Grupo unitario

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Grupo de matrices unitarias

En matemáticas, el grupo unitario de grado n, denotado U(n), es el grupo de n × n matrices unitarias, con la operación de grupo de multiplicación de matrices. El grupo unitario es un subgrupo del grupo lineal general GL(n, C). Grupo hiperortogonal es un nombre arcaico para el grupo unitario, especialmente sobre campos finitos. Para el grupo de matrices unitarias con determinante 1, consulte Grupo unitario especial.

En el caso simple n = 1, el grupo U(1) corresponde al grupo circular, que consta de todos los números complejos con valor absoluto 1, bajo multiplicación. Todos los grupos unitarios contienen copias de este grupo.

El grupo unitario U(n) es un grupo de Lie real de dimensión n². El álgebra de mentira de U(n) consta de n × n matrices sesgadas-hermitianas, con el corchete de Lie dado por el conmutador.

El grupo unitario general (también llamado grupo de semejanzas unitarias) está formado por todas las matrices A tales que A^∗A es un múltiplo distinto de cero de la matriz identidad, y es simplemente el producto del grupo unitario con el grupo de todos los múltiplos positivos de la matriz identidad.

Propiedades

Dado que el determinante de una matriz unitaria es un número complejo con norma $1$ , el determinante da un homomorfismo de grupo

det colon operatorname {U} (n)to operatorname {U} (1).

El núcleo de este homomorfismo es el conjunto de matrices unitarias con determinante $1$ . Este subgrupo se denomina grupo unitario especial, denominado $SU(n)$ . Entonces tenemos una sucesión exacta corta de grupos de Lie:

1to operatorname {SU} (n)to operatorname {U} (n)to operatorname {U} (1)to 1.

El mapa anterior $U(n)$ a $U(1)$ tiene una sección: podemos ver $U(1)$ como el subgrupo de $U(n)$ que están en diagonal con $e iθ$ en la esquina superior izquierda y $1$ en el resto de la diagonal Por lo tanto, $U(n)$ es un producto semidirecto de $U(1)$ con $SU(n)$ .

El grupo unitario $U(n)$ no es abeliano para $n > 1$ . El centro de $U(n)$ es el conjunto de matrices escalares $λI$ con $λ \in U(1)$ ; esto se sigue del lema de Schur. Entonces, el centro es isomorfo a $U(1)$ . Dado que el centro de $U(n)$ es un subgrupo normal abeliano $1$ -dimensional de $U(n)$ , el grupo unitario no es semisimple, sino reductivo.

Topología

El grupo unitario U(n) está dotado de la topología relativa como un subconjunto de M(n, C ), el conjunto de todas las matrices complejas n × n, que es a su vez homeomorfa a un espacio euclidiano de 2n² dimensiones.

Como espacio topológico, U(n) es tanto compacto como conexo. Para mostrar que U(n) es conexa, recuerda que cualquier matriz unitaria A puede ser diagonalizada por otra matriz unitaria S. Cualquier matriz unitaria diagonal debe tener números complejos de valor absoluto 1 en la diagonal principal. Por lo tanto, podemos escribir

{displaystyle A=S,operatorname {diag} left(e^{itheta _{1}},dotse^{itheta _{n}}right),S^{-1}.}

Una ruta en U(n) desde la identidad hasta A viene dada por

{displaystyle tmapsto S,operatorname {diag} left(e^{ittheta _{1}},dotse^{ittheta _{n}}right),S^{-1}.}

El grupo unitario no está simplemente conectado; el grupo fundamental de U(n) es cíclico infinito para todo n:

pi _{1}(operatorname {U} (n))cong mathbf {Z}.

Para ver esto, tenga en cuenta que la división anterior de U(n) como un producto semidirecto de SU(n) y U(1) induce una estructura de producto topológico en U(n), de modo que

pi _{1}(operatorname {U} (n))cong pi _{1}(operatorname {SU} (n))times pi _{1}(operatorname {U} (1)).

Ahora el primer grupo unitario U(1) es topológicamente un círculo, que es bien conocido por tener un grupo fundamental isomorfo a Z, mientras $operatorname {SU} (n)$ simplemente está conectado.

El mapa de determinantes det: U(n) → U(1) induce un isomorfismo de grupos fundamentales, con la división U(1) → U(n) induciendo el inverso.

