Grupo profinito

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En matemáticas, un grupo profinito es un grupo topológico que, en cierto sentido, se ensambla a partir de un sistema de grupos finitos.

La idea de utilizar un grupo profinito es proporcionar un "uniform" o "sinoptico", vista de todo un sistema de grupos finitos. Las propiedades del grupo profinito generalmente hablan propiedades uniformes del sistema. Por ejemplo, el grupo profinito se genera finitamente (como grupo topológico) si y sólo si existe ${displaystyle din mathbb {N} }$ tal que cada grupo en el sistema puede ser generado por $d$ elementos. Muchos teoremas sobre grupos finitos se pueden generalizar fácilmente a grupos profinitos; ejemplos son el teorema de Lagrange y los teoremas Sylow.

Para construir un grupo profinito se necesita un sistema de grupos finitos y homomorfismos de grupo entre ellos. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que estos homomorfismos son sobreyectivos, en cuyo caso los grupos finitos aparecerán como grupos cocientes del grupo profinito resultante; en cierto sentido, estos cocientes se aproximan al grupo profinito.

Ejemplos importantes de grupos profinitos son los grupos aditivos $p$ - enteros adictivos y los grupos Galois de extensiones de campo de grado infinito.

Cada grupo profinito es compacto y totalmente desconectado. Una generalización no compacta del concepto es la de grupos localmente profinitos. Aún más generales son los grupos totalmente desconectados.

Definición

Los grupos profinitos se pueden definir de dos formas equivalentes.

Primera definición (constructiva)

Un grupo profinito es un grupo topológico que es isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos finitos discretos. En este contexto, un sistema inverso consiste en un conjunto dirigido ${displaystyle (I,leq),}$ una familia indexada de grupos finitos ${displaystyle {G_{i}:iin I},}$ cada uno teniendo la topología discreta, y una familia de homomorfismos ${displaystyle {f_{i}^{j}:G_{j}to G_{i}mid i,jin I,ileq j}}$ tales que ${displaystyle f_{i}^{i}}$ es el mapa de identidad en $G_i$ y la colección satisface la propiedad composición ${displaystyle f_{i}^{j}circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}.}$ El límite inverso es el conjunto:

{displaystyle varprojlim G_{i}=left{(g_{i})_{iin I}in {textstyle prod limits _{iin I}}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{text{ for all }}jgeq iright}}

También se puede definir el límite inverso en términos de una propiedad universal. En términos categóricos, este es un caso especial de una construcción límite cofiltrada.

Segunda definición (axiomática)

Un grupo profinito es un grupo topológico de Hausdorff, compacto y totalmente desconectado: es decir, un grupo topológico que también es un espacio de Stone.

Finalización profinita

Dado un grupo arbitrario $G,$ hay un grupo profinito relacionado ${widehat {G}},$ el finalización definitiva de $G.$ Se define como el límite inverso de los grupos ${displaystyle G/N,}$ Donde $N$ pasa por los subgrupos normales en $G$ de índice finito (estos subgrupos normales se ordenan parcialmente por inclusión, que se traduce en un sistema inverso de homomorfismos naturales entre los cocientes).

Hay un homomorfismo natural ${displaystyle eta:Gto {widehat {G}},}$ y la imagen de $G$ bajo este homomorfismo es denso ${displaystyle {widehat {G}}.}$ El homomorfismo $eta$ es inyectable si y sólo si el grupo $G$ es residualmente finito (es decir, ${displaystyle cap N=1,}$ donde la intersección corre a través de todos los subgrupos normales de índice finito).

El homomorfismo $eta$ se caracteriza por la siguiente propiedad universal: dado cualquier grupo profinito $H$ y cualquier homomorfismo de grupo continuo $f:Grightarrow H$ Donde $G$ se da la topología más pequeña compatible con operaciones de grupo en las que se abren sus subgrupos normales de índice finito, existe un homomorfismo grupo continuo único ${displaystyle g:{widehat {G}}rightarrow H}$ con ${displaystyle f=geta.}$

Equivalencia

Cualquier grupo construido por la primera definición satisface los axiomas de la segunda definición.

