Grupoide

En matemáticas, especialmente en la teoría de categorías y la teoría de la homotopía, un grupoide (con menos frecuencia grupoide de Brandt o grupo virtual) generaliza la noción de agrupar de varias maneras equivalentes. Un grupoide puede verse como:

• Grupo con una función parcial que sustituye la operación binaria;
• Categoría en el que cada morfismo es invertible. Una categoría de este tipo puede ser vista como aumentada con una operación sin sentido en los morfismos, llamado inverso por analogía con la teoría del grupo. Un groupoid donde sólo hay un objeto es un grupo habitual.

En presencia de la escritura dependiente, una categoría en general se puede ver como un monoide tipo, y de forma similar, un groupoid se puede ver como simplemente un grupo tipo. Los morfismos toman uno de un objeto a otro, y forman una familia dependiente de tipos, por lo que los morfismos pueden ser clasificados ${displaystyle g:Arightarrow B.$, ${displaystyle h:Brightarrow C}$- Di. La composición es entonces una función total: ${displaystyle circ:(Brightarrow C)rightarrow (Arightarrow B)rightarrow Arightarrow C}$Así que ${displaystyle hcirc g: Una derecha C}$.

Los casos especiales incluyen:

• Setoides: conjuntos que vienen con una relación de equivalencia,
• G-sets: conjuntos equipados con una acción de un grupo ${displaystyle G.$.

Los groupoides se usan a menudo para razonar sobre objetos geométricos como las variedades. Heinrich Brandt (1927) introdujo los groupoides implícitamente a través de los semigrupos de Brandt.

Definiciones

Un groupoid es una estructura algebraica ${displaystyle (G,ast)}$ consistente en un conjunto no vacío ${displaystyle G.$ y una función parcial binaria '${displaystyle ast }$definido en ${displaystyle G.$.

Algebraico

Un grupo es un conjunto ${displaystyle G.$ con una operación siniestra ${displaystyle G a G,$ y una función parcial ${displaystyle *:Gtimes Grightharpoonup G.$. Aquí * no es una operación binaria porque no está necesariamente definida para todos los pares de elementos de ${displaystyle G.$. Condiciones precisas en las que ${displaystyle *}$ se define no se articulan aquí y varían por situación.

Las operaciones ${displaystyle ast }$ y ⁻¹ tienen las siguientes propiedades axiomáticas: Para todos ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, y ${displaystyle c}$ dentro ${displaystyle G.$,

1. AssociativitySi ${displaystyle a*b}$ y ${displaystyle b*c}$ son definidos, entonces ${displaystyle (a*b)*c}$ y ${displaystyle a*(b*c)}$ se definen y son iguales. Por el contrario, si uno de ${displaystyle (a*b)*c}$ y ${displaystyle a*(b*c)}$ se define, entonces son ambos ${displaystyle a*b}$ y ${displaystyle b*c}$ así como ${displaystyle (a*b)*c}$ = ${displaystyle a*(b*c)}$.
2. Inverso: ${displaystyle a^{-1}*a}$ y ${displaystyle a*{a^{-1}}$ siempre están definidos.
3. IdentidadSi ${displaystyle a*b}$ se define, entonces ${displaystyle a*b*{b^{-1}=a}$, y ${displaystyle {a^{-1}*a*b=b}$. (Los dos axiomas anteriores ya muestran que estas expresiones son definidas e inequívocas.)

Dos propiedades fáciles y convenientes se derivan de estos axiomas:

• ${displaystyle (a^{-1}=a}$,
• Si ${displaystyle a*b}$ se define, entonces ${displaystyle (a*b)}=b^{-1}*a^{-1}$.

