Grupo weyl

En matemáticas, en particular en la teoría de las álgebras de Lie, el grupo de Weyl (llamado así por Hermann Weyl) de un sistema de raíces Φ es un subgrupo del grupo de isometría de ese sistema de raíces. En concreto, es el subgrupo que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces, y como tal es un grupo de reflexión finito. De hecho, resulta que la mayoría de los grupos de reflexión finitos son grupos de Weyl. En resumen, los grupos de Weyl son grupos de Coxeter finitos y son ejemplos importantes de estos.

El grupo de Weyl de un grupo de Lie semisimple, un álgebra de Lie semisimple, un grupo algebraico lineal semisimple, etc. es el grupo de Weyl del sistema de raíces de ese grupo o álgebra.

Definición y ejemplos

Vamos CCPR CCPR {displaystyle Phi } ser un sistema raíz en un espacio euclidiano V{displaystyle V}. Para cada raíz α α ▪ ▪ CCPR CCPR {displaystyle alpha in Phi }, vamos sα α {displaystyle s_{alpha } denota la reflexión sobre el hiperplano perpendicular a α α {displaystyle alpha }, que se da explícitamente

sα α ()v)=v− − 2()v,α α )()α α ,α α )α α {displaystyle s_{alpha }(v)=v-2{frac {(v,alpha)}{(alphaalpha)}}alpha }}},

Donde ()⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ ){displaystyle (cdotcdot)} es el producto interno en V{displaystyle V}. El grupo Weyl W{displaystyle W. de CCPR CCPR {displaystyle Phi } es el subgrupo del grupo ortogonal O()V){displaystyle O(V)} generado por todos los sα α {displaystyle s_{alpha }Es. Por definición de un sistema raíz, cada uno sα α {displaystyle s_{alpha } preserves CCPR CCPR {displaystyle Phi }, de lo que se desprende que W{displaystyle W. es un grupo finito.

En el caso del A2{displaystyle A_{2} sistema raíz, por ejemplo, los hiperplanos perpendiculares a las raíces son sólo líneas, y el grupo Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero, como se indica en la figura. Como grupo, W{displaystyle W. es isomorfo al grupo de permutación sobre tres elementos, que podemos pensar como los vértices del triángulo. Tenga en cuenta que en este caso, W{displaystyle W. no es el grupo de simetría completa del sistema raíz; una reserva de rotación de 60 grados CCPR CCPR {displaystyle Phi } pero no es un elemento W{displaystyle W..

Podemos considerar también el An{displaystyle A_{n} sistema raíz. En este caso, V{displaystyle V} es el espacio de todos los vectores en Rn+1{displaystyle mathbb {R} {n+1} cuyas entradas son cero. Las raíces consisten en los vectores de la forma ei− − ej,iل ل j{displaystyle E_{i}-e_{j},ineq j}, donde ei{displaystyle E_{i} es i{displaystyle i}elemento de base estándar para Rn+1{displaystyle mathbb {R} {n+1}. La reflexión asociada a tal raíz es la transformación de V{displaystyle V} obtenido mediante el intercambio de i{displaystyle i}y j{displaystyle j}a entradas de cada vector. El grupo Weyl para An{displaystyle A_{n} es entonces el grupo de permutación n+1{displaystyle n+1} elementos.

Cámaras Weyl

Si CCPR CCPR ⊂ ⊂ V{displaystyle Phi subset V} es un sistema raíz, podemos considerar el hiperplano perpendicular a cada raíz α α {displaystyle alpha }. Recordad que sα α {displaystyle s_{alpha } denota la reflexión sobre el hiperplano y que el grupo Weyl es el grupo de transformaciones de V{displaystyle V} generado por todos los sα α {displaystyle s_{alpha }Es. El complemento del conjunto de hiperplanos está desconectado, y cada componente conectado se llama un Sala de Weyl. Si hemos fijado un conjunto particular Δ de raíces simples, podemos definir el fundamentales Sala de Weyl asociado a Δ como el conjunto de puntos v▪ ▪ V{displaystyle vin V} tales que 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()α α ,v)■0{displaystyle (alphav)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60837a7e70ef63133f5f70bc3f73ec77c72ebe67" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.719ex; height:2.843ex;"/> para todos α α ▪ ▪ Δ Δ {displaystyle alpha in Delta }.

