Grupo Witt

En matemáticas, un grupo de Witt de un cuerpo, llamado así en honor a Ernst Witt, es un grupo abeliano cuyos elementos están representados por formas bilineales simétricas sobre el cuerpo.

Fijemos un cuerpo k de característica distinta de dos. Se supondrá que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita. Decimos que dos espacios dotados de formas bilineales simétricas son equivalentes si uno puede obtenerse del otro sumando un espacio cuadrático metabólico, es decir, cero o más copias de un plano hiperbólico, la forma bilineal simétrica bidimensional no degenerada con un vector de norma 0. Cada clase está representada por la forma central de una descomposición de Witt.

El grupo de Witt de k es el grupo abeliano W(k) de clases de equivalencia de formas bilineales simétricas no degeneradas, donde la operación de grupo corresponde a la suma directa ortogonal de formas. Se genera de forma aditiva por las clases de formas unidimensionales. Aunque las clases pueden contener espacios de diferentes dimensiones, la paridad de la dimensión es constante en toda la clase, por lo que rk: W(k) → Z/2Z es un homomorfismo.

Los elementos de orden finito en el grupo Witt tienen un poder de 2; el subgrupo de torsión es el núcleo del mapa functorial de W()k) a W()k^py), donde k^py es el cierre de Pythagorean k; se genera por las formas de Pfister ${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \! \rangle =\langle 1,-w\rangle }$ con ${\displaystyle w}$ una suma no cero de cuadrados. Si k no es formalmente real, entonces el grupo Witt es torsión, con exponente un poder de 2. El altura sobre el terreno k es el exponente de la torsión en el grupo Witt, si esto es finito, o ∞ de otra manera.

Al grupo de Witt de k se le puede dar una estructura de anillo conmutativo, utilizando el producto tensorial de formas cuadráticas para definir el producto de anillo. Esto a veces se denomina el anillo de Witt W(k), aunque el término "anillo de Witt" se utiliza a menudo también para un anillo completamente diferente de vectores de Witt.

Para analizar la estructura de este anillo asumimos que k tiene una característica distinta de 2, de modo que podemos identificar formas bilineales simétricas y formas cuadráticas.

El núcleo del homomorfismo de rango módulo 2 es un ideal primo, I, del anillo de Witt denominado el ideal fundamental. Los homomorfismos de anillo desde W(k) hasta Z corresponden a los ordenamientos de campo de k, tomando la signatura con respecto al ordenamiento. El anillo de Witt es un anillo de Jacobson. Es un anillo noetheriano si y solo si hay un número finito de clases cuadradas; es decir, si los cuadrados en k forman un subgrupo de índice finito en el grupo multiplicativo de k.

Si k no es formalmente real, el ideal fundamental es el único ideal primo de W y consiste precisamente en los elementos nilpotentes; W es un anillo local y tiene dimensión de Krull 0.

Si k es real, entonces los elementos nilpotentes son precisamente aquellos de orden aditivo finito, y estos a su vez son las formas cuyas firmas son todas cero; W tiene dimensión de Krull 1.

Si k es un cuerpo pitagórico real, entonces los divisores de cero de W son los elementos para los cuales alguna signatura es cero; de lo contrario, los divisores de cero son exactamente el ideal fundamental.

Si k es un cuerpo ordenado con cono positivo P entonces la ley de inercia de Sylvester se cumple para formas cuadráticas sobre k y la firma define un homomorfismo de anillo desde W(k) hasta Z, con núcleo un ideal primo K_P. Estos ideales primos están en biyección con los ordenamientos X_k de k y constituyen el espectro ideal primo mínimo MinSpec W(k) de W(k). La biyección es un homeomorfismo entre MinSpec W(k) con la topología de Zariski y el conjunto de ordenamientos X_k con la topología de Harrison.

La potencia n del ideal fundamental se genera de forma aditiva mediante las formas n de Pfister.

