Grupo nilpotente

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Grupo que tiene una serie central superior terminando con G

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos, un grupo nilpotente G es un grupo que tiene una serie central superior que termina en G. De manera equivalente, su serie central es de longitud finita o su serie central inferior termina en {1}.

Intuitivamente, un grupo nilpotente es un grupo "casi abeliano". Esta idea está motivada por el hecho de que los grupos nilpotentes son solubles, y para grupos nilpotentes finitos, dos elementos que tienen órdenes relativamente primos deben conmutar. También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son supersolubles. El concepto se atribuye al trabajo en la década de 1930 por el matemático ruso Sergei Chernikov.

Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois, así como en la clasificación de grupos. También aparecen de forma destacada en la clasificación de los grupos de Lie.

Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie (usando el paréntesis de Lie) que incluyen nilpotente, serie central inferior y serie central superior.

Definición

La definición utiliza la idea de una serie central para un grupo. Las siguientes son definiciones equivalentes para un grupo nilpotente $G$ :

$G$ tiene una serie central de longitud finita. Es decir, una serie de subgrupos normales
${displaystyle {1}=G_{0}triangleleft G_{1}triangleleft dots triangleleft G_{n}=G}$
Donde ${displaystyle G_{i+1}/G_{i}leq Z(G/G_{i})}$ , o equivalente ${displaystyle [G,G_{i+1}]leq G_{i}}$ .
$G$ tiene una serie central inferior terminando en el subgrupo trivial después de finitamente muchos pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales
${displaystyle G=G_{0}triangleright G_{1}triangleright dots triangleright G_{n}={1}}$
Donde ${displaystyle G_{i+1}=[G_{i},G]}$ .
$G$ tiene una serie central superior terminando en todo el grupo después de finitamente muchos pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales
${displaystyle {1}=Z_{0}triangleleft Z_{1}triangleleft dots triangleleft Z_{n}=G}$
Donde ${displaystyle Z_{1}=Z(G)}$ y ${displaystyle Z_{i+1}}$ es el subgrupo tal que ${displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})}$ .

Para un grupo nilpotente, el más pequeño $n$ tales que $G$ tiene una serie central de longitud $n$ se llama clase de nilpotencia de $G$ ; y $G$ se dice que nilpotente de clase $n$ . (Por definición, la longitud es $n$ si hay $n+1$ diferentes subgrupos de la serie, incluyendo el subgrupo trivial y todo el grupo.)

De manera equivalente, la clase de nilpotencia de $G$ es igual a la longitud de la serie central inferior o la serie central superior. Si un grupo tiene una clase de potencia nula como máximo $n$ , entonces a veces se le llama nil- $n$ grupo.

Se sigue inmediatamente de cualquiera de las formas anteriores de la definición de nilpotencia, que el grupo trivial es el único grupo de clase de nilpotencia $0$ , y grupos de clase de nilpotencia $1$ son exactamente los grupos abelianos no triviales.

Ejemplos

Una parte del gráfico Cayley del grupo discreto Heisenberg, un conocido grupo nilpotent.

Como se ha señalado anteriormente, todo grupo abeliano es nilpotent.
Para un pequeño ejemplo no abeliano, considere el grupo de cuaternión Q₈, que es un no-abeliano más pequeño p- grupo. Tiene el centro {1,—1} del orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q₈; por lo que es nilpotente de la clase 2.
El producto directo de dos grupos nilpotent es nilpotent.
Todos los grupos de p finitos son de hecho nilpotent (prueba). La clase máxima de un grupo de orden pⁿ es n (por ejemplo, cualquier grupo de orden 2 es nilpotente de clase 1). Los 2 grupos de clase máxima son los grupos de quaternion generalizados, los grupos dihedral y los grupos semidiedral.
Además, cada grupo nilpotente finito es el producto directo de p- grupos.
El grupo multiplicador de la unidad superior n × n matrices sobre cualquier campo F es un grupo nilpotente de clase de nilpotencia n 1. En particular, n = 3 rendimientos del grupo Heisenberg H, un ejemplo de un grupo nilpotente infinito no abeliano. Tiene clase de nilpotencia 2 con serie central 1, Z()H), H.
El grupo multiplicador de triangular superior invertible n × n matrices sobre un campo F no es en general nilpotente, pero es solvable.
Cualquier grupo nonabeliano G tales que G/Z()G) es abeliano tiene nilpotencia clase 2, con serie central {1}, Z()G), G.

Se han caracterizado los números naturales k para los que cualquier grupo de orden k es nilpotente (secuencia A056867 en la OEIA).

Explicación del término

Los grupos de nilpotent se llaman así porque la "acción conjunta" de cualquier elemento es nilpotente, lo que significa que para un grupo nilpotente $G$ grado de nilpotencia $n$ y un elemento $g$ , la función $operatorname{ad}_g colon G to G$ definidas por $operatorname{ad}_g(x):= [g,x]$ (donde) $[g,x]=g^{-1} x^{-1} g x$ es el conmutador de $g$ y $x$ ) es nilpotente en el sentido de que $n$ la iteración de la función es trivial: $left(operatorname{ad}_gright)^n(x)=e$ para todos $x$ dentro $G$ .