Desde las reflexiones sα α ,α α ▪ ▪ CCPR CCPR {displaystyle s_{alpha },,alpha in Phi } preservar CCPR CCPR {displaystyle Phi }, también preservan el conjunto de hiperplanos perpendiculares a las raíces. Así, cada elemento del grupo Weyl permuta las cámaras Weyl.

La figura ilustra el caso del sistema raíz A2. Los "hiperplanos" (en este caso, unidimensional) ortogonales a las raíces se indican mediante líneas discontinuas. Los seis sectores de 60 grados son las cámaras de Weyl y la región sombreada es la cámara de Weyl fundamental asociada a la base indicada.

Un teorema general básico sobre las cámaras de Weyl es este:

Theorem: El grupo Weyl actúa libremente y transitivamente en las cámaras Weyl. Así, el orden del grupo Weyl es igual al número de cámaras Weyl.

Un resultado relacionado es este:

Theorem: Arreglar un Sala de Weyl C{displaystyle C}. Entonces para todos v▪ ▪ V{displaystyle vin V}, el Weyl-orbit de v{displaystyle v} contiene exactamente un punto en el cierre C̄ ̄ {displaystyle {bar {}}} de C{displaystyle C}.

Estructura del grupo Coxeter

Grupo electrógeno

Un resultado clave sobre el grupo Weyl es este:

TheoremSi Δ Δ {displaystyle Delta } es la base para CCPR CCPR {displaystyle Phi }, entonces el grupo Weyl es generado por las reflexiones sα α {displaystyle s_{alpha } con α α {displaystyle alpha } dentro Δ Δ {displaystyle Delta }.

Es decir, el grupo generado por las reflexiones sα α ,α α ▪ ▪ Δ Δ ,{displaystyle s_{alpha },,alpha in Delta} es el mismo que el grupo generado por las reflexiones sα α ,α α ▪ ▪ CCPR CCPR {displaystyle s_{alpha },,alpha in Phi }.

Relaciones

Mientras tanto, si α α {displaystyle alpha } y β β {displaystyle beta } están dentro Δ Δ {displaystyle Delta }, entonces el diagrama de Dynkin para CCPR CCPR {displaystyle Phi } relativa a la base Δ Δ {displaystyle Delta } nos dice algo sobre cómo el par {}sα α ,sβ β }{displaystyle {s_{alpha }, s_{beta } Se comporta. Específicamente, supongamos v{displaystyle v} y v.{displaystyle v'} son los vértices correspondientes en el diagrama Dynkin. Luego tenemos los siguientes resultados:

• Si no hay vínculo entre v{displaystyle v} y v.{displaystyle v'}, entonces sα α {displaystyle s_{alpha } y sβ β {displaystyle s_{beta}} Comute. Desde sα α {displaystyle s_{alpha } y sβ β {displaystyle s_{beta}} cada uno tiene orden dos, esto es equivalente a decir que ()sα α sβ β )2=1{beta}=1}.
• Si hay un vínculo entre v{displaystyle v} y v.{displaystyle v'}, entonces ()sα α sβ β )3=1{beta}=1}.
• Si hay dos lazos entre v{displaystyle v} y v.{displaystyle v'}, entonces ()sα α sβ β )4=1{beta}=1}.
• Si hay tres lazos entre v{displaystyle v} y v.{displaystyle v'}, entonces ()sα α sβ β )6=1{beta}=1}.

La reclamación anterior no es difícil de verificar, si simplemente recordamos lo que el diagrama Dynkin nos dice sobre el ángulo entre cada par de raíces. Si, por ejemplo, no hay vínculo entre los dos vértices, entonces α α {displaystyle alpha } y β β {displaystyle beta } son ortogonales, de los cuales se sigue fácilmente que las reflexiones correspondientes se comunican. Más generalmente, el número de enlaces determina el ángulo Silencio Silencio {displaystyle theta } entre las raíces. El producto de las dos reflexiones es entonces una rotación por ángulo 2Silencio Silencio {displaystyle 2theta} en el avión atravesado por α α {displaystyle alpha } y β β {displaystyle beta }, como el lector puede verificar, de la cual la reclamación anterior sigue fácilmente.