• El anillo de Witt C, y de hecho cualquier campo algebraicamente cerrado o campo cuadráticamente cerrado, es Z/2Z.
• El anillo de Witt R es Z.
• El anillo Witt de un campo finito F_q con q extraño Z/4Z si q 3 mod 4 e isomorfo al anillo de grupo (Z/2Z[F*/F*²Si q ≡ 1 mod 4.
• El anillo Witt de un campo local con el ideal máximo de la norma congruente a 1 modulo 4 es isomorfo al anillo de grupo (Z/2Z[VDonde V es el grupo Klein 4.
• El anillo Witt de un campo local con el ideal máximo de la norma congruente a 3 modulo 4 es (Z/4Z[C₂Donde C₂ es un grupo cíclico de orden 2.
• El anillo de Witt Q₂ es de orden 32 y es dado por

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle.}$

Ciertos invariantes de una forma cuadrática pueden considerarse funciones de las clases de Witt. Hemos visto que la dimensión módulo 2 es una función de las clases: el discriminante también está bien definido. El invariante de Hasse de una forma cuadrática es nuevamente una función bien definida de las clases de Witt con valores en el grupo de Brauer del cuerpo de definición.

Definimos un anillo sobre K, Q(K), como un conjunto de pares (d, e) con d en K*/K*² y e en Z/2Z. La suma y la multiplicación se definen por:

${\displaystyle (d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=(-1)^{e_{1}e_{2}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2}}}}}}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1})\cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}{e_{2}d_{2} {e_{1}},e_{1}e_{2}}}}}}}}} {} {\cdot}} {\cdot} {\c_}}} {\c_}}}} {\cdot_}}}} {\c_}}} {\c_}} {\c_} {\c_}}} {\c_}} {\c_}}} {\c_} {\c_}} {\c_}}}} {\c_} {\c_}}}} {\c_}}}}}}}}} {\c_} {\c_} {\c_}}}}}} {\c_} {\c_}}}}}}}} {\c_}} {\c_}}}}}}}$

Entonces existe un homomorfismo de anillo sobreyectivo de W(K) a este que se obtiene al mapear una clase a un discriminante y rango módulo 2. El núcleo es I². Los elementos de Q pueden considerarse como extensiones cuadráticas graduadas de clasificación de K.

El triple de discriminante, rango módulo 2 e invariante de Hasse define una función desde W(K) hasta el grupo de Brauer–Wall BW(K).

Sea K un cuerpo local completo con valoración v, uniformizador π y cuerpo de residuos k de característica distinta de 2. Hay una inyección W(k) → W(K) que eleva la forma diagonal ⟨a₁,...a_n⟩ a ⟨u₁,...u_n⟩ donde u_i es una unidad de K con imagen a_i en k. Esto da como resultado

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

identificando W(k) con su imagen en W(K).

Sea K un cuerpo numérico. Para formas cuadráticas sobre K, existe un invariante de Hasse ±1 para cada lugar finito correspondiente a los símbolos de Hilbert. Los invariantes de una forma sobre un cuerpo numérico son precisamente la dimensión, el discriminante, todos los invariantes de Hasse locales y las firmas provenientes de incrustaciones reales.

Definimos el anillo de símbolos sobre K, Sym(K), como un conjunto de tripletas (d, e, f ) con d en K*/K*², e en Z/2 y f una secuencia de elementos ±1 indexada por los lugares de K, sujeta a la condición de que todos los términos de f, excepto un número finito, sean +1, que el valor en lugares complejos sea +1 y que el producto de todos los términos en f sea +1. Sea [a, b] la secuencia de símbolos de Hilbert: satisface las condiciones de f que acabamos de enunciar.

Definimos la suma y la multiplicación de la siguiente manera:

${\d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}] [-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}]f_{1}f_{2}}}$

${_0} {0} {0}} {0}}} {0} {0}} {0}}} {0} {0} {0}} {0}}} {0} {0}}} {0} {0}}} {0}} {0}}} {0} {0}}}} {0}}} {0}}} {0}} {0}}} {0}} {0}}}}}} {0}}}}}}}}}} {0}}}}}} {0}}}} {0}}}} {0} {0} {0}}} {0}}}}}} {0}}}}}}}}}}}}}}}}}} {0}}}}}}}}} {0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {0}}}}}} {0}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Entonces, existe un homomorfismo de anillo sobreyectivo de W(K) a Sym(K) que se obtiene al mapear una clase a un discriminante, rango módulo 2 y la secuencia de invariantes de Hasse. El núcleo es I³.

