Grupo topológico

Los números reales forman un grupo topológico bajo adición

En matemáticas, los grupos topológicos son lógicamente la combinación de grupos y espacios topológicos, es decir, son grupos y espacios topológicos al mismo tiempo, de modo que la condición de continuidad para las operaciones de grupo conecta estas dos estructuras. juntos y, en consecuencia, no son independientes entre sí.

Los grupos topológicos se han estudiado extensamente en el período de 1925 a 1940. Haar y Weil (en 1933 y 1940 respectivamente) demostraron que las integrales y las series de Fourier son casos especiales de una clase muy amplia de grupos topológicos.

Los grupos topológicos, junto con las acciones de grupo continuas, se utilizan para estudiar simetrías continuas, que tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en física. En análisis funcional, todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico aditivo con la propiedad adicional de que la multiplicación escalar es continua; en consecuencia, muchos resultados de la teoría de grupos topológicos se pueden aplicar al análisis funcional.

Definición formal

Un grupo topológico, G, es un espacio topológico que también es un grupo tal que la operación de grupo (en este caso producto):

⋅: G × G → G, ()x, Sí.↦ xy

y el mapa de inversión:

⁻¹: G → G, x ↦ x⁻¹

son continuos. Aquí G × G se ve como un espacio topológico con la topología del producto. Se dice que una topología de este tipo es compatible con las operaciones de grupo y se denomina topología de grupo.

Verificación de la continuidad

El mapa de productos es continuo si y solo si para cualquier x, y ∈ G y cualquier vecindario W de xy en G, existen barrios U< /span> de x y V< /span> de y en G< /span> tal que U ⋅ V ⊆ W, donde U ⋅ V:= {u ⋅ v: u ∈ U, v ∈ V}. El mapa de inversión es continuo si y solo si para cualquier x ∈ G y cualquier vecindario V de x⁻¹ en G, existe un vecindario U de x en G tal que U⁻¹ ⊆ V, donde U⁻¹:= { u⁻¹: u ∈ U }.

Para demostrar que una topología es compatible con las operaciones de grupo, basta comprobar que el mapa

G × G → G, ()x, Sí.↦ xy⁻¹

es continua. Explícitamente, esto significa que para cualquier x, y ∈ G y cualquier vecindario W en G de xy⁻¹, existen barrios U de x y V de y en G tal que U ⋅ (V⁻¹) ⊆ W.

Notación adicional

Esta definición usaba notación para grupos multiplicativos; el equivalente para grupos aditivos sería que las dos operaciones siguientes son continuas:

+: G × G → G , ()x, Sí.↦ x + Sí.

− G → G , x ↦ −x.

Hausdorffness

Aunque no forma parte de esta definición, muchos autores requieren que la topología en G sea Hausdorff. Una razón de esto es que cualquier grupo topológico puede asociarse canónicamente con un grupo topológico de Hausdorff tomando un cociente canónico apropiado; esto, sin embargo, a menudo aún requiere trabajar con el grupo topológico original que no es de Hausdorff. Otras razones, y algunas condiciones equivalentes, se discuten a continuación.

Este artículo no asumirá que los grupos topológicos son necesariamente Hausdorff.

Categoría

En el lenguaje de la teoría de categorías, los grupos topológicos se pueden definir de manera concisa como objetos grupales en la categoría de espacios topológicos, de la misma manera que los grupos ordinarios son objetos grupales en la categoría de conjuntos. Tenga en cuenta que los axiomas se dan en términos de los mapas (producto binario, inverso unario e identidad nula), por lo tanto, son definiciones categóricas.

Homomorfismos

Un homomorfismo de grupos topológicos significa un homomorfismo de grupo continuo G → H. Los grupos topológicos, junto con sus homomorfismos, forman una categoría. Un homomorfismo de grupo entre grupos topológicos es continuo si y solo si es continuo en algún punto.

Un isomorfismo de grupos topológicos es un isomorfismo de grupo que también es un homeomorfismo de los espacios topológicos subyacentes. Esto es más fuerte que simplemente requerir un isomorfismo de grupo continuo: el inverso también debe ser continuo. Hay ejemplos de grupos topológicos que son isomorfos como grupos ordinarios pero no como grupos topológicos. De hecho, cualquier grupo topológico no discreto también es un grupo topológico cuando se considera con la topología discreta. Los grupos subyacentes son los mismos, pero como grupos topológicos no hay isomorfismo.

Ejemplos

Cada grupo puede convertirse trivialmente en un grupo topológico considerándolo con la topología discreta; estos grupos se denominan grupos discretos. En este sentido, la teoría de los grupos topológicos subsume la de los grupos ordinarios. La topología indiscreta (es decir, la topología trivial) también convierte a cada grupo en un grupo topológico.

Los números reales, ${displaystyle mathbb {R}$ con la topología habitual forma un grupo topológico bajo adición. Euclidean n-space ${displaystyle mathbb {R}$ⁿ es también un grupo topológico bajo adición, y más generalmente, cada espacio vectorial topológico forma un grupo (abeliano) topológico. Otros ejemplos de grupos topológicos abelianos son el grupo círculo S¹, o el toro ()S¹)ⁿ para cualquier número natural n.

