Grupo simétrico

Un gráfico Cayley del grupo simétrico S4

Mesa de Cayley, con cabecera omitida, del grupo simétrico S₃. Los elementos están representados como matrices. A la izquierda de las matrices, son su forma de dos líneas. Las flechas negras indican ciclos disjoint y corresponden a notación de ciclo. El círculo verde es una permutación extraña, el blanco es una permutación uniforme y el negro es la identidad.

Estas son las posiciones de las seis matrices

Algunas matrices no están dispuestas simétricamente a la diagonal principal – por lo tanto el grupo simétrico no es abeliano.

En álgebra abstracta, el grupo simétrico definido sobre cualquier conjunto es el grupo cuyos elementos son todas las bijeciones del conjunto a sí mismo, y cuya operación de grupo es la composición de las funciones. En particular, el grupo simétrico finito ${displaystyle mathrm {fn}$ definido sobre un conjunto finito de ${displaystyle n}$ símbolos consiste en las permutaciones que se pueden realizar en ${displaystyle n}$ símbolos. Ya que hay ${displaystyle n!}$ ()${displaystyle n}$ factorial) tales operaciones de permutación, el orden (número de elementos) del grupo simétrico ${displaystyle mathrm {fn}$ es ${displaystyle n!}$.

Aunque los grupos simétricos se pueden definir en conjuntos infinitos, este artículo se centra en los grupos simétricos finitos: sus aplicaciones, sus elementos, sus clases de conjugación, una presentación finita, sus subgrupos, sus grupos de automorfismos y su teoría de representación. En el resto de este artículo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico en un conjunto finito.

El grupo simétrico es importante para diversas áreas de matemáticas como la teoría de Galois, la teoría invariante, la teoría de la representación de los grupos de Lie y la combinatoria. El teorema de Cayley declara que cada grupo ${displaystyle G.$ es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en (el conjunto subyacente de) ${displaystyle G.$.

Definición y primeras propiedades

El grupo simétrico en un conjunto finito ${displaystyle X}$ es el grupo cuyos elementos son todas funciones bijetivas de ${displaystyle X}$ a ${displaystyle X}$ y cuya operación grupal es la de la composición de la función. Para conjuntos finitos, las "permutaciones" y "funciones biológicas" se refieren a la misma operación, a saber, reorganización. El grupo simétrico grado ${displaystyle n}$ es el grupo simétrico en el conjunto ${displaystyle X={1,2,ldotsn}}$.

El grupo simétrico en un conjunto ${displaystyle X}$ se denota de diversas maneras, incluso ${displaystyle mathrm {S} _{X}$, ${displaystyle {s}_{X}}$, ${displaystyle Sigma _{X}$, ${displaystyle X}$, y ${displaystyle operatorname {Sym} (X)}$. Si ${displaystyle X}$ es el conjunto ${displaystyle {1,2,ldotsn}$ entonces el nombre puede ser abreviado ${displaystyle mathrm {fn}$, ${displaystyle {Mathfrak}_{n}}$, ${displaystyle Sigma _{n}$, o ${displaystyle operatorname {Sym} (n)}$.

Los grupos simétricos en conjuntos infinitos se comportan de manera muy diferente a los grupos simétricos en conjuntos finitos, y se analizan en (Scott 1987, capítulo 11), (Dixon & Mortimer 1996, capítulo 8) y (Cameron 1999).

El grupo simétrico en un conjunto de ${displaystyle n}$ elementos de orden ${displaystyle n!}$ (el factorial de ${displaystyle n}$). Es abeliano si y sólo si ${displaystyle n}$ es menor o igual a 2. Para ${displaystyle n=0}$ y ${displaystyle n=1}$ (el conjunto vacío y el conjunto de singleton), los grupos simétricos son triviales (tienen orden ${displaystyle ¡0!$). El grupo S_n es solvable si y sólo si ${displaystyle nleq 4}$. Esta es una parte esencial de la prueba del teorema Abel-Ruffini que muestra eso por cada ${displaystyle n título4}$ hay polinomios de grado ${displaystyle n}$ que no son solvables por los radicales, es decir, las soluciones no se pueden expresar realizando un número finito de operaciones de adición, resta, multiplicación, división y extracción de raíces en los coeficientes del polinomio.

