Grupo simpléctico

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Grupo matemático

En matemáticas, el nombre grupo simpático puede referirse a dos colecciones diferentes, pero estrechamente relacionadas, de grupos matemáticos, denotados $Sp(2 n, F)$ y $Sp(n)$ para entero positivo n y sobre el terreno F (normalmente) C o R). Este último es llamado grupo simpático compacto y también se denota ${displaystyle mathrm {USp} (n)}$ . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, generalmente diferentes por factores $2$ . La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes que representan a los grupos. En la clasificación de Cartan de los álgebras simples Lie, el álgebra Lie del grupo complejo $Sp(2 n, C)$ es denotado $C n$ , y $Sp(n)$ es la forma real compacta $Sp(2 n, C)$ . Note que cuando nos referimos a el (compacto) grupo simpléctico es implícito que estamos hablando de la colección de (compacto) grupos simpáticos, indexados por su dimensión $n$ .

El nombre "grupo simpléctico" se debe a Hermann Weyl como reemplazo de los nombres confusos anteriores (línea) grupo complejo y grupo lineal abeliano, y es el análogo griego de "complejo".

El grupo metapléctico es una doble cobertura del grupo simpléctico sobre R; tiene análogos sobre otros campos locales, campos finitos y anillos de adele.

Esp(2n, F)

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de transformaciones lineales de un espacio vectorial $2 n$ -dimensional sobre el campo $F$ que conservan una forma bilineal sesgada simétrica no degenerada. Tal espacio vectorial se denomina espacio vectorial simpléctico, y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto $V$ se denota $Sp(V)$ . Al fijar una base para $V$ , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de $2 n x 2 n$ matrices simplécticas, con entradas en $F$ , bajo la operación de multiplicación de matrices. Este grupo se denota como $Sp(2 n, F)$ o $Sp(n, F)$ . Si la forma bilineal está representada por la matriz asimétrica no singular Ω, entonces

{displaystyle operatorname {Sp} (2n,F)={Min M_{2ntimes 2n}(F):M^{mathrm {T} }Omega M=Omega },}

donde M^T es la transposición de M. A menudo, Ω se define como

{displaystyle Omega ={begin{pmatrix}0&I_{n}\-I_{n}&0\end{pmatrix}},}

Donde I_n es la matriz de identidad. En este caso, $Sp(2 n, F)$ se puede expresar como esas matrices de bloque ${displaystyle ({begin{smallmatrix}A&B\C&Dend{smallmatrix}})}$ , donde ${displaystyle A,B,C,Din M_{ntimes n}(F)}$ , satisfaciendo las tres ecuaciones:

{displaystyle {begin{aligned}-C^{mathrm {T} }A+A^{mathrm {T} }C&=0,\-C^{mathrm {T} }B+A^{mathrm {T} }D&=I_{n},\-D^{mathrm {T} }B+B^{mathrm {T} }D&=0.end{aligned}}}

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante $1$ , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial $SL(2 n, F)$ . Cuando $n = 1$ , la condición simpléctica en una matriz se cumple si y solo si el determinante es uno, de modo que $Sp(2, F) = SL(2, F)$ . Para $n > 1$ , hay condiciones adicionales, es decir, $Sp(2 n, F)$ es entonces un subgrupo adecuado de $SL(2 n, F)$ .

Normalmente, el campo $F$ es el campo de los números reales $R$ o números complejos $C$ . En estos casos, $Sp(2 n, F)$ es un grupo de Lie real/complejo de dimensión real/compleja $n (2 n + 1)$ . Estos grupos están conectados pero no son compactos.

El centro de $Sp(2 n, F)$ consta de las matrices <span class="texhtml" yo_2n y $- yo 2 n$ siempre que la característica del campo no sea $2$ . Dado que el centro de $Sp(2 n, F)$ es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple, $Sp(2 n, F)$ se considera un grupo de Lie simple.

El rango real del álgebra de Lie correspondiente y, por lo tanto, del grupo de Lie $Sp(2 n, F)$ , es $n$ .