El grupo Weyl de U(n) es el grupo simétrico S_n, que actúa sobre el toro diagonal permutando las entradas:

{displaystyle operatorname {diag} left(e^{itheta _{1}},dotse^{itheta _{n}}right)mapsto operatorname {diag} left(e^{itheta _{sigma (1)}},dotse^{itheta _{sigma (n)}}right)}

Grupos relacionados

Propiedad 2 de 3

El grupo unitario es la intersección triple de los grupos ortogonal, complejo y simpléctico:

{displaystyle operatorname {U} (n)=operatorname {O} (2n)cap operatorname {GL} (n,mathbf {C})cap operatorname {Sp} (2n,mathbf {R}).}

Por lo tanto, una estructura unitaria puede verse como una estructura ortogonal, una estructura compleja y una estructura simpléctica, que deben ser compatibles (lo que significa que uno usa el mismo J en la estructura compleja y la forma simpléctica, y que esta J es ortogonal; escribir todos los grupos como grupos de matrices fija una J (que es ortogonal) y asegura la compatibilidad).

De hecho, es la intersección de cualquier dos de estos tres; así, una estructura ortogonal y compleja compatible induce una estructura simpléctica, y así sucesivamente.

A nivel de ecuaciones, esto se puede ver de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{array}{r|r}{text{Symplectic}}&A^{mathsf {T}}JA=J\hline {text{Complex}}&A^{-1}JA=J\hline {text{Orthogonal}}&A^{mathsf {T}}=A^{-1}end{array}}}

Dos cualesquiera de estas ecuaciones implican la tercera.

Al nivel de las formas, esto se puede ver al descomponer una forma hermítica en sus partes real e imaginaria: la parte real es simétrica (ortogonal) y la parte imaginaria es asimétrica (simpléctica), y estas están relacionadas por la estructura compleja (que es la compatibilidad). En una variedad casi Kähler, se puede escribir esta descomposición como $h = g + iω$ , donde $h$ es la forma hermitiana, $g$ es la métrica de Riemann, $i$ es la estructura casi compleja y $ω$ es la estructura casi simpléctica.

Desde el punto de vista de los grupos de Lie, esto se puede explicar en parte de la siguiente manera: O(2n) es el subgrupo compacto máximo de GL(2n, R) y U(n) es el subgrupo compacto máximo de ambos GL (n, C) y Sp(2n). Así, la intersección O(2n) ∩ GL(n, C) o O(2n) ∩ Sp(2n) es el subgrupo compacto máximo de ambos, por lo que U(n). Desde esta perspectiva, lo inesperado es la intersección GL(n, C) ∩ Sp(2n) = U(n).

Grupos unitarios especiales y unitarios proyectivos

Así como el grupo ortogonal O(n) tiene como subgrupo el grupo ortogonal especial SO(n) y el grupo ortogonal proyectivo PO(n) como cociente, y el grupo ortogonal especial proyectivo PSO(n) como subcociente, el grupo unitario U(n) tiene asociado el grupo unitario especial SU(n), el grupo unitario proyectivo PU(n), y el grupo unitario especial proyectivo PSU(n). Estos están relacionados como por el diagrama conmutativo a la derecha; en particular, ambos grupos proyectivos son iguales: PSU(n) = PU(n).

Lo anterior es para el grupo unitario clásico (sobre los números complejos) – para grupos unitarios sobre campos finitos, uno obtiene de forma similar grupos unitarios y proyectivos especiales, pero en general ${displaystyle operatorname {PSU} left(n,q^{2}right)neq operatorname {PU} left(n,q^{2}right)}$ .

Estructura G: casi hermítica

En el lenguaje de las estructuras G, una variedad con una estructura U(n) es casi una variedad hermitiana.

Generalizaciones

Desde el punto de vista de la teoría de Lie, el grupo unitario clásico es una forma real del grupo Steinberg ${}^{2}!A_{n}$ , que es un grupo algebraico que surge de la combinación de la diagrama automorfismo del grupo lineal general (reversando el diagrama Dynkin A_n, que corresponde a transponer inverso) y el campo automorfismo de la prórroga C/R (conjugación llamada compleja). Ambos automorfismos son automorfismos del grupo algebraico, tienen orden 2, y conmutación, y el grupo unitario es los puntos fijos del automorfismo del producto, como grupo algebraico. El grupo unitario clásico es una forma real de este grupo, correspondiente a la forma hermitiana estándar Ψ, que es positiva definida.

Esto se puede generalizar de varias maneras:

generalizar a otras formas hermitianas produce grupos unitarios indefinidos U(p, q);
la extensión de campo puede ser reemplazada por cualquier grado 2 álgebra separable, sobre todo un grado 2 extensión de un campo finito;
generalizar a otros diagramas produce otros grupos de tipo Lie, a saber, los otros grupos Steinberg ${displaystyle {}^{2}!D_{n},{}^{2}!E_{6},{}^{3}!D_{4},}$ (además de ${}^{2}!A_{n}$ ) y grupos Suzuki-Ree
${}^{2}!B_{2}left(2^{2n+1}right),{}^{2}!F_{4}left(2^{2n+1}right),{}^{2}!G_{2}left(3^{2n+1}right);$
considerando un grupo unitario generalizado como un grupo algebraico, uno puede tomar sus puntos sobre varios álgebras.