Aplicaciones

El grupo simétrico sobre un conjunto de tamaño n es el grupo de Galois del polinomio general de grado n y juega un papel importante en la teoría de Galois. En la teoría invariante, el grupo simétrico actúa sobre las variables de una función multivariante, y las funciones que quedan invariantes son las llamadas funciones simétricas. En la teoría de la representación de los grupos de Lie, la teoría de la representación del grupo simétrico juega un papel fundamental a través de las ideas de los funtores de Schur.

En la teoría de los grupos de Coxeter, el grupo simétrico es el grupo de Coxeter de tipo A_n y aparece como el grupo de Weyl del grupo lineal general. En combinatoria, los grupos simétricos, sus elementos (permutaciones) y sus representaciones proporcionan una rica fuente de problemas que involucran cuadros de Young, monoides plácticos y el orden Bruhat. Los subgrupos de grupos simétricos se denominan grupos de permutación y se estudian ampliamente debido a su importancia para comprender las acciones de grupo, los espacios homogéneos y los grupos de grafos con automorfismos, como el grupo de Higman-Sims y el gráfico de Higman-Sims.

Propiedades de grupo y elementos especiales

Los elementos del grupo simétrico en un conjunto X son las permutaciones de X.

Multiplicación

La operación de grupo en un grupo simétrico es la composición de funciones, denotada por el símbolo ∘ o simplemente por una composición de las permutaciones. La composición f ∘ g de permutaciones f y g, pronunciado "f de g", asigna cualquier elemento x de X a < i>f(g(x)). Concretamente, sea (ver permutación para una explicación de la notación):

${displaystyle f=(1 3)(4 5)={begin{pmatrix}1 tendría 2 personas3 tendrían 4 consecuencias53 con 3 segundos2 con 3 con 3 con 3 con 3,5 con 3,5 con 3,5 con 3,0}$

${displaystyle g=(122 5)(3 4)={begin{pmatrix}1 tendría2 personas3 afectadas52 concluyen4 consiguiendo1end{pmatrix}}.}$

Aplicar f después de g asigna 1 primero a 2 y luego 2 a sí mismo; 2 a 5 y luego a 4; 3 a 4 y luego a 5, y así sucesivamente. Así que componer f y g da

${displaystyle fg=fcirc g=(1 2 4)(3 5)={begin{pmatrix}1⁄2 limit3 simultáneamente4 péndulo52 péndulo 5 péndulo 3end{pmatrix}}}$

Un ciclo de longitud L = k · m, llevado a la < i>késima potencia, se descompondrá en k ciclos de longitud m: Por ejemplo, (k< /i> = 2, m = 3),

${displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

Verificación de axiomas de grupo

Para comprobar que el grupo simétrico sobre un conjunto X es efectivamente un grupo, es necesario comprobar los axiomas de clausura, asociatividad, identidad e inversos de los grupos.

1. El funcionamiento de la composición de la función se cierra en el conjunto de permutaciones del conjunto dado X.
2. La composición de la función siempre es asociativa.
3. La bijeción trivial que asigna cada elemento de X para sí mismo sirve como identidad para el grupo.
4. Cada bijeción tiene una función inversa que deshacer su acción, y por lo tanto cada elemento de un grupo simétrico tiene un inverso que es una permutación también.

Transposiciones, señas y el grupo alterno

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y mantiene todos los demás fijos; por ejemplo (1 3) es una transposición. Toda permutación se puede escribir como producto de transposiciones; por ejemplo, la permutación g de arriba se puede escribir como g = (1 2)(2 5)(3 4). Dado que g se puede escribir como un producto de un número impar de transposiciones, se denomina permutación impar, mientras que f es una permutación par.

La representación de una permutación como producto de transposiciones no es única; sin embargo, el número de transposiciones necesarias para representar una permutación dada es siempre par o siempre impar. Hay varias pruebas breves de la invariancia de esta paridad de una permutación.

