Grupo P

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos, dado un número primo p, un p-grupo es un grupo en el que el orden de cada elemento es una potencia de p. Es decir, para cada elemento g de un grupo p G, existe un entero no negativo n tal que el producto de pⁿ copias de g, y no menos, es igual al elemento identidad. Los órdenes de diferentes elementos pueden ser diferentes potencias de p.

Los p-grupos abelianos también se denominan p-primary o simplemente primary.

Un grupo finito es un grupo p si y solo si su orden (el número de sus elementos) es una potencia de p. Dado un grupo finito G, los teoremas de Sylow garantizan la existencia de un subgrupo de G de orden pⁿ para toda potencia prima pⁿ que divide el orden de G.

Todo grupo p finito es nilpotente.

El resto de este artículo trata sobre grupos p finitos. Para ver un ejemplo de un grupo p abeliano infinito, consulte el grupo de Prüfer y, para ver un ejemplo de un grupo p simple infinito, consulte el grupo de monstruos de Tarski.

Propiedades

Cada grupo p es periódico ya que, por definición, cada elemento tiene un orden finito.

Si p es primo y G es un grupo de orden p^k, entonces G tiene un subgrupo normal de orden p^m por cada 1 ≤ m ≤ k. Esto se sigue por inducción, usando el teorema de Cauchy y el teorema de correspondencia para grupos. Un boceto de prueba es el siguiente: porque el centro Z de G no es trivial (ver más abajo), de acuerdo con el teorema de Cauchy Z tiene un subgrupo H de orden p. Siendo central en G, H es necesariamente normal en G. Ahora podemos aplicar la hipótesis inductiva a G/H, y el resultado se sigue del Teorema de Correspondencia.

Centro no trivial

Uno de los primeros resultados estándar usando la ecuación de clase es que el centro de un grupo p finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial.

Esto forma la base para muchos métodos inductivos en grupos p.

Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo propio H de un grupo p finito G correctamente contiene H, porque para cualquier contraejemplo con H = N, el centro Z está contenido en N , y así también en H, pero luego hay un ejemplo más pequeño H/Z cuyo normalizador en G< /i>/Z es N/Z = H/Z, creando un descenso infinito. Como corolario, todo grupo p finito es nilpotente.

En otra dirección, todo subgrupo normal N de un grupo p finito se cruza con el centro de manera no trivial, como puede demostrarse considerando los elementos de N que se fijan cuando G actúa sobre N por conjugación. Dado que todo subgrupo central es normal, se sigue que todo subgrupo normal mínimo de un grupo p finito es central y tiene un orden p. De hecho, el zócalo de un grupo p finito es el subgrupo del centro formado por los elementos centrales de orden p.

Si G es un grupo p, entonces también lo es G/Z, y también lo es tiene un centro no trivial. La preimagen en G del centro de G/Z se denomina segundo centro y estos grupos inician la serie central superior. Generalizando los comentarios anteriores sobre el zócalo, un grupo finito p con orden pⁿ contiene subgrupos normales de orden p ⁱ con 0 ≤ i ≤ n, y cualquier subgrupo normal de orden pⁱ está contenido en el iésimo centro Z_i. Si un subgrupo normal no está contenido en Z_i, entonces su intersección con Z _i+1 tiene un tamaño de al menos pⁱ⁺¹.

Automorfismos

Los grupos de automorfismos de los grupos p están bien estudiados. Así como todo grupo p finito tiene un centro no trivial, de modo que el grupo de automorfismos interno es un cociente propio del grupo, todo grupo p finito tiene un centro no trivial. grupo de automorfismo externo trivial. Todo automorfismo de G induce un automorfismo en G/Φ(G), donde Φ(G) es el Subgrupo Frattini de G. El cociente G/Φ(G) es un grupo abeliano elemental y su grupo de automorfismos es un grupo lineal general, por lo que se entiende muy bien. El mapa del grupo de automorfismos de G en este grupo lineal general ha sido estudiado por Burnside, quien mostró que el núcleo de este mapa es un grupo p.

Ejemplos

p-grupos del mismo orden no son necesariamente isomorfos; por ejemplo, el grupo cíclico C₄ y el grupo de cuatro de Klein V₄ son ambos grupos de 2 de orden 4, pero no son isomorfos.

Tampoco es necesario que un grupo p sea abeliano; el grupo diédrico Dih₄ de orden 8 es un 2-grupo no abeliano. Sin embargo, todo grupo de orden p² es abeliano.

Los grupos diedros son muy similares y muy diferentes de los grupos cuaterniones y los grupos semidiédricos. Juntos, los grupos diedros, semidiédricos y cuaterniones forman los 2 grupos de clase máxima, es decir, aquellos grupos de orden 2ⁿ⁺¹ y clase de nilpotencia n< /i>.