Por el contrario, cualquier grupo que satisfaga estos axiomas puede ser construido como un límite inverso según la primera definición utilizando el límite inverso ${displaystyle varprojlim G/N}$ Donde $N$ rangos a través de los subgrupos normales abiertos de $G$ ordenado por (reverso) inclusión. En otras palabras, $G$ es su propia finalización profinita.

Sistemas sobreyectivos

En la práctica, el sistema inverso de grupos finitos es casi siempre surjetivo, lo que significa que todos sus mapas son subjetivos. Sin pérdida de generalidad, basta considerar sólo sistemas subjetivos ya que dado cualquier sistema inverso, es posible construir primero su grupo profinito $G,$ y luego reconstrucción como su propia terminación profinita.

Ejemplos

Los grupos finitos son profinitos, si se les da la topología discreta.
El grupo de $p$ - enteros adictivos ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ bajo adición es profinito (de hecho procíclico). Es el límite inverso de los grupos finitos ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z} }$ Donde $n$ rangos sobre todos los números naturales y los mapas naturales ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z} to mathbb {Z} /p^{m}mathbb {Z} }$ para ${displaystyle ngeq m.}$ La topología en este grupo profinito es la misma que la topología derivada de la $p$ -adic valoración on ${displaystyle mathbb {Z} _{p}.}$
El grupo de enteros profinitos ${displaystyle {widehat {mathbb {Z} }}}$ es la terminación definitiva de ${displaystyle mathbb {Z}.}$ En detalle, es el límite inverso de los grupos finitos ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$ Donde ${displaystyle n=1,2,3,dots }$ con los mapas de modulo ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} to mathbb {Z} /mmathbb {Z} }$ para ${displaystyle m,|,n.}$ Este grupo es el producto de todos los grupos ${displaystyle mathbb {Z} _{p},}$ y es el grupo absoluto Galois de cualquier campo finito.
La teoría Galois de las extensiones de campo de grado infinito da lugar naturalmente a grupos Galois que son profinitos. Específicamente, si $L/K$ es una extensión Galois, considerar el grupo ${displaystyle G=operatorname {Gal} (L/K)}$ que consiste en todos los automorfismos de campo $L$ que mantienen todos los elementos $K$ fijo. Este grupo es el límite inverso de los grupos finitos ${displaystyle operatorname {Gal} (F/K),}$ Donde $F$ rangos sobre todos los campos intermedios tales que ${displaystyle F/K}$ es un finito Extensión Galois. Para el proceso límite, los homomorfismos de restricción ${displaystyle operatorname {Gal} (F_{1}/K)to operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$ se utilizan, donde ${displaystyle F_{2}subseteq F_{1}.}$ La topología obtenida ${displaystyle operatorname {Gal} (L/K)}$ es conocido como Krull topology después de Wolfgang Krull. Waterhouse (1974) mostró que cada uno grupo profinito es isomorfo a uno derivado de la teoría Galois de algunos sobre el terreno $K,$ pero no se puede controlar el campo $K$ estará en este caso. De hecho, para muchos campos $K$ uno no sabe en general precisamente qué grupos finitos ocurren como grupos Galois sobre $K.$ Este es el problema inverso de Galois para un campo $K.$ (Para algunos campos) $K$ el problema inverso de Galois se resuelve, como el campo de funciones racionales en una variable sobre los números complejos.) No todo grupo profinito ocurre como un grupo absoluto de Galois de un campo.
Los grupos fundamentales del cuento considerados en la geometría algebraica también son grupos profinitos, aproximadamente hablando porque el álgebra sólo puede 'ver' cubiertas finitas de una variedad algebraica. Los grupos fundamentales de la topología algebraica, sin embargo, no son en general profinitos: para cualquier grupo prescrito, hay un complejo CW 2dimensional cuyo grupo fundamental lo iguala.
El grupo automorfismo de un árbol arraigado localmente finito es profinito.

