Guillermo Thurston

William Paul Thurston (30 de octubre de 1946 - 21 de agosto de 2012) fue un matemático estadounidense. Fue un pionero en el campo de la topología de baja dimensión y recibió la Medalla Fields en 1982 por sus contribuciones al estudio de las 3 variedades.

Thurston fue profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton, la Universidad de California, Davis y la Universidad de Cornell. También fue director del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas.

Vida temprana y educación

William Thurston nació en Washington, D.C. de Margaret Thurston (de soltera Martt), una costurera y Paul Thurston, ingeniero aeronáutico. William Thurston sufrió de estrabismo congénito cuando era niño, lo que le provocó problemas con la percepción de la profundidad. Su madre trabajó con él cuando era un niño pequeño para reconstruir imágenes tridimensionales a partir de imágenes bidimensionales.

Recibió su licenciatura de New College en 1967 como parte de su clase inaugural. Para su tesis de licenciatura, desarrolló una base intuicionista para la topología. Después de esto, recibió un doctorado en matemáticas de la Universidad de California, Berkeley con Morris Hirsch, con su tesis Foliaciones de tres variedades que son haces circulares en 1972.

Carrera

Después de completar su doctorado, Thurston pasó un año en el Instituto de Estudios Avanzados y luego otro año en el Instituto de Tecnología de Massachusetts como profesor asistente.

En 1974, Thurston fue nombrado profesor titular en la Universidad de Princeton. Regresó a Berkeley en 1991 para ser profesor (1991-1996) y también fue director del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas (MSRI) de 1992 a 1997. Estuvo en la facultad de UC Davis desde 1996 hasta 2003, cuando se mudó a Universidad de Cornell.

Thurston fue uno de los primeros en adoptar la computación en la investigación matemática pura. Inspiró a Jeffrey Weeks a desarrollar el programa informático SnapPea.

Durante la dirección de Thurston en MSRI, el instituto introdujo varios programas educativos innovadores que desde entonces se han convertido en estándar para los institutos de investigación.

Su doctorado. los estudiantes incluyen a Danny Calegari, Richard Canary, David Gabai, William Goldman, Benson Farb, Richard Kenyon, Steven Kerckhoff, Yair Minsky, Igor Rivin, Oded Schramm, Richard Schwartz, William Floyd y Jeffrey Weeks.

Investigación

Foliaciones

Sus primeros trabajos, a principios de la década de 1970, se centraron principalmente en la teoría de la foliación. Sus resultados más significativos incluyen:

• La prueba de que cada estructura de Haefliger en un múltiple puede ser integrada a una follación (esto implica, en particular, que cada múltiples con cero característica de Euler admite una follación de la codimensión uno).
• La construcción de una familia continua de follaciones suaves, codimension-one en la tres-sphere cuya Godbillon-Vey invariante (después de Claude Godbillon y Jacques Vey) toma todo valor real.
• Con John N. Mather, dio una prueba de que la cohomología del grupo de homeomorfismos de un múltiple es la misma si el grupo es considerado con su topología discreta o su topología compacta-abierta.

De hecho, Thurston resolvió tantos problemas pendientes en la teoría de la foliación en tan poco tiempo que provocó un éxodo del campo, donde los asesores aconsejaron a los estudiantes que no entraran en la teoría de la foliación, porque Thurston estaba "limpiando fuera del tema" (ver "Sobre la prueba y el progreso en matemáticas", especialmente la sección 6).

La conjetura de la geometrización

Su trabajo posterior, que comenzó a mediados de la década de 1970, reveló que la geometría hiperbólica desempeñaba un papel mucho más importante en la teoría general de las 3 variedades de lo que se creía anteriormente. Antes de Thurston, solo había un puñado de ejemplos conocidos de 3 variedades hiperbólicas de volumen finito, como el espacio de Seifert-Weber. Los enfoques independientes y distintos de Robert Riley y Troels Jørgensen a mediados y finales de la década de 1970 mostraron que tales ejemplos eran menos atípicos de lo que se creía; en particular, su trabajo mostró que el complemento del nudo en forma de ocho era hiperbólico. Este fue el primer ejemplo de un nudo hiperbólico.

Inspirado por su trabajo, Thurston tomó un medio diferente y más explícito para exhibir la estructura hiperbólica del complemento de nudos en forma de ocho. Demostró que el complemento de nudos en forma de ocho podía descomponerse como la unión de dos tetraedros hiperbólicos ideales regulares cuyas estructuras hiperbólicas coincidían correctamente y daban la estructura hiperbólica en el complemento de nudos en forma de ocho. Al utilizar las técnicas de superficie normal de Haken, clasificó las superficies incompresibles en el complemento de nudo. Junto con su análisis de las deformaciones de las estructuras hiperbólicas, concluyó que todas menos 10 cirugías de Dehn en el nudo en forma de ocho dieron como resultado 3 variedades irreducibles, que no son de Haken ni de fibras de Seifert. Estos fueron los primeros ejemplos de este tipo; anteriormente se creía que, a excepción de ciertos espacios de fibra de Seifert, todas las 3 variedades irreducibles eran Haken. Estos ejemplos eran en realidad hiperbólicos y motivaron su siguiente teorema.

Thurston demostró que, de hecho, la mayoría de los empastes de Dehn en una 3-variedad hiperbólica cúspide dieron como resultado 3-variedades hiperbólicas. Este es su célebre teorema de la cirugía hiperbólica de Dehn.