Teoría de categorías

Un grupoide es una pequeña categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo, es decir, invertible. Más explícitamente, un grupoide G es:

• Un juego G₀ de objetos;
• Para cada par de objetos x y Sí. dentro G₀, existe un conjunto (posiblemente vacío) G()x,Sí.) de morfismos (o flechas) de x a Sí.. Escribimos f: x → Sí. indicar que f es un elemento G()x,Sí.).
• Por cada objeto x, un elemento designado ${displaystyle mathrm {id} _{x}$ de G()x,x);
• Para cada triple de objetos x, Sí., y z, una función ${displaystyle mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)times G(x,y)rightarrow G(x,z):(g,f)mapsto gf}$;
• Para cada par de objetos x, Sí. una función ${displaystyle mathrm {inv}:G(x,y)rightarrow G(y,x):fmapsto f^{-1}}$;

satisfactorio, para cualquier f: x → y, g: y → z, y h: z → w:

• ${displaystyle f mathrm {} ¿Qué?$ y ${displaystyle mathrm {id} ¿Qué?$;
• ${displaystyle (hg)f=h(gf)}$;
• ${displaystyle ff^{-1}=mathrm {y}$ y ${displaystyle f^{-1}f=mathrm {id} _{x}$.

Si f es un elemento G()x,Sí.entonces x se llama fuente de f, escrito s()f), y Sí. se llama objetivo de f, escrito t()f). Un groupoid G a veces se denota como ${displaystyle G_{1}rightarrows G_{0}$, donde ${displaystyle G_{1}$ es el conjunto de todos los morfismos, y las dos flechas ${displaystyle G_{1}to G_{0}$ representan la fuente y el objetivo.

Más generalmente, uno puede considerar un objeto grupoide en una categoría arbitraria que admite productos de fibra finitos.

Comparando las definiciones

Las definiciones algebraicas y de categoría-teorética son equivalentes, como ahora mostramos. Dado un groupoid en el sentido teórico de la categoría, déjelo G ser la unión descomunal de todos los conjuntos G()x,Sí.) (es decir, los conjuntos de morfismos de x a Sí.). Entonces... ${displaystyle mathrm {comp}$ y ${displaystyle mathrm {inv}$ se convierten en operaciones parciales G, y ${displaystyle mathrm {inv}$ se definirá en todas partes. Definimos que ${displaystyle mathrm {comp}$ y ⁻¹ para ser ${displaystyle mathrm {inv}$, que da un groupoid en el sentido algebraico. Referencia explícita G₀ (y por lo tanto ${displaystyle mathrm {id}$) se puede caer.

Por el contrario, dado un groupoid G en el sentido algebraico, definir una relación de equivalencia ${displaystyle sim }$ sobre sus elementos por ${displaystyle asim b}$ Sip a Alternativa a⁻¹ = b Alternativa b⁻¹. Vamos G₀ ser el conjunto de clases de equivalencia ${displaystyle sim }$, es decir. ${displaystyle G_{0}:=G/!$. Denote a Alternativa a⁻¹ por ${displaystyle 1_{x}$ si ${displaystyle ain G}$ con ${displaystyle xin G_{0}$.

Ahora define ${displaystyle G(x,y)}$ como conjunto de todos los elementos f tales que ${displaystyle 1_{x}*f*1_{y}$ existe. Dado ${displaystyle fin G(x,y)}$ y ${displaystyle gin G(y,z),}$ su composite se define como ${displaystyle gf:=f*gin G(x,z)}$. Para ver que esto está bien definido, observe que ${displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}$ y ${displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$ existen, así es ${displaystyle (1_{x}*f*1_{y}*(g*1_{z}=f*g}$. El morfismo de identidad en x entonces ${displaystyle 1_{x}$, y el inverso teórico de la categoría f es f⁻¹.

Conjuntos en las definiciones anteriores se pueden reemplazar con clases, como suele ser el caso en la teoría de categorías.

Grupos de vértices y órbitas

Dado un grupoide G, los grupos de vértices o grupos de isotropía o grupos de objetos en G son los subconjuntos de la forma G(x,x), donde x es cualquier objeto de G. De los axiomas anteriores se deduce fácilmente que estos son de hecho grupos, ya que cada par de elementos es componible y los inversos están en el mismo grupo de vértices.

El órbita de un grupo G en un momento ${displaystyle xin X}$ es dado por el conjunto ${displaystyle s(t^{-1}(x)subset X}$ que contiene cada punto que se puede unir a x por un morfismo en G. Si dos puntos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ están en las mismas órbitas, sus grupos de vértice ${displaystyle G(x)}$ y ${displaystyle G(y)}$ son isomorfos: si ${displaystyle f}$ es cualquier morfismo de ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$, entonces el isomorfismo es dado por el mapeo ${displaystyle gto fgf^{-1}$.