El anillo de símbolos es una realización del grupo Brauer-Wall.

El teorema de Hasse-Minkowski implica que hay una inyección

${\displaystyle W(\mathbf {Q})\rightarrow W(\mathbf {R})\oplus \prod _{p}W(\mathbf {Q} _{p})\.}$

Hacemos esto concreto y calculamos la imagen usando el "homomorfismo del segundo residuo" W(Q_p) → W(F_p). Compuesto con la función W(Q) → W(Q_p) obtenemos un homomorfismo de grupo ∂_p: W(Q) → W(F_p) (para p = 2 definimos ∂₂ como la valoración 2-ádica del discriminante, tomada módulo 2).

Entonces tenemos una secuencia exacta dividida

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow W(\mathbf {Q})\rightarrow \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F})\rightarrow 0\ }$

que puede escribirse como un isomorfismo

${\displaystyle W(\mathbf {Q})\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\ }$

donde el primer componente es la firma.

Vamos. k ser un campo de característica no igual a 2. Los poderes del ideal I formas de incluso dimensión (" ideal fundamental") en ${\displaystyle W(k)}$ forma una filtración descendente y uno puede considerar el anillo de grado asociado, que es la suma directa de los cocientes ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}$. Vamos. ${\displaystyle \langle a\rangle }$ ser la forma cuadrática ${\displaystyle ax^{2}$ considerado como un elemento del anillo Witt. Entonces... ${\displaystyle \langle a\rangle - ¿Qué?$ es un elemento I y correspondientemente un producto de la forma

${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldotsa_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle)\cdots (\langle a_{n}\rangle -\langle 1\rangle)}$

es un elemento ${\displaystyle I^{n}$ John Milnor en un documento de 1970 demostró que el mapeo de ${\displaystyle (k^{*})} {}}}}$ a ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}$ que envía ${\displaystyle (a_{1},\ldotsa_{n}}$ a ${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldotsa_{n}\rangle \rangle }$ es multilinear y mapas elementos Steinberg (elementos tales que para algunos ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$ tales que ${\displaystyle i\neq j}$ uno tiene ${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$) a cero. Esto significa que este mapeo define un homomorfismo del anillo Milnor de k al anillo de Witt de grado. Milnor mostró también que este homomorfismo envía elementos divisibles por 2 a 0 y que es subjetivo. En el mismo artículo hizo una conjetura de que este homomorfismo es un isomorfismo para todos los campos k (de características diferentes a 2). Esto se conoció como la conjetura Milnor en formas cuadráticas.

La conjetura fue probada por Dmitry Orlov, Alexander Vishik y Vladimir Voevodsky en 1996 (publicado en 2007) para el caso ${\displaystyle {\textrm {char}(k)=0}$, dando lugar a una mayor comprensión de la estructura de formas cuadráticas sobre campos arbitrarios.

El anillo de Grothendieck-Witt GW es una construcción relacionada generada por clases de isometría de espacios cuadráticos no singulares con adición dada por suma ortogonal y multiplicación dada por producto tensorial. Dado que dos espacios que difieren por un plano hiperbólico no se identifican en GW, la inversa para la adición necesita ser introducida formalmente a través de la construcción que fue descubierta por Grothendieck (ver grupo de Grothendieck). Existe un homomorfismo natural GW → Z dado por dimensión: un cuerpo es cuadráticamente cerrado si y solo si este es un isomorfismo. Los espacios hiperbólicos generan un ideal en GW y el anillo de Witt W es el cociente. La potencia exterior le da al anillo de Grothendieck-Witt la estructura adicional de un λ-anillo.

