Grupo (matemáticas)

Los axiomas del grupo implican también que el inverso de cada elemento es único: Si un elemento de grupo a{displaystyle a} ambos b{displaystyle b} y c{displaystyle c} como inversos, entonces

b{displaystyle b}	={displaystyle {}=}	b⋅ ⋅ e{displaystyle bcdot e}		desde entonces e{displaystyle e} es el elemento de identidad
	={displaystyle {}=}	b⋅ ⋅ ()a⋅ ⋅ c){displaystyle bcdot (acdot c)}		desde entonces c{displaystyle c} es un inverso de a{displaystyle a}Así que e=a⋅ ⋅ c{displaystyle e=acdot c}
	={displaystyle {}=}	()b⋅ ⋅ a)⋅ ⋅ c{displaystyle (bcdot a)cdot c}		por asociación, que permite reorganizar los paréntesis
	={displaystyle {}=}	e⋅ ⋅ c{displaystyle ecdot c}		desde entonces b{displaystyle b} es un inverso de a{displaystyle a}Así que b⋅ ⋅ a=e{displaystyle bcdot a=e}
	={displaystyle {}=}	c{displaystyle c}		desde entonces e{displaystyle e} es el elemento de identidad.

Por lo tanto, se acostumbra hablar de el inverso de un elemento.

División

Dados los elementos a{displaystyle a} y b{displaystyle b} de un grupo G{displaystyle G., hay una solución única x{displaystyle x} dentro G{displaystyle G. a la ecuación a⋅ ⋅ x=b{displaystyle acdot x=b}, a saber a− − 1⋅ ⋅ b{displaystyle a^{-1}cdot b). (Uno generalmente evita usar la notación de la fracción ba{fnMicroc} {b}{a}} a) G{displaystyle G. es abeliano, debido a la ambigüedad de si significa a− − 1⋅ ⋅ b{displaystyle a^{-1}cdot b) o b⋅ ⋅ a− − 1{displaystyle bcdot a^{-1}.) Lo sigue por cada a{displaystyle a} dentro G{displaystyle G., la función G→ → G{displaystyle Gto G} que mapa cada uno x{displaystyle x} a a⋅ ⋅ x{displaystyle acdot x} es una bijeción; se llama multiplicación izquierda por a{displaystyle a} o traducción a la izquierda a{displaystyle a}.

Del mismo modo, dado a{displaystyle a} y b{displaystyle b}, la solución única x⋅ ⋅ a=b{displaystyle xcdot a=b} es b⋅ ⋅ a− − 1{displaystyle bcdot a^{-1}. Para cada uno a{displaystyle a}, la función G→ → G{displaystyle Gto G} que mapa cada uno x{displaystyle x} a x⋅ ⋅ a{displaystyle xcdot a} es una bijeción llamada multiplicación derecha por a{displaystyle a} o traducción correcta a{displaystyle a}.

Conceptos básicos

Al estudiar conjuntos, se utilizan conceptos como subconjunto, función y cociente mediante una relación de equivalencia. Cuando se estudian grupos, se utilizan en su lugar subgrupos, homomorfismos y grupos de cocientes. Estos son los análogos que tienen en cuenta la estructura del grupo.

Homomorfismos de grupo

Los homomorfismos del grupo son funciones que respetan la estructura del grupo; pueden utilizarse para relacionar dos grupos. A homomorfismo de un grupo ()G,⋅ ⋅ ){displaystyle (G,cdot)} a un grupo ()H,Alternativa Alternativa ){displaystyle (H,*)} es una función φ φ :G→ → H{displaystyle varphi:Gto H} tales que

φ φ ()a⋅ ⋅ b)=φ φ ()a)Alternativa Alternativa φ φ ()b){displaystyle varphi (acdot b)=varphi (a)*varphi (b)} para todos los elementos a{displaystyle a} y b{displaystyle b} dentro G{displaystyle G..