Los grupos clásicos son ejemplos importantes de grupos topológicos no abelianos. Por ejemplo, el grupo lineal general GL(n,${displaystyle mathbb {R}$) de todo invertido n-por-n matrices con entradas reales se pueden ver como un grupo topológico con la topología definida por la visualización GL(n,${displaystyle mathbb {R}$) como subespacio del espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R}$^n×n. Otro grupo clásico es el grupo ortogonal O...n), el grupo de todos los mapas lineales de ${displaystyle mathbb {R}$ⁿ a sí mismo que preserva la longitud de todos los vectores. El grupo ortogonal es compacto como un espacio topológico. Gran parte de la geometría euclidiana se puede ver como estudiar la estructura del grupo ortogonal, o el grupo estrechamente relacionado O()n⋉ ${displaystyle mathbb {R}$ⁿ of isometries of ${displaystyle mathbb {R}$ⁿ.

Los grupos mencionados hasta ahora son todos grupos de Lie, lo que significa que son variedades suaves de tal manera que las operaciones del grupo son suaves, no solo continuas. Los grupos de mentira son los grupos topológicos mejor entendidos; muchas preguntas sobre grupos de Lie se pueden convertir en preguntas puramente algebraicas sobre álgebras de Lie y luego resolverlas.

Un ejemplo de un grupo topológico que no es un grupo de Lie es el grupo aditivo ${displaystyle mathbb {Q}$ de números racionales, con la topología heredada de ${displaystyle mathbb {R}$. Este es un espacio contable, y no tiene la topología discreta. Un ejemplo importante para la teoría del número es el grupo ${displaystyle mathbb {Z}$_p para un número primo p, que significa el límite inverso de los grupos finitos ${displaystyle mathbb {Z}$/pⁿ como n va al infinito. El grupo ${displaystyle mathbb {Z}$_p está bien comportado en que es compacto (de hecho, homeomorfo al conjunto Cantor), pero difiere de (real) grupos de mentira en que está totalmente desconectado. Más generalmente, hay una teoría de p-adic Grupos de mentira, incluyendo grupos compactos como GL(n,${displaystyle mathbb {Z}$_p) así como grupos locales compactos como GL(n,${displaystyle mathbb {Q}$_p), donde ${displaystyle mathbb {Q}$_p es el campo localmente compacto de números p-adic.

El grupo ${displaystyle mathbb {Z}$_p es un grupo pro-finito; es isomorfo a un subgrupo del producto ${displaystyle prod _{ngeq 1}mathbb {Z} /p^{n}$ de tal manera que su topología es inducida por la topología del producto, donde los grupos finitos ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}$ se les da la topología discreta. Otra gran clase de grupos pro-finitos importantes en la teoría de números son los grupos absolutos de Galois.

Algunos grupos topológicos pueden verse como grupos de Lie de dimensión infinita; esta frase se entiende mejor de manera informal, para incluir varias familias diferentes de ejemplos. Por ejemplo, un espacio vectorial topológico, como un espacio de Banach o un espacio de Hilbert, es un grupo topológico abeliano bajo suma. Algunos otros grupos de dimensión infinita que se han estudiado, con diversos grados de éxito, son los grupos de bucles, los grupos de Kac-Moody, los grupos de difeomorfismo, los grupos de homeomorfismo y los grupos de calibre.

En toda álgebra de Banach con identidad multiplicativa, el conjunto de elementos invertibles forma un grupo topológico bajo la multiplicación. Por ejemplo, el grupo de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert surge de esta manera.

Propiedades

Invariancia de traducción

La topología de cada grupo topológico es traducción invariable, que por definición significa que si ${displaystyle ain G,}$ multiplicación izquierda o derecha por este elemento produce un homeomorfismo ${displaystyle Gto G.}$ En consecuencia, para cualquier ${displaystyle ain G}$ y ${displaystyle Ssubseteq G,}$ el subconjunto ${displaystyle S.$ está abierto (resp. cerrado) ${displaystyle G.$ si y sólo si esto es verdad de su traducción izquierda ${displaystyle aS:={as:sin S}$ y traducción correcta ${displaystyle Sa:={sa:sin S}$Si ${displaystyle {fn}$ es una base vecinal del elemento de identidad en un grupo topológico ${displaystyle G.$ entonces para todos ${displaystyle xin X,}$${displaystyle x{\mátcal {N}:={xN:Nin {fn}$es una base de barrio ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle G.}$ En particular, cualquier topología de grupo en un grupo topológico está completamente determinada por cualquier base de barrio en el elemento de identidad. Si ${displaystyle S.$ es cualquier subconjunto de ${displaystyle G.$ y ${displaystyle U}$ es un subconjunto abierto de ${displaystyle G,}$ entonces ${displaystyle Su:$ es un subconjunto abierto de ${displaystyle G.}$

Barrios simétricos

La operación de inversión ${displaystyle gmapsto g^{-1}$ en un grupo topológico ${displaystyle G.$ es un homeomorfismo de ${displaystyle G.$ a sí mismo.

Un subconjunto ${displaystyle Ssubseteq G}$ se dice que es simétrico si ${displaystyle S^{-1}=S,}$ Donde ${displaystyle S^{-1}:=left{-1}:sin Sí.$ El cierre de cada conjunto simétrico en un grupo topológico comunitario es simétrico. Si S es cualquier subconjunto de un grupo topológico conmutativo G, entonces los siguientes conjuntos son también simétricos: S⁻¹ ∩ S, S⁻¹ ∪ S, y S⁻¹ S.