Formas indefinidas

De forma análoga a los grupos ortogonales indefinidos, se puede definir un grupo unitario indefinido, considerando las transformadas que conservan una forma hermítica dada, no necesariamente definida positiva (pero generalmente tomada como no degenerada). Aquí se trabaja con un espacio vectorial sobre los números complejos.

Dada una forma hermitiana Ψ en un espacio vectorial complejo V, el grupo unitario U(Ψ) es el grupo de transformadas que conservan la forma: la transformada M tal que Ψ(Mv, Mw) = Ψ(v, w) para todos los v, w ∈ V. En términos de matrices, representando la forma por una matriz denotada por Φ, esto dice que M^∗ΦM = Φ.

Al igual que para las formas simétricas sobre los reales, las formas hermitianas están determinadas por la firma, y todas son unitariamente congruentes con una forma diagonal con p entradas de 1 en la diagonal y q entradas de −1. La suposición no degenerada es equivalente a p + q = n. En una base estándar, esto se representa como una forma cuadrática como:

lVert zrVert _{Psi }^{2}=lVert z_{1}rVert ^{2}+dots +lVert z_{p}rVert ^{2}-lVert z_{p+1}rVert ^{2}-dots -lVert z_{n}rVert ^{2}

y como forma simétrica como:

{displaystyle Psi (w,z)={bar {w}}_{1}z_{1}+cdots +{bar {w}}_{p}z_{p}-{bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-cdots -{bar {w}}_{n}z_{n}.}

El grupo resultante se denomina U(p,q).

Campos finitos

Sobre el campo finito con q = p^r elementos, F_q, hay un campo de extensión quadratic único, F_q², con orden 2 automorfismo $alpha colon xmapsto x^{q}$ (rel poder del automorfismo Frobenius). Esto permite definir una forma hermitiana en un F_q² espacio vectorial V, como un F_q-bilinear mapa $Psi colon Vtimes Vto K$ tales que ${displaystyle Psi (w,v)=alpha left(Psi (v,w)right)}$ y ${displaystyle Psi (w,cv)=cPsi (w,v)}$ para c ▪ F_q². Además, todas las formas hermitianas no degeneradas en un espacio vectorial sobre un campo finito son unitariamente congruentes con el estándar, representado por la matriz de identidad; es decir, cualquier forma hermitiana es unitariamente equivalente a

{displaystyle Psi (w,v)=w^{alpha }cdot v=sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}}

Donde $w_{i},v_{i}$ representan las coordenadas de w, v ▪ V en particular F_q²-basis de la n- espacio dimensional V (Grove 2002, Thm. 10.3).

Así se puede definir un (unique) grupo unitario de dimensión n para la prórroga F_q²/F_q, denotado como U(n, q) o U(n, q²) dependiendo del autor. El subgrupo del grupo unitario compuesto por matrices de determinante 1 se llama el grupo unitario especial y denotado SUn, q) o SUn, q²). Para comodidad, este artículo utilizará el U(n, q²) convención. El centro de U(n, q²) tiene orden q + 1 y consiste en las matrices escalar que son unitarias, que son esas matrices CI_V con ${displaystyle c^{q+1}=1}$ . El centro del grupo unitario especial tiene orden gcd(n, q + 1) y consta de los escalares unitarios que también tienen orden divisorio n. El cociente del grupo unitario por su centro se llama el grupo unitario de proyecto, PU(n, q²), y el cociente del grupo unitario especial por su centro es el grupo unitario especial PSUn, q²). En la mayoría de los casosn ■ 1 y ()n, q²∉ {2, 2²), (2, 3²), (3, 2²)), SUn, q²) es un grupo perfecto PSUn, q²) es un grupo simple finito (Grove 2002, Thm. 11.22 y 11.26).

Álgebras separables de grado 2

Más generalmente, dado un campo k y un k-álgebra K separable de grado 2 (que puede ser una extensión del campo pero necesita no ser), se pueden definir grupos unitarios con respecto a esta extensión.

Primero, hay un único k-automorfismo K $amapsto {bar {a}}$ que es una involución y fija exactamente k () ${displaystyle a={bar {a}}}$ si a ▪ k). Esto generaliza la conjugación compleja y la conjugación de extensiones de campo finitos de grado 2 y permite definir formas y grupos unitarios como arriba.