El producto de dos permutaciones pares es par, el producto de dos permutaciones impares es par y todos los demás productos son impares. Así podemos definir el signo de una permutación:

${displaystyle operatorname {sgn} f={begin{cases}+1, limit{text{if }f{mbox{ is even}\-1, limit{if }f{text{ is odd}}end{cases}}}}}}}}$

Con esta definición,

${displaystyle operatorname {sgn} colon mathrm {cHFF} {cHFF}}m}cH00}}cH00}m} {cHFF}}m} {+1,-1}$

es un homomorfismo de grupo ({+1, −1} es un grupo bajo multiplicación, donde +1 es e, el elemento neutral). El núcleo de este homomorfismo, es decir, el conjunto de todas las permutaciones pares, se denomina grupo alterno A_n. Es un subgrupo normal de S_n, y para n ≥ 2 tiene < abarcan class="nowrap">n!/2 elementos. El grupo S_n es el producto semidirecto de A_n y cualquier subgrupo generado por una sola transposición.

Además, cada permutación se puede escribir como un producto de transposiciones adyacentes, es decir, transposiciones de la forma (a a+1). Por ejemplo, la permutación g anterior también se puede escribir como g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5). El algoritmo de clasificación tipo burbuja es una aplicación de este hecho. La representación de una permutación como producto de transposiciones adyacentes tampoco es única.

Ciclos

Un ciclo de longitud k es una permutación f para la cual existe un elemento x en {1,..., n} tal que x, f(x), f²(x),..., f^k(< i>x) = x son los únicos elementos movidos por f; se requiere que k ≥ 2 ya que con k = 1 el propio elemento x tampoco se movería. La permutación h definida por

${displaystyle h={begin{pmatrix}1 tendría2 ligeramente3 tendría4 péndulos54 péndulo 2 péndulo 3 pmátrix}}}$

es un ciclo de longitud tres, ya que h(1) = 4, h< /i>(4) = 3 y h(3) = 1, dejando 2 y 5 intactos. Denotamos tal ciclo por (1 4 3), pero podría escribirse igualmente (4 3 1) o < span class="nowrap">(3 1 4) comenzando en un punto diferente. El orden de un ciclo es igual a su longitud. Los ciclos de longitud dos son transposiciones. Dos ciclos son disjuntos si tienen subconjuntos de elementos disjuntos. Ciclos disjuntos conmutan: por ejemplo, en S₆ existe la igualdad (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Cada elemento de S_n puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos; esta representación es única hasta el orden de los factores, y la libertad presente en la representación de cada ciclo individual eligiendo su punto de partida.

Los ciclos admiten la siguiente propiedad de conjugación con cualquier permutación ${displaystyle sigma }$, esta propiedad se utiliza a menudo para obtener sus generadores y relaciones.

${displaystyle sigma {begin{pmatrix}a tendrían un problema ^{-1}={begin{pmatrix}sigma (a) limitsigma (b) correspondsigma (c) limitldots end{pmatrix}}}$

Elementos especiales

Ciertos elementos del grupo simétrico de {1, 2,..., n} son de particular interés (estos pueden generalizarse al grupo simétrico de cualquier conjunto finito totalmente ordenado, pero no a la de un conjunto desordenado).

La permutación de inversión de orden es el dado por:

${displaystyle {begin{pmatrix}1⁄2 ventajacdots.$

Este es el único elemento máximo con respecto a la orden Bruhat y la elemento más largo en el grupo simétrico con respecto al conjunto generador que consta de las transposiciones adyacentes (i i+1), < span class="nowrap">1 ≤ i ≤ n − 1.

Esta es una involución, y consiste en ${displaystyle lfloor n/2rfloor }$ transposiciones no adyacentes

${displaystyle (1,n)(2,n-1)cdots{text{ or }sum {fn1}{n-1}k={frac {n-1)}{text{ transposiciones adyacentes: }$

${displaystyle (n,n-1)(n-1,n-2)cdots (2,1)(n-1,n-2)(n-2,n-3)cdots}$

así que tiene signo:

${displaystyle mathrm { sgn} (rho _{n})=(-1)^{lfloor n/2rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={begin{cases}+1 limitnequiv 0,1{pmod {4}}}\1 convenciónpmod} {pmod} {pmod}}} {pmod}}}}}}} {\pmod}}}}}} {\\\pplaystyle {c}} {cH00}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}cH00}} {c}}}}}} {c}ccccH00}}ccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccccc$

que es 4-periódica en n.