Productos de corona iterados

Los productos corona iterados de grupos cíclicos de orden p son ejemplos muy importantes de grupos p. Denote el grupo cíclico de orden p como W(1), y el producto de la corona de W(n) con W(1) como W(n + 1). Entonces W(n) es el subgrupo Sylow p del grupo simétrico Sym(p^{< i>n}). Los p-subgrupos máximos del grupo lineal general GL(n,Q) son productos directos de varios W(n). Tiene orden p^k donde k = (pⁿ − 1)/(p − 1). Tiene clase de nilpotencia pⁿ⁻¹, y su serie central inferior, serie central superior, exponente inferior-p serie central y exponente superior-p serie central son iguales. Se genera por sus elementos de orden p, pero su exponente es pⁿ. El segundo grupo, W(2), también es un grupo p de clase máxima, ya que tiene orden p^{< i>p}+1 y clase de nilpotencia p, pero no es un grupo p normal. Dado que los grupos de orden p^p son siempre grupos regulares, también es un ejemplo mínimo.

Grupos diédricos generalizados

Cuando p = 2 y n = 2, W(n) es el grupo diédrico de orden 8, por lo que en cierto sentido W(n) proporciona un análogo para el grupo diédrico para todos los números primos p cuando n = 2. Sin embargo, para n más altos, la analogía se vuelve tensa. Hay una familia diferente de ejemplos que imita más de cerca los grupos diédricos de orden 2ⁿ, pero eso requiere un poco más de configuración. Sea ζ una raíz primitiva pésima de la unidad en los números complejos, sea Z[ζ] el anillo de enteros ciclotómicos generados por él, y sea P sea el ideal primo generado por 1−ζ. Sea G un grupo cíclico de orden p generado por un elemento z. Forme el producto semidirecto E(p) de Z[ζ] y G donde z actúa como una multiplicación por ζ. Las potencias Pⁿ son subgrupos normales de E(p), y las los grupos de ejemplo son E(p,n) = E(p)/ Pⁿ. E(p,n) tiene orden pⁿ⁺¹ y clase de nilpotencia n, también lo es un grupo p de clase máxima. Cuando p = 2, E(2,n) es el grupo diédrico de orden 2ⁿ . Cuando p es impar, tanto W(2) como E(p,p) son grupos irregulares de clase y orden máximos p^p+1, pero no son isomorfos.

Grupos de matrices uniangulares

Los subgrupos de Sylow de grupos lineales generales son otra familia fundamental de ejemplos. Sea V un espacio vectorial de dimensión n de base { e₁, e₂,..., e_n } y definir V_i para ser el espacio vectorial generado por { e_i, e< /i>_i+1,..., e_n } para 1 ≤ i ≤ n, y define V_i = 0 cuando i > n. Para cada 1 ≤ m ≤ n, el conjunto de transformaciones lineales invertibles de V que toman cada V_i a V_i+m forman un subgrupo de Aut(V) denota U_m. Si V es un espacio vectorial sobre Z/pZ, entonces U< sub>1 es un subgrupo p de Sylow de Aut(V) = GL(n, p), y los términos de su serie central inferior son simplemente la U_m. En términos de matrices, U_m son aquellas matrices triangulares superiores con 1 en la diagonal y 0 en la primera m−1 superdiagonales. El grupo U₁ tiene orden p^{n·(n− 1)/2}, clase de nilpotencia n y exponente p^k donde k es el menor entero al menos tan grande como el logaritmo base p de n.

Clasificación

Los grupos de orden pⁿ para 0 ≤ n ≤ 4 se clasificaron temprano en la historia de la teoría de grupos, y el trabajo moderno ha extendido estas clasificaciones a grupos cuyo orden divide a p⁷, aunque la gran cantidad de familias de tales grupos crece tan rápidamente que clasificaciones adicionales a lo largo de estas líneas se juzgan difíciles de comprender para la mente humana. Por ejemplo, Marshall Hall Jr. y James K. Senior clasificaron grupos de orden 2ⁿ para n ≤ 6 en 1964.

En lugar de clasificar los grupos por orden, Philip Hall propuso usar una noción de isoclinismo de grupos que reuniera grupos p finitos en familias basadas en grandes cocientes y subgrupos.