Las órbitas forman una partición del conjunto X, y un grupoide se llama transitivo si tiene una sola órbita (equivalentemente, si está conectado como una categoría). En ese caso, todos los grupos de vértices son isomorfos (por otro lado, esta no es una condición suficiente para la transitividad; consulte la sección a continuación para ver los contraejemplos).

Subgrupoides y morfismos

A subgroupoid de ${displaystyle Grightarrows X.$ es una subcategoría ${displaystyle Hrightarrows Sí.$ eso es en sí mismo un groupoid. Se llama ancho o completo si es ancho o lleno como subcategoría, es decir, respectivamente, si ${displaystyle X=Y}$ o ${displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$ para todos ${displaystyle x,yin Y}$.

Un morfismo de grupoide es simplemente un funtor entre dos groupoides (categoría-teórica).

Particulares tipos de morfismos de los grupoides son de interés. Un morfismo ${displaystyle p:Eto B}$ grupoides se llama fibración si para cada objeto ${displaystyle x}$ de ${displaystyle E}$ y cada morfismo ${displaystyle b}$ de ${displaystyle B}$ empezando ${displaystyle p(x)}$ hay un morfismo ${displaystyle e}$ de ${displaystyle E}$ empezando ${displaystyle x}$ tales que ${displaystyle p(e)=b}$. Una fibra se llama morfismo de cobertura o cobertura de los grupoides si más adelante tal ${displaystyle e}$ es único. Los morfismos cubrientes de los grupoides son especialmente útiles porque pueden utilizarse para modelar mapas de cobertura de los espacios.

También es cierto que la categoría de cubrir los morfismos de un grupo dado ${displaystyle B}$ es equivalente a la categoría de acciones de la groupoid ${displaystyle B}$ en sets.

Ejemplos

Topología

Dado un espacio topológico ${displaystyle X}$, vamos ${displaystyle G_{0}$ ser el conjunto ${displaystyle X}$. Los morfismos desde el punto ${displaystyle p}$ hasta el punto ${displaystyle q}$ son clases de equivalencia de caminos continuos de ${displaystyle p}$ a ${displaystyle q}$, con dos caminos siendo equivalentes si son homotopic. Dos de estos morfismos se componen primero siguiendo el primer camino, luego el segundo; la equivalencia de homotopy garantiza que esta composición es asociativa. Este groupoid se llama el grupo fundamental de ${displaystyle X}$, denotado ${displaystyle pi _{1}(X)}$ (o a veces, ${displaystyle Pi _{1}(X)}$). El grupo fundamental habitual ${displaystyle pi _{1}(X,x)}$ es entonces el grupo de vértice para el punto ${displaystyle x}$.

Las órbitas del grupo fundamental ${displaystyle pi _{1}(X)}$ son los componentes conectados por vía ${displaystyle X}$. En consecuencia, la agrupación fundamental de un espacio conectado por caminos es transitiva, y recuperamos el hecho conocido de que los grupos fundamentales en cualquier punto base son isomorfos. Además, en este caso, el grupo fundamental y los grupos fundamentales son equivalentes como categorías (véase la sección siguiente para la teoría general).

Una importante extensión de esta idea es considerar el grupo fundamental ${displaystyle pi _{1}(X,A)}$ Donde ${displaystyle Asubset X}$ es un conjunto elegido de "puntos básicos". Aquí. ${displaystyle pi _{1}(X,A)}$ es un subgrupoide (total) ${displaystyle pi _{1}(X)}$, donde uno considera sólo caminos cuyos puntos finales pertenecen a ${displaystyle A}$. El set ${displaystyle A}$ puede ser elegido según la geometría de la situación a la mano.

Relación de equivalencia

Si ${displaystyle X}$ es un setoide, es decir, un conjunto con una relación de equivalencia ${displaystyle sim }$, entonces un groupoid "representando" esta relación de equivalencia se puede formar de la siguiente manera:

• Los objetos de la groupoid son los elementos ${displaystyle X}$;
• Para cualquier dos elementos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ dentro ${displaystyle X}$, hay un solo morfismo de ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ (denotación ${displaystyle (y,x)}$Si y sólo si ${displaystyle xsim y}$;
• La composición ${displaystyle (z,y)}$ y ${displaystyle (y,x)}$ es ${displaystyle (z,x)}$.

