Grupo solucionable

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Grupo que se puede construir a partir de grupos abelianos utilizando extensiones

En matemáticas, más concretamente en el campo de la teoría de grupos, un grupo soluble o grupo soluble es un grupo que se puede construir a partir de grupos abelianos mediante extensiones. De manera equivalente, un grupo soluble es un grupo cuya serie derivada termina en el subgrupo trivial.

Motivación

Históricamente, la palabra "solvable" surgió de la teoría de Galois y la prueba de la insolvabilidad general de la ecuación quintica. Específicamente, una ecuación polinomio es solvable en radicales si y sólo si el grupo Galois correspondiente es solvable (nota este teorema se mantiene sólo en la característica 0). Esto significa asociado a un polinomio ${displaystyle fin F[x]}$ hay una torre de extensiones de campo

${displaystyle F=F_{0}subseteq F_{1}subseteq F_{2}subseteq cdots subseteq F_{m}=K}$

tal que

${displaystyle F_{i}=F_{i-1}[alpha _{i}]}$ Donde ${displaystyle alpha _{i}^{m_{i}}in F_{i-1}}$ Así que $alpha _{i}$ es una solución a la ecuación ${displaystyle x^{m_{i}}-a}$ Donde ${displaystyle ain F_{i-1}}$
$F_m$ contiene un campo de división para $f(x)$

Ejemplo

Por ejemplo, la extensión de campo más pequeña de Galois $mathbb {Q}$ que contiene el elemento

${displaystyle a={sqrt[{5}]{{sqrt {2}}+{sqrt {3}}}}}$

da un grupo solucionable. Tiene extensiones de campo asociadas

${displaystyle mathbb {Q} subseteq mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}})subseteq mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}})left(e^{2pi i/5}{sqrt[{5}]{{sqrt {2}}+{sqrt {3}}}}right)}$

dando un grupo solvable que contiene ${displaystyle mathbb {Z} /5}$ (actuando en ${displaystyle e^{2pi i/5}}$ ) y ${displaystyle mathbb {Z} /2times mathbb {Z} /2}$ (Actuando en ${displaystyle {sqrt {2}}+{sqrt {3}}}$ ).

Definición

Un grupo G se llama soluble si tiene una serie subnormal cuyos grupos de factores (grupos de cocientes) son todos abelianos, es decir, si hay subgrupos 1 = G₀ < G₁ < ⋅⋅⋅ < G_k = G tal que G_j−1 es normal en G_j, y G_j /G_j−1 es un grupo abeliano, para j = 1, 2, …, k.

O de manera equivalente, si es una serie derivada, la serie normal descendente

Gtriangleright G^{(1)}triangleright G^{(2)} triangleright cdots,

donde cada subgrupo es el subgrupo conmutador del anterior, eventualmente llega al subgrupo trivial de G. Estas dos definiciones son equivalentes, ya que para todo grupo H y todo subgrupo normal N de H, el cociente H /N es abeliano si y solo si N incluye el subgrupo conmutador de H. El menor n tal que G⁽ⁿ⁾ = 1 se denomina longitud derivada del grupo soluble G.

Para grupos finitos, una definición equivalente es que un grupo soluble es un grupo con una serie de composición cuyos factores son todos grupos cíclicos de primer orden. Esto es equivalente porque un grupo finito tiene una longitud de composición finita y cada grupo abeliano simple es cíclico de primer orden. El teorema de Jordan-Hölder garantiza que si una serie de composición tiene esta propiedad, entonces todas las series de composición también tendrán esta propiedad. Para el grupo de Galois de un polinomio, estos grupos cíclicos corresponden a raíces nésimas (radicales) sobre algún campo. La equivalencia no se cumple necesariamente para grupos infinitos: por ejemplo, dado que cada subgrupo no trivial del grupo Z de enteros bajo suma es isomorfo a Z mismo, no tiene series de composición, pero la serie normal {0, Z}, con su único grupo de factores isomórfico a Z, prueba que, de hecho, es solucionable.

Ejemplos

Grupos abelianos

El ejemplo básico de grupos solubles son los grupos abelianos. Son trivialmente resolubles ya que una serie subnormal está formada solo por el grupo en sí y el grupo trivial. Pero los grupos no abelianos pueden o no ser solucionables.

Grupos nilpotentes

Más generalmente, todos los grupos nilpotentes son solubles. En particular, los grupos p finitos son solubles, ya que todos los grupos p finitos son nilpotentes.

Grupos de cuaterniones

En particular, el grupo cuaternión es un grupo soluble dado por la extensión del grupo

${displaystyle 1to mathbb {Z} /2to Qto mathbb {Z} /2times mathbb {Z} /2to 1}$

donde el núcleo $mathbb {Z} /2$ es el subgrupo generado por $-1$ .