Sería natural exigir también que φ φ {displaystyle varphi } respetar las identidades, φ φ ()1G)=1H{displaystyle varphi (1_{G}=1_{H}, e inversos, φ φ ()a− − 1)=φ φ ()a)− − 1{displaystyle varphi (a^{-1})=varphi (a)^{-1} para todos a{displaystyle a} dentro G{displaystyle G.. Sin embargo, estos requisitos adicionales no deben incluirse en la definición de homomorfismos, porque ya están implicados por el requisito de respetar la operación del grupo.

El identidad homomorfismo de un grupo G{displaystyle G. es el homomorfismo .. G:G→ → G{displaystyle iota Gto G} que mapea cada elemento de G{displaystyle G. a sí mismo. An homomorfismo inverso de un homomorfismo φ φ :G→ → H{displaystyle varphi:Gto H} es un homomorfismo ↑ ↑ :H→ → G{displaystyle psi:Hto G} tales que ↑ ↑ ∘ ∘ φ φ =.. G{displaystyle psi circ varphi =iota ¿Qué? y φ φ ∘ ∘ ↑ ↑ =.. H{displaystyle varphi circ psi =iota ¿Qué?, es decir, tal que ↑ ↑ ()φ φ ()g))=g{displaystyle psi {bigl (}varphi (g){bigr)}=g} para todos g{displaystyle g} dentro G{displaystyle G. y tal que φ φ ()↑ ↑ ()h))=h{displaystyle varphi {bigl (}psi (h){bigr)}=h} para todos h{displaystyle h} dentro H{displaystyle H.. An isomorfismo es un homomorfismo que tiene un homomorfismo inverso; equivalentemente, es un homomorfismo bijetivo. Grupos G{displaystyle G. y H{displaystyle H. se llaman isomorfo si existe un isomorfismo φ φ :G→ → H{displaystyle varphi:Gto H}. En este caso, H{displaystyle H. puede obtenerse G{displaystyle G. simplemente renombrando sus elementos según la función φ φ {displaystyle varphi }; entonces cualquier declaración verdadera G{displaystyle G. es verdad H{displaystyle H., siempre que cualquier elemento específico mencionado en la declaración también sea renombrado.

La colección de todos los grupos, junto con los homomorfismos entre ellos, forman una categoría, la categoría de grupos.

Subgrupos

Informalmente, un subgrupos es un grupo H{displaystyle H. contenida dentro de uno más grande, G{displaystyle G.: tiene un subconjunto de los elementos G{displaystyle G.Con la misma operación. Concretamente, esto significa que el elemento de identidad G{displaystyle G. debe estar contenido en H{displaystyle H., y siempre h1{displaystyle h_{1} y h2{displaystyle h_{2} ambos en H{displaystyle H., entonces lo son h1⋅ ⋅ h2{displaystyle h_{1}cdot h_{2} y h1− − 1{displaystyle h_{1} {-1}, así los elementos de H{displaystyle H., equipado con la operación del grupo en G{displaystyle G. restringidos H{displaystyle H., de hecho forma un grupo. En este caso, el mapa de inclusión H→ → G{displaystyle Hto G} es un homomorfismo.

En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo R={}id,r1,r2,r3}{displaystyle R={mathrm - ¿Qué?, resaltado en rojo en la tabla de grupo del ejemplo: cualquier dos rotaciones compuestas son todavía una rotación, y una rotación se puede deshacer por (es decir, es inverso a) las rotaciones complementarias 270° para 90°, 180° para 180°, y 90° para 270°. La prueba del subgrupo proporciona una condición necesaria y suficiente para un subconjunto no vacío H de un grupo G ser un subgrupo: basta comprobar que g− − 1⋅ ⋅ h▪ ▪ H{displaystyle g^{-1}cdot hin H. para todos los elementos g{displaystyle g} y h{displaystyle h} dentro H{displaystyle H.. Conocer los subgrupos de un grupo es importante para entender el grupo en su conjunto.