En S_2n, el perfecto es la permutación que divide el conjunto en 2 pilas e interleva. Su signo es también ${displaystyle (-1)^{lfloor n/2rfloor }$

Tenga en cuenta que el reverso en n elementos y la reproducción aleatoria perfecta en 2n elementos tienen el mismo signo; estos son importantes para la clasificación de las álgebras de Clifford, que son 8 periódicas.

Clases de conjugación

Las clases de conjugación de S_n corresponden a los tipos de ciclo de permutaciones; es decir, dos elementos de S_n son conjugados en S_n si y solo si consisten en el mismo número de ciclos disjuntos de la misma duración. Por ejemplo, en S₅, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no lo son. Un elemento de conjugación de S_n se puede construir en "notación de dos líneas" colocando las "anotaciones de ciclo" de las dos permutaciones conjugadas una encima de la otra. Continuando con el ejemplo anterior,

$${displaystyle k={begin{pmatrix}1 tendría2 tendría4 péndulo51 3 péndulo 3 péndulo 5end{pmatrix}}}}$$

$${displaystyle (2~4)circo (1~2~3)(4~5)circo (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$$

Clases de conjugación ${displaystyle S_{n}$ corresponde a particiones enteros de ${displaystyle n}$: a la partición ${displaystyle mu =(mu _{1},mu _{2},dotsmu _{k}}$ con ${displaystyle n=sum ¿Qué? ¿Qué?$ y ${displaystyle mu _{1}geq mu _{2}geq cdots geq mu _{k}}$, se asocia el conjunto ${displaystyle C_{mu }$ de permutaciones con ciclos de longitudes ${displaystyle mu _{1},mu _{2},dotsmu ¿Qué?$. Entonces... ${displaystyle C_{mu }$ es una clase de conjugación ${displaystyle S_{n}$, cuyos elementos se dice que son de tipo ciclo ${displaystyle mu }$.

Grupos de grado bajo

Los grupos simétricos de bajo grado tienen una estructura más simple y excepcional y, a menudo, deben tratarse por separado.

S₀ y S₁

Los grupos simétricos en el conjunto vacío y el conjunto de singleton son triviales, que corresponde a ¡0!. En este caso el grupo alternador está de acuerdo con el grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo índice 2, y el mapa de signos es trivial. En el caso de S₀, su único miembro es la función vacía.

S₂

Este grupo consta de exactamente dos elementos: la identidad y la permutación intercambiando los dos puntos. Es un grupo cíclico y por lo tanto es abeliano. En la teoría de Galois, esto corresponde al hecho de que la fórmula cuadrática da una solución directa al polinomio cuadrático general después de extraer sólo una sola raíz. En la teoría invariante, la teoría de la representación del grupo simétrico en dos puntos es bastante simple y se ve como escribir una función de dos variables como una suma de sus partes simétricas y antisimétricas: Ajuste f_s()x, Sí.) f()x, Sí.) + f()Sí., x), y f_a()x, Sí.) f()x, Sí.) − f()Sí., x), uno entiende que 2⋅f = f_s + f_a. Este proceso se conoce como simmetrización.

S₃

S₃ es el primer grupo simétrico nonabeliano. Este grupo es isomorfo al grupo dihedral del orden 6, el grupo de simetrías de reflexión y rotación de un triángulo equilátero, ya que estas simetrías permutan los tres vértices del triángulo. Ciclos de longitud dos corresponden a reflexiones, y ciclos de longitud tres son rotaciones. En la teoría de Galois, el mapa de signos de S₃ a S₂ corresponde a la resolución cuadrática de un polinomio cúbico, como descubrió Gerolamo Cardano, mientras que la A₃ El núcleo corresponde al uso de la discreta transformación Fourier del orden 3 en la solución, en forma de resueltos Lagrange.

