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Relación binaria reflexiva y transitiva

Relaciones binarias transitivas

	Simétrico	Antisymmetric	Conectado	Bien fundada	Has joineds	Has meets	Reflexivo	Irreflexivo	Asimétrica
			Total, Semiconnex					Anti- reflexivo
Equivalencia relación	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Preorden (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Orden parcial	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total preordenado	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Orden total	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Bien ordenado	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Bien ordenado	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Lattice	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
Join-semilattice	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
Meet-semilattice	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
Orden parcial estricta	✗	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Orden débil estricto	✗	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Orden total estricta	✗	Y	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	Simétrico	Antisymmetric	Conectado	Bien fundada	Has joineds	Has meets	Reflexivo	Irreflexivo	Asimétrica
Definiciones, para todos $a,b$ y ${displaystyle Sneq varnothing:}$	${displaystyle {begin{aligned}&aRb\Rightarrow {}&bRaend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}aRb{text{ and }}&bRa\Rightarrow a={}&bend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}aneq {}&bRightarrow \aRb{text{ or }}&bRaend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}min S\{text{exists}}end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}avee b\{text{exists}}end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}awedge b\{text{exists}}end{aligned}}}$	${displaystyle aRa}$	${displaystyle {text{not }}aRa}$	${displaystyle {begin{aligned}aRbRightarrow \{text{not }}bRaend{aligned}}}$

Y indica que la propiedad de la columna es requerida por la definición del término de la fila (a la izquierda). Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. ✗ indica que la propiedad puede, o no puede retener. Todas las definiciones requieren tácitamente la relación homogénea

R

ser transitivo: para todos

a,b,c,

{displaystyle aRb}

{displaystyle bRc}

entonces

{displaystyle aRc,}

y hay propiedades adicionales que una relación homogénea puede satisfacer.

Diagrama de Hasse del preorden x RY definidas por x//4≤Sí.//4 sobre los números naturales. Debido a los ciclos, R no es antisimétrico. Si todos los números en un ciclo se consideran equivalentes, se obtiene un orden parcial, incluso lineal. Vea el primer ejemplo a continuación.

En matemáticas, especialmente en la teoría del orden, un preorden o cuasiorden es una relación binaria que es reflexiva y transitiva. Los pedidos previos son más generales que las relaciones de equivalencia y los pedidos parciales (no estrictos), los cuales son casos especiales de un pedido previo: un pedido previo antisimétrico (o esquelético) es un orden parcial y un pedido previo simétrico es una relación de equivalencia.

El nombre preordenado proviene de la idea de que los preordens (que no son órdenes parciales) son casi órdenes parciales, pero no bastante; no son necesariamente antisimétricos ni asimétricos. Porque un preorden es una relación binaria, el símbolo ${displaystyle ,leq ,}$ puede ser utilizado como el dispositivo notacional para la relación. Sin embargo, debido a que no son necesariamente antisimétricos, parte de la intuición ordinaria asociada al símbolo ${displaystyle ,leq ,}$ puede no aplicarse. Por otro lado, se puede utilizar un preorden, de manera sencilla, para definir un orden parcial y una relación de equivalencia. Hacerlo, sin embargo, no siempre es útil o vale la pena, dependiendo del dominio del problema que se está estudiando.

En palabras, cuando ${displaystyle aleq b,}$ uno puede decir que b cubiertas a o aquello a precedes b, o eso b reduces a a. Ocasionalmente, la notación ← o → o ${displaystyle ,lesssim ,}$ se utiliza en lugar de ${displaystyle ,leq.}$

A todo preorden le corresponde un grafo dirigido, con elementos del conjunto correspondientes a vértices, y la relación de orden entre pares de elementos correspondiente a las aristas dirigidas entre vértices. Lo contrario no es cierto: la mayoría de los gráficos dirigidos no son ni reflexivos ni transitivos. En general, los gráficos correspondientes pueden contener ciclos. Un preorden que es antisimétrico ya no tiene ciclos; es un orden parcial y corresponde a un gráfico acíclico dirigido. Un preorden que es simétrico es una relación de equivalencia; se puede pensar que ha perdido los marcadores de dirección en los bordes del gráfico. En general, el gráfico dirigido correspondiente de un pedido anticipado puede tener muchos componentes desconectados.