Extensiones de grupo

Las extensiones de grupo forman los ejemplos prototípicos de grupos solvables. Eso es, si $G$ y $G'$ son grupos solvables, entonces cualquier extensión

${displaystyle 1to Gto G''to G'to 1}$

define un grupo solvable $G''$ . De hecho, todos los grupos solvables pueden formarse de tales extensiones de grupo.

Grupo nonabeliano que no es nilpotente

Un pequeño ejemplo de un grupo no nilpotente soluble es el grupo simétrico S₃. De hecho, como el grupo no abeliano simple más pequeño es A₅, (el grupo alterno de grado 5) se sigue que todo grupo con orden de menos de 60 es solucionable.

Grupos finitos de orden impar

El teorema de Feit-Thompson establece que todo grupo finito de orden impar tiene solución. En particular, esto implica que si un grupo finito es simple, es un primo cíclico o de orden par.

No ejemplo

El grupo S₅ no tiene solución: tiene una serie de composición {E, A₅, S₅} (y el teorema de Jordan-Hölder establece que todas las demás series de composición son equivalentes a esa), dando grupos de factores isomorfos a A ₅ y C₂; y A₅ no es abeliano. Generalizando este argumento, junto con el hecho de que A_n es un subgrupo simple normal, maximal, no abeliano de S_n para n > 4, vemos que S_n no tiene solución para n > 4. Este es un paso clave en la prueba de que para cada n > 4 hay polinomios de grado n que no son resolubles por radicales (teorema de Abel-Ruffini). Esta propiedad también se usa en la teoría de la complejidad en la demostración del teorema de Barrington.

Subgrupos de GL2

Considere los subgrupos

${displaystyle B=left{{begin{bmatrix}*&*\0&*end{bmatrix}}right}{text{, }}U=left{{begin{bmatrix}1&*\0&1end{bmatrix}}right}}$ de ${displaystyle GL_{2}(mathbb {F})}$

para algunos campos $mathbb {F}$ . Entonces, el cociente del grupo ${displaystyle B/U}$ puede encontrarse tomando elementos arbitrarios ${displaystyle B,U}$ , multiplicarlos juntos, y averiguar qué estructura da esto. Así que...

${displaystyle {begin{bmatrix}a&b\0&cend{bmatrix}}cdot {begin{bmatrix}1&d\0&1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a&ad+b\0&cend{bmatrix}}}$

Note la condición determinante en ${displaystyle GL_{2}}$ implicación ${displaystyle acneq 0}$ , por lo tanto ${displaystyle mathbb {F} ^{times }times mathbb {F} ^{times }subset B}$ es un subgrupo (que son las matrices donde ${displaystyle b=0}$ ). Para fijar ${displaystyle a,b}$ , la ecuación lineal ${displaystyle ad+b=0}$ implicación ${displaystyle d=-b/a}$ , que es un elemento arbitrario en ${displaystyle mathbb {F} }$ desde entonces ${displaystyle bin mathbb {F} }$ . Ya que podemos tomar cualquier matriz en ${displaystyle B}$ y multiplicarlo por la matriz

${displaystyle {begin{bmatrix}1&d\0&1end{bmatrix}}}$

con ${displaystyle d=-b/a}$ , podemos conseguir una matriz diagonal en ${displaystyle B}$ . Esto muestra el grupo de cocientes ${displaystyle B/Ucong mathbb {F} ^{times }times mathbb {F} ^{times }}$ .

Observación

Note que esta descripción da la descomposición de ${displaystyle B}$ como ${displaystyle mathbb {F} rtimes (mathbb {F} ^{times }times mathbb {F} ^{times })}$ Donde ${displaystyle (a,c)}$ actos ${displaystyle b}$ por ${displaystyle (a,c)(b)=ab}$ . Esto implica ${displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}$ . Además, una matriz de la forma

${displaystyle {begin{bmatrix}a&b\0&cend{bmatrix}}}$

corresponde al elemento ${displaystyle (b)times (a,c)}$ en el grupo.

Subgrupos boreles

Para un grupo algebraico lineal $G$ su subgrupo Borel se define como un subgrupo cerrado, conectado y solvable en $G$ , y es el subgrupo máximo posible con estas propiedades (nota las dos segundas son propiedades topológicas). Por ejemplo, en $GL_{n}$ y ${displaystyle SL_{n}}$ el grupo de matrices triangulares superiores o triangulares inferiores son dos de los subgrupos Borel. El ejemplo dado anteriormente, el subgrupo $B$ dentro ${displaystyle GL_{2}}$ Es el subgrupo Borel.

