},{frac {w_{0}}{w(z)}}exp left({frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}right)exp left(!-ileft(kz+k{frac {r^{2}}{2R(z)}}-psi (z)right)!right)}

dónde

$r$ es la distancia radial del eje central del haz,
$z$ es la distancia axial del foco del haz (o "waist"),
$i$ es la unidad imaginaria,
$k = 2 πn / λ$ es el número de onda (en radios por metro) para una longitud de onda libre del espacio $λ$ , y $n$ es el índice de refracción del medio en el que el haz se propaga,
$E 0 = E (0, 0)$ , la amplitud de campo eléctrico (y fase) en el origen ( $r = 0$ , $z = 0$ ),
$w () z)$ es el radio al que las amplitudes de campo caen $1/ e$ de sus valores axiales (es decir, donde los valores de intensidad $1/ e 2$ de sus valores axiales), en el plano $z$ a lo largo de la viga,
$w 0 = w (0)$ es el radio de cintura,
$R () z)$ es el radio de curvatura de las ondas del rayo en $z$ , y
$↑ () z)$ es la fase Gouy en $z$ , un término de fase extra más allá de lo atribuible a la velocidad de fase de la luz.

También existe una dependencia del tiempo entendida $e iωt$ al multiplicar dichas cantidades fasoriales; el campo real en un punto en el tiempo y el espacio está dado por la parte real de esa cantidad compleja. Este factor de tiempo implica una convención de signos arbitraria, como se analiza en Descripciones matemáticas de la opacidad § Ambigüedad conjugada compleja.

Dado que esta solución se basa en la aproximación paraxial, no es precisa para haces muy divergentes. La forma anterior es válida en la mayoría de los casos prácticos, donde $w 0 ≫ λ / n$ .

La distribución de intensidad (o irradiancia) correspondiente viene dada por

{displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} over 2eta }=I_{0}left({frac {w_{0}}{w(z)}}right)^{2}exp left({frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}right),}

donde la constante $η$ es la impedancia de onda del medio en el que se propaga el haz. Para el espacio libre, $η = η0$ ≈ 377 Ω. $I 0 = | E 0 | 2 /2 η$ es la intensidad en el centro de la viga en su cintura.

Si $P 0$ es la potencia total del haz,

{displaystyle I_{0}={2P_{0} over pi w_{0}^{2}}.}

Ancho de haz evolutivo

La función Gaussiana tiene una

1/ e 2

diámetro

2 w

como se utiliza en el texto) alrededor de 1,7 veces el FWHM.

En una posición $z$ a lo largo del haz (medido desde el foco), el parámetro de tamaño de punto $w$ está dada por una relación hiperbólica:

{displaystyle w(z)=w_{0},{sqrt {1+{left({frac {z}{z_{mathrm {R} }}}right)}^{2}}},}

{displaystyle z_{mathrm {R} }={frac {pi w_{0}^{2}n}{lambda }}}

n

El radio del haz $w (z)$ , en cualquier posición $z$ a lo largo del haz, está relacionado con el ancho completo a la mitad del máximo (FWHM) de la distribución de intensidad en esa posición según:

{displaystyle w(z)={frac {{text{FWHM}}(z)}{sqrt {2ln 2}}}.}

Curvatura del frente de onda

La curvatura de los frentes de onda es mayor en la distancia de Rayleigh, $z = \pm z R$ , a ambos lados de la cintura, cruzando el cero en la propia cintura. Más allá de la distancia de Rayleigh, $| z | > z R, nuevamente disminuye en magnitud, acercándose a cero como z \to \pm\infty. La curvatura a menudo se expresa en términos de su recíproco, R, el radio de curvatura; para un haz gaussiano fundamental, la curvatura en la posición z viene dada por:$

{displaystyle {frac {1}{R(z)}}={frac {z}{z^{2}+z_{mathrm {R} }^{2}}},}

entonces el radio de curvatura $R (z)$ es

{displaystyle R(z)=zleft[{1+{left({frac {z_{mathrm {R} }}{z}}right)}^{2}}right].}

Fase Gouy

La fase de Gouy es un avance de fase adquirido gradualmente por un haz alrededor de la región focal. En la posición $z$ , la fase de Gouy de un haz gaussiano fundamental viene dada por

{displaystyle psi (z)=arctan left({frac {z}{z_{mathrm {R} }}}right).}

Fase de gouy.