Para cualquier vecindario N en un grupo topológico conmutativo G del elemento de identidad, existe una vecindad simétrica M del elemento de identidad tal que < span class="texhtml">M⁻¹ M ⊆ N, donde tenga en cuenta que < span class="texhtml">M⁻¹ M es necesariamente una vecindad simétrica del elemento de identidad. Por lo tanto, todo grupo topológico tiene una base de vecindad en el elemento de identidad que consta de conjuntos simétricos.

Si G es un grupo conmutativo localmente compacto, entonces para cualquier vecindario N en G del elemento de identidad, existe una vecindad simétrica relativamente compacta M del elemento de identidad tal que cl M ⊆ N (donde cl M también es simétrico).

Espacio uniforme

Cada grupo topológico se puede ver como un espacio uniforme de dos maneras; la uniformidad de la izquierda convierte todas las multiplicaciones de la izquierda en mapas uniformemente continuos, mientras que la uniformidad de la derecha convierte todas las multiplicaciones de la derecha en mapas uniformemente continuos. Si G no es abeliano, entonces estos dos no tienen por qué coincidir. Las estructuras uniformes permiten hablar de nociones como completitud, continuidad uniforme y convergencia uniforme sobre grupos topológicos.

Propiedades de separación

Si U es un subconjunto abierto de un grupo topológico conmutativo G y U contienen un conjunto compacto K, entonces existe una vecindad N del elemento de identidad tal que KN ⊆ U.

Como espacio uniforme, todo grupo topológico conmutativo es completamente regular. En consecuencia, para un grupo topológico multiplicativo G con elemento de identidad 1, los siguientes son equivalentes:

1. G es una T₀-espacio (Kolmogorov);
2. G es una T₂-espacio (Hausdorff);
3. G es una T_31.2 (Tychonoff);
4. {} está cerrado G;
5. { 1 }= ∩N N, donde N es una base vecinal del elemento de identidad en G;
6. para cualquier ${displaystyle xin G}$ tales que ${displaystyle xneq 1,}$ existe un vecindario U dentro G del elemento de identidad tal que ${displaystyle xnot in U.}$

Un subgrupo de un grupo topológico conmutativo es discreto si y solo si tiene un punto aislado.

Si G no es Hausdorff, entonces se puede obtener un grupo Hausdorff pasando al grupo cociente G/K, donde K es el cierre de la identidad. Esto es equivalente a tomar el cociente de Kolmogorov de G.

Metrisabilidad

Vamos G ser un grupo topológico. Como con cualquier espacio topológico, decimos que G es metrisable si existe una métrica d on G, que induce la misma topología en ${displaystyle G.$. Una métrica d on G se llama

• izquierda-invariante (Resp. derecho-invarianteSi y sólo si ${displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2}}$(Resp. ${displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2}}$) para todos ${displaystyle a,x_{1},x_{2}in G.$ (Equivalentemente, ${displaystyle d}$ es invariable sólo en caso de que el mapa ${displaystyle xmapsto ax}$ es una isometría de ${displaystyle (G,d)}$ para cada uno ${displaystyle ain G}$).
• apropiado si y sólo si todas las bolas abiertas, ${displaystyle B(r)=ggin Gmid d(g,1) verificador}$ para ${displaystyle r]$, son pre-compactados.

El teorema de Birkhoff-Kakutani (llamado así por los matemáticos Garrett Birkhoff y Shizuo Kakutani) establece que las siguientes tres condiciones en un grupo topológico G son equivalentes:

1. G es primero contable (equivalentemente: el elemento de identidad 1 está cerrado en G, y hay una base contable de barrios para 1 en G).
2. G es metrisable (como espacio topológico).
3. Hay una métrica invariante izquierda en G que induce la topología dada en G.

Además, los siguientes son equivalentes para cualquier grupo topológico G:

1. G es un segundo espacio contable localmente compacto (Hausdorff).
2. G es un espacio polaco, localmente compacto (Hausdorff).
3. G es adecuadamente metrisable (como espacio topológico).
4. Hay una métrica adecuada e invariante G que induce la topología dada en G.

Nota: Como con el resto del artículo, asumimos aquí una topología Hausdorff. Consecuencias 4 ${displaystyle "Rightarrow"$ 3 ${displaystyle "Rightarrow"$ 2 ${displaystyle "Rightarrow"$ 1 en cualquier espacio topológico. En particular 3 ${displaystyle "Rightarrow"$ 2 bodegas, ya que en particular cualquier espacio adecuadamente metrisable es unión contable de metrisable compacto y por lo tanto separable (cf. propiedades de espacios métricos compactos) subconjuntos. The non-trivial implication 1 ${displaystyle "Rightarrow"$ 4 fue probado por primera vez por Raimond Struble en 1974. Un enfoque alternativo fue hecho por Uffe Haagerup y Agata Przybyszewska en 2006, la idea de lo que es el siguiente: Uno depende de la construcción de una métrica invariable izquierda, ${displaystyle D_{0}$, como en el caso de los primeros espacios contables. Por compactación local, las bolas cerradas de radio suficientemente pequeño son compactas, y por normalización podemos asumir que esto sostiene para el radio 1. Cierra la bola abierta, U, de radio 1 bajo multiplicación produce un subgrupo de clopen, H, de G, sobre el cual la métrica ${displaystyle D_{0}$ es apropiado. Desde H está abierto G es segundo contable, el subgrupo tiene en lo más contable muchos cosets. Ahora se utiliza esta secuencia de cosets y la métrica en H para construir una métrica adecuada G.