Propiedades y hechos

Cada producto de (arbitraramente muchos) grupos profinitos es profinito; la topología derivada de la profinitividad coincide con la topología del producto. El límite inverso de un sistema inverso de grupos profinitos con mapas de transición continuos es profinito y el functor límite inverso es exacto en la categoría de grupos profinitos. Además, ser profinito es una propiedad de extensión.
Cada subgrupo cerrado de un grupo profinito es en sí mismo profinito; la topología derivada de la profinitividad coincide con la topología subespacial. Si $N$ es un subgrupo normal cerrado de un grupo profinito $G,$ entonces el grupo factor $G/N$ es profinita; la topología derivada de la profinitividad coincide con la topología cociente.
Desde cada grupo profinito $G$ es compacto Hausdorff, existe una medida Haar en $G,$ que nos permite medir el tamaño de los subconjuntos de $G,$ computar ciertas probabilidades, e integrar funciones en $G.$
Un subgrupo de un grupo profinito está abierto si está cerrado y tiene índice finito.
Según un teorema de Nikolay Nikolov y Dan Segal, en cualquier grupo profinito de generación topológicamente finita (es decir, un grupo profinito que tiene un subgrupo denso generado finitamente) los subgrupos de índice finito están abiertos. Esto generaliza un resultado analógico anterior de Jean-Pierre Serre para generar topológicamente finitamente pro- $p$ grupos. La prueba utiliza la clasificación de grupos simples finitos.
Como corolario fácil del resultado de Nikolov-Segal arriba, cualquiera homomorfismo grupo discreto subjetivo ${displaystyle varphi:Gto H}$ entre grupos profinitos $G$ y $H$ es continuo mientras $G$ se genera topológicamente finitamente. De hecho, cualquier subgrupo abierto de $H$ es de índice finito, por lo que su preimage en $G$ es también de índice finito, y por lo tanto debe estar abierto.
Suppose $G$ y $H$ son grupos profinitos generados topológicamente finitamente que son isomorfos como grupos discretos por un isomorfismo ${displaystyle iota.}$ Entonces... $iota$ es bijetivo y continuo por el resultado anterior. Además, ${displaystyle iota ^{-1}}$ es también continuo, así que $iota$ es un homeomorfismo. Por lo tanto, la topología en un grupo profinito generado topológicamente finitamente es únicamente determinada por su algebraica estructura.

Grupos ind-finitos

Hay una noción de ind-finite group, que es el dual conceptual a los grupos profinitos; es decir, un grupo $G$ es infinito si es el límite directo de un sistema inductivo de grupos finitos. (En particular, es un grupo ind.) La terminología habitual es diferente: un grupo $G$ se llama localmente finito si cada subgrupo generado finito es finito. Esto equivale, de hecho, a ser 'ind-finite'.

Al aplicar la dualidad de Pontryagin, se puede ver que los grupos abelianos profinitos están en dualidad con grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son solo los grupos de torsión abelianos.

Grupos profinitos proyectivos

Un grupo profinito es proyecto si tiene la propiedad de elevación para cada extensión. Esto equivale a decir que $G$ es proyector si por cada morfismo subjetivo de un profinito $Hto G$ hay una sección ${displaystyle Gto H.}$

Projectivity for a profinite group $G$ es equivalente a cualquiera de las dos propiedades:

la dimensión cohomológica ${displaystyle operatorname {cd} (G)leq 1;}$
para cada primo $p$ el Sylow $p$ - Subgrupos de $G$ son libres pro- $p$ - grupos.

Todo grupo profinito proyectivo se puede realizar como un grupo absoluto de Galois de un campo pseudoalgebraicamente cerrado. Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries.

Grupo procíclico

Un grupo profinito $G$ es procíclico si se genera topológicamente por un solo elemento ${displaystyle sigma;}$ si ${displaystyle G={overline {langle sigma rangle }},}$ el cierre del subgrupo ${displaystyle langle sigma rangle =left{sigma ^{n}:nin mathbb {Z} right}.}$

Un grupo topológico $G$ es procíclico si y sólo si ${displaystyle Gcong {textstyle prod limits _{p}}G_{p}}$ Donde $p$ rangos sobre todos los números y ${displaystyle G_{p}}$ es isomorfo para ambos ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ o ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z}nin mathbb {N}.}$

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