Grupo sencillo

En matemáticas, un grupo simple es un grupo no trivial cuyos únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el grupo mismo. Un grupo que no es simple se puede dividir en dos grupos más pequeños, a saber, un subgrupo normal no trivial y el grupo cociente correspondiente. Este proceso se puede repetir y, para grupos finitos, finalmente se llega a grupos simples determinados de forma única, mediante el teorema de Jordan-Hölder.

La clasificación completa de grupos finitos simples, completada en 2004, es un hito importante en la historia de las matemáticas.

Ejemplos

Grupos simples finitos

El grupo cíclico G = (Z/3Z, +) = Z ₃ de clases de congruencia módulo 3 (ver aritmética modular) es simple. Si H es un subgrupo de este grupo, su orden (el número de elementos) debe ser un divisor del orden de G que es 3. Como 3 es primo, su los únicos divisores son 1 y 3, por lo que H es G o H es el grupo trivial. Por otro lado, el grupo G = (Z/12Z, +) = Z₁₂ no es simple. El conjunto H de clases de congruencia de 0, 4 y 8 módulo 12 es un subgrupo de orden 3, y es un subgrupo normal ya que cualquier subgrupo de un grupo abeliano es normal. De manera similar, el grupo aditivo de los enteros (Z, +) no es simple; el conjunto de enteros pares es un subgrupo normal propio no trivial.

Se puede usar el mismo tipo de razonamiento para cualquier grupo abeliano, para deducir que los únicos grupos abelianos simples son los grupos cíclicos de primer orden. La clasificación de los grupos simples no abelianos es mucho menos trivial. El grupo simple no abeliano más pequeño es el grupo alterno A₅ de orden 60, y todo grupo simple de orden 60 es isomorfo a A₅. El segundo grupo simple no abeliano más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) de orden 168, y todo grupo simple de orden 168 es isomorfo a PSL(2,7).

Grupos simples infinitos

El grupo alterno infinito, es decir, el grupo de permutaciones de los números enteros incluso finitamente admitidas, A_∞ es simple. Este grupo se puede escribir como la unión creciente de los grupos simples finitos A_n con respecto a las incrustaciones estándar A _n → A_n+1. PSL_n(F) proporciona otra familia de ejemplos de infinitos grupos simples, donde F es un infinito campo y n ≥ 2.

Es mucho más difícil construir grupos simples infinitos generados finitamente. El primer resultado de existencia no es explícito; se debe a Graham Higman y consiste en cocientes simples del grupo de Higman. Los ejemplos explícitos, que resultan ser finitos, incluyen los infinitos grupos de Thompson T y V. Burger y Mozes construyeron grupos simples infinitos sin torsión presentados finitamente.

Clasificación

Todavía no existe una clasificación conocida para grupos simples generales (infinitos), y no se espera tal clasificación.

Grupos simples finitos

Los grupos simples finitos son importantes porque, en cierto sentido, son los "bloques de construcción básicos" de todos los grupos finitos, algo similar a la forma en que los números primos son los componentes básicos de los números enteros. Esto se expresa mediante el teorema de Jordan-Hölder que establece que dos series cualesquiera de composición de un grupo dado tienen la misma longitud y los mismos factores, salvo permutación e isomorfismo. En un gran esfuerzo de colaboración, la clasificación de grupos finitos simples fue declarada completada en 1983 por Daniel Gorenstein, aunque surgieron algunos problemas (específicamente en la clasificación de grupos cuasifinos, que fueron tapados en 2004).

Brevemente, los grupos simples finitos se clasifican como pertenecientes a una de 18 familias, o como una de 26 excepciones:

• Z_p – grupo cíclico de primer orden
• A_n – grupo alternativo para n ≥ 5

  Los grupos alternos pueden ser considerados como grupos de tipo Lie sobre el campo con un elemento, que une a esta familia con la siguiente, y por lo tanto todas las familias de grupos simples finitos no abelianos pueden ser consideradas de tipo Lie.

• Una de las 16 familias de grupos de tipo Lie

  El grupo Tits es generalmente considerado de esta forma, aunque estrictamente hablando no es de tipo Lie, sino más bien índice 2 en un grupo de tipo Lie.

• Una de las 26 excepciones, los grupos esporádicos, de los cuales 20 son subgrupos o subcocientes del grupo de monstruos y se denominan la "familia feliz", mientras que los 6 restantes se denominan parías.

Estructura de grupos finitos simples

El famoso teorema de Feit y Thompson establece que todo grupo de orden impar tiene solución. Por lo tanto, todo grupo simple finito tiene orden par a menos que sea cíclico de orden primo.

La conjetura de Schreier afirma que el grupo de automorfismos externos de todo grupo finito simple es solucionable. Esto se puede probar usando el teorema de clasificación.