Subgrupos

Cada subgrupo de un grupo topológico es en sí mismo un grupo topológico cuando se le da la topología del subespacio. Cada subgrupo abierto H también está cerrado en G, ya que el complemento de H es el conjunto abierto dado por la unión de conjuntos abiertos gH para g ∈ G H . Si H es un subgrupo de G< /span> entonces el cierre de H también es un subgrupo. Del mismo modo, si H es un subgrupo normal de G, el cierre de H es normal en G.

Cocientes y subgrupos normales

Si H es un subgrupo G, el conjunto de cosets izquierdo G/H con la topología cociente se llama un espacio homogéneo para G. El mapa de referencia ${displaystyle q:Gto G/H}$ Siempre está abierto. Por ejemplo, para un entero positivo n, la esfera Sⁿ es un espacio homogéneo para el grupo de rotación Así que...n+1) dentro ${displaystyle mathbb {R}$^{n+ 1}, con Sⁿ = SO(n+1)/SO(n). Un espacio homogéneo G/H es Hausdorff si y sólo si H está cerrado G. En parte por esta razón, es natural concentrarse en subgrupos cerrados al estudiar grupos topológicos.

Si H es un subgrupo normal de G, entonces el grupo cociente G/H se convierte en un grupo topológico cuando se le da la topología cociente. Es Hausdorff si y sólo si H está cerrado G. Por ejemplo, el grupo de cocientes ${displaystyle mathbb {R} {Z}$ es isomorfo al grupo del círculo S¹.

En cualquier grupo topológico, el componente de identidad (es decir, el componente conectado que contiene el elemento de identidad) es un subgrupo normal cerrado. Si C es el componente de identidad y a es cualquier punto de G, entonces la clase lateral izquierda aC es el componente de G que contiene a. Entonces, la colección de todas las clases laterales izquierdas (o clases laterales derechas) de C en G es igual a la colección de todos los componentes de G. De ello se deduce que el grupo de cocientes G/C está totalmente desconectado.

Cierre y compacidad

En cualquier grupo topológico conmutativo, el producto (asumiendo que el grupo es multiplicativo) KC de un conjunto compacto K y un conjunto cerrado C es un conjunto cerrado. Además, para cualquier subconjunto R y S de G, (cl R)(cl S) ⊆ cl (RS).

Si H es un subgrupo de un grupo topológico conmutativo G y si N es un barrio en G del elemento de identidad tal que H ∩ cl < i>N está cerrado, luego H está cerrado. Todo subgrupo discreto de un grupo topológico conmutativo de Hausdorff es cerrado.

Teoremas de isomorfismo

Los teoremas de isomorfismo de la teoría de grupos ordinaria no siempre son ciertos en el entorno topológico. Esto se debe a que un homomorfismo biyectivo no necesita ser un isomorfismo de grupos topológicos.

Por ejemplo, una versión nativa del primer teorema isomorfismo es falsa para los grupos topológicos: si ${displaystyle f:Gto H}$ es un morfismo de grupos topológicos (es decir, un homomorfismo continuo), no es necesariamente cierto que el homomorfismo inducido ${displaystyle {tilde {f}:G/ker fto mathrm {Im} (f)}$ es un isomorfismo de grupos topológicos; será un homomorfismo bijetivo y continuo, pero no necesariamente será un homeomorfismo. En otras palabras, no admitirá necesariamente un inverso en la categoría de grupos topológicos.

Hay una versión del primer teorema isomorfismo para los grupos topológicos, que se puede decir como sigue: si ${displaystyle f:Gto H}$ es un homomorfismo continuo, luego el homomorfismo inducido de G/ker(f) a imf) es un isomorfismo si y sólo si el mapa f está abierta a su imagen.

El tercer teorema del isomorfismo, sin embargo, es cierto más o menos literalmente para los grupos topológicos, como se puede comprobar fácilmente.

El quinto problema de Hilbert

Hay varios resultados fuertes en la relación entre grupos topológicos y grupos Lie. Primero, cada homomorfismo continuo de los grupos de Lie ${displaystyle Gto H}$ es suave. Sigue que un grupo topológico tiene una estructura única de un grupo Lie si existe. Además, el teorema de Cartan dice que cada subgrupo cerrado de un grupo Lie es un subgrupo Lie, en particular un submanifold suave.

El quinto problema de Hilbert preguntaba si un grupo topológico G que es un grupo topológico múltiple debe ser un grupo de Lie. En otras palabras, ¿G tiene la estructura de una variedad suave, lo que hace que las operaciones del grupo sean suaves? Como lo muestran Andrew Gleason, Deane Montgomery y Leo Zippin, la respuesta a este problema es sí. De hecho, G tiene una estructura analítica real. Usando la estructura suave, se puede definir el álgebra de Lie de G, un objeto de álgebra lineal que determina un grupo conectado G hasta cubrir espacios. Como resultado, la solución al quinto problema de Hilbert reduce la clasificación de grupos topológicos que son variedades topológicas a un problema algebraico, aunque en general es un problema complicado.