Grupos algebraicos

Las ecuaciones que definen un grupo unitario son ecuaciones polinómicas sobre k (pero no terminó) K): para la forma estándar $Governing = I$ , las ecuaciones se dan en matrices como $A Alternativa A = I$ , donde ${displaystyle A^{*}={bar {A}}^{mathsf {T}}}$ es la transposición conyugal. Dada una forma diferente, son $A Alternativa CCPR A CCPR$ . El grupo unitario es así un grupo algebraico, cuyos puntos sobre a k- álgebra R son dados por:

{displaystyle operatorname {U} (n,K/k,Phi)(R):=left{Ain operatorname {GL} (n,Kotimes _{k}R):A^{*}Phi A=Phi right}.}

Para la extensión de campo C/R y la forma hermitiana estándar (definida positiva), estos producen un grupo algebraico con puntos reales y complejos dado por:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {U} (n,mathbf {C} /mathbf {R})(mathbf {R})&=operatorname {U} (n)\operatorname {U} (n,mathbf {C} /mathbf {R})(mathbf {C})&=operatorname {GL} (n,mathbf {C}).end{aligned}}}

De hecho, el grupo unitario es un grupo algebraico lineal.

Grupo unitario de un módulo cuadrático

El grupo unitario de un módulo cuadrático es una generalización del grupo algebraico lineal U recién definido, que incorpora como casos especiales muchos grupos algebraicos clásicos diferentes. La definición se remonta a la tesis de Anthony Bak.

Para definirlo, uno tiene que definir primero los módulos cuadráticos:

Vamos R ser un anillo con antiautomorfismo J, $varepsilon in R^{times }$ tales que ${displaystyle r^{J^{2}}=varepsilon rvarepsilon ^{-1}}$ para todos r dentro R y $varepsilon ^{J}=varepsilon ^{-1}$ . Define

{displaystyle {begin{aligned}Lambda _{text{min}}&:=left{rin R: r-r^{J}varepsilon right},\Lambda _{text{max}}&:=left{rin R: r^{J}varepsilon =-rright}.end{aligned}}}

Vamos $▪ R$ ser un subgrupo aditivo R, entonces se llama parámetro formulario si ${displaystyle Lambda _{text{min}}subseteq Lambda subseteq Lambda _{text{max}}}$ y $r^{J}Lambda rsubseteq Lambda$ . Un par $() R, \geq)$ tales que R es un anillo y ه un parámetro de formulario se llama anillo de forma.

Vamos M ser un R- Mobiliario y f a J- Forma esquilinata en M (es decir, ${displaystyle f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s}$ para cualquier $x, y in M$ y ${displaystyle r,sin R}$ ). Define ${displaystyle h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}varepsilon in R}$ y ${displaystyle q(x):=f(x,x)in R/Lambda }$ , entonces f se dice que definir el ▪ Forma cuadrada $() h, q)$ on M. A módulo cuadrático sobre $() R, \geq)$ es un triple $() M, h, q)$ tales que M es un R- Mobiliario y $() h, q)$ es una forma ≥-quadratic.

A cualquier módulo cuadrático $(M, h, q)$ definido por un J-forma sesquilineal f en M sobre un anillo de forma $(R, Λ)$ se puede asociar el grupo unitario

{displaystyle U(M):={sigma in GL(M): forall x,yin M,h(sigma x,sigma y)=h(x,y){text{ and }}q(sigma x)=q(x)}.}

El caso especial donde $RESPECTO = RESPECTO max$ , con J cualquier involución no-trivial (es decir, ${displaystyle Jneq id_{R},J^{2}=id_{R}}$ y $ε = 1 -$ devuelve el grupo unitario "clásico" (como grupo algebraico).

Invariantes de polinomios

Los grupos unitarios son los automorfismos de dos polinomios en variables reales no conmutativas:

{displaystyle {begin{aligned}C_{1}&=left(u^{2}+v^{2}right)+left(w^{2}+x^{2}right)+left(y^{2}+z^{2}right)+ldots \C_{2}&=left(uv-vuright)+left(wx-xwright)+left(yz-zyright)+ldots end{aligned}}}

Estas se ven fácilmente como las partes reales e imaginarias de la forma compleja $Z{overline {Z}}$ . Los dos invariantes por separado son invariantes de O(2n) y Sp(2)n). Combinados hacen los invariantes de U(n) que es un subgrupo de ambos grupos. Las variables deben ser no-commutantes en estos invariantes de lo contrario el segundo polinomio es idénticamente cero.

Clasificación del espacio

El espacio de clasificación para U(n) se describe en el artículo Espacio de clasificación para U(n).

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