Dado cualquier subconjunto S{displaystyle S. de un grupo G{displaystyle G., el subgrupo generado por S{displaystyle S. consta de todos los productos de elementos S{displaystyle S. y sus inversos. Es el subgrupo más pequeño de G{displaystyle G. que contiene S{displaystyle S.. En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado, el subgrupo generado por r2{displaystyle R_{2} y fv{displaystyle f_{mathrm {}} consta de estos dos elementos, el elemento de identidad id{displaystyle mathrm {id}, y el elemento fh=fv⋅ ⋅ r2{displaystyle f_{mathrm}=f_{mathrm {v}cdot r_{2}. De nuevo, se trata de un subgrupo, ya que la combinación de dos de estos cuatro elementos o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) produce un elemento de este subgrupo.

Un homomorfismo inyectable φ φ :: G.→ → G{displaystyle phi colon G'to G} factores canónicamente como isomorfismo seguido de una inclusión, G.→ → ♪ ♪ H.. G{displaystyle G';{stackrel {sim}{to ♪♪ G. para algunos subgrupos H de G. Los homomorfismos inyectables son los monomorfismos en la categoría de grupos.

Cosets

En muchas situaciones es conveniente considerar dos elementos de grupo iguales si difieren por un elemento de un subgrupo dado. Por ejemplo, en el grupo de simetría de un cuadrado, una vez que se realiza cualquier reflexión, las rotaciones por sí solas no pueden devolver el cuadrado a su posición original, por lo que se puede pensar en las posiciones reflejadas de la plaza como todas equivalentes entre sí, y como inequivalentes a las posiciones no reflejadas; las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Los cosets se utilizan para formalizar esta visión: un subgrupo H{displaystyle H. determina los cosets izquierdo y derecho, que se pueden considerar como traducciones de H{displaystyle H. por un elemento de grupo arbitrario g{displaystyle g}. En términos simbólicos, izquierda y derecho cosets of H{displaystyle H., que contiene un elemento g{displaystyle g}, son

gH={}g⋅ ⋅ h▪ ▪ h▪ ▪ H}{displaystyle GH=gcdot hmid hin H} y Hg={}h⋅ ⋅ g▪ ▪ h▪ ▪ H}{displaystyle Hg={hcdot gmid hin H}, respectivamente.

Los cosets izquierdos de cualquier subgrupo H{displaystyle H. forma una partición de G{displaystyle G.; es decir, la unión de todos los cosets izquierdos es igual a G{displaystyle G. y dos cosets izquierdos son iguales o tienen una intersección vacía. El primer caso g1H=g2H{displaystyle G_{1}H=g_{2}H sucede precisamente cuando g1− − 1⋅ ⋅ g2▪ ▪ H{displaystyle G_{1} {-1}cdot g_{2}in H., es decir, cuando los dos elementos difieren por un elemento H{displaystyle H.. Consideraciones similares se aplican a los cosets adecuados de H{displaystyle H.. Los cosets izquierdos H{displaystyle H. puede o no ser el mismo que sus cosets derecho. Si lo son (es decir, si todo g{displaystyle g} dentro G{displaystyle G. satisfacer satisfacción gH=Hg{displaystyle gH=Hg}), entonces H{displaystyle H. se dice que es un subgrupo normal.

In D4{displaystyle mathrm {} _{4}, el grupo de simetrías de un cuadrado, con su subgrupo R{displaystyle R. de las rotaciones, los cosets izquierdos gR{displaystyle gR} son iguales R{displaystyle R., si g{displaystyle g} es un elemento R{displaystyle R. en sí mismo, o igual a U=fcR={}fc,fd,fv,fh}{displaystyle U=f_{mathrm {c} }R={f_{mathrm {c},f_{mathrm {d},f_{mathrm {v},f_{mathrm {h} (alturado en verde en la mesa de grupo D4{displaystyle mathrm {} _{4}). El subgrupo R{displaystyle R. es normal, porque fcR=U=Rfc{displaystyle f_{mathrm {c}R=U=Rf_{mathrm {c} y similarmente para los otros elementos del grupo. (De hecho, en el caso de D4{displaystyle mathrm {} _{4}, los cosets generados por las reflexiones son todos iguales: fhR=fvR=fdR=fcR{displaystyle f_{mathrm} }R=f_{mathrm {}R=f_{mathrm {d}R=f_{mathrm {c}R}.)