Esta no es una característica definitoria de los grupos nilpotent: grupos para los cuales $operatorname {ad} _{g}$ es nilpotente de grado $n$ (en el sentido anterior) se llaman $n$ - Grupos Engel, y no necesita ser nilpotente en general. Se prueba que son nilpotent si tienen orden finito, y se conjeturan a ser nilpotent mientras se generen finitamente.

Un grupo abeliano es precisamente aquel para el cual la acción adjunta no es solo nilpotente sino trivial (un grupo de 1-Engel).

Propiedades

Dado que cada grupo de factores sucesivos Z_i+1/Z_i en la parte central superior la serie es abeliana, y la serie es finita, cada grupo nilpotente es un grupo soluble con una estructura relativamente simple.

Todo subgrupo de un grupo nilpotente de clase n es nilpotente de clase a lo sumo n; además, si f es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase n, entonces la imagen de f es nilpotente de clase a lo sumo n.

Las siguientes declaraciones son equivalentes para grupos finitos y revelan algunas propiedades útiles de la nilpotencia:

G es un grupo nilpotente.
Si H es un subgrupo adecuado G, entonces H es un subgrupo normal adecuado N_G()H) (el normalizador de H dentro G). Esto se llama propiedad normalizador y puede ser frasedo simplemente como "los normalizadores crecen".
Cada subgrupo de Sylow G es normal.
G es el producto directo de sus subgrupos Sylow.
Si d divide el orden de G, entonces G tiene un subgrupo normal de orden d.

Prueba:

a)→(b): Por inducción en la vidaGSilencio. Si G es abeliano, entonces para cualquier H, N_G()H) G. Si no, si Z()G) no está contenido en H, entonces h_ZH_Z⁻¹h⁻¹ = h 'H 'h⁻¹ = HAsí que H·Z()G) normalizadores H. Si Z()G) está contenida en H, entonces H/Z()G) está contenida en G/Z()G). Nota, G/Z()G) es un grupo de nilpotente. Así pues, existe un subgrupo de G/Z()G) que normaliza H/Z()G) y H/Z()G) es un subgrupo adecuado de él. Por lo tanto, retirar este subgrupo al subgrupo en G y se normaliza H. (Esta prueba es el mismo argumento que para p-grupos - el único hecho que necesitábamos era si G es nilpotente entonces así es G/Z()G) – por lo que los detalles son omitidos.)
b)→ c): Vamos p₁,p₂,...p_s ser los principales distintos dividir su orden y dejar P_i dentro Syl._{p_i}()G), 1 ≤ i ≤ s. Vamos P = P_i para algunos i y dejar N = N_G()P). Desde P es un subgrupo normal de Sylow N, P es característico en N. Desde P char N y N es un subgrupo normal de N_G()N), tenemos que P es un subgrupo normal de N_G()N). Esto significa N_G()N) es un subgrupo de N y por consiguiente N_G()N) N. b) Por consiguiente, debemos N = G, que da (c).
c)→d): Vamos p₁,p₂,...p_s ser los principales distintos dividir su orden y dejar P_i dentro Syl._{p_i}()G), 1 ≤ i ≤ s. Para cualquier t, 1 ≤ t ≤ s mostramos inductivamente que P₁P₂··P_t es isomorfo a P₁×P₂×P_t.
Nota primero que cada P_i es normal en G Así que... P₁P₂··P_t es un subgrupo G. Vamos H ser el producto P₁P₂··P_t−1 y dejar K = P_t, así por inducción H es isomorfo a P₁×P₂×P_t−1. En particular,HSilencioP₁⋅⋅P₂⋅⋅··⋅P_t−1Silencio. Since confidencialidadKSilencioP_tSilencio, las órdenes de H y K son relativamente primos. El teorema de Lagrange implica la intersección de H y K es igual a 1. Por definición,P₁P₂··P_t = HK, por lo tanto HK es isomorfo a H×K que es igual a P₁×P₂×P_t. Esto completa la inducción. Ahora t = s para obtener (d).
d)→ e): Note que un p-grupo de orden p^k tiene un subgrupo normal de orden p^m para todosm≤k. Desde G es un producto directo de sus subgrupos de Sylow, y la normalidad se conserva sobre el producto directo de grupos, G tiene un subgrupo normal de orden d para cada divisor d of SilencioGSilencio.
e)→a): Para cualquier primo p dividiendo ØGEl subgrupo Sylow es normal. Así podemos aplicar (c) (ya que ya probamos (c)→(e)).

La declaración (d) se puede extender a infinitos grupos: si G es un grupo nilpotente, entonces cada subgrupo de Sylow G_p de G es normal, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en G (ver subgrupo de torsión).

Muchas propiedades de los grupos nilpotentes son compartidas por los grupos hipercentrales.

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