La fase de Gouy da como resultado un aumento en la longitud de onda aparente cerca de la cintura ( $z \approx 0$ ). Así, la velocidad de fase en esa región excede formalmente la velocidad de la luz. Ese comportamiento paradójico debe entenderse como un fenómeno de campo cercano donde la desviación de la velocidad de fase de la luz (como se aplicaría exactamente a una onda plana) es muy pequeña excepto en el caso de un haz con una gran apertura numérica, en cuyo caso el frentes de onda' la curvatura (ver la sección anterior) cambia sustancialmente en la distancia de una sola longitud de onda. En todos los casos, la ecuación de onda se cumple en cada posición.

El signo de la fase de Gouy depende de la convención de signos elegida para el fasor de campo eléctrico. Con la dependencia de $e iωt$ , la fase de Gouy cambia de $- π /2$ a $+ π /2$ , mientras que con <span class="texhtml" Dependencia e^-iωt cambia de $+ π /2$ a $- π /2$ a lo largo del eje.

Para un haz gaussiano fundamental, la fase de Gouy da como resultado una discrepancia de fase neta con respecto a la velocidad de la luz que asciende a $π$ radianes (por lo tanto, una inversión de fase) a medida que uno se mueve desde el campo lejano en un lado de la cintura hasta el campo lejano en el otro lado. Esta variación de fase no es observable en la mayoría de los experimentos. Sin embargo, tiene una importancia teórica y adquiere un mayor rango para los modos gaussianos de orden superior.

Haces elípticos y astigmáticos

Muchos rayos láser tienen una sección transversal elíptica. También son comunes las vigas con posiciones de cintura que son diferentes para las dos dimensiones transversales, llamadas vigas astigmáticas. Estos haces se pueden manejar usando las dos ecuaciones de evolución anteriores, pero con valores distintos de cada parámetro para $x$ y $y$ y distintas definiciones del punto $z = 0$ . La fase Gouy es un valor único calculado correctamente sumando la contribución de cada dimensión, con una fase Gouy dentro del rango $\pm π /4$ aportado por cada dimensión.

Un haz elíptico invertirá su relación de elipticidad a medida que se propaga desde el campo lejano hasta la cintura. La dimensión que fuera mayor lejos de la cintura, será la menor cerca de la cintura.

Parámetros del haz

La dependencia geométrica de los campos de un haz gaussiano se rige por la longitud de onda de la luz $λ$ (en el medio dieléctrico, si no hay espacio libre) y los siguientes parámetros del haz, todos los cuales están conectados como se detalla en las siguientes secciones.

Cintura de viga

Ancho de haz Gaussiano

w () z)

como función de la distancia

z

a lo largo de la viga, que forma una hiperbola.

w 0

: cintura de viga;

b

: profundidad de enfoque;

z R

: rango de Rayleigh;

.

: extensión angular total

La forma de un haz gaussiano de una longitud de onda determinada $λ$ se rige únicamente por un parámetro, la cintura del haz $w 0$ . Esta es una medida del tamaño del haz en el punto de su foco ( $z = 0$ en las ecuaciones anteriores) donde el ancho del haz $w (z)$ (como se define arriba) es el más pequeño (y también donde la intensidad en el eje ( $r = 0$ ) es el mayor). A partir de este parámetro se determinan los demás parámetros que describen la geometría del haz. Esto incluye el rango de Rayleigh $z R$ y la divergencia asintótica del haz $θ$ , como se detalla a continuación.

Rango de Rayleigh y parámetro confocal

La distancia de Rayleigh o rango de Rayleigh $z R$ se determina dado el tamaño de la cintura de un haz gaussiano:

{displaystyle z_{mathrm {R} }={frac {pi w_{0}^{2}n}{lambda }}.}

Aquí $λ$ es la longitud de onda de la luz, $n$ es el índice de refracción. A una distancia de la cintura igual al rango de Rayleigh $z R$ , el ancho $w$ del haz es $\sqrt 2$ mayor que en el foco donde $w = w 0$ , la cintura de la viga. Eso también implica que la intensidad en el eje ( $r = 0$ ) allí es la mitad de la intensidad máxima (en $z = 0$ ). Ese punto a lo largo del haz también es donde la curvatura del frente de onda ( $1/ R$ ) es mayor.