El álgebra de mentira de $Sp(2 n, F)$ es el conjunto

{displaystyle {mathfrak {sp}}(2n,F)={Xin M_{2ntimes 2n}(F):Omega X+X^{mathrm {T} }Omega =0},}

equipado con el conmutador como soporte Lie. Para la forma bilineal simétrica estándar ${displaystyle Omega =({begin{smallmatrix}0&I\-I&0end{smallmatrix}})}$ , este álgebra Lie es el conjunto de todas las matrices de bloque ${displaystyle ({begin{smallmatrix}A&B\C&Dend{smallmatrix}})}$ sujeto a las condiciones

{displaystyle {begin{aligned}A&=-D^{mathrm {T} },\B&=B^{mathrm {T} },\C&=C^{mathrm {T} }.end{aligned}}}

Esp(2n, C)

El grupo simpléctico sobre el campo de los números complejos es un grupo de Lie simple no compacto, simplemente conexo.

Esp(2n, R)

$Sp(n, C)$ es la complejización del grupo real $Sp(2 n, R)$ . $Sp(2 n, R)$ es un grupo de Lie real, no compacto, conectado y simple. Tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de los enteros bajo suma. Como la forma real de un grupo de Lie simple, su álgebra de Lie es un álgebra de Lie divisible.

Algunas propiedades adicionales de $Sp(2 n, R)$ :

El mapa exponencial del álgebra de Lie $sp (22) n, R)$ al grupo $Sp(2 n, R)$ no es subjetivo. Sin embargo, cualquier elemento del grupo puede ser representado como el producto de dos exponenciales. En otras palabras,

{displaystyle forall Sin operatorname {Sp} (2n,mathbf {R}),,exists X,Yin {mathfrak {sp}}(2n,mathbf {R}),,S=e^{X}e^{Y}.}

Para todos $S$ dentro $Sp(2 n, R)$ :

{displaystyle S=OZO'quad {text{such that}}quad O,O'in operatorname {Sp} (2n,mathbf {R})cap operatorname {SO} (2n)cong U(n)quad {text{and}}quad Z={begin{pmatrix}D&0\0&D^{-1}end{pmatrix}}.}

La matriz

D

es positivo-definido y diagonal. El conjunto de tales

Z

s forms a non-compact subgroup of

Sp(2 n, R)

mientras que

U(n)

forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como 'Euler' o 'Bloch-Messiah' descomposición. En esa página de Wikipedia se pueden encontrar más propiedades de matriz simpléctica.

Como grupo Lie, $Sp(2 n, R)$ tiene una estructura múltiple. El manifold para $Sp(2 n, R)$ es diffeomorfo al producto cartesiano del grupo unitario $U(n)$ con un espacio vectorial de dimensión $n () n +1)$ .

Generadores infinitesimales

Los miembros del álgebra de Lie simpléctica $sp (2 n, F)$ son las matrices hamiltonianas.

Son matrices, $Q$ tales que

${displaystyle Q={begin{pmatrix}A&B\C&-A^{mathrm {T} }end{pmatrix}}}$

donde $B$ y $C$ son matrices simétricas. Ver grupo clásico para una derivación.

Ejemplo de matrices simplécticas

Para $Sp(2, R)$ , el grupo de matrices $2 \times 2$ con determinante $1$ , las tres matrices simplécticas $(0, 1)$ son:

${displaystyle {begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}},quad {begin{pmatrix}1&0\1&1end{pmatrix}}quad {text{and}}quad {begin{pmatrix}1&1\0&1end{pmatrix}}.}$

Esp(2n, R)

Resulta que ${displaystyle operatorname {Sp} (2n,mathbf {R})}$ puede tener una descripción bastante explícita usando generadores. Si lo dejamos ${displaystyle operatorname {Sym} (n)}$ denota el simétrico $ntimes n$ matrices, entonces ${displaystyle operatorname {Sp} (2n,mathbf {R})}$ se genera por ${displaystyle D(n)cup N(n)cup {Omega },}$ Donde