Definición formal

Considerar una relación homogénea ${displaystyle ,leq ,}$ on some given set $P,$ por definición, ${displaystyle ,leq ,}$ es un subconjunto ${displaystyle Ptimes P}$ y la notación $aleq b$ se utiliza en lugar de ${displaystyle (a,b)in ,leq.}$ Entonces... ${displaystyle ,leq ,}$ se llama preordenado o quasiorder si es reflexivo y transitivo; es decir, si satisface:

Reflexividad: ${displaystyle aleq a}$ para todos ${displaystyle ain P,}$ y
Transitividad: si ${displaystyle aleq b{text{ and }}bleq c{text{ then }}aleq c}$ para todos ${displaystyle a,b,cin P.}$

Un conjunto que está equipado con un pedido anticipado se denomina conjunto pedido por adelantado (o proset). Para enfatizar o contrastar con los pedidos anticipados estrictos, un pedido anticipado también puede denominarse pedido anticipado no estricto.

Si la reflexividad es reemplazada por la irreflexividad (mientras mantiene la transitividad) entonces el resultado se llama un preorden estricto; explícitamente, un preordenado estricto on $P$ es una relación binaria homogénea $<math alttext="{displaystyle ,.{displaystyle ,tratado,} <img alt="{displaystyle ,$ on $P$ que satisface las siguientes condiciones:

Irreflexividad o antireflexividad: no $<math alttext="{displaystyle a a.a{displaystyle a wona} <img alt="{displaystyle a$ para todos ${displaystyle ain P;}$ es decir, $<math alttext="{displaystyle ,a$ a.a{displaystyle ,a wona}<img alt="{displaystyle ,a es falso para todos ${displaystyle ain P,}$ y
Transitividad: si $<math alttext="{displaystyle a<b{text{ and }}b<c{text{ then }}aa.byb.centoncesa.c{displaystyle a wonb{text{ > }b seccionóc{text{ then }a interpretadoc} <img alt="{displaystyle a<b{text{ and }}b<c{text{ then }}a$ para todos ${displaystyle a,b,cin P.}$

Una relación binaria es un preorden estricto si y sólo si es un orden parcial estricto. Por definición, un orden parcial estricto es un preorden estricto asimétrico, donde $<math alttext="{displaystyle ,.{displaystyle ,tratado,} <img alt="{displaystyle ,$ se llama asimétrica si $<math alttext="{displaystyle a<b{text{ implies }}{textit {not}} b$ a.bimplicaciónnob.a{displaystyle a meantb{text{ implica}{textit {not} b)a}<img alt="{displaystyle a<b{text{ implies }}{textit {not}} b para todos ${displaystyle a,b.}$ Por el contrario, todo preorden estricto es un orden parcial estricto porque toda relación irreflexiva transitiva es necesariamente asimétrica. Aunque son equivalentes, el término "orden parcial de restricción" suele preferirse sobre "preorden de restricción" y los lectores se refieren al artículo sobre órdenes parciales estrictas para obtener detalles sobre tales relaciones. En contraste con preordenes estrictos, hay muchos (no-strictos) preordenes que son no órdenes parciales.

Definiciones relacionadas

Si un preorden es también antisimétrico, es decir, $aleq b$ y ${displaystyle bleq a}$ implicación ${displaystyle a=b,}$ entonces es una orden parcial.

Por otro lado, si es simétrico, es decir, si $aleq b$ implicación ${displaystyle bleq a,}$ entonces es una relación de equivalencia.