Los grupos de vértices de este grupoide son siempre triviales; además, este grupoide en general no es transitivo y sus órbitas son precisamente las clases de equivalencia. Hay dos ejemplos extremos:

• Si cada elemento de ${displaystyle X}$ está en relación con cada otro elemento ${displaystyle X}$, obtenemos el par groupoid de ${displaystyle X}$, que tiene todo ${displaystyle Xtimes X}$ como conjunto de flechas, y que es transitivo.
• Si cada elemento de ${displaystyle X}$ es sólo en relación con sí mismo, uno obtiene el unit groupoid, que tiene ${displaystyle X}$ como conjunto de flechas, ${displaystyle S=t=id_{X}$, y que es completamente intransitivo (todo singleton ${displaystyle {x}}$ es una órbita).

Ejemplos

• Si ${displaystyle f:X_{0}to Sí.$ es una sumersión subjetiva lisa de manifolds lisos, entonces ${displaystyle X_{0}times ¿Por qué?$ es una relación de equivalencia desde ${displaystyle Sí.$ tiene una topología isomorfa a la topología cociente ${displaystyle X_{0}$ bajo el mapa subjetivo de los espacios topológicos. Si escribimos, ${displaystyle X_{1}=X_{0}times ¿Qué?$ entonces tenemos un groupoid

  ${displaystyle ¿Qué?$

  que a veces se llama banal groupoid de una sumersión subjetiva de manifolds lisos.
• Si relajamos el requisito de reflexividad y consideramos relaciones parciales de equivalencia, entonces se hace posible considerar nociones semidecidables de equivalencia en los realizadores computables para conjuntos. Esto permite que los grupoides sean utilizados como una aproximación computable para establecer la teoría, llamada Modelos PER. Considerado como categoría, los modelos PER son una categoría cerrada cartesiana con objeto de números naturales y clasificatorio subobjeto, dando lugar a los topos efectivos introducidos por Martin Hyland.

Grupoide de Čech

A Čech groupoid^{pg 5} es un tipo especial de groupoid asociado a una relación de equivalencia dada por una cubierta abierta ${fnMicrosoft} {fnK}\fn}\fnfn} {fn}\\fn}\\fn}\\fn}\fnfn}\fn}\\fn}\\fncH0}}\\cH0}}}\\\fn}\\\\\\cH3}\\\\cH0}}\\\\\\\cH0}\cH3}}}\\\\\\cH}\\\\\cH3}}}}\\\\cH3}\cH00}}}}\\\cH3}}}\\\\cH3}}\\\\\cH I}$ de algunos manifold ${displaystyle X}$. Los objetos son dados por la unión descomunal

${displaystyle {máthcal {}_{0}=coprod U_{i}$

y sus flechas son las intersecciones

${displaystyle {Mathcal {}_{1}=coprod U_{ij}$

Los mapas de origen y de destino vienen dados por los mapas inducidos

${displaystyle {begin{aligned}s=phi ¿Qué? U_{j}t=fi ¿Qué? U_{i}end{aligned}}$

y el mapa de inclusión

${displaystyle varepsilon:U_{i}to U_{ii}$

dando la estructura de un grupoide. De hecho, esto se puede extender aún más configurando

${\fnh} {fn}\fnh} {fnh}\\fnh}\\fn} {\fn}}\\fn}\fn}\\fn}\\fnh}\\\\fn}\\fnh9}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\m}}}}}}}}}}}}}}}} {G}_{1}times _{mathcal {G}_{0}cdots times _{mathcal {G}_{0} {fnMitcal} {fnMicrosoft}}} {fnh}} {fn}}} {fnMitcal} {f}}} {fn}}}} {fn}}}} {f}} {f}}}}} {\fnMitcal}}}}}}}}} { {G}_{1}$

como ${displaystyle n}$-producto de fibra certificado donde ${displaystyle {fn} {fn}} {fn}}}$ representaciones ${displaystyle n}$-tuples de flechas composibles. El mapa de la estructura del producto de la fibra es implícitamente el mapa objetivo, ya que

${displaystyle {begin{matrix}U_{ijk} ¿Qué?$

es un diagrama cartesiano donde los mapas a ${displaystyle U_{i}$ son los mapas de destino. Esta construcción se puede ver como un modelo para algunos grupos ∞. Además, otro artefacto de esta construcción es k-cociclos

${displaystyle [sigma]in {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMitcal {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif}}}$

para alguna gavilla constante de grupos abelianos se puede representar como una función

${displaystyle sigma:coprod U_{i_{1}cdots i_{k}to A}$

dando una representación explícita de las clases de cohomología.