El teorema también tiene consecuencias para clases más amplias de grupos topológicos. En primer lugar, cada grupo compacto (entendido para ser Hausdorff) es un límite inverso de grupos compactos de Lie. (Un caso importante es un límite inverso de grupos finitos, llamado grupo profinito. Por ejemplo, el grupo ${displaystyle mathbb {Z}$_p de p- enteros adictivos y el grupo absoluto Galois de un campo son grupos profinitos.) Además, cada grupo conectado localmente compacto es un límite inverso de conexión Grupos de mentira. En el otro extremo, un grupo totalmente desconectado localmente compacto siempre contiene un subgrupo abierto compacto, que es necesariamente un grupo profinito. (Por ejemplo, el grupo localmente compacto GL(n,${displaystyle mathbb {Q}$_p) contiene el subgrupo abierto compacto GL(n,${displaystyle mathbb {Z}$_p), que es el límite inverso de los grupos finitos GL(n,${displaystyle mathbb {Z}$/p^r) como r' va al infinito.)

Representaciones de grupos compactos o localmente compactos

Una acción de un grupo topológico G en un espacio topológico X es una acción de grupo de G en X tal que la función correspondiente G × X → X es continuo. Asimismo, una representación de un grupo topológico G sobre un espacio vectorial topológico real o complejo V es una acción continua de G sobre V tal que para cada g ∈ G, el mapa v ↦ gv de V a sí mismo es lineal.

Las acciones de grupo y la teoría de la representación son particularmente bien comprendidas para grupos compactos, generalizando lo que sucede para grupos finitos. Por ejemplo, cada representación finita (real o compleja) de un grupo compacto es una suma directa de representaciones irreducibles. Una representación unitaria de dimensiones infinitas de un grupo compacto puede ser descompuesta como una suma directa de Hilbert-espacio de representaciones irreducibles, que son todas finitas-dimensionales; esto es parte del teorema Peter-Weyl. Por ejemplo, la teoría de la serie Fourier describe la descomposición de la representación unitaria del grupo círculo S¹ en el complejo espacio Hilbert L²()S¹). Las representaciones irreducibles de S¹ son todos 1-dimensional, de la forma z ↦ zⁿ para enteros n (donde) S¹ es visto como un subgrupo del grupo multiplicador ${displaystyle mathbb {C}$*). Cada una de estas representaciones ocurre con multiplicidad 1 en L²()S¹).

Se han clasificado las representaciones irreducibles de todos los grupos de Lie compactos conexos. En particular, el carácter de cada representación irreducible viene dado por la fórmula del carácter de Weyl.

Más generalmente, los grupos locales compactos tienen una rica teoría de análisis armónico, porque admiten una noción natural de medida e integral, dada por la medida Haar. Cada representación unitaria de un grupo localmente compacto puede describirse como una parte integral directa de representaciones unitarias irreducibles. (La descomposición es esencialmente única si G es de Tipo I, que incluye los ejemplos más importantes como grupos abelios y grupos semisimple Lie.) Un ejemplo básico es la transformación Fourier, que descompone la acción del grupo aditivo ${displaystyle mathbb {R}$ en el espacio Hilbert L²()${displaystyle mathbb {R}$) como una parte integral directa de las representaciones unitarias irreducibles de ${displaystyle mathbb {R}$. Las representaciones unitarias irreducibles de ${displaystyle mathbb {R}$ son todos 1-dimensional, de la forma x ↦ e^2πiax para a ▪ ${displaystyle mathbb {R}$.

Las representaciones unitarias irreducibles de un grupo localmente compacto pueden ser infinitas. Un objetivo importante de la teoría de la representación, relacionado con la clasificación de Langlands de representaciones admisibles, es encontrar el doble unitario (el espacio de todas las representaciones unitarias irreducibles) para los grupos semisimple Lie. El doble unitario se conoce en muchos casos, como SL(2,${displaystyle mathbb {R}$), pero no todo.

Para un grupo abeliano localmente compacto G, cada representación unitaria irreducible tiene dimensión 1. En este caso, el doble unitario ${displaystyle {hat {}}}$ es un grupo, de hecho otro grupo localmente compacto abeliano. Pontryagin duality declara que para un grupo abeliano compacto localmente G, el doble de ${displaystyle {hat {}}}$ es el grupo original G. Por ejemplo, el grupo dual de los enteros ${displaystyle mathbb {Z}$ es el grupo círculo S¹, mientras que el grupo ${displaystyle mathbb {R}$ de números reales es isomorfo a su propio dual.

Todo grupo localmente compacto G tiene una buena provisión de representaciones unitarias irreducibles; por ejemplo, suficientes representaciones para distinguir los puntos de G (el teorema de Gelfand-Raikov). Por el contrario, la teoría de la representación para grupos topológicos que no son localmente compactos se ha desarrollado hasta ahora solo en situaciones especiales, y puede que no sea razonable esperar una teoría general. Por ejemplo, hay muchos grupos abelianos de Banach-Lie para los que cada representación en el espacio de Hilbert es trivial.