Grupos de cocientes

Supongamos que N{displaystyle N} es un subgrupo normal de un grupo G{displaystyle G., y

G/N={}gN▪ ▪ g▪ ▪ G}{displaystyle G/N={g Nmid gin G}

G/N{displaystyle G/N}

G→ → G/N{displaystyle Gto G/N}

g{displaystyle g}

gN{displaystyle gN}

gN{displaystyle gN}

hN{displaystyle hN}

()gh)N{displaystyle (gh)N}

eN=N{displaystyle eN=N}

G/N{displaystyle G/N}

gN{displaystyle gN}

()gN)− − 1=()g− − 1)N{displaystyle (gN)^{-1}=left(g^{-1}right)N}

G/N{displaystyle G/N}

G{displaystyle G.

N{displaystyle N}

Mesa del grupo de expertos D4/R{displaystyle mathrm {D} ¿Qué?

⋅ ⋅ {displaystyle cdot }	R{displaystyle R.	U{displaystyle U}
R{displaystyle R.	R{displaystyle R.	U{displaystyle U}
U{displaystyle U}	U{displaystyle U}	R{displaystyle R.

Los elementos del grupo de cociente D4/R{displaystyle mathrm {D} ¿Qué? son R{displaystyle R. y U=fvR{displaystyle U=f_{mathrm {v}R}. La operación del grupo en el cociente se muestra en la tabla. Por ejemplo, U⋅ ⋅ U=fvR⋅ ⋅ fvR=()fv⋅ ⋅ fv)R=R{displaystyle ¿Qué?. Ambos subgrupos R={}id,r1,r2,r3}{displaystyle R={mathrm - ¿Qué? y el cociente D4/R{displaystyle mathrm {D} ¿Qué? son abelios, pero D4{displaystyle mathrm {} _{4} No lo es. A veces un grupo puede ser reconstruido de un subgrupo y un cociente (más algunos datos adicionales), por la construcción de productos semidirectos; D4{displaystyle mathrm {} _{4} es un ejemplo.

El primer teorema isomorfismo implica que cualquier homomorfismo subjetivo φ φ :: G→ → H{displaystyle phi colon Gto H} factores canónicamente como un homomorfismo cociente seguido de un isomorfismo: G→ → G/ker⁡ ⁡ φ φ → → ♪ ♪ H{displaystyle Gto G/ker phi ;{sim }{to };H}. Los homomorfismos quirúrgicos son los epimorfismos en la categoría de grupos.

Presentaciones

Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre, de muchas maneras.

Por ejemplo, el grupo dihedral D4{displaystyle mathrm {} _{4} se genera por la rotación correcta r1{displaystyle R_{1} y la reflexión fv{displaystyle f_{mathrm {}} en una línea vertical (todo elemento de D4{displaystyle mathrm {} _{4} es un producto finito de copias de estos y sus inversos). De ahí que haya un homomorfismo subjetivo φ del grupo libre .. r,f.. {displaystyle langle r,frangle } en dos generadores a D4{displaystyle mathrm {} _{4} envío r{displaystyle r} a r1{displaystyle R_{1} y f{displaystyle f} a f1{displaystyle f_{1}. Elementos en ker⁡ ⁡ φ φ {displaystyle ker phi } se llaman relaciones; ejemplos incluidos r4,r2,()r⋅ ⋅ f)2{displaystyle r^{4},r^{2},(rcdot f)^{2}. De hecho, resulta que ker⁡ ⁡ φ φ {displaystyle ker phi } es el subgrupo normal más pequeño de .. r,f.. {displaystyle langle r,frangle } que contienen estos tres elementos; es decir, todas las relaciones son consecuencias de estos tres. El cociente del grupo libre por este subgrupo normal es denotado .. r,f▪ ▪ r4=f2=()r⋅ ⋅ f)2=1.. {displaystyle langle r,fmid r^{4}=f^{2}=(rcdot f)^{2}=1rangle }. Esto se llama presentación de D4{displaystyle mathrm {} _{4} por generadores y relaciones, porque el primer teorema isomorfismo φ produce un isomorfismo .. r,f▪ ▪ r4=f2=()r⋅ ⋅ f)2=1.. → → D4{displaystyle langle r,fmid r^{4}=f^{2}=(rcdot f)^{2}=1rangle to mathrm {D} {4}}.