${displaystyle {begin{aligned}D(n)&=left{left.{begin{bmatrix}A&0\0&(A^{T})^{-1}end{bmatrix}},right|,Ain operatorname {GL} (n,mathbf {R})right}\[6pt]N(n)&=left{left.{begin{bmatrix}I_{n}&B\0&I_{n}end{bmatrix}},right|,Bin operatorname {Sym} (n)right}end{aligned}}}$

son subgrupos de ${displaystyle operatorname {Sp} (2n,mathbf {R})}$ ^{pg 173}^{pg 2}.

Relación con la geometría simpléctica

La geometría simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas. El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico. Como se señaló anteriormente, las transformaciones que conservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es $Sp(2 n, F)$ , dependiendo de la dimensión del espacio y del campo sobre el que se define.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo una acción del grupo simpléctico es, en cierto sentido, una versión linealizada de un simplectomorfismo que es una estructura más general que conserva la transformación en una variedad simpléctica.

Esp(n)

El grupo simpático compacto $Sp(n)$ es la intersección de $Sp(2 n, C)$ con el ${displaystyle 2ntimes 2n}$ Grupo unitario:

{displaystyle operatorname {Sp} (n):=operatorname {Sp} (2n;mathbf {C})cap operatorname {U} (2n)=operatorname {Sp} (2n;mathbf {C})cap operatorname {SU} (2n).}

A veces se escribe como $USp(2 n)$ . Alternativamente, $Sp(n)$ se puede describir como el subgrupo de $GL(n, H)$ (matrices cuaterniónicas invertibles) que conserva la forma hermítica estándar en $H n$ :

{displaystyle langle x,yrangle ={bar {x}}_{1}y_{1}+cdots +{bar {x}}_{n}y_{n}.}

Es decir, $Sp(n)$ es simplemente el grupo unitario cuaterniónico, $U(n, H)$ . De hecho, a veces se le llama el grupo hiperunitario. También Sp(1) es el grupo de cuaterniones de norma $1$ , equivalente a $SU(2)$ y topológicamente una esfera de 3 $S 3$ .

Tenga en cuenta que $Sp(n)$ no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior—lo hace no preservar una forma $H$ -bilineal sesgada no degenerada en $H n$ : no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de $Sp(2 n, C)$ , por lo que conserva un simpléctico complejo forma en un espacio vectorial de dos veces la dimensión. Como se explica a continuación, el álgebra de mentira de $Sp(n)$ es la forma real compacta del álgebra de mentira simpléctica compleja $sp (2 n, C)$ .

$Sp(n)$ es un grupo de Lie real con dimensión (real) $n (2 n + 1)$ . Es compacto y simplemente conectado.

El álgebra de mentira de $Sp(n)$ está dada por las matrices cuaterniónicas sesgadas-hermitianas, el conjunto de <span class="texhtml" n-por-n matrices cuaterniónicas que satisfacen

A+A^{dagger }=0

donde $A †$ es la transpuesta conjugada de $A$ (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El soporte de Lie lo da el conmutador.

Subgrupos importantes

Algunos subgrupos principales son:

operatorname {Sp} (n)supset operatorname {Sp} (n-1)

{displaystyle operatorname {Sp} (n)subset operatorname {U} (n)}

{displaystyle operatorname {Sp} (2)subset operatorname {O} (4)}

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de algunos otros grupos:

operatorname {SU} (2n)supset operatorname {Sp} (n)

operatorname {F} _{4}supset operatorname {Sp} (4)

operatorname {G} _{2}supset operatorname {Sp} (1)

También están los isomorfismos de las álgebras de Lie $sp (2) = so (5)$ y $sp (1) = so (3) = su (2)$ .

Relación entre los grupos simplécticos

Cada álgebra de Lie compleja y semisimple tiene una forma real dividida y una forma real compacta; el primero se llama una complejización de los dos últimos.