Un pedido es total si $aleq b$ o ${displaystyle bleq a}$ para todos ${displaystyle a,bin P.}$

La noción de un conjunto preordenado $P$ puede ser formulado en un marco categórico como una categoría fina; es decir, como una categoría con al menos un morfismo de un objeto a otro. Aquí los objetos corresponden a los elementos $P,$ y hay un morfismo para objetos que están relacionados, cero de lo contrario. Suplentemente, un conjunto preordenado puede entenderse como una categoría enriquecida, enriquecida sobre la categoría ${displaystyle 2=(0to 1).}$

Una clase reservada es una clase equipada con una reserva. Cada conjunto es una clase y, por lo tanto, cada conjunto preordenado es una clase preordenada.

Ejemplos

Usos

Los pedidos anticipados juegan un papel fundamental en varias situaciones:

Cada preorden se puede dar una topología, la topología Alexandrov; y de hecho, cada preorden en un conjunto está en una correspondencia única con una topología Alexandrov en ese conjunto.
Preorders puede ser utilizado para definir álgebras interiores.
Preorders proporciona la semántica Kripke para ciertos tipos de lógica modal.
Los pedidos se utilizan para forzar en la teoría de conjuntos para probar la consistencia y los resultados de independencia.

Construcciones

Cada relación binaria $R$ en un set $S$ se puede extender a un preorden encendido $S$ al tomar el cierre transitivo y el cierre reflexivo, ${displaystyle R^{+=}.}$ El cierre transitivo indica la conexión por vía ${displaystyle R:xR^{+}y}$ si y sólo si hay $R$ - el camino $x$ a $y.$

Preorden residual izquierdo inducido por una relación binaria

Dada una relación binaria $R,$ la composición complementaria ${displaystyle Rbackslash R={overline {R^{textsf {T}}circ {overline {R}}}}}$ forma un preorden llamado el residual izquierdo, donde ${displaystyle R^{textsf {T}}}$ denota la relación conversa $R,$ y ${overline {R}}$ denota la relación de complemento $R,$ mientras $circ$ denota la composición de relación.

Pedidos anticipados y pedidos parciales en particiones

Dado un preorden ${displaystyle ,lesssim ,}$ on $S$ uno puede definir una relación de equivalencia $,sim,$ on $S$ tales que

{displaystyle asim bquad {text{ if and only if }}quad alesssim b;{text{ and }};blesssim a.}

,sim,

{displaystyle ,lesssim ,}

{displaystyle ,lesssim ,}

Utilizando esta relación, es posible construir un orden parcial en el conjunto de cociente de la equivalencia, ${displaystyle S/sim}$ que es el conjunto de todas las clases de equivalencia ${displaystyle ,sim.}$ Si el preorden es denotado por ${displaystyle R^{+=},}$ entonces ${displaystyle S/sim }$ es el conjunto de $R$ - Clases de equivalencia de ciclo: ${displaystyle xin [y]}$ si $x=y$ o $x$ está en $R$ - ciclo con $y$ En cualquier caso, en ${displaystyle S/sim }$ es posible definir ${displaystyle [x]leq [y]}$ si ${displaystyle xlesssim y.}$ Que esto está bien definido, lo que significa que su condición de definición no depende de qué representantes de $[x]$ y $[y]$ son elegidos, según la definición de ${displaystyle ,sim.,}$ Se verifica fácilmente que esto produce un conjunto parcialmente ordenado.

Por el contrario, de cualquier orden parcial en una partición de un conjunto $S,$ es posible construir un preorden en $S$ en sí mismo. Hay una correspondencia entre preordens y pares (partición, orden parcial).