S₄

El grupo S4 es isomorfo al grupo de rotaciones adecuadas sobre rostros opuestos, diagonales opuestos y bordes opuestos, 9, 8 y 6 permutaciones, del cubo. Más allá del grupo A4, S₄ tiene un Klein de cuatro grupos V como subgrupo normal adecuado, a saber, las transposiciones uniformes {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, con coeficiente S₃. En la teoría de Galois, este mapa corresponde a la resolución cúbica a un polinomio cuartico, que permite que la cuarta sea resuelta por los radicales, según lo establecido por Lodovico Ferrari. El grupo Klein se puede entender en términos de los resueltos de Lagrange de la cuarta. El mapa de S₄ a S₃ también produce una representación irreducible de 2 dimensiones, que es una representación irreductible de un grupo simétrico de grado n de la dimensión inferior n − 1, que sólo ocurre n = 4.

S₅

S₅ es el primer grupo simétrico no resuelto. Junto con el grupo lineal especial SL(2, 5) y el grupo icosahedral A₅ S₂, S₅ es uno de los tres grupos no resueltos de orden 120, hasta el isomorfismo. S₅ es el grupo Galois de la ecuación quintica general, y el hecho de que S₅ no es un grupo solvable se traduce en la no existencia de una fórmula general para resolver polinomios quinéticos por los radicales. Hay un mapa de inclusión exótico S₅ → S₆ como subgrupo transitivo; el mapa de inclusión obvio S_n → S_{n+ 1} fija un punto y por lo tanto no es transitivo. Esto produce el automorfismo exterior de S₆, discutido a continuación, y corresponde a la sextic resuelto de un quintic.

S₆

A diferencia de todos los otros grupos simétricos, S₆, tiene un automorfismo exterior. Utilizando el lenguaje de la teoría de Galois, esto también se puede entender en términos de resueltos de Lagrange. La resolución de un quintic es del grado 6 — esto corresponde a un mapa de inclusión exótico S₅ → S₆ como subgrupo transitivo (el mapa de inclusión obvio S_n → S_{n+ 1} fija un punto y por lo tanto no es transitivo) y, mientras que este mapa no hace que el quintic general solvable, que produce el exótico automorfismo exterior de S₆—ver Automorfismos de los grupos simétricos y alternantes para detalles.

Note que mientras A₆ y A₇ tienen un multiplicador Schur excepcional (una cubierta triple) y que se extienden a cubiertas triples de S₆ y S₇, estos no corresponden a excepcional Schur multiplicadores del grupo simétrico.

Mapas entre grupos simétricos

Aparte del mapa trivial S_n → C₁ ≅ S_{0 ≅ S1} y el mapa de signos S_n → S₂ , los homomorfismos más notables entre grupos simétricos, en orden de dimensión relativa, son:

• S₄ → S₃ correspondiente al subgrupo normal excepcional V₄ " S "₄;
• S₆ → S₆ (o más bien, una clase de tales mapas hasta el automorfismo interior) correspondiente al automorfismo exterior de S₆.
• S₅ → S₆ como subgrupo transitivo, dando el automorfismo exterior de S₆ como se discutió anteriormente.

También hay una gran cantidad de otros homomorfismos S_m → S_n donde m < n.

Relación con grupo alterno

Para n ≥ 5, el grupo alternante A_n es simple, y el cociente inducido es el mapa de signos: A_n → S_n → S₂ que se divide tomando una transposición de dos elementos. Así S_n es el producto semidirecto A_n ⋊ S ₂, y no tiene otros subgrupos normales propios, ya que se cruzarían con A_n en la identidad (y por lo tanto ellos mismos serían la identidad o un grupo de 2 elementos, que no es normal), o en A_n (y por lo tanto ellos mismos ser A_n o S_n).

S_n actúa sobre su subgrupo A_n por conjugación, y por n ≠ 6, S_n es el grupo completo de automorfismos de A_n: Aut(A_n) ≅ S_n. La conjugación por elementos pares son automorfismos internos de A_n mientras que el automorfismo externo de A_n de orden 2 corresponde a conjugación por un elemento impar. Para n = 6, hay un automorfismo externo excepcional de A_n entonces S< sub>n no es el grupo completo de automorfismos de A_n.