Teoría de la homotopía de los grupos topológicos

Los grupos topológicos son especiales entre todos los espacios topológicos, incluso en términos de su tipo de homotopía. Un punto básico es que un grupo topológico G determina un espacio topológico conectado por caminos, el espacio de clasificación BG (que clasifica los haces G principales sobre espacios topológicos, bajo hipótesis leves). El grupo G es isomorfo en la categoría de homotopía al espacio de bucle de BG< /i>; eso implica varias restricciones en el tipo de homotopía de G. Algunas de estas restricciones se mantienen en el contexto más amplio de los espacios H.

Por ejemplo, el grupo fundamental de un grupo topológico G es abeliano. (Más generalmente, el producto Whitehead en los grupos de homotopy G es cero.) Además, para cualquier campo k, el anillo de cohomología H*G,k) tiene la estructura de un álgebra Hopf. En vista de teoremas de estructura en álgebras Hopf por Heinz Hopf y Armand Borel, esto pone fuertes restricciones a los posibles anillos de cohomología de grupos topológicos. En particular, si G es un grupo topológico conectado con el camino cuyo anillo de cohomología racional H*G,${displaystyle mathbb {Q}$) es finito-dimensional en cada grado, entonces este anillo debe ser un álgebra graduada-commutante libre sobre ${displaystyle mathbb {Q}$, es decir, el producto tensor de un anillo polinomio en generadores de grado uniforme con un álgebra exterior en generadores de grado extraño.

En particular, para un grupo de Lie conectado G, el anillo de cohomología racional G es un álgebra exterior en generadores de grado extraño. Además, un grupo Lie conectado G tiene un subgrupo compacto maximal K, que es único hasta la conjugación, y la inclusión de K en G es una equivalencia de homotopy. Así que describir los tipos de homotopy de grupos de Lie reduce al caso de grupos compactos de Lie. Por ejemplo, el subgrupo compacto maximal SL(2,${displaystyle mathbb {R}$) es el grupo círculo SO(2), y el espacio homogéneo SL(2,${displaystyle mathbb {R}$)/SO(2) se puede identificar con el plano hiperbólico. Puesto que el plano hiperbólico es contractual, la inclusión del grupo círculo en SL(2,${displaystyle mathbb {R}$) es una equivalencia de homotopy.

Finalmente, Wilhelm Killing, Élie Cartan y Hermann Weyl clasificaron los grupos de Lie conectados compactos. Como resultado, existe una descripción esencialmente completa de los posibles tipos de homotopía de los grupos de Lie. Por ejemplo, un grupo de Lie compacto conectado de dimensión como máximo 3 es un toro, el grupo SU(2) (difeomorfo a la 3-esfera S ³), o su grupo cociente SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (difeomorfo a RP3).

Grupo topológico completo

Puede encontrar información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, en el artículo sobre filtros en topología.

Uniformidad canónica en un grupo topológico conmutativo

Este artículo supone, en adelante, que cualquier grupo topológico que consideremos es un grupo aditivo topológico comunicativo con elemento de identidad ${displaystyle 0.}$

El diagonal de ${displaystyle X}$ es el conjunto

$${displaystyle Delta _{X}:={(x,x):xin X}$$

${displaystyle Nsubseteq X}$${displaystyle 0,}$entorno canónicovicinidades canónicas alrededor ${displaystyle N}$

$${displaystyle Delta _{X}(N):={(x,y)in Xtimes X:x-yin N}=bigcup _{yin X}[(y+N)times {y}=Delta _{X}+(Ntimes {0})}$$

Para un grupo topológico ${displaystyle (X,tau),}$ el uniformidad canónica on ${displaystyle X}$ es la estructura uniforme inducida por el conjunto de todos los entornos canónicos ${displaystyle Delta (N)}$ como ${displaystyle N}$ abarca todos los barrios de ${displaystyle 0}$ dentro ${displaystyle X.}$

Es decir, es el cierre ascendente del siguiente prefiltro en ${displaystyle Xtimes X,}$

$${displaystyle left{Delta (N):N{text{ is a neighbourhood of }0{text{ in }Xright}}$$

Para un grupo aditivo conmutativo ${displaystyle X.$ un sistema fundamental de séquitos ${displaystyle {máthcal {B}}$ se llama uniformidad invariable si por cada ${displaystyle Bin {Mathcal {B},}$ ${displaystyle (x,y)in B}$ si ${displaystyle (x+z,y+z)in B}$ para todos ${displaystyle x,y,zin X.}$ Una uniformidad ${displaystyle {máthcal {B}}$ se llama traducción-invariante si tiene una base de séquitos que es la traducción-invariante.

• La uniformidad canónica en cualquier grupo topológico comunitario es la traducción-invariante.
• La misma uniformidad canónica resultaría usando una base vecinal del origen más bien el filtro de todos los barrios del origen.
• Cada séquito ${displaystyle Delta _{X}(N)}$ contiene la diagonal ${displaystyle Delta _{X}:=Delta _{X}({0}={(x,x):xin X}}$ porque ${displaystyle 0in N.}$
• Si ${displaystyle N}$ es simétrico (es decir, ${displaystyle - No.$entonces ${displaystyle Delta _{X}(N)}$ es simétrico (que significa que ${displaystyle Delta _{X}(N)^{operatorname {op}=Delta _{X}(N)}$) y ${displaystyle Delta _{X}(N)circ Delta _{X}(N)={(x,z):{text{ there exists }}yin X{text{ such that }}x,zin y+Nbigcup _{yin X}[(y+N)times (y+N)]= Delta _{X}+(Ntimes N).}$
• La topología inducida en ${displaystyle X}$ por la uniformidad canónica es la misma que la topología que ${displaystyle X}$ comenzó con (es decir, es ${displaystyle tau }$).