La distancia entre los dos puntos $z = \pm z R$ se llama parámetro confocal o profundidad de foco del haz.

Divergencia del haz

Aunque las colas de una función gaussiana en realidad nunca llegan a cero, para los propósitos de la siguiente discusión, el "borde" de una viga se considera que es el radio donde $r = w (z)$ . Ahí es donde la intensidad ha caído a $1/ e 2$ de su valor en el eje. Ahora, para $z ≫ z R$ el parámetro $w (z)$ aumenta linealmente con $z$ . Esto significa que lejos de la cintura, la viga "borde" (en el sentido anterior) tiene forma de cono. El ángulo entre ese cono (cuyo $r = w (z)$ ) y el rayo axis ( $r = 0$ ) define la divergencia del haz:

{displaystyle theta =lim _{zto infty }arctan left({frac {w(z)}{z}}right).}

En el caso paraxial, como hemos estado considerando, $θ$ (en radianes) es entonces aproximadamente

{displaystyle theta ={frac {lambda }{pi nw_{0}}}}

donde $n$ es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz, y $λ$ es la longitud de onda del espacio libre. La extensión angular total del haz divergente, o ángulo de vértice del cono descrito anteriormente, viene dada por

{displaystyle Theta =2theta ,.}

Ese cono contiene entonces el 86 % de la potencia total del haz gaussiano.

Debido a que la divergencia es inversamente proporcional al tamaño del punto, para una longitud de onda dada $λ$ , un haz gaussiano que se enfoca para un pequeño punto diverge rápidamente a medida que se propaga alejándose del foco. Por el contrario, para minimizar la divergencia de un rayo láser en el campo lejano (y aumentar su intensidad máxima a grandes distancias) debe tener una gran sección transversal ( $w 0$ ) en la cintura (y por lo tanto un gran diámetro donde se lanza, ya que $w (z)$ nunca es menor que $w 0$ ). Esta relación entre el ancho del haz y la divergencia es una característica fundamental de la difracción y de la transformada de Fourier que describe la difracción de Fraunhofer. Un haz con cualquier perfil de amplitud especificado también obedece a esta relación inversa, pero el modo gaussiano fundamental es un caso especial en el que el producto del tamaño del haz en el foco y la divergencia de campo lejano es menor que en cualquier otro caso.

Dado que el modelo de haz gaussiano utiliza la aproximación paraxial, falla cuando los frentes de onda se inclinan más de 30° con respecto al eje del haz. De la expresión anterior para la divergencia, esto significa que el modelo de viga gaussiana solo es preciso para vigas con cinturas mayores que $2 λ / π .$

La calidad del rayo láser se cuantifica mediante el producto del parámetro del rayo (BPP). Para un haz gaussiano, el BPP es el producto de la divergencia del haz y el tamaño de la cintura $w 0$ . El BPP de un haz real se obtiene midiendo el diámetro mínimo del haz y la divergencia de campo lejano, y tomando su producto. La relación entre el BPP del haz real y el de un haz gaussiano ideal en la misma longitud de onda se conoce como $M 2$ ("M cuadrado"). La $M 2$ para un haz gaussiano es uno. Todos los rayos láser reales tienen valores de $M 2$ mayores que uno, aunque los rayos de muy alta calidad pueden tener valores muy cercanos a uno..

La apertura numérica de un haz gaussiano se define como $NA = n sin θ$ , donde $n$ es el índice de refracción del medio a través del cual se propaga el haz. Esto significa que el rango de Rayleigh está relacionado con la apertura numérica por

{displaystyle z_{mathrm {R} }={frac {nw_{0}}{mathrm {NA} }}.}

Potencia e intensidad

Potencia a través de una abertura

Con un haz centrado en una abertura, la potencia $P$ pasa por un círculo de radio $r$ en el plano transversal en la posición $z$ es

{displaystyle P(r,z)=P_{0}left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}right],}

{displaystyle P_{0}={frac {1}{2}}pi I_{0}w_{0}^{2}}

Para un círculo de radio $r = w (z)$ , la fracción de potencia transmitida a través del círculo es

{displaystyle {frac {P(z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}approx 0.865.}

Del mismo modo, alrededor del 90 % de la potencia del haz fluirá a través de un círculo de radio $r = 1,07 \times w (z)$ , 95 % a través de un círculo de radio $r = 1,224 \times w (z)$ , y el 99 % a través de un círculo de radio $r = 1,52 \times w (z)$ .