Como grupo de Coxeter

Los grupos de Weyl son ejemplos de grupos de reflexión finitos, ya que son generados por reflexiones; los grupos abstractos (no considerados como subgrupos de un grupo lineal) son en consecuencia grupos de Coxeter finitos, lo que les permite ser clasificados por su diagrama de Coxeter-Dynkin. Ser un grupo de Coxeter significa que un grupo Weyl tiene una clase especial de presentación en la que cada generador x_i es del orden dos, y las relaciones distintas x_i²= 1 son de la forma (x_ix_j)^m_ij=1. Los generadores son las reflexiones dadas por simples raíces, y m_ij es 2, 3, 4 o 6 dependiendo de si las raíces i y j hacer un ángulo de 90, 120, 135 o 150 grados, es decir, si en el diagrama de Dynkin no están conectados, conectados por un borde simple, conectados por un borde doble, o conectados por un borde triple. Ya hemos notado estas relaciones en los puntos de bala anteriores, pero decir que W{displaystyle W. es un grupo de Coxeter, estamos diciendo que esos son sólo relaciones en W{displaystyle W..

Los grupos Weyl tienen una función de orden y longitud Bruhat en términos de esta presentación: la longitud de un elemento del grupo Weyl es la longitud de la palabra más corta que representa ese elemento en términos de estos generadores estándar. Hay un elemento único más largo de un grupo Coxeter, que es opuesto a la identidad en el orden Bruhat.

Grupos de Weyl en entornos algebraicos, teóricos de grupos y geométricos

Arriba, el grupo de Weyl se definió como un subgrupo del grupo de isometría de un sistema raíz. También hay varias definiciones de grupos de Weyl específicas para varios contextos teóricos y geométricos de grupos (álgebra de Lie, grupo de Lie, espacio simétrico, etc.). Para cada una de estas formas de definir los grupos de Weyl, es un teorema (generalmente no trivial) que es un grupo de Weyl en el sentido de la definición al principio de este artículo, es decir, el grupo de Weyl de algún sistema raíz asociado con el objeto. Una realización concreta de tal grupo de Weyl generalmente depende de una elección, p. de subálgebra de Cartan para un álgebra de Lie, de toro máximo para un grupo de Lie.

El grupo de Weyl de un grupo de Lie compacto conectado

Vamos K{displaystyle K} ser un compacto conectado Grupo de mentira y dejar T{displaystyle T} ser un torus maximal en K{displaystyle K}. Luego presentamos la normalizador de T{displaystyle T} dentro K{displaystyle K}, denotado N()T){displaystyle N(T)} y definidas

N()T)={}x▪ ▪ KSilencioxtx− − 1▪ ▪ T,para todost▪ ▪ T}{displaystyle N(T)={xin K habitxtx^{-1}in T,,{text{ for all }tin T..

También definimos el centralizador de T{displaystyle T} dentro K{displaystyle K}, denotado Z()T){displaystyle Z(T)} y definidas

Z()T)={}x▪ ▪ KSilencioxtx− − 1=tpara todost▪ ▪ T}{displaystyle Z(T)={xin K habitxtx^{-1}=t,{text{for all }tin T..

El grupo Weyl W{displaystyle W. de K{displaystyle K} (en relación con el torus maximal dado T{displaystyle T}) se define inicialmente como

W=N()T)/T{displaystyle W=N(T)/T}.

Eventualmente, uno prueba que Z()T)=T{displaystyle Z(T)=T}, en cuyo punto uno tiene una descripción alternativa del grupo Weyl

W=N()T)/Z()T){displaystyle W=N(T)/Z(T)}.

Ahora, uno puede definir un sistema raíz CCPR CCPR {displaystyle Phi } asociado a la pareja ()K,T){displaystyle (K,T)}; las raíces son los pesos no cero de la acción conjunta de T{displaystyle T} en el álgebra de Lie K{displaystyle K}. Para cada uno α α ▪ ▪ CCPR CCPR {displaystyle alpha in Phi }, uno puede construir un elemento xα α {displaystyle x_{alpha}} de N()T){displaystyle N(T)} cuya acción T{displaystyle T} tiene la forma de reflexión. Con un poco más de esfuerzo, se puede demostrar que estas reflexiones generan todas N()T)/Z()T){displaystyle N(T)/Z(T)}. Así, al final, el grupo Weyl definido como N()T)/T{displaystyle N(T)/T} o N()T)/Z()T){displaystyle N(T)/Z(T)} es isomorfa al grupo Weyl del sistema raíz CCPR CCPR {displaystyle Phi }.

En otros entornos

Para un álgebra de Lie semisimple compleja, el grupo de Weyl se define simplemente como el grupo de reflexión generado por las reflexiones en las raíces: la realización específica del sistema de raíces depende de la elección de la subálgebra de Cartan.