Prefiltros y redes Cauchy

La teoría general de los espacios uniformes tiene su propia definición de "Cauchy prefilter" y "Cauchy net". Para la uniformidad canónica en ${displaystyle X.$ estos se reducen a la definición que se describe a continuación.

Suppose ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}$ es una red ${displaystyle X}$ y ${displaystyle y_{bullet }=left(y_{j}right)_{jin J}$ es una red ${displaystyle Sí.$ Hacer ${displaystyle Itimes J}$ en un conjunto dirigido declarando ${displaystyle (i,j)leq left(i_{2},j_{2}right)}$ si ${displaystyle ileq i_{2}{text{ and }jleq J_{2}.$ Entonces... ${displaystyle x_{bullet }times y_{bullet }:=left(x_{i},y_{j}right)_{(i,j)in Itimes J}$ denota los producto neto. Si ${displaystyle X=Y}$ entonces la imagen de esta red bajo el mapa de adición ${displaystyle Xtimes Xto X}$ denota los suma de estas dos redes:

$${displaystyle x_{bullet }+y_{bullet }:=left(x_{i}+y_{j}right)_{(i,j)in Itimes J}$$

diferencia

$${displaystyle x_{bullet - Sí.$$

Una red ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}$ en un grupo aditivo topológico ${displaystyle X}$ se llama Cauchy net si

$${displaystyle left(x_{i}-x_{j}right)_{(i,j)in Itimes I}to 0{text{ in }X}$$

${displaystyle N}$${displaystyle 0}$${displaystyle X.$${displaystyle i_{0}in Yo...$${displaystyle x_{i}-x_{j}in N}$${displaystyle i,jgeq i_{0}$

Una secuencia de Cauchy es una red de Cauchy que es una secuencia.

Si ${displaystyle B}$ es un subconjunto de un grupo aditivo ${displaystyle X}$ y ${displaystyle N}$ es un conjunto que contiene ${displaystyle 0,}$ entonces${displaystyle B}$ se dice que es un ${displaystyle N}$- pequeño set o pequeño de orden ${displaystyle N}$ si ${displaystyle B-Bsubseteq N.}$

Un prefiltro ${displaystyle {máthcal {B}}$ en un grupo aditivo topológico ${displaystyle X}$ llamado Prefiltro de caqui si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${displaystyle {máthcal {cHFF}- {fnMitcal} {B}to 0}$ dentro ${displaystyle X.$ Donde ${displaystyle {fncipal {fnh}- {fnMitcal} {B}:=cHFF}$ es un prefiltro.
2. ${displaystyle {B-B:Bin {fnMitcal}to} 0}$ dentro ${displaystyle X.$ Donde ${displaystyle {B-B:Bn}$ es un prefiltro equivalente a ${displaystyle {máthcal {cHFF}- {fnMitcal} {B}}$
3. Por cada barrio ${displaystyle N}$ de ${displaystyle 0}$ dentro ${displaystyle X.$ ${displaystyle {máthcal {B}}$ contiene algunos ${displaystyle N}$- pequeño set (es decir, hay algunos ${displaystyle Bin {cHFF}$ tales que ${displaystyle B-Bsubseteq N}$).

y si ${displaystyle X}$ es conmutativo entonces también:

4. Por cada barrio ${displaystyle N}$ de ${displaystyle 0}$ dentro ${displaystyle X.$ existe ${displaystyle Bin {cHFF}$ y algunos ${displaystyle xin X}$ tales que ${displaystyle Bsubseteq x+N.}$

• Suficiente para comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier base del vecindario determinada ${displaystyle 0}$ dentro ${displaystyle X.}$

Suppose ${displaystyle {máthcal {B}}$ es un prefiltro en un grupo topológico conmutativo ${displaystyle X}$ y ${displaystyle xin X.}$ Entonces...${displaystyle {Mathcal {B}to x}$ dentro ${displaystyle X}$ si ${displaystyle xin operatorname {cl} {fnK}$ y ${displaystyle {máthcal {B}}$ Es Cauchy.

Grupo topológico conmutativo completo

Recuerda eso por cualquier ${displaystyle Ssubseteq X,}$ un prefiltro ${displaystyle {fnMithcal}}$ on ${displaystyle S.$ es necesariamente un subconjunto de ${displaystyle wp (S)}$; es decir, ${displaystyle {mathcal {}subseteq wp (S).}$