Para completar el cuadro, Thurston demostró un teorema de hiperbolización para las variedades de Haken. Un corolario particularmente importante es que muchos nudos y eslabones son, de hecho, hiperbólicos. Junto con su teorema de cirugía hiperbólica de Dehn, esto demostró que existían en gran abundancia 3-variedades hiperbólicas cerradas.

El teorema de hiperbolización para las variedades de Haken se ha denominado Teorema del monstruo de Thurston debido a la longitud y la dificultad de la demostración. Las pruebas completas no se escribieron hasta casi 20 años después. La prueba implica una serie de ideas profundas y originales que han vinculado muchos campos aparentemente dispares a 3-variedades.

Thurston fue el siguiente en formular su conjetura de geometrización. Esto dio una imagen conjetural de 3-variedades que indicaba que todas las 3-variedades admitían un cierto tipo de descomposición geométrica que involucraba ocho geometrías, ahora llamadas geometrías modelo de Thurston. La geometría hiperbólica es la geometría más predominante en esta imagen y también la más complicada. La conjetura fue probada por Grigori Perelman en 2002-2003.

Conjetura de densidad

Thurston y Dennis Sullivan generalizaron a Lipman Bers' conjetura de densidad de grupos de superficie kleinianos individualmente degenerados a todos los grupos kleinianos generados finitamente a fines de la década de 1970 y principios de la de 1980. La conjetura establece que cada grupo kleiniano generado finitamente es un límite algebraico de grupos kleinianos geométricamente finitos, y Ohshika y Namazi-Souto lo demostraron de forma independiente en 2011 y 2012 respectivamente.

Teorema de Orbifold

En su trabajo sobre la cirugía hiperbólica de Dehn, Thurston se dio cuenta de que las estructuras orbifold surgían naturalmente. Tales estructuras se habían estudiado antes de Thurston, pero su trabajo, particularmente el siguiente teorema, las traería a la prominencia. En 1981, anunció el teorema del orbifold, una extensión de su teorema de geometrización al establecimiento de 3 orbifolds. Dos equipos de matemáticos alrededor de 2000 finalmente terminaron sus esfuerzos para escribir una prueba completa, basada principalmente en las conferencias de Thurston dadas a principios de la década de 1980 en Princeton. Su prueba original se basó en parte en el trabajo de Richard S. Hamilton sobre el flujo de Ricci.

Premios y distinciones

En 1976, Thurston y James Harris Simons compartieron el Premio Oswald Veblen de Geometría.

Thurston recibió la Medalla Fields en 1982 por "revolucionar[ing] [el] estudio de la topología en 2 y 3 dimensiones, mostrando la interacción entre el análisis, la topología y la geometría" y "contribuy[ing] [the] idea de que una clase muy grande de 3-variedades cerradas tienen una estructura hiperbólica."

En 2005, Thurston ganó el primer premio del libro de la Sociedad Matemática Estadounidense por Geometría y topología tridimensionales. El premio "reconoce un libro de investigación sobresaliente que hace una contribución fundamental a la literatura de investigación". La American Mathematical Society le otorgó el premio Leroy P. Steele 2012 por su contribución fundamental a la investigación. La cita describía que su trabajo había "revolucionado la teoría de las 3 variedades".

Vida privada

Thurston y su primera esposa, Rachel Findley, tuvieron tres hijos: Dylan, Nathaniel y Emily. Thurston tuvo dos hijos con su segunda esposa, Julian Muriel Thurston: Hannah Jade y Liam. Su hijo Dylan Thurston también es matemático.

Thurston murió el 21 de agosto de 2012 en Rochester, Nueva York, de un melanoma de la mucosa de los senos nasales que le fue diagnosticado en 2011.

Publicaciones seleccionadas

• William Thurston, La geometría y la topología de tres ejes, notas de conferencia de Princeton (1978-1981).
• William Thurston, Geometría tridimensional y topología. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5
• William Thurston, Estructuras hiperbólicas en 3 mangas. I. Deformación de los múltiples acilíndricos. Ann. of Math. (2) 124 (1986), no. 2, 203–246.
• William Thurston, Manifolds tridimensionales, grupos Kleinian y geometría hiperbólicaToro. Amer. Matemáticas Soc. (N.S.) 6 (1982), 357–381.
• William Thurston, Sobre la geometría y dinámica de los diffeomorfismos de las superficies. Toro. Amer. Math. Soc. (N.S.) 19 (1988), no. 2, 417-431
• Epstein, David B. A.; Cannon, James W.; Holt, Derek F.; Levy, Silvio V. F.; Paterson, Michael S.; Thurston, William P. Procesamiento de palabras en grupos. Jones y Bartlett Publishers, Boston, Massachusetts, 1992. xii+330 pp. ISBN 0-86720-244-0
• Eliashberg, Yakov M.; Thurston, William P. Confoliaciones. University Lecture Series, 13. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island and Providence Plantations, 1998. x+66 pp. ISBN 0-8218-0776-5
• William Thurston, Sobre la prueba y progreso en las matemáticas. Toro. Amer. Math. Soc. (N.S.) 30 (1994) 161–177
• William P. Thurston, "Educación Matemática". Avisos de la AMS 37:7 (septiembre de 1990) pp 844-850