Por el contrario, para n ≠ 6, S_n no tiene automorfismos externos, y para n ≠ 2 no tiene centro, entonces para n ≠ 2, 6 es un grupo completo, como se explica en el grupo de automorfismos, a continuación.

Para n ≥ 5, S_n es un grupo casi simple, ya que se encuentra entre el grupo simple A_n y su grupo de automorfismos.

S_n se puede incrustar en A_n+2 agregando la transposición (n + 1, n + 2) a todas las permutaciones impares, mientras se incrusta en A_{n +1} es imposible para n > 1.

Generadores y relaciones

El grupo simétrico n letras se generan por las transposiciones adyacentes ${displaystyle sigma _{i}=(i,i+1)}$ ese intercambio i y i + 1. La colección ${displaystyle sigma _{1},ldotssigma ¿Qué?$ genera S_n sujeto a las siguientes relaciones:

• ${displaystyle sigma ¿Qué?$
• ${displaystyle sigma _{i}sigma _{j}=sigma _{j}sigma ¿Qué?$ para ${displaystyle Silencio.$, y
• ${displaystyle (sigma _{i}sigma ¿Por qué?$

donde 1 representa la permutación de identidad. Esta representación dota al grupo simétrico de la estructura de un grupo de Coxeter (y por tanto también de un grupo de reflexión).

Otros conjuntos generadores posibles incluyen el conjunto de transposiciones que intercambian 1 y i para 2 ≤ i ≤ n, y un conjunto que contiene cualquier n-ciclo y un 2-ciclo de elementos adyacentes en el n-ciclo.

Estructura de subgrupos

Un subgrupo de un grupo simétrico se denomina grupo de permutación.

Subgrupos normales

Los subgrupos normales de los grupos simétricos finitos se entienden bien. Si n ≤ 2, S_n tiene como máximo 2 elementos, por lo que no tiene subgrupos propios no triviales. El grupo alterno de grado n es siempre un subgrupo normal, propio para n ≥ 2 y no trivial para n ≥ 3; para n ≥ 3 es de hecho el único subgrupo normal propio no trivial de S_n, excepto cuando n = 4 donde hay un subgrupo normal adicional, que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein.

El grupo simétrico en un conjunto infinito no tiene un subgrupo de índice 2, ya que Vitali (1915) demostró que cada permutación se puede escribir como un producto de tres cuadrados. Sin embargo, contiene el subgrupo normal S de permutaciones que fijan todos menos un número finito de elementos, que se genera mediante transposiciones. Aquellos elementos de S que son productos de un número par de transposiciones forman un subgrupo de índice 2 en S, llamado subgrupo alterno A. Dado que A es incluso un subgrupo característico de S, también es un subgrupo normal del grupo simétrico completo del conjunto infinito. Los grupos A y S son los únicos subgrupos normales propios no triviales del grupo simétrico en un conjunto numerable infinito. Esto fue probado por primera vez por Onofri (1929) e independientemente Schreier-Ulam (1934). Para más detalles ver (Scott 1987, Cap. 11.3) o (Dixon & Mortimer 1996, Cap. 8.1).

Subgrupos máximos

Los subgrupos máximos de S_n se dividen en tres clases: los intransitivos, los imprimitivos y los primitivos. Los subgrupos maximales intransitivos son exactamente aquellos de la forma S_k × S_n–k para 1 ≤ k < n/2. Los subgrupos máximos imprimitivos son exactamente aquellos de la forma S_k wr S_n/k, donde 2 ≤ k ≤ n/2 es un divisor propio de n y "wr" denota el producto de la corona. Los subgrupos máximos primitivos son más difíciles de identificar, pero con la ayuda del teorema de O'Nan-Scott y la clasificación de grupos simples finitos (Liebeck, Praeger & Saxl 1988) dieron una descripción bastante satisfactoria de los subgrupos máximos. de este tipo, según (Dixon & Mortimer 1996, p. 268).

Subgrupos de Sylow

Los subgrupos de Sylow de los grupos simétricos son ejemplos importantes de p-grupos. Se describen más fácilmente en casos especiales primero:

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p son solo los subgrupos cíclicos generados por los ciclos p. Hay (p − 1)!/(p − 1) = (p − 2)! dichos subgrupos simplemente contando generadores. Por lo tanto, el normalizador tiene orden p⋅(p − 1) y se conoce como grupo de Frobenius F_p(p−1) (especialmente para p = 5), y es el grupo lineal general afín, AGL(1, p).