Para un grupo de Lie G que cumple ciertas condiciones, dado un toroide T < G (que no tiene por qué ser máximo), el grupo de Weyl con respecto a ese toro se define como el cociente del normalizador del toro N = N(T) = N_G(T) por el centralizador de el toroide Z = Z(T) = Z_G( T),

W()T,G):=N()T)/Z()T).{displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T). }

El grupo W es finito – Z es de índice finito en N. Si T = T₀ es un torus maximal (por lo que equivale a su propio centralizador: Z()T0)=T0{displaystyle Z(T_{0}=T_{0}) entonces el cociente resultante N/Z = N/T se llama el Grupo Weyl de G, y denotado W()G). Tenga en cuenta que el conjunto de cociente específico depende de una elección de torus maximal, pero los grupos resultantes son todos isomorfos (por un automorfismo interno de G), ya que tori maximal son conjugados.

Si G es compacto y conexo, y T es un toroide máximo, entonces el grupo de Weyl de G es isomorfo al grupo de Weyl de su álgebra de Lie, como se discutió anteriormente.

Por ejemplo, para el grupo lineal general GL, un toro maximal es el subgrupo D de matrices diagonales invertibles, cuyo normalizador son las matrices de permutación generalizadas (matrices en el forma de matrices de permutación, pero con cualquier número distinto de cero en lugar de '1' s), y cuyo grupo de Weyl es el grupo simétrico. En este caso, el mapa de cociente N → N/T se divide (a través de las matrices de permutación), por lo que el normalizador N es un producto semidirecto del toro y el grupo de Weyl, y el grupo de Weyl se puede expresar como un subgrupo de G. En general, este no es siempre el caso: el cociente no siempre se divide, el normalizador N no siempre es el producto semidirecto de W y Z, y el grupo de Weyl no siempre se puede realizar como un subgrupo de G.

Descomposición de Bruhat

Si B es un subgrupo de Borel de G, es decir, un subgrupo máximo conexo soluble y un toro máximo T = T ₀ se elige para estar en B, entonces obtenemos la descomposición de Bruhat

G=⋃ ⋃ w▪ ▪ WBwB{displaystyle G=bigcup _{win W}BwB}

lo que da lugar a la descomposición de la variedad bandera G/B en células de Schubert (ver Grassmannian).

La estructura del diagrama de Hasse del grupo está relacionada geométricamente con la cohomología de la variedad (más bien, de las formas reales y complejas del grupo), que está limitada por la dualidad de Poincaré. Así, las propiedades algebraicas del grupo de Weyl corresponden a las propiedades topológicas generales de las variedades. Por ejemplo, la dualidad de Poincaré da un emparejamiento entre celdas en dimensión k y en dimensión n - k (donde n es la dimensión de una variedad): la celda de dimensión inferior (0) corresponde al elemento de identidad del grupo de Weyl, y la celda dual de dimensión superior corresponde al elemento más largo de un grupo de Coxeter.

Analogía con grupos algebraicos

Hay una serie de analogías entre grupos algebraicos y grupos Weyl, por ejemplo, el número de elementos del grupo simétrico es n!, y el número de elementos del grupo lineal general sobre un campo finito está relacionado con el q-factorial [n]q!{displaystyle [n]_{q}; así el grupo simétrico se comporta como si fuera un grupo lineal sobre "el campo con un elemento". Esto es formalizado por el campo con un elemento, que considera Grupos Weyl para ser simples grupos algebraicos sobre el campo con un elemento.

Cohomología

Para un compacto conectado no abeliano Grupo de mentiras G, el primer grupo de cohomología del grupo Weyl W con coeficientes en el torus maximal T utilizado para definirlo, está relacionado con el grupo de automorfismo externo del normalizador N=NG()T),{displaystyle N=N_{G}(T),} como:

Fuera⁡ ⁡ ()N).. H1()W;T)⋊ ⋊ Fuera⁡ ⁡ ()G).{displaystyle operatorname {Out} (N)cong H^{1}(W;T)rtimes operatorname {Out} (G). }

Automorfismos externos del grupo Out(G) son esencialmente los automorfismos del diagrama de Dynkin, mientras que la cohomología del grupo se computa en Hämmerli, Matthey & Suter 2004 y es un abeliano primario finito 2-grupo (()Z/2)k{displaystyle (mathbf {Z}/2)} {k}); para simple Grupos de mentira tiene orden 1, 2, o 4. La cohomología del grupo 0 y 2 también está estrechamente relacionada con el normalizador.