Subgrupo Borel en GL3

In $GL_{3}$ hay los subgrupos

${displaystyle B=left{{begin{bmatrix}*&*&*\0&*&*\0&0&*end{bmatrix}}right},{text{ }}U_{1}=left{{begin{bmatrix}1&*&*\0&1&*\0&0&1end{bmatrix}}right}}$

Aviso ${displaystyle B/U_{1}cong mathbb {F} ^{times }times mathbb {F} ^{times }times mathbb {F} ^{times }}$ , por lo tanto el grupo Borel tiene la forma

${displaystyle Urtimes (mathbb {F} ^{times }times mathbb {F} ^{times }times mathbb {F} ^{times })}$

Subgrupo borel en producto de grupos algebraicos lineales simples

En el grupo de productos ${displaystyle GL_{n}times GL_{m}}$ el subgrupo Borel puede ser representado por matrices de la forma

${displaystyle {begin{bmatrix}T&0\0&Send{bmatrix}}}$

Donde $T$ es un $ntimes n$ matriz triangular superior y $S$ es un $mtimes m$ matriz triangular superior.

Grupos Z

Cualquier grupo finito cuyos subgrupos p-Sylow sean cíclicos es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos, en particular soluble. Estos grupos se denominan grupos Z.

Valores OEIS

Los números de grupos solucionables con orden n son (comienza con n = 0)

0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 14, 1, 5, 1, 2, 1, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 14, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 50,... A201733 en el OEIS)

Los órdenes de grupos no solubles son

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500,... A056866 en el OEIS)

Propiedades

La solvencia se cierra bajo una serie de operaciones.

Si G es solvable, y H es un subgrupo G, entonces H es solvable.
Si G es solvable, y hay un homomorfismo de G sobre H, entonces H es solvable; equivalentemente (por el primer teorema isomorfismo), si G es solvable, y N es un subgrupo normal de G, entonces G/N es solvable.
Las propiedades anteriores se pueden ampliar en los siguientes "tres por el precio de dos" propiedad: G es solvable si y sólo si ambos N y G/N son solvables.
En particular, si G y H son solvable, el producto directo G × H es solvable.

La capacidad de resolución está cerrada bajo la extensión del grupo:

Si H y G/H son solvables, entonces lo es G; en particular, si N y H son solvable, su producto semidirecto también es solvable.

También está cerrado bajo el producto corona:

Si G y H son solvables, y X es un G-set, entonces el producto de la corona G y H con respecto a X también es solvable.

Para cualquier número entero positivo N, los grupos solubles de longitud derivada como máximo N forman una subvariedad de la variedad de grupos, ya que se cierran bajo la toma de homomórficos imágenes, subálgebras y productos (directos). El producto directo de una secuencia de grupos solubles con longitud derivada ilimitada no es soluble, por lo que la clase de todos los grupos solubles no es una variedad.

Teorema de Burnside

El teorema de Burnside establece que si G es un grupo finito de orden p^aq^b donde p y q son números primos, y a y b son números enteros no negativos, entonces G tiene solución.

Conceptos relacionados

Grupos supersolubles

Como refuerzo de la solucionabilidad, un grupo G se llama supersoluble (o supersoluble) si tiene una invariante series normales cuyos factores son todos cíclicos. Dado que una serie normal tiene una longitud finita por definición, los grupos incontables no son supersolubles. De hecho, todos los grupos supersolubles se generan finitamente, y un grupo abeliano es supersoluble si y solo si se genera finitamente. El grupo alterno A₄ es un ejemplo de un grupo soluble finito que no es supersoluble.

Si nos restringimos a grupos generados finitamente, podemos considerar el siguiente arreglo de clases de grupos:

cíclica Descubrir abeliano solvable - Grupo finito generado.

Grupos virtualmente solucionables

Un grupo G se llama virtualmente solucionable si tiene un subgrupo solucionable de índice finito. Esto es similar a virtualmente abelian. Claramente, todos los grupos solubles son virtualmente solubles, ya que uno puede elegir el grupo en sí, que tiene índice 1.

Hipoabeliano

Un grupo soluble es aquel cuya serie derivada alcanza el subgrupo trivial en una etapa finita. Para un grupo infinito, la serie derivada finita puede no estabilizarse, pero la serie derivada transfinita siempre se estabiliza. Un grupo cuya serie derivada transfinita alcanza el grupo trivial se denomina grupo hipoabeliano, y todo grupo soluble es un grupo hipoabeliano. El primer ordinal α tal que G^(α) = G^(α+1) se llama la longitud derivada (transfinita) del grupo G, y se ha demostrado que cada ordinal es la longitud derivada de algún grupo (Malcev 1949).

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