Ejemplo# $S$ ser una teoría formal, que es un conjunto de oraciones con ciertas propiedades (detalles de los cuales se puede encontrar en el artículo sobre el tema). Por ejemplo, $S$ podría ser una teoría de primer orden (como la teoría de Zermelo-Fraenkel) o una teoría más simple de cero. Una de las muchas propiedades $S$ es que se cierra bajo consecuencias lógicas para que, por ejemplo, si una frase $Ain S$ lógicamente implica cierta frase $B,$ que será escrito como $ARightarrow B$ y también como ${displaystyle BLeftarrow A,}$ entonces necesariamente $Bin S$ (por modus ponens). La relación ${displaystyle ,Leftarrow ,}$ es un preorden $S$ porque ${displaystyle ALeftarrow A}$ siempre sostiene y siempre ${displaystyle ALeftarrow B}$ y ${displaystyle BLeftarrow C}$ ambos se mantienen entonces así ${displaystyle ALeftarrow C.}$ Además, para cualquier ${displaystyle A,Bin S,}$ $Asim B$ si ${displaystyle ALeftarrow B{text{ and }}BLeftarrow A}$ ; es decir, dos oraciones son equivalentes con respecto a ${displaystyle ,Leftarrow ,}$ si y sólo si son lógicamente equivalentes. Esta relación de equivalencia particular $Asim B$ es comúnmente denotado con su propio símbolo especial ${displaystyle Aiff B,}$ y así este símbolo ${displaystyle ,iff ,}$ puede ser utilizado en lugar de ${displaystyle ,sim.}$ La clase de equivalencia de una frase $A,$ denotado por ${displaystyle [A],}$ consiste en todas las oraciones $Bin S$ que son lógicamente equivalentes a $A$ (es decir, todo $Bin S$ tales que ${displaystyle Aiff B}$ ). El orden parcial ${displaystyle S/sim }$ inducido por ${displaystyle ,Leftarrow,}$ que también será denotado por el mismo símbolo ${displaystyle ,Leftarrow,}$ se caracteriza por ${displaystyle [A]Leftarrow [B]}$ si ${displaystyle ALeftarrow B,}$ donde la condición de la mano derecha es independiente de la elección de los representantes ${displaystyle Ain [A]}$ y ${displaystyle Bin [B]}$ de las clases de equivalencia. Todo lo que se ha dicho ${displaystyle ,Leftarrow ,}$ hasta ahora también se puede decir de su relación transversal ${displaystyle ,Rightarrow.,}$ El set preordenado ${displaystyle (S,Leftarrow)}$ es un conjunto dirigido porque si ${displaystyle A,Bin S}$ y si ${displaystyle C:=Awedge B}$ denota la frase formada por la conjunción lógica ${displaystyle ,wedge,}$ entonces ${displaystyle ALeftarrow C}$ y ${displaystyle BLeftarrow C}$ Donde ${displaystyle Cin S.}$ El conjunto parcialmente ordenado ${displaystyle left(S/simLeftarrow right)}$ es, por consiguiente, un conjunto dirigido. Vea el álgebra Lindenbaum–Tarski para un ejemplo relacionado.

Pedidos anticipados y pedidos anticipados estrictos

Reserva estricta inducida por una reserva

Dado un preorden ${displaystyle ,lesssim}$ una nueva relación $<math alttext="{displaystyle ,.{displaystyle ,tratado,} <img alt="{displaystyle ,$ puede definirse declarando que $<math alttext="{displaystyle a a.b{displaystyle a meantb} <img alt="a$ si ${displaystyle alesssim b{text{ and not }}blesssim a.}$ Utilizando la relación de equivalencia $,sim,$ presentado anteriormente, $<math alttext="{displaystyle a a.b{displaystyle a meantb} <img alt="a$ si ${displaystyle alesssim b{text{ and not }}asim b;}$ y por lo tanto las siguientes

<math alttext="{displaystyle alesssim bquad {text{ if and only if }}quad a a≲ ≲ bsia.boa♪ ♪ b.{displaystyle alesssim bquad {text{ if and only if }quad a doneb;{text{ or }};asim b.} <img alt="{displaystyle alesssim bquad {text{ if and only if }}quad a

Define $aleq b$ como $<math alttext="{displaystyle a a.boa=b{displaystyle a meantb{text{ or }a=b} <img alt="{displaystyle a$ (es decir, tomar el cierre reflexivo de la relación). Esto da el orden parcial asociado con el estricto orden parcial " $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ " mediante el cierre reflexivo; en este caso la equivalencia es igualdad ${displaystyle ,=,}$ así que los símbolos ${displaystyle ,lesssim ,}$ y $,sim,$ no son necesarios.