• El anillo Grothendieck-Witt de C, y de hecho cualquier campo algebraicamente cerrado o campo cuadráticamente cerrado, es Z.
• El anillo Grothendieck-Witt de R es isomorfo al anillo de grupo Z[C₂], donde C₂ es un grupo cíclico de orden 2.
• El anillo Grothendieck-Witt de cualquier campo finito de rara característica es Z ⊕ Z/2Z con la multiplicación trivial en el segundo componente. El elemento (1, 0) corresponde a la forma cuadráticaaDónde a no es un cuadrado en el campo finito.
• El anillo Grothendieck-Witt de un campo local con el ideal máximo de la norma congruente a 1 modulo 4 es isomorfo a Z ⊕Z/2Z)³.
• El anillo Grothendieck-Witt de un campo local con el ideal máximo de la norma congruente a 3 modulo 4 es Z ' ⊕ Z/4Z ⊕ Z/2Z.

Fabien Morel demostró que el anillo de Grothendieck-Witt de un campo perfecto es isomorfo al grupo de homotopía estable motívica de esferas π_0,0(S^0,0) (véase "A¹ teoría de homotopía").

Se dice que dos campos son equivalentes de Witt si sus anillos de Witt son isomorfos.

Para los cuerpos globales existe un principio de local a global: dos cuerpos globales son equivalentes de Witt si y solo si existe una biyección entre sus lugares de tal manera que los cuerpos locales correspondientes sean equivalentes de Witt. En particular, dos cuerpos numéricos K y L son equivalentes de Witt si y solo si existe una biyección T entre los lugares de K y los lugares de L y un isomorfismo de grupo t entre sus grupos de clase cuadrada, preservando los símbolos de Hilbert de grado 2. En este caso, el par (T, t) se denomina una equivalencia de reciprocidad o una equivalencia de símbolo de Hilbert de grado 2. También se han estudiado algunas variaciones y extensiones de esta condición, como la "equivalencia de símbolo de Hilbert de grado l igual".

Los grupos de Witt también pueden definirse de la misma manera para formas antisimétricas, y para formas cuadráticas, y más generalmente para formas ε-cuadráticas, sobre cualquier *-anillo R.

Los grupos resultantes (y sus generalizaciones) se conocen como los grupos L simétricos de dimensión par L^2k(R) y los grupos L cuadráticos de dimensión par L_2k(R). Los grupos L cuadráticos son 4-periódicos, siendo L₀(R) el grupo de Witt de las formas (1)-cuadráticas (simétricas), y L₂(R) el grupo de Witt de las formas (−1)-cuadráticas (antisimétricas); los grupos L simétricos no son 4-periódicos para todos los anillos, por lo que proporcionan una generalización menos exacta.

grupos L son objetos centrales en la teoría de la cirugía y forman uno de los tres términos de la secuencia exacta de la cirugía.

• Altura reducida de un campo

• Conner, Pierre E.; Perlis, Robert (1984). A Survey of Trace Forms of Algebraic Number Fields. Serie en Matemáticas Puras. Vol. 2. World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017.
• Garibaldi, Skip; Merkurjev, Alexander; Serre, Jean-Pierre (2003). Invariantes cohomológicos en Galois cohomology. Serie de conferencias universitarias. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción al Cuadrático Formas sobre campos. Estudios de posgrado en Matemáticas. Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Lang, Serge (2002), Álgebra, Textos de Graduación en Matemáticas, vol. 211 (Revisado tercera edición), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados. Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
• Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). Formas bilineales simétricas. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
• Witt, Ernst (1936), "Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 176 (3): 31–44, Zbl 0015.05701

• Balmer, Paul (2005). "Grupos de baño". En Friedlander, Eric M.; Grayson, D. R. (eds.). Handbook of K- Teoría. Vol. 2. Springer-Verlag. pp. 539-579. ISBN 3-540-23019-X. Zbl 1115.19004.

• Anillos de Witt en la enciclopedia Springer de las matemáticas