Intensidad máxima

La intensidad máxima a una distancia axial $z$ desde la cintura del haz se puede calcular como el límite de la potencia encerrada dentro de un círculo de radio $r$ , dividido por el área del círculo $πr 2$ a medida que el círculo se reduce:

{displaystyle I(0,z)=lim _{rto 0}{frac {P_{0}left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}right]}{pi r^{2}}}.}

El límite se puede evaluar utilizando la regla de L'Hôpital's:

{displaystyle I(0,z)={frac {P_{0}}{pi }}lim _{rto 0}{frac {left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} over pi w^{2}(z)}.}

Parámetro de haz complejo

El tamaño del punto y la curvatura de un haz gaussiano en función de $z$ a lo largo del haz también se pueden codificar en el complejo parámetro de haz $q (z)$ dado por:

{displaystyle q(z)=z+iz_{mathrm {R} }.}

La introducción de esta complicación conduce a una simplificación de la ecuación del campo del haz gaussiano, como se muestra a continuación. Se puede ver que el recíproco de $q (z)$ contiene la curvatura del frente de onda y la intensidad relativa en el eje en su partes real e imaginaria, respectivamente:

{displaystyle {1 over q(z)}={1 over z+iz_{mathrm {R} }}={z over z^{2}+z_{mathrm {R} }^{2}}-i{z_{mathrm {R} } over z^{2}+z_{mathrm {R} }^{2}}={1 over R(z)}-i{lambda over npi w^{2}(z)}.}

El parámetro de haz complejo simplifica el análisis matemático de la propagación del haz gaussiano, y especialmente en el análisis de cavidades de resonador óptico utilizando matrices de transferencia de rayos.

Luego, usando esta forma, la ecuación anterior para el campo eléctrico (o magnético) se simplifica enormemente. Si llamamos $u$ a la intensidad de campo relativa de un haz gaussiano elíptico (con los ejes elípticos en la $x$ y $y$ direcciones), entonces se puede separar en $x$ y $y$ según a:

{displaystyle u(x,y,z)=u_{x}(x,z),u_{y}(y,z),}

dónde

{displaystyle {begin{aligned}u_{x}(x,z)&={frac {1}{sqrt {{q}_{x}(z)}}}exp left(-ik{frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}right),\u_{y}(y,z)&={frac {1}{sqrt {{q}_{y}(z)}}}exp left(-ik{frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}right),end{aligned}}}

donde $q x (z)$ y $q y (z)$ son los parámetros del haz complejo en $x$ y $y$ direcciones.

Para el caso común de un perfil de viga circular, $q x (z) = q y (z) = q (z)$ y $x 2 + y 2 = r 2$ , lo que produce

{displaystyle u(r,z)={frac {1}{q(z)}}exp left(-ik{frac {r^{2}}{2q(z)}}right).}

Óptica de haz

Un diagrama de un rayo gaussiano pasando por una lente.

Cuando un haz gaussiano se propaga a través de una lente delgada, el haz saliente también es un haz gaussiano (diferente), siempre y cuando el haz viaja a lo largo del eje de simetría cilíndrica de la lente. La longitud focal del objetivo $f$ , el radio de la cintura de la viga $w_{0}$ , y posición de la cintura de haz $z_{0}$ del rayo entrante se puede utilizar para determinar el radio de la cintura del haz ${displaystyle w_{0}'}$ y posición ${displaystyle z_{0}'}$ de la viga saliente.

Ecuación de lentes

Como derivan Saleh y Teich, la relación entre las vigas entrantes y salientes se puede encontrar considerando la fase que se añade a cada punto $(x,y)$ de la viga gaussiana mientras viaja a través de la lente. Un enfoque alternativo debido al Ser es considerar el efecto de una lente delgada en las ondas de haz gaussian.

