Grupo trivial

En matemáticas, a grupo trivial o grupo cero es un grupo compuesto por un solo elemento. Todos estos grupos son isomorfos, así que a menudo se habla de el grupo trivial. El único elemento del grupo trivial es el elemento de identidad, por lo que generalmente se denota como tal: 0,1,{displaystyle 0,1} o e{displaystyle e} dependiendo del contexto. Si se denota la operación del grupo ⋅ ⋅ {displaystyle ,cdot ,} entonces se define por e⋅ ⋅ e=e.{displaystyle ecdot e=e.}

El monoide trivial también es un grupo ya que su único elemento es su propio inverso y, por lo tanto, es lo mismo que el grupo trivial.

El grupo trivial es distinto del conjunto vacío, que no tiene elementos, por lo que carece de un elemento de identidad y, por lo tanto, no puede ser un grupo.

Definiciones

Dado cualquier grupo G,{displaystyle G,} el grupo que consiste sólo en el elemento de identidad es un subgrupo G,{displaystyle G,} y, siendo el grupo trivial, se llama el trivial subgrupo de G.{displaystyle G.}

El término, cuando se refiere a "G{displaystyle G. no tiene subgrupos apropiados notriviales" se refiere a los únicos subgrupos de G{displaystyle G. ser el grupo trivial {}e}{displaystyle {e}} y el grupo G{displaystyle G. en sí mismo.

Propiedades

El grupo trivial es cíclico del orden 1{displaystyle 1}; como tal puede ser denotado Z1{displaystyle mathrm {Z} _{1} o C1.{displaystyle mathrm {C} _{1} Si la operación del grupo se llama adición, el grupo trivial generalmente es denotado por 0.{displaystyle 0.} Si la operación del grupo se llama multiplicación entonces 1 puede ser una notación para el grupo trivial. Combinar estos conduce al anillo trivial en el que las operaciones de adición y multiplicación son idénticas y 0=1.{displaystyle 0=1.}

El grupo trivial sirve como objeto cero en la categoría de grupos, lo que significa que es tanto un objeto inicial como un objeto terminal.

El grupo trivial se puede hacer un grupo (bi-)ordenado equipándolo con el orden trivial no-stricto ≤ ≤ .{displaystyle ,leq.}