Acción de grupo

Si el grupo ${displaystyle G.$ actos en el conjunto ${displaystyle X}$Entonces podemos formar action groupoid (o grupo de transformación) representando a este grupo de acción como sigue:

• Los objetos son los elementos de ${displaystyle X}$;
• Para cualquier dos elementos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ dentro ${displaystyle X}$, los morfismos de ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ corresponde a los elementos ${displaystyle g}$ de ${displaystyle G.$ tales que ${displaystyle gx=y}$;
• Composición de morfismos interpreta la operación binaria ${displaystyle G.$.

Más explícitamente, el action groupoid es una pequeña categoría con ${displaystyle mathrm {ob} (C)=X}$ y ${displaystyle mathrm {hom} (C)=Gtimes X}$ y con mapas de fuentes y objetivos ${displaystyle s(g,x)=x}$ y ${displaystyle t(g,x)=gx}$. A menudo se denota ${displaystyle Gltimes X}$ (o ${displaystyle Xrtimes G}$ para una acción correcta). Multiplicación (o composición) en el groupoid es entonces ${displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$ que se define ${displaystyle y=gx}$.

Para ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle X}$, el grupo de vértice consiste en esos ${displaystyle (g,x)}$ con ${displaystyle gx=x}$, que es sólo el subgrupo isotropía en ${displaystyle x}$ para la acción dada (que es por qué los grupos de vértice también se llaman grupos isotropía). Del mismo modo, las órbitas del grupo de acción son la órbita de la acción del grupo, y el groupoid es transitivo si y sólo si la acción del grupo es transitiva.

Otra manera de describir ${displaystyle G.$-sets es la categoría de functor ${displaystyle [mathrm {}mathrm {Set}}$, donde ${displaystyle mathrm {Gr}$ es el groupoid (categoría) con un elemento e isomorfo al grupo ${displaystyle G.$. De hecho, cada functor ${displaystyle F}$ de esta categoría define un conjunto ${displaystyle X=F(mathrm {Gr})}$ y para todos ${displaystyle g}$ dentro ${displaystyle G.$ (es decir, por cada morfismo en ${displaystyle mathrm {Gr}$) induce una bijección ${displaystyle F_{g}$: ${displaystyle Xto X}$. La estructura categórica del functor ${displaystyle F}$ nos asegura que ${displaystyle F}$ define a ${displaystyle G.$-acción en el set ${displaystyle G.$. El functor representable (unique) ${displaystyle F}$: ${displaystyle mathrm {Gr} to mathrm {Set}$ es la representación de Cayley ${displaystyle G.$. De hecho, este functor es isomorfo a ${displaystyle mathrm {Hom} (mathrm {Gr}-)}$ y así envía ${displaystyle mathrm {ob}$ al conjunto ${displaystyle mathrm {Hom} (mathrm {Gr}mathrm {Gr})}$ que es por definición el "set" ${displaystyle G.$ y el morfismo ${displaystyle g}$ de ${displaystyle mathrm {Gr}$ (es decir, el elemento ${displaystyle g}$ de ${displaystyle G.$) a la permutación ${displaystyle F_{g}$ del conjunto ${displaystyle G.$. Deducemos de la incrustación Yoneda que el grupo ${displaystyle G.$ es isomorfo para el grupo ${displaystyle {F_{g}mid gin G}}$, un subgrupo del grupo de permutaciones ${displaystyle G.$.

Conjunto finito

Considerar la acción del grupo ${displaystyle mathbb {Z}$ en el conjunto finito ${displaystyle X={-2,-1,0,1,2}$ que lleva cada número a su negativo, así ${displaystyle -2mapsto 2}$ y ${displaystyle 1mapsto -1}$. The quotient groupoid ${displaystyle [X/G]}$ es el conjunto de clases de equivalencia de este grupo de acción ${displaystyle {[0],[1],[2]}$, y ${displaystyle [0]$ tiene un grupo de acción ${displaystyle mathbb {Z}$ en ella.