El Sylow p-subgrupos del grupo simétrico de grado p² son el producto de la corona de dos grupos cíclicos de orden p. Por ejemplo, cuando p = 3, un Sylow 3-subgrupo de Sym(9) se genera por a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) y los elementos x = (1 2 3), Sí. = (4 5 6), z = (7 8 9), y cada elemento del grupo Sylow 3-subgroup tiene la forma aⁱx^jSí.^kz^l para ${displaystyle 0leq i,j,k,lleq 2}$.

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado pⁿ a veces se denominan W_p(n), y usando esta notación se tiene que W_p(n + 1) es el producto de corona de W_p(n) y W_p(1).

En general, los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado n son un producto directo de a_i copias de W_p(i), donde 0 ≤ a_i ≤ p − 1 y n = < i>a₀ + p⋅a₁ +... + p ^k⋅a_k (la base p expansión de n).

Por ejemplo, W₂(1) = C₂ y W₂(2) = D₈, el grupo diédrico de orden 8, por lo que { (1, 3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } y es isomorfo a D₈ × C₂.

Estos cálculos se atribuyen a (Kaloujnine 1948) y se describen con más detalle en (Rotman 1995, p. 176). Tenga en cuenta, sin embargo, que (Kerber 1971, p. 26) atribuye el resultado a un trabajo de Cauchy de 1844 y menciona que incluso está cubierto en forma de libro de texto en (Netto 1882, §39–40).

Subgrupos transitivos

Un subgrupo transitivo de S_n es un subgrupo cuya acción en {1, 2,,..., n } es transitivo. Por ejemplo, el grupo de Galois de una extensión (finita) de Galois es un subgrupo transitivo de S_n, para algún n.

Teorema de Cayley

El teorema de Cayley establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de algún grupo simétrico. En particular, se puede tomar un subgrupo del grupo simétrico sobre los elementos de G, ya que cada grupo actúa fielmente sobre sí mismo por multiplicación (izquierda o derecha).

Subgrupos cíclicos

Los grupos cíclicos son aquellos que son generados por una sola permutación. Cuando una permutación se representa en notación de ciclo, el orden del subgrupo cíclico que genera es el mínimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos. Por ejemplo, en S₅, un subgrupo cíclico de orden 5 es generado por (13254), mientras que los subgrupos cíclicos más grandes de S₅ son generados por elementos como (123) (45) que tienen un ciclo de longitud 3 y otro ciclo de longitud 2. Esto descarta muchos grupos como posibles subgrupos de grupos simétricos de un tamaño dado. Por ejemplo, S₅ no tiene subgrupo de orden 15 (un divisor del orden de S₅), porque el único grupo de orden 15 es el grupo cíclico. El mayor orden posible de un subgrupo cíclico (equivalentemente, el mayor orden posible de un elemento en S_n) viene dado por la función de Landau.

Grupo de automorfismos

Para n ≠ 2, 6, S_n es un grupo completo: su grupo de automorfismos central y exterior son ambos triviales.

Para n = 2, el grupo de automorfismos es trivial, pero S₂ no es trivial: es isomorfo a C₂, que es abeliano, y por lo tanto el centro es todo el grupo.

Para n = 6, tiene un automorfismo externo de orden 2: Out(S ₆) = C₂, y el grupo de automorfismos es un producto semidirecto Aut(S₆) = S₆ ⋊ C₂.

De hecho, para cualquier conjunto X de cardinalidad distinta de 6, todo automorfismo del grupo simétrico en X es interno, un resultado debido primero a (Schreier & Ulam 1936) según (Dixon & Mortimer 1996, p. 259).