La solución exacta al problema anterior se expresa simplemente en términos de la ampliación $M$

{displaystyle {begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).end{aligned}}}

La magnificación, que depende de $w_{0}$ y $z_{0}$ , se da por

{displaystyle M={frac {M_{r}}{sqrt {1+r^{2}}}}}

dónde

{displaystyle r={frac {z_{R}}{z_{0}-f}},quad M_{r}=left|{frac {f}{z_{0}-f}}right|.}

Una expresión equivalente para la posición de la viga ${displaystyle z_{0}'}$ es

{displaystyle {frac {1}{z_{0}+{frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{frac {1}{z_{0}'}}={frac {1}{f}}.}

Esta última expresión deja claro que la ecuación de la lente delgada de rayos óptica se recupera en el límite que ${displaystyle left|left({tfrac {z_{R}}{z_{0}}}right)left({tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}right)right|ll 1}$ . También se puede señalar que si ${displaystyle left|z_{0}+{frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}right|gg f}$ entonces el rayo entrante es "bien colimado" para que ${displaystyle z_{0}'approx f}$ .

Enfoque de haz

En algunas aplicaciones es deseable utilizar un lente convergente para enfocar un rayo láser a un punto muy pequeño. Matemáticamente, esto implica minimizar la magnificación $M$ . Si el tamaño de la viga se ve limitado por el tamaño de la óptica disponible, esto se consigue normalmente mejor enviando el haz colimado más grande posible a través de una pequeña lente de longitud focal, es decir, maximizando $z_{R}$ y minimización $f$ . En esta situación, es justificable hacer la aproximación ${displaystyle z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}gg 1}$ , implicando que ${displaystyle Mapprox f/z_{R}}$ y rendimiento del resultado ${displaystyle w_{0}'approx fw_{0}/z_{R}}$ . Este resultado se presenta a menudo en la forma

{displaystyle {begin{aligned}2w_{0}'&approx {frac {4}{pi }}lambda F_{#}\[1.2ex]z_{0}'&approx fend{aligned}}}

dónde

{displaystyle F_{#}={frac {f}{2w_{0}}},}

que se encuentra después de asumir que el medio tiene índice de refracción ${displaystyle napprox 1}$ y sustitución ${displaystyle z_{R}=pi w_{0}^{2}/lambda }$ . Los factores de 2 se introducen debido a una preferencia común para representar el tamaño de la viga por los diámetros de la cintura de la viga ${displaystyle 2w_{0}'}$ y ${displaystyle 2w_{0}}$ , más que el radio de la cintura ${displaystyle w_{0}'}$ y $w_{0}$ .

Ecuación de onda

Como un caso especial de radiación electromagnética, los haces gaussianos (y los modos gaussianos de orden superior que se detallan a continuación) son soluciones a la ecuación de onda para un campo electromagnético en el espacio libre o en un medio dieléctrico homogéneo, obtenidas al combinar Maxwell's ecuaciones para el rotacional de $E$ y el rotacional de $H$ , resultando en:

{displaystyle nabla ^{2}U={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}U}{partial t^{2}}},}

c

en el medio

U

+ z

U

u

k

z

{displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-omega t)},{hat {mathbf {x} }},.}

Usando esta forma junto con la aproximación paraxial, $\partial 2 u /\partial z 2$ puede entonces ser básicamente ignorado. Dado que las soluciones de la ecuación de ondas electromagnéticas solo se cumplen para polarizaciones que son ortogonales a la dirección de propagación ( $z$ ), tenemos sin pérdida de generalidad consideró que la polarización estaba en la dirección $x$ , de modo que ahora resolvemos una ecuación escalar para <span class="texhtml" u(x, y, z).

Al sustituir esta solución en la ecuación de onda anterior se obtiene la aproximación paraxial a la ecuación de onda escalar:

{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}=2ik{frac {partial u}{partial z}}.}

w 0

z

q () z)

Modos de orden superior

Modos Hermite-Gaussianos

Doce modos Hermite-Gaussian

Es posible descomponer un haz paraxial coherente usando el conjunto ortogonal de los llamados modos Hermite-Gaussianos, cualquiera de los cuales viene dado por el producto de un factor en $x$ y un factor en $y$ . Tal solución es posible debido a la separabilidad en $x$ y $y$ en la ecuación paraxial de Helmholtz escrita en coordenadas cartesianas. Así, dado un modo de orden $(l, m)$ que se refiere al $x$ y $y$ direcciones, la amplitud del campo eléctrico en $x, y, z$ puede estar dada por:

{displaystyle E(x,y,z)=u_{l}(x,z),u_{m}(y,z),exp(-ikz),}

x

Sí.