Define ${displaystyle alesssim b}$ como " $<math alttext="{displaystyle {text{ not }}b$ nob.a{displaystyle {text{ no}b}ajustado<img alt="{displaystyle {text{ not }}b " (es decir, tomar el complemento inverso de la relación), que corresponde a la definición $asim b$ como "neither" $<math alttext="{displaystyle a<b{text{ nor }}b$ a.bnib.a{displaystyle a meantb{text{ nor }b se hizo<img alt="{displaystyle a<b{text{ nor }}b "; estas relaciones ${displaystyle ,lesssim ,}$ y $,sim,$ son en general no transitivos; sin embargo, si son entonces $,sim,$ es una equivalencia; en ese caso " $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ "es un estricto orden débil. El preorden resultante está conectado (anteriormente llamado total); es decir, un preorden total.

Si $aleq b$ entonces ${displaystyle alesssim b.}$ El contrario sostiene (es decir, ${displaystyle ,lesssim ;;=;;leq ,}$ ) si y sólo si cada vez $aneq b$ entonces $<math alttext="{displaystyle a a.b{displaystyle a meantb} <img alt="a$ o $<math alttext="{displaystyle b$ b.a.{displaystyle b madea.}<img alt="{displaystyle b

Número de pedidos por adelantado

Número de n-element binario relations of different types
Miembros	Cualquier	Transitive	Reflexivo	Simétrico	Preorden	Orden parcial	Total preordenado	Orden total	Equivalencia relación
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65.536	3.994	4.096	1.024	355	219	75	24	15
n	2^n²		2^n²−n	2^n()n+1)/2			${textstyle sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${textstyle sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Tenga en cuenta que $S (n, k)$ se refiere a los números de Stirling del segundo tipo

Como se explicó anteriormente, existe una correspondencia de 1 a 1 entre los pedidos anticipados y los pares (partición, pedido parcial). Por lo tanto, el número de pedidos anticipados es la suma del número de pedidos parciales en cada partición. Por ejemplo:

para ${displaystyle n=3:}$
1 partición de 3, dando 1 preorden
3 particiones de 2 + 1, dar $3times 3=9$ preordenados
1 partición de 1 + 1 + 1, dando 19 preordenas
Es decir, juntos, 29 preordenes.
para ${displaystyle n=4:}$
1 partición de 4, dando 1 preorden
7 particiones con dos clases (4 de 3 + 1 y 3 de 2 + 2), dar ${displaystyle 7times 3=21}$ preordenados
6 particiones de 2 + 1 + 1, dar ${displaystyle 6times 19=114}$ preordenados
1 partición de 1 + 1 + 1 + 1, dando 219 preordenas
Es decir, juntos, 355 preordenes.

Intervalo

Para ${displaystyle alesssim b,}$ el intervalo $[a,b]$ es el conjunto de puntos x satisfacción ${displaystyle alesssim x}$ y ${displaystyle xlesssim b,}$ también escrito ${displaystyle alesssim xlesssim b.}$ Contiene al menos los puntos a y b. Uno puede elegir extender la definición a todos los pares $(a,b)$ Los intervalos adicionales están vacíos.

Usando la relación estricta correspondiente " $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ ", uno también puede definir el intervalo $(a,b)$ como el conjunto de puntos x satisfacción $<math alttext="{displaystyle aa.x{displaystyle a wonx} <img alt="{displaystyle a$ y $<math alttext="{displaystyle x x.b,{displaystyle x wonb,} <img alt="{displaystyle x$ también escrito $<math alttext="{displaystyle a<x a.x.b.{displaystyle asignóx.} <img alt="{displaystyle a<x$ Un intervalo abierto puede estar vacío incluso si $<math alttext="{displaystyle a a.b.{displaystyle a wonb.} <img alt="{displaystyle a$

También ${displaystyle [a,b)}$ y $(a,b]$ se puede definir de forma similar.

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