Se puede usar una presentación de un grupo para construir el gráfico de Cayley, una representación gráfica de un grupo discreto.

Ejemplos y aplicaciones

Un patrón de papel pintado periódico da lugar a un grupo de papel pintado.

El grupo fundamental de un avión menos un punto (bold) consiste en bucles alrededor del punto perdido. Este grupo es isomorfo para los enteros.

Abundan ejemplos y aplicaciones de grupos. Un punto de partida es el grupo Z{displaystyle mathbb {Z} of integers with addition as group operation, introduced above. Si en lugar de la multiplicación de adición se considera, se obtienen grupos multiplicadores. Estos grupos son predecesores de construcciones importantes en álgebra abstracta.

Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos a menudo se examinan asociándolos a grupos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se llama topología algebraica al introducir el grupo fundamental. Mediante esta conexión, propiedades topológicas como la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. Por ejemplo, los elementos del grupo fundamental se representan mediante bucles. La segunda imagen muestra algunos bucles en un plano menos un punto. El bucle azul se considera homotópico nulo (y, por lo tanto, irrelevante), porque se puede contraer continuamente hasta un punto. La presencia del agujero evita que el lazo naranja se reduzca a un punto. El grupo fundamental del plano con un punto borrado resulta ser cíclico infinito, generado por el lazo naranja (o cualquier otro lazo que se enrolle una vez alrededor del agujero). De esta forma, el grupo fundamental detecta el agujero.

En aplicaciones más recientes, la influencia también se ha invertido para motivar las construcciones geométricas por un trasfondo teórico grupal. De manera similar, la teoría de grupos geométricos emplea conceptos geométricos, por ejemplo, en el estudio de grupos hiperbólicos. Otras ramas que aplican grupos de manera crucial incluyen la geometría algebraica y la teoría de números.

Además de las aplicaciones teóricas anteriores, existen muchas aplicaciones prácticas de los grupos. La criptografía se basa en la combinación del enfoque de la teoría abstracta de grupos junto con el conocimiento algorítmico obtenido en la teoría computacional de grupos, en particular cuando se implementa para grupos finitos. Las aplicaciones de la teoría de grupos no se limitan a las matemáticas; ciencias como la física, la química y la informática se benefician del concepto.

Números

Muchos sistemas numéricos, como los números enteros y los racionales, disfrutan de una estructura de grupo dada naturalmente. En algunos casos, como con los racionales, tanto las operaciones de suma como las de multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Dichos sistemas numéricos son predecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y campos. Otros conceptos algebraicos abstractos como módulos, espacios vectoriales y álgebras también forman grupos.

Enteros

El grupo de enteros Z{displaystyle mathbb {Z} en virtud de la adición, denotado ()Z,+){displaystyle left(mathbb {Z}+right)}, se ha descrito anteriormente. Los enteros, con la operación de multiplicación en lugar de adición, ()Z,⋅ ⋅ ){displaystyle left(mathbb {Z}cdot right)} do no formar un grupo. La asociación y los axiomas de identidad están satisfechos, pero los inversos no existen: por ejemplo, a=2{displaystyle a=2} es un entero, pero la única solución a la ecuación a⋅ ⋅ b=1{displaystyle acdot b=1} en este caso b=12{displaystyle b={tfrac {1}{2}}}, que es un número racional, pero no un entero. Por lo tanto no todos los elementos Z{displaystyle mathbb {Z} tiene un (multiplicativo) inverso.