Variedad de cociente

Cualquier grupo finito ${displaystyle G.$ que mapas a ${displaystyle GL(n)}$ dar una acción de grupo en el espacio de ataúd ${displaystyle mathbb {A} } {n}$ (ya que este es el grupo de automorfismos). Entonces, un quotient groupoid puede ser de las formas ${displaystyle [mathbb {A} {n}/G}$, que tiene un punto con estabilizador ${displaystyle G.$ en el origen. Ejemplos como estos forman la base para la teoría de los orbifolds. Otra familia comúnmente estudiada de orbifolds son espacios de proyecto ponderados ${displaystyle mathbb {P} (n_{1},ldotsn_{k}}$ y subespacios de ellos, como Calabi-Yau orbifolds.

Producto de fibra de grupoides

Dado un diagrama de grupoides con morfismos de grupoides

${displaystyle {begin{aligned} ################################################################################################################################################################################################################################################################ Zend{aligned}}$

Donde ${displaystyle f:Xto Z}$ y ${displaystyle g:Yto Z}$, podemos formar el groupoid ${displaystyle Xtimes _{Z}Y}$ cuyos objetos son triples ${displaystyle (x,phiy)}$, donde ${displaystyle xin {text{Ob}(X)}$, ${displaystyle yin {text{Ob}(Y)}$, y ${displaystyle phi:f(x)to g(y)}$ dentro ${displaystyle Z}$. Los morfismos se pueden definir como un par de morfismos ${displaystyle (alphabeta)}$ Donde ${displaystyle alpha:xto x'}$ y ${displaystyle beta:yto y'}$ tal que para triples ${displaystyle (x,phiy),(x',phi 'y')}$, hay un diagrama conmutativo en ${displaystyle Z}$ de ${displaystyle f(alpha):f(x)to f(x)}$, ${displaystyle g(beta):g(y)to g(y)}$ y el ${displaystyle phiphi}$.

Álgebra homológica

Un complejo de dos términos

${displaystyle C_{1}{overset {d}{rightarrow }C_{0}$

de objetos en una categoría concreta Abeliana se puede utilizar para formar un groupoid. Tiene como objetos el conjunto ${displaystyle C_{0}$ y como flechas el conjunto ${displaystyle C_{1}oplus C_{0}$; el morfismo fuente es sólo la proyección sobre ${displaystyle C_{0}$ mientras que el morfismo objetivo es la adición de proyección a ${displaystyle C_{1}$ compuesto por ${displaystyle d}$ y proyección sobre ${displaystyle C_{0}$. Eso es, dado ${displaystyle C_{1}+c_{0}in C_{1}oplus C_{0}$, tenemos

${displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}$

Por supuesto, si la categoría abeliana es la categoría de haces coherentes en un esquema, entonces esta construcción puede usarse para formar un prehaz de groupoides.

Rompecabezas

Si bien los acertijos como el Cubo de Rubik se pueden modelar mediante la teoría de grupos (consulte el grupo Cubo de Rubik), ciertos acertijos se modelan mejor como grupoides.

Las transformaciones del rompecabezas de quince forman un grupoide (no un grupo, ya que no todos los movimientos pueden estar compuestos). Este grupoide actúa sobre las configuraciones.

Grupoide de Mathieu

El grupoide de Mathieu es un grupoide introducido por John Horton Conway que actúa sobre 13 puntos de manera que los elementos que fijan un punto forman una copia del grupo de Mathieu M₁₂.

Relación con los grupos

Si un grupoide tiene un solo objeto, entonces el conjunto de sus morfismos forma un grupo. Usando la definición algebraica, tal grupoide es literalmente solo un grupo. Muchos conceptos de la teoría de grupos se generalizan a los groupoides, con la noción de funtor reemplazando la de homomorfismo de grupos.

Cada grupo transitivo/conectado - es decir, como se ha explicado anteriormente, uno en el que los dos objetos están conectados por al menos un morfismo - es isomorfo a un grupo de acción (como se define anteriormente) ${displaystyle (G,X)}$. Por transitividad, sólo habrá una órbita bajo la acción.