Historial para grupos simples finitos

Hay dos hilos en la historia de los grupos simples finitos: el descubrimiento y la construcción de familias y grupos simples específicos, que tuvo lugar desde el trabajo de Galois en la década de 1820 hasta la construcción del Monstruo en 1981; y prueba de que esta lista estaba completa, que comenzó en el siglo XIX, tuvo lugar de manera más significativa entre 1955 y 1983 (cuando se declaró inicialmente la victoria), pero solo se acordó en general que se terminaría en 2004. A partir de 2010, el trabajo para mejorar las pruebas y el entendimiento continúa; ver (Silvestri 1979) para la historia del siglo XIX de los grupos simples.

Construcción

Los grupos simples se han estudiado al menos desde la teoría de Galois temprana, donde Évariste Galois se dio cuenta de que el hecho de que los grupos alternados en cinco o más puntos son simples (y por lo tanto no tienen solución), lo que demostró en 1831, era la razón de que no se podía resolver la quíntica en radicales. Galois también construyó el grupo lineal especial proyectivo de un plano sobre un cuerpo primo finito, PSL(2,p), y comentó que eran simples para p no 2 o 3. Esto está contenido en su última carta a Chevalier, y son el siguiente ejemplo de grupos finitos simples.

Los siguientes descubrimientos fueron de Camille Jordan en 1870. Jordan había encontrado 4 familias de grupos de matrices simples sobre campos finitos de orden primo, que ahora se conocen como grupos clásicos.

Casi al mismo tiempo, se demostró que una familia de cinco grupos, llamada los grupos de Mathieu y descrita por primera vez por Émile Léonard Mathieu en 1861 y 1873, también eran simples. Dado que estos cinco grupos fueron construidos por métodos que no produjeron un número infinito de posibilidades, se les llamó "esporádicos" por William Burnside en su libro de texto de 1897.

Posteriormente, los resultados de Jordan sobre grupos clásicos fueron generalizados a campos finitos arbitrarios por Leonard Dickson, siguiendo la clasificación de álgebras de Lie simples y complejas de Wilhelm Killing. Dickson también construyó grupos de excepción de tipo G₂ y E6, pero no de tipo F₄, E₇ o E ₈ (Wilson 2009, p. 2). En la década de 1950 se continuó con el trabajo sobre los grupos de tipo Lie, con Claude Chevalley dando una construcción uniforme de los grupos clásicos y los grupos de tipo excepcional en un artículo de 1955. Esto omitió ciertos grupos conocidos (los grupos unitarios proyectivos), que se obtuvieron "torciendo" la construcción de Chevalley. El resto de grupos de tipo Lie fueron producidos por Steinberg, Tits y Herzig (quienes produjeron ³D₄(q) y ²E₆(q)) y por Suzuki y Ree (los grupos Suzuki-Ree).

Se creía que estos grupos (los grupos de tipo Lie, junto con los grupos cíclicos, los grupos alternos y los cinco grupos excepcionales de Mathieu) eran una lista completa, pero después de una pausa de casi un siglo desde el trabajo de Mathieu, en 1964 se descubrió el primer grupo Janko, y los 20 grupos esporádicos restantes se descubrieron o conjeturaron en 1965-1975, culminando en 1981, cuando Robert Griess anunció que había construido el 'Monster group' de Bernd Fischer.;. El Monstruo es el grupo simple esporádico más grande que tiene un orden de 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. El Monstruo tiene una representación fiel de 196 883 dimensiones en el álgebra de Griess de 196 884 dimensiones, lo que significa que cada elemento del Monstruo se puede expresar como una matriz de 196 883 por 196 883.

Clasificación

En general, se acepta que la clasificación completa comienza con el teorema de Feit-Thompson de 1962–63, que duró en gran medida hasta 1983, pero que solo se terminó en 2004.

Poco después de la construcción del Monstruo en 1981, se suministró una prueba, con un total de más de 10.000 páginas, de que los teóricos de grupos habían enumerado con éxito todos los grupos simples finitos, con la victoria declarada en 1983 por Daniel Gorenstein. Esto fue prematuro: más tarde se descubrieron algunas lagunas, en particular en la clasificación de los grupos de cuasifinas, que finalmente fueron reemplazadas en 2004 por una clasificación de 1.300 páginas de grupos de cuasitinas, que ahora se acepta generalmente como completa.

Pruebas de falta de simplicidad

Prueba de Sylow: Sea n un entero positivo que no es primo, y sea p un divisor primo de n. Si 1 es el único divisor de n que es congruente con 1 módulo p, entonces no existe un grupo simple de orden n.

Prueba: Si n es una potencia prima, entonces un grupo de orden n tiene un centro no trivial y, por lo tanto, no es simple. Si n no es una potencia prima, entonces todo subgrupo de Sylow es propio y, por el tercer teorema de Sylow, sabemos que el número de p-subgrupos de Sylow de un grupo de orden n es igual a 1 módulo p y divide a n. Dado que 1 es el único número de este tipo, el subgrupo p de Sylow es único y, por lo tanto, es normal. Dado que es un subgrupo propio, sin identidad, el grupo no es simple.

Burnside: un grupo simple finito no abeliano tiene un orden divisible por al menos tres números primos distintos. Esto se sigue del teorema de Burnside.