Un método completamente diferente clasifica los grupos p finitos por su coclase, es decir, la diferencia entre la longitud de su composición y su clase de nilpotencia. Las llamadas conjeturas de coclases describían el conjunto de todos los grupos p finitos de coclases fijas como perturbaciones de un número finito de grupos pro-p. Las conjeturas de coclase se probaron en la década de 1980 utilizando técnicas relacionadas con álgebras de Lie y poderosos grupos p. Las demostraciones finales de los teoremas de la coclase se deben a A. Shalev e independientemente a C. R. Leedham-Green, ambos en 1994. Admiten una clasificación de grupos p finitos en direcciones gráficos de coclase que consisten en un número finito de árboles de coclase cuyos (infinitos) miembros se caracterizan por un número finito de presentaciones parametrizadas.

Todo grupo de orden p⁵ es metabeliano.

Hasta p3

El grupo trivial es el único grupo de orden uno, y el grupo cíclico C_p es el único grupo de orden p. Hay exactamente dos grupos de orden p², ambos abelianos, a saber, C_{p² y Cp × Cp. Por ejemplo, el grupo cíclico C4 y el grupo de cuatro de Klein V4 que es C2 × C 2 son ambos grupos de 2 de orden 4.}

Hay tres grupos abelianos de orden p³, a saber, C_{p³, Cp² × Cp y C p × Cp × Cp. También hay dos grupos no abelianos.}

Para p ≠ 2, uno es un producto semidirecto de C_p × C_p con C_p, y el otro es un producto semidirecto de C_p² con C_p. El primero puede describirse en otros términos como grupo UT(3,p) de matrices unitriangulares sobre campo finito con elementos p, también llamado grupo de Heisenberg mod p.

Para p = 2, ambos productos semidirectos mencionados anteriormente son isomorfos al grupo diédrico Dih₄ de orden 8. El otro grupo no abeliano de orden 8 es el grupo de cuaterniones Q₈.

Prevalencia

Entre grupos

Número de clases de isomorfismo de grupos de orden pⁿ crece como ${displaystyle p^{frac {2} {27}n^{3}+O(n^{8/3}}}$, y estos son dominados por las clases que son nilpotent de dos pasos. Debido a este rápido crecimiento, hay una conjetura folclore afirmando que casi todos los grupos finitos son 2 grupos: la fracción de clases de isomorfismo de 2 grupos entre clases de isomorfismo de grupos de orden en la mayoría n se piensa que tiende a 1 como n tiende a la infinidad. Por ejemplo, de los 49 910 529 484 diferentes grupos de orden en la mayoría de 2000, 49 487 365 422, o poco más del 99%, son 2 grupos de orden 1024.

Dentro de un grupo

Cada grupo finito cuyo orden es divisible p contiene un subgrupo que no es trivial p- grupo, a saber, un grupo cíclico de orden p generado por un elemento de orden p obtenido del teorema de Cauchy. De hecho, contiene un p- grupo de orden máxima posible: si ${displaystyle ← }$ Donde p no divide m, entonces G tiene un subgrupo P de orden ${displaystyle p^{k}$ llamado Sylow p- Subgrupo. Este subgrupo no necesita ser único, pero cualquier subgrupo de este orden es conjugado, y cualquier p- Subgrupo G está contenido en un Sylow p- Subgrupo. Esta y otras propiedades se prueban en los teoremas Sylow.

Aplicación a la estructura de un grupo

p- Los grupos son herramientas fundamentales para entender la estructura de grupos y en la clasificación de grupos simples finitos. p- los grupos surgen como subgrupos y como grupos colaterales. Como subgrupos, para un primo dado p uno tiene el Sylow p- Subgrupos P (mayor p- subgrupo no único pero todo conjugado) y el p-core ${displaystyle O_{p}(G)}$ (el único más grande normal p- Subgrupo), y varios otros. Como cocientes, el mayor p- cociente de grupo es el cociente G por el subgrupo p-residual ${displaystyle O^{p}(G). }$ Estos grupos están relacionados (para diferentes primos), poseen propiedades importantes como el teorema del subgrupo focal, y permiten determinar muchos aspectos de la estructura del grupo.

Control local

Gran parte de la estructura de un grupo finito se lleva a cabo en la estructura de sus llamados subgrupos locales, los normalizadores de subgrupos p sin identidad.

Los grandes subgrupos abelianos elementales de un grupo finito ejercen control sobre el grupo que se utilizó en la demostración del teorema de Feit-Thompson. Ciertas extensiones centrales de grupos abelianos elementales llamados grupos extraespeciales ayudan a describir la estructura de los grupos actuando sobre espacios vectoriales simplécticos.

Richard Brauer clasificó todos los grupos cuyos subgrupos Sylow 2 son el producto directo de dos grupos cíclicos de orden 4, y John Walter, Daniel Gorenstein, Helmut Bender, Michio Suzuki, George Glauberman y otros clasificaron aquellos grupos simples cuyos Sylow 2 -los subgrupos eran abelianos, diédricos, semidiédricos o cuaterniones.