Tenga en cuenta que el isomorfismo mencionado no es único, y no hay elección natural. Elegir tal isomorfismo para un grupo transitivo equivale esencialmente a escoger un objeto ${displaystyle x_{0}$, un isomorfismo de grupo ${displaystyle h}$ desde ${displaystyle G(x_{0}}$ a ${displaystyle G.$, y para cada ${displaystyle x}$ de otros ${displaystyle x_{0}$, un morfismo en ${displaystyle G.$ desde ${displaystyle x_{0}$ a ${displaystyle x}$.

Si un groupoid no es transitivo, entonces es isomorfo a una unión disyuntiva de los grupoides del tipo anterior, también llamado su componentes conectados (posiblemente con diferentes grupos ${displaystyle G.$ y juegos ${displaystyle X}$ para cada componente conectado).

En términos teoréticos de categoría, cada componente conectado de un grupo es equivalente (pero no isomorfo) a un grupo con un solo objeto, es decir, un grupo único. Por lo tanto, cualquier grupo es equivalente a un multiconjunto de grupos no relacionados. En otras palabras, para la equivalencia en lugar de isomorfismo, uno no necesita especificar los conjuntos ${displaystyle X}$, pero sólo los grupos ${displaystyle G.}$ Por ejemplo,

• El grupo fundamental de ${displaystyle X}$ es equivalente a la colección de los grupos fundamentales de cada componente conectado por vía ${displaystyle X}$, pero un isomorfismo requiere especificar el conjunto de puntos en cada componente;
• El set ${displaystyle X}$ con relación de equivalencia ${displaystyle sim }$ es equivalente (como un groupoid) a una copia del grupo trivial para cada clase de equivalencia, pero un isomorfismo requiere especificar lo que cada clase de equivalencia es:
• El set ${displaystyle X}$ equipado con una acción del grupo ${displaystyle G.$ es equivalente (como un groupoid) a una copia de ${displaystyle G.$ para cada órbita de la acción, pero un isomorfismo requiere especificar lo que establece cada órbita.

El colapso de una groupoid en una simple colección de grupos pierde cierta información, incluso desde un punto de vista teórico de categoría, porque no es natural. Así, cuando surgen grupoides en términos de otras estructuras, como en los ejemplos anteriores, puede ser útil mantener todo el grupoides. De lo contrario, uno debe elegir una manera de ver cada uno ${displaystyle G(x)}$ en términos de un solo grupo, y esta elección puede ser arbitraria. En el ejemplo de la topología, uno tendría que hacer una selección coherente de caminos (o clases de equivalencia de caminos) desde cada punto ${displaystyle p}$ a cada punto ${displaystyle q}$ en el mismo componente conectado con el camino.

Como ejemplo más esclarecedor, la clasificación de los grupoides con un endomorfismo no se reduce a consideraciones puramente teóricas de grupos. Esto es análogo al hecho de que la clasificación de espacios vectoriales con un endomorfismo no es trivial.

Los morfismos de los grupoides vienen en más tipos que los de los grupos: tenemos, por ejemplo, fibraciones, cubriendo morfismos, morfismos universales y morfismos cocientes. Así pues, un subgrupo ${displaystyle H.$ de un grupo ${displaystyle G.$ cede una acción de ${displaystyle G.$ en el conjunto de cosets de ${displaystyle H.$ dentro ${displaystyle G.$ y por lo tanto un morfismo cubriente ${displaystyle p}$ de, digamos, ${displaystyle K}$ a ${displaystyle G.$, donde ${displaystyle K}$ es un groupoid con grupos de vértice isomorfo a ${displaystyle H.$. De esta manera, presentaciones del grupo ${displaystyle G.$ puede ser "alzado" a las presentaciones de la groupoid ${displaystyle K}$, y esta es una manera útil de obtener información sobre las presentaciones del subgrupo ${displaystyle H.$. Para más información, consulte los libros de Higgins y de Brown en las Referencias.

Categoría de grupoides

La categoría cuyos objetos son groupoides y cuyos morfismos son morfismos de groupoid se llama la categoría de groupoid, o la categoría de groupoids, y se denota por Grpd< /b>.