El álgebra de mentira de $Sp(2 n, C)$ es semisimple y se denota $sp (2 n, C)$ . Su forma real dividida es $sp (2 n, R)$ y su forma real compacta es $sp (n)$ . Estos corresponden a los grupos de Lie $Sp(2 n, R)$ y $Sp(n)$ respectivamente.

Las álgebras, $sp (p, n - p)$ , que son las álgebras de mentira de $Sp(p, n - p)$ , son la firma indefinida equivalente a la forma compacta.

Importancia física

Mecánica clásica

El grupo simpléctico compacto $Sp(n)$ aparece en la física clásica como las simetrías de las coordenadas canónicas que conservan el corchete de Poisson.

Considere un sistema de $n$ partículas, que evolucionan según las ecuaciones de Hamilton, cuya posición en el espacio de fase en un momento dado se denota por la vector de coordenadas canónicas,

{displaystyle mathbf {z} =(q^{1},ldotsq^{n},p_{1},ldotsp_{n})^{mathrm {T} }.}

Los elementos del grupo $Sp(2 n, R)$ son, en cierto sentido, transformaciones canónicas en este vector, es decir, conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton. Si

{displaystyle mathbf {Z} =mathbf {Z} (mathbf {z}t)=(Q^{1},ldotsQ^{n},P_{1},ldotsP_{n})^{mathrm {T} }}

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con un punto que indica derivada temporal,

{displaystyle {dot {mathbf {Z} }}=M({mathbf {z} },t){dot {mathbf {z} }},}

dónde

{displaystyle M(mathbf {z}t)in operatorname {Sp} (2n,mathbf {R})}

para todos los $t$ y todos los $z$ en el espacio de fases.

Para el caso especial de un manifold Riemanniano, las ecuaciones de Hamilton describen la geodésica en ese manifold. Las coordenadas $q^{i}$ vivir en el manifold subyacente, y el momenta $p_{i}$ vive en el paquete de cotangente. Esta es la razón por la cual se escriben convencionalmente con índices superiores e inferiores; es distinguir sus ubicaciones. El correspondiente Hamiltoniano consiste puramente de la energía cinética: es ${displaystyle H={tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$ Donde $g^{ij}$ es el inverso del tensor métrico $g_{ij}$ en el manifold Riemanniano. De hecho, el paquete cotangente de cualquiera manifold liso puede ser una estructura simpléctica dada de una manera canónica, con la forma simpléctica definida como el derivado exterior de la forma tautológica.

Mecánica cuántica

Considere un sistema de $n$ partículas cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por lo tanto, el espacio de Hilbert, en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo hace que el análisis de esta situación sea complicado. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición y momento bajo la ecuación de Heisenberg en el espacio de fases.

Construya un vector de coordenadas canónicas,

{displaystyle mathbf {hat {z}} =({hat {q}}^{1},ldots{hat {q}}^{n},{hat {p}}_{1},ldots{hat {p}}_{n})^{mathrm {T} }.}

La relación de conmutación canónica se puede expresar simplemente como

{displaystyle [mathbf {hat {z}}mathbf {hat {z}} ^{mathrm {T} }]=ihbar Omega }

dónde

{displaystyle Omega ={begin{pmatrix}mathbf {0} &I_{n}\-I_{n}&mathbf {0} end{pmatrix}}}

y $yo n$ es el $n \times n$ matriz de identidad.

Muchas situaciones físicas solo requieren hamiltonianos cuadráticos, es decir, hamiltonianos de la forma

{displaystyle {hat {H}}={frac {1}{2}}mathbf {hat {z}} ^{mathrm {T} }Kmathbf {hat {z}} }

donde $K$ es un $2 n \times 2 n$ matriz simétrica real. Esto resulta ser una restricción útil y nos permite reescribir la ecuación de Heisenberg como

{displaystyle {frac {dmathbf {hat {z}} }{dt}}=Omega Kmathbf {hat {z}} }

La solución a esta ecuación debe preservar la relación de conmutación canónica. Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real, Sp(2n, R), sobre el espacio fase.

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