Racionales

El deseo de la existencia de inversos multiplicativos sugiere considerar las fracciones

ab.{displaystyle {frac {}{b}}

b{displaystyle b}

Q{displaystyle mathbb {Q}

()Q,⋅ ⋅ ){displaystyle left(mathbb {Q}cdot right)}

x{displaystyle x}

x⋅ ⋅ 0=1{displaystyle xcdot 0=1}

()Q,⋅ ⋅ ){displaystyle left(mathbb {Q}cdot right)}

Sin embargo, el conjunto de todos nonzero Números racionales Q∖ ∖ {}0}={}q▪ ▪ Q▪ ▪ qل ل 0}{displaystyle mathbb {Q} smallsetminus left{0right}=left{qin mathbb {Q} mid qneq 0right}} forma un grupo abeliano bajo multiplicación, también denotado Q× × {displaystyle mathbb {Q} {fnMicrosoft Sans Serif}. La asociación y los axiomas del elemento de identidad siguen las propiedades de los enteros. El requisito de cierre sigue siendo válido después de eliminar cero, porque el producto de dos racionales no cero nunca es cero. Finalmente, el inverso de a/b{displaystyle a/b} es b/a{displaystyle b/a}, por lo tanto el axioma del elemento inverso está satisfecho.

Los números racionales (incluyendo cero) también forman un grupo bajo adición. Las operaciones de adición y multiplicación entrelazadas producen estructuras más complicadas llamadas anillos y - si la división por otro de cero es posible, como en Q{displaystyle mathbb {Q} – campos, que ocupan una posición central en álgebra abstracta. Por lo tanto, los argumentos teóricos del grupo subyacen a partes de la teoría de esas entidades.

Aritmética modular

Las horas de un reloj forman un grupo que utiliza el modulo 12. Aquí, 9 + 4.

Aritmética modular para un modulus n{displaystyle n} define dos elementos a{displaystyle a} y b{displaystyle b} que difieren por varios n{displaystyle n} a ser equivalente, denotado por a↑ ↑ b()modn){displaystyle aequiv b{pmod {n}. Cada entero es equivalente a uno de los enteros de 0{displaystyle 0} a n− − 1{displaystyle n-1}, y las operaciones de aritmética modular modifican aritmética normal reemplazando el resultado de cualquier operación por su representante equivalente. Adicionamiento modular, definido de esta manera para los enteros de 0{displaystyle 0} a n− − 1{displaystyle n-1}, forma un grupo, denotado como Zn{displaystyle mathrm {Z} _{n} o ()Z/nZ,+){displaystyle (mathbb {Z}/nmathbb {Z}+)}, con 0{displaystyle 0} como elemento de identidad y n− − a{displaystyle n-a} como el elemento inverso de a{displaystyle a}.

Un ejemplo familiar es la adición de horas en la cara de un reloj, donde 12 en lugar de 0 es elegido como el representante de la identidad. Si la mano de la hora está encendida 9{displaystyle 9} y está avanzado 4{displaystyle 4} horas, termina en 1{displaystyle 1}, como se muestra en la ilustración. Esto se expresa diciendo que 9+4{displaystyle 9+4} es congruente con 1{displaystyle 1} "modulo" 12{displaystyle 12}" o, en símbolos,

9+4↑ ↑ 1()mod12).{displaystyle 9+4equiv 1{pmod {12}}

Para cualquier número primo p{displaystyle p}, también hay el grupo multiplicativo de integers modulo p{displaystyle p}. Sus elementos pueden ser representados por 1{displaystyle 1} a p− − 1{displaystyle p-1}. La operación del grupo, modulo de multiplicación p{displaystyle p}, reemplaza el producto habitual por su representante, el resto de división por p{displaystyle p}. Por ejemplo, p=5{displaystyle p=5}, los cuatro elementos de grupo pueden ser representados por 1,2,3,4{displaystyle 1,2,3,4}. En este grupo, 4⋅ ⋅ 4↑ ↑ 1mod5{displaystyle 4cdot 4equiv 1{bmod {}}, porque el producto habitual 16{displaystyle 16} equivale a 1{displaystyle 1}: cuando dividido 5{displaystyle 5} cede un resto de 1{displaystyle 1}. La primalidad de p{displaystyle p} asegura que el producto habitual de dos representantes no sea divisible por p{displaystyle p}, y por lo tanto que el producto modular es no cero. El elemento de identidad está representado por 1{displaystyle 1}, y la asociatividad sigue de la propiedad correspondiente de los enteros. Finalmente, el elemento inverso axioma requiere que dado un entero a{displaystyle a} no divisible por p{displaystyle p}, existe un entero b{displaystyle b} tales que