La categoría Grpd es, como la categoría de pequeñas categorías, Cartesiano cerrado: para cualquier grupo ${displaystyle H,K}$ podemos construir un groupoid ${displaystyle operatorname {GPD} (H,K)}$ cuyos objetos son los morfismos ${displaystyle Hto K}$ y cuyas flechas son las equivalencias naturales de los morfismos. Así si ${displaystyle H,K}$ son sólo grupos, entonces tales flechas son las conjugaciones de morfismos. El resultado principal es que para cualquier grupoides ${displaystyle G,H,K}$ hay una bijeción natural

${displaystyle operatorname {Grpd} (Gtimes H,K)cong operatorname {Grpd} (G,operatorname {GPD} (H,K)). }$

Este resultado es de interés incluso si todos los grupoides ${displaystyle G,H,K}$ son sólo grupos.

Otra propiedad importante de Grpd es que es completo y cocompleto.

Relación con el gato

La inclusión ${displaystyle i:mathbf {Grpd} to mathbf {Cat}$ tiene a la izquierda y una unión derecha:

${displaystyle hom _{mathbf {Grpd}(C[C^{-1}],G)cong hom _{mathbf {Cat}(C,i(G)}$

${displaystyle hom _{mathbf {Cat}(i(G),C)cong hom _{mathbf {Grpd} }(G,mathrm {Core} (C)}$

Aquí, ${displaystyle C[C^{-1]}$ denota la localización de una categoría que invierte cada morfismo, y ${displaystyle mathrm {Core} (C)}$ denota la subcategoría de todos los isomorfismos.

Relación con sSet

El functor nervioso ${displaystyle N:mathbf {Grpd} to mathbf {sSet}$ incrustaciones Grpd como subcategoría completa de la categoría de conjuntos simpliciales. El nervio de un groupoid es siempre un complejo de Kan.

El nervio tiene un adjunto izquierdo

${displaystyle hom _{mathbf {Grpd}(pi _{1}(X),G)cong hom _{mathbf {sSet}(X,N(G)}$

Aquí, ${displaystyle pi _{1}(X)}$ denota el grupo fundamental del conjunto simplicial X.

Grupoides en Grpd

Hay una estructura adicional que puede derivarse de los grupoides internos a la categoría de grupoides, grupos dobles. Porque... Grpd es una 2-categoría, estos objetos forman una 2-categoría en lugar de una 1-categoría ya que hay estructura extra. Esencialmente, estos son grupoides ${displaystyle {mathcal {}_{1},{mathcal {G}_{0}$ con functores

${displaystyle s,t:{mathcal {G}_{1}to} # Mathcal {G}_{0}$

y una incrustación dada por un funtor de identidad

${displaystyle i:{Mathcal {G}_{0}to # Mathcal {G}_{1}$

Una forma de pensar en estos 2-groupoides es que contienen objetos, morfismos y cuadrados que pueden componerse juntos vertical y horizontalmente. Por ejemplo, cuadrados dados

${displaystyle {begin{matrix}bullet &to >bullet \downarrow > \bullet >xrightarrow {a}bullet end{matrix}}}}$ y ${displaystyle {begin{matrix}bullet &xrightarrow {a} &bullet\\downarrow > \bullet >to > }}}$

con ${displaystyle a}$ el mismo morfismo, se pueden juntar verticalmente dando un diagrama

${displaystyle {begin{matrix}bullet &to &bulet\\\downarrow > \bullet >xrightarrow {a} >bullet\\downarrow > \bullet >to >f}}}}}}}}$

que se puede convertir en otro cuadrado componiendo las flechas verticales. Existe una ley de composición similar para los anexos horizontales de cuadrados.

Grupoides con estructuras geométricas

Al estudiar objetos geométricos, los groupoides que surgen a menudo llevan una topología, convirtiéndolos en groupoides topológicos, o incluso alguna estructura diferenciable, convirtiéndolos en groupoides de Lie. Estos últimos objetos también se pueden estudiar en términos de sus algebroides de Lie asociados, en analogía con la relación entre grupos de Lie y álgebras de Lie.

Los groupoides que surgen de la geometría a menudo poseen otras estructuras que interactúan con la multiplicación del grupoide. Por ejemplo, en la geometría de Poisson se tiene la noción de un grupoide simpléctico, que es un grupoide de Lie dotado de una forma simpléctica compatible. De manera similar, uno puede tener groupoides con una métrica Riemanniana compatible, o una estructura compleja, etc.