Homología

La homología de grupo de S_n es bastante regular y se estabiliza: la primera homología (concretamente, la abelianización) es:

${displaystyle H_{1}(mathrm {S} _{n},mathbf {Z}={begin{cases}0 limitn won2\mathbf {Z}$

El primer grupo de homología es la abelianización, y corresponde al mapa de signos S_n → S₂ que es la abelianización para n ≥ 2; para n < 2 el grupo simétrico es trivial. Esta homología se calcula fácilmente de la siguiente manera: S_n se genera mediante involuciones (2 ciclos, que tienen orden 2), por lo que los únicos mapas no triviales S_n → C_p son a S_{2 y todas las involuciones son conjugadas, por lo tanto, se asignan al mismo elemento en la abelianización (ya que la conjugación es trivial en grupos abelianos). Por lo tanto, los únicos mapas posibles Sn → S2 ≅ {±1} envían un involución a 1 (el mapa trivial) o a −1 (el mapa de signos). También se debe mostrar que el mapa de signos está bien definido, pero asumiendo eso, esto da la primera homología de Sn.}

La segunda homología (concretamente, el multiplicador de Schur) es:

${displaystyle H_{2}(mathrm {S} _{n},mathbf {Z}={begin{cases}0 limitn won4\\mathbf {Z}$

Esto fue calculado en (Schur 1911), y corresponde a la doble cubierta del grupo simétrico, 2 · S_n.

Tenga en cuenta que la excepcional homología de baja dimensión del grupo alternante (${displaystyle H_{1}(mathrm {A} _{3})cong H_{1}(mathrm {A} _{4})cong mathrm {C} _{3}}$ correspondiente a la abelianización no-trivial, y ${displaystyle H_{2}(mathrm {A} _{6})cong H_{2}(mathrm {A} _{7})cong mathrm {C} _{6}}}$ debido a la excepcional cubierta 3 veces) no cambia la homología del grupo simétrico; los fenómenos de grupo alternos producen fenómenos de grupo simétricos – el mapa ${displaystyle mathrm {A} _{4}twoheadrightarrow mathrm {C} _{3}}$ se extiende a ${displaystyle mathrm {S} _{4}twoheadrightarrow mathrm {S} _{3}$ y las cubiertas triples de A₆ y A₇ extender a cubiertas triples de S₆ y S₇ - pero no son homológica – el mapa ${displaystyle mathrm {S} _{4}twoheadrightarrow mathrm {S} _{3}$ no cambia la abelianización de S₄, y las cubiertas triples tampoco corresponden a la homología.

La homología "estabiliza" en el sentido de la teoría de homotopía estable: hay un mapa de inclusión S_n → S_{n +1}, y para k fijos, el mapa inducido en homología H _k(S_n) → H_k(S_n+1) es un isomorfismo para n suficientemente alto. Esto es análogo a la homología de grupos de Lie de familias que se estabilizan.

La homología del grupo simétrico infinito se calcula en (Nakaoka 1961), con el álgebra de cohomología formando un álgebra de Hopf.

Teoría de la representación

La teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de los grupos finitos, de la que se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene una gran área de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta problemas de mecánica cuántica para varias partículas idénticas.

El grupo simétrico S_n tiene orden n!. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de n. Por tanto, según la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes, sobre los números complejos, es igual al número de particiones de n. A diferencia de la situación general de los grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar la representación irreducible mediante el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, a saber, mediante particiones de n o, de forma equivalente, diagramas de Young de tamaño n .

Cada una de estas representaciones irreducibles se puede realizar sobre los números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); puede construirse explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por los cuadros de forma de Young dados por el diagrama de Young.

En otros campos, la situación puede volverse mucho más complicada. Si el campo K tiene una característica igual a cero o mayor que n entonces por el teorema de Maschke el álgebra de grupos KS _n es semisimple. En estos casos las representaciones irreducibles definidas sobre los enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo la característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreducibles del grupo simétrico no se conocen en características arbitrarias. En este contexto es más habitual utilizar el lenguaje de módulos que el de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los números enteros reduciendo módulo la característica no será en general irreducible. Los módulos así construidos se denominan módulos Specht, y cada irreducible surge dentro de alguno de esos módulos. Ahora hay menos irreducibles, y aunque se pueden clasificar, se entienden muy poco. Por ejemplo, incluso sus dimensiones no se conocen en general.

La determinación de los módulos irreducibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario se considera ampliamente como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.