Un subconjunto ${displaystyle S.$ de un grupo topológico ${displaystyle X}$ se llama subconjunto completo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro de Cauchy ${displaystyle {mathcal {C}subseteq wp (S)}$ on ${displaystyle S.$ converge a al menos un punto de ${displaystyle S.}$
   • Si ${displaystyle X}$ es Hausdorff entonces cada prefiltro en ${displaystyle S.$ convergerán a la mayoría de un punto ${displaystyle X.}$ Pero si ${displaystyle X}$ no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en ${displaystyle X.}$ Lo mismo es cierto para las redes.
2. Cada red Cauchy en ${displaystyle S.$ converge a al menos un punto de ${displaystyle S.$;
3. Cada filtro Cauchy ${displaystyle {fnMithcal}}$ on ${displaystyle S.$ converge a al menos un punto de ${displaystyle S.}$
4. ${displaystyle S.$ es un espacio uniforme completo (bajo la definición de topología de punto de "espacio uniforme completo") cuando ${displaystyle S.$ está dotado con la uniformidad inducida en ella por la uniformidad canónica de ${displaystyle X}$;

Un subconjunto ${displaystyle S.$ se llama subconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy ${displaystyle S.$ (o equivalentemente, cada filtro/prefiltro de Cauchy elemental en ${displaystyle S.$) converge a al menos un punto de ${displaystyle S.}$

• Importante, convergencia fuera de ${displaystyle S.$ está permitidoSi ${displaystyle X}$ no es Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy en ${displaystyle S.$ convergen a algún punto ${displaystyle S,}$ entonces ${displaystyle S.$ estará completo incluso si algunos o todos los prefilters de Cauchy en ${displaystyle S.$ también converger a puntos(s) en el complemento ${displaystyle Xsetminus S.}$ En resumen, no hay requisito de que estos prefiltros de Cauchy en ${displaystyle S.$ convergencia sólo a puntos en ${displaystyle S.}$ Lo mismo puede decirse de la convergencia de redes Cauchy en ${displaystyle S.}$
  • Como consecuencia, si un grupo topológico conmutativo ${displaystyle X}$ es no Hausdorff, entonces cada subconjunto del cierre de ${displaystyle {0},}$ Di: ${displaystyle Ssubseteq operatorname {cl} {0},}$ es completo (ya que es claramente compacto y cada conjunto compacto es necesariamente completo). En particular, si ${displaystyle Sneq varnothing }$ (por ejemplo, si ${displaystyle S.$ a es un conjunto de singleton como ${displaystyle S= {0}$entonces ${displaystyle S.$ sería completo aunque cada uno Red de caché en ${displaystyle S.$ (y cada prefiltro de Cauchy en ${displaystyle S.$), converge a cada uno punto en ${displaystyle operatorname {cl}{0}}$ (incluye esos puntos en ${displaystyle operatorname {cl}{0}}$ que no están ${displaystyle S.$).
  • Este ejemplo muestra también que los subconjuntos completos (indeados, incluso subconjuntos compactos) de un espacio no-Hausdorff pueden no cerrarse (por ejemplo, si ${displaystyle varnothing neq Ssubseteq operatorname {cl} {0}$ entonces ${displaystyle S.$ está cerrado si ${displaystyle S=operatorname {cl} {0}$).

A commutative topological group ${displaystyle X}$ se llama grupo completo si alguna de las siguientes condiciones equivalentes sostiene:

1. ${displaystyle X}$ está completo como un subconjunto de sí mismo.
2. Cada red Cauchy en ${displaystyle X}$ converge a al menos un punto de ${displaystyle X.}$
3. Existe un barrio ${displaystyle 0}$ dentro ${displaystyle X}$ que es también un subconjunto completo ${displaystyle X.}$
   • Esto implica que cada grupo topológico comunitario localmente compacto está completo.
4. Cuando está dotada de su uniformidad canónica, ${displaystyle X}$ se convierte en un espacio uniforme completo.
   • En la teoría general de los espacios uniformes, un espacio uniforme se llama un espacio uniforme completo si cada filtro Cauchy entra ${displaystyle X}$ convergencias en ${displaystyle (X,tau)}$ a algún punto ${displaystyle X.}$

Un grupo topológico se denomina secuencialmente completo si es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.

Base para el vecindarioSuppose ${displaystyle C}$ es una terminación de un grupo topológico conmutativo ${displaystyle X}$ con ${displaystyle Xsubseteq C}$ y eso ${displaystyle {fn}$ es una base de barrio del origen en ${displaystyle X.}$ Entonces la familia de los juegos

$${displaystyle left{fnMiembro {cl} - No.$$

${displaystyle C.}$

Continuidad uniforme

Vamos ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ ser grupos topológicos, ${displaystyle Dsubseteq X,}$ y ${displaystyle f:Dto Sí.$ ser un mapa. Entonces... ${displaystyle f:Dto Sí.$ es uniformemente continuo si por cada barrio ${displaystyle U}$ del origen en ${displaystyle X.$ existe un vecindario ${displaystyle V}$ del origen en ${displaystyle Sí.$ tal que para todos ${displaystyle x,yin D,}$ si ${displaystyle y-xin U}$ entonces ${displaystyle f(y)-f(x)in V.}$

Generalizaciones

Se pueden obtener varias generalizaciones de grupos topológicos debilitando las condiciones de continuidad:

• Un grupo semitopológico es un grupo G con una topología tal que para cada uno c ▪ G las dos funciones G → G definidas por x ↦ xc y x ↦ cx son continuos.
• Un grupo cuasitopológico es un grupo semitopológico en el que los elementos de mapeo de funciones a sus inversos también son continuos.
• Un grupo paratopológico es un grupo con una topología tal que la operación del grupo es continua.