{displaystyle u_{J}(x,z)=left({frac {sqrt {2/pi }}{2^{J},J!;w_{0}}}right)^{!!1/2}!!left({frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}right)^{!!1/2}!!left(-{frac {{q}^{ast }(z)}{{q}(z)}}right)^{!!J/2}!!H_{J}!left({frac {{sqrt {2}}x}{w(z)}}right),exp left(!-i{frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}right),}

q () z)

w 0

z

u J

z

w () z)/ w 0

J

Los dos factores finales explican la variación espacial sobre $x$ (o $y$ ). El cuarto factor es el polinomio de Hermite de orden $J$ (forma "física', es decir, $H 1 (x) = 2 x$ ), mientras que el el quinto representa la caída de amplitud gaussiana $exp(- x 2 / w (z) 2)$ , aunque esto no es obvio usando el complejo $q$ en el exponente. La expansión de ese exponencial también produce un factor de fase en $x$ que explica la curvatura del frente de onda ( $1 / R (z)$ ) en $z$ junto el haz.

Los modos Hermite-Gaussianos se designan normalmente como "TEM_lm"; por lo tanto, el haz gaussiano fundamental puede denominarse TEM₀₀ (donde TEM es electromagnético transversal). Multiplicando $u l (x, z)$ y $u m (y, z)$ para obtener el 2 -D perfil de modo, y eliminando la normalización para que el factor principal se llame simplemente $E 0$ , podemos escribir el Modo $(l, m)$ en la forma más accesible:

{displaystyle {begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{frac {w_{0}}{w(z)}},H_{l}!{Bigg (}{frac {{sqrt {2}},x}{w(z)}}{Bigg)},H_{m}!{Bigg (}{frac {{sqrt {2}},y}{w(z)}}{Bigg)}times {}\&exp left({-{frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}right)exp left({-i{frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}right)times {}\&exp {big (}ipsi (z){big)}exp(-ikz).end{aligned}}}

De esta forma, el parámetro $w 0$ , como antes, determina la familia de modos, en particular la escala la extensión espacial de la cintura del modo fundamental y todos los demás patrones de modo en $z = 0$ . Dado que $w 0$ , $w (z)$ y $R (z)$ tienen las mismas definiciones que para el fundamental Haz gaussiano descrito anteriormente. Se puede ver que con $l = m = 0$ obtenemos el haz gaussiano fundamental descrito anteriormente (ya que $H 0 = 1$ ). La única diferencia específica en $x$ y $Los perfiles y$ en cualquier $z$ se deben a los factores polinómicos de Hermite para los números de orden $l$ y $m$ . Sin embargo, hay un cambio en la evolución de los modos' Gouy fase sobre $z$ :

{displaystyle psi (z)=(N+1),arctan left({frac {z}{z_{mathrm {R} }}}right),}

donde el orden combinado del modo $N$ se define como $N = l + m$ . Mientras que el cambio de fase de Gouy para el modo gaussiano fundamental (0,0) solo cambia en $\pm π /2$ radianes en todo $z$ (y solo por $\pm π /4$ radianes entre $\pm z R$ ), esto se incrementa por el factor $N + 1$ para los modos de orden superior.

Los modos gaussianos de Hermite, con su simetría rectangular, son especialmente adecuados para el análisis modal de la radiación de láseres cuyo diseño de cavidad es asimétrico en forma rectangular. Por otro lado, los láseres y los sistemas con simetría circular se pueden manejar mejor utilizando el conjunto de modos Laguerre-Gaussianos presentados en la siguiente sección.

Modos Laguerre-Gaussianos

Los perfiles de haz que son circularmente simétricos (o láseres con cavidades que son cilíndricamente simétricas) a menudo se resuelven mejor usando la descomposición modal de Laguerre-Gaussian. Estas funciones se escriben en coordenadas cilíndricas utilizando polinomios de Laguerre generalizados. Cada modo transversal se etiqueta nuevamente usando dos números enteros, en este caso el índice radial $p \geq 0$ y el índice azimutal $l$ que puede ser positivo o negativo (o cero):

Un rayo Laguerre-Gaussian con l=1 y p=0

{displaystyle {begin{aligned}u(r,phiz)={}&C_{lp}^{LG}{frac {1}{w(z)}}left({frac {r{sqrt {2}}}{w(z)}}right)^{!|l|}exp !left(!-{frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}right)L_{p}^{|l|}!left({frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}right)times {}\&exp !left(!-ik{frac {r^{2}}{2R(z)}}right)exp(-ilphi),exp(ipsi (z)),end{aligned}}}

donde $L p l$ son los polinomios de Laguerre generalizados. $C LG lp$ es una constante de normalización requerida:

{displaystyle C_{lp}^{LG}={sqrt {frac {2p!}{pi (p+|l|)!}}}Rightarrow int _{0}^{2pi }dphi int _{0}^{infty }rdr|u(r,phiz)|^{2}=1}

$w (z)$ y $R (z)$ tienen las mismas definiciones que arriba. Al igual que con los modos Hermite-Gaussianos de orden superior, la magnitud de los modos Laguerre-Gaussianos' El cambio de fase de Gouy es exagerado por el factor $N + 1$ :

{displaystyle psi (z)=(N+1),arctan left({frac {z}{z_{mathrm {R} }}}right),}

N = Silencio l Silencio + 2 p

r

l

fase

exp(ilφ)

l

2 π

φ

l

Modos Ince-Gaussianos

Perfiles simulados (upper) y fotografías correspondientes (más bajas) de modos Ince-Gaussian grabados en la salida de una fibra óptica.

En coordenadas elípticas, uno puede escribir los modos de orden superior usando polinomios de Ince. Los modos Ince-Gaussianos pares e impares están dados por

{displaystyle u_{varepsilon }left(xietazright)={frac {w_{0}}{wleft(zright)}}mathrm {C} _{p}^{m}left(ixivarepsilon right)mathrm {C} _{p}^{m}left(etavarepsilon right)exp left[-ik{frac {r^{2}}{2qleft(zright)}}-left(p+1right)zeta left(zright)right],}

.

.

{displaystyle {begin{aligned}x&={sqrt {varepsilon /2}};w(z)cosh xi cos eta\y&={sqrt {varepsilon /2}};w(z)sinh xi sin eta.end{aligned}}}

C m p () ., ε)

p

m

ε

ε =

ε = 0

Modos hipergeométricos-gaussianos

Hay otra clase importante de modos de onda paraxiales en coordenadas cilíndricas en las que la amplitud compleja es proporcional a una función hipergeométrica confluente.

Estos modos tienen un perfil de fase singular y son funciones propias del momento angular orbital del fotón. Sus perfiles de intensidad se caracterizan por un solo anillo brillante; al igual que los modos Laguerre-Gaussianos, sus intensidades caen a cero en el centro (en el eje óptico) a excepción del modo fundamental (0,0). La amplitud compleja de un modo se puede escribir en términos de la coordenada radial normalizada (adimensional) $ρ = r / w 0$ y la coordenada longitudinal normalizada $Ζ = z / z R$ de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}u_{{mathsf {p}}m}(rhophimathrm {Z}){}={}&{sqrt {frac {2^{{mathsf {p}}+|m|+1}}{pi Gamma ({mathsf {p}}+|m|+1)}}};{frac {Gamma left({frac {mathsf {p}}{2}}+|m|+1right)}{Gamma (|m|+1)}},i^{|m|+1}times {}\&mathrm {Z} ^{frac {mathsf {p}}{2}},(mathrm {Z} +i)^{-left({frac {mathsf {p}}{2}}+|m|+1right)},rho ^{|m|}times {}\&exp left(-{frac {irho ^{2}}{mathrm {Z} +i}}right),e^{imphi },{}_{1}F_{1}left(-{frac {mathsf {p}}{2}},|m|+1;{frac {rho ^{2}}{mathrm {Z} (mathrm {Z} +i)}}right)end{aligned}}}

donde el índice de rotación $m$ es un entero, y ${displaystyle {mathsf {p}}geq -|m|}$ es de valor real, $. x)$ es la función gamma y $1 F 1 () a, b; x)$ es una función hipergeométrica confluente.

Algunas subfamilias de modos gaussianos hipergeométricos (HyGG) se pueden enumerar como modos gaussianos de Bessel modificados, modos gaussianos exponenciales modificados y modos gaussianos de Laguerre modificados.

El conjunto de modos hipergeométricos-gaussianos está demasiado completo y no es un conjunto ortogonal de modos. A pesar de su perfil de campo complicado, los modos HyGG tienen un perfil muy simple en la cintura del haz ( $z = 0$ ):

{displaystyle u(rhophi0)propto rho ^{{mathsf {p}}+|m|}e^{-rho ^{2}+imphi }.}

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