a⋅ ⋅ b↑ ↑ 1()modp),{displaystyle acdot bequiv 1{pmod {p}}}

p{displaystyle p}

a⋅ ⋅ b− − 1{displaystyle acdot b-1}

b{displaystyle b}

gcd()a,p){displaystyle gcd(a,p)}

iguales 1{displaystyle 1}.

p=5{displaystyle p=5}

4{displaystyle 4}

4{displaystyle 4}

3{displaystyle 3}

por 2{displaystyle 2}

3⋅ ⋅ 2=6↑ ↑ 1mod5{displaystyle 3cdot 2=6equiv 1{bmod {}}

()Q∖ ∖ {}0},⋅ ⋅ ){displaystyle left(mathbb {Q} smallsetminus left{0right},cdot right)}

Z/pZ{displaystyle mathbb {Z} /pmathbb {Z}

Fp× × {fnMicrosoft Sans Serif}

Grupos cíclicos

Las seis raíces complejas de la unidad forman un grupo cíclico. z{displaystyle z} es un elemento primitivo, pero z2{displaystyle z^{2} no es, porque los poderes extraños z{displaystyle z} no son un poder z2{displaystyle z^{2}.

A Grupo cíclico es un grupo cuyos elementos son poderes de un elemento particular a{displaystyle a}. En notación multiplicativa, los elementos del grupo son

...... ,a− − 3,a− − 2,a− − 1,a0,a,a2,a3,...... ,{displaystyle dotsa^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},dots}

a2{displaystyle a^{2}

a⋅ ⋅ a{displaystyle acdot a}

a− − 3{displaystyle a^{-3}

a− − 1⋅ ⋅ a− − 1⋅ ⋅ a− − 1=()a⋅ ⋅ a⋅ ⋅ a)− − 1{displaystyle a^{-1}cdot a^{-1}cdot a^{-1}=(acdot acdot a)}

a{displaystyle a}

...... ,()− − a)+()− − a),− − a,0,a,a+a,...... .{displaystyle dots(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,dots. }

En los grupos ()Z/nZ,+){displaystyle (mathbb {Z}/nmathbb {Z}+)} introducido anteriormente, el elemento 1{displaystyle 1} es primitivo, por lo que estos grupos son cíclicos. De hecho, cada elemento es expresible como una suma todos cuyos términos son 1{displaystyle 1}. Cualquier grupo cíclico con n{displaystyle n} elementos isomorfos para este grupo. Un segundo ejemplo para los grupos cíclicos es el grupo n{displaystyle n}a complejas raíces de la unidad, dadas por números complejos z{displaystyle z} satisfacción zn=1{displaystyle z^{n}=1}. Estos números se pueden visualizar como los vértices en un regular n{displaystyle n}-gon, como se muestra en azul en la imagen para n=6{displaystyle n=6}. La operación del grupo es la multiplicación de números complejos. En la imagen, multiplicando con z{displaystyle z} corresponde a una rotación en sentido contrario de 60°. De la teoría del campo, el grupo Fp× × {fnMicrosoft Sans Serif} es cíclico para la primera p{displaystyle p}: por ejemplo, si p=5{displaystyle p=5}, 3{displaystyle 3} es un generador desde 31=3{displaystyle 3^{1}=3}, 32=9↑ ↑ 4{displaystyle 3^{2}=9equiv 4}, 33↑ ↑ 2{displaystyle 3^{3}equiv 2}, y 34↑ ↑ 1{displaystyle 3^{4}equiv 1}.

Algunos grupos cíclicos tienen un número infinito de elementos. En estos grupos, por cada elemento no cero a{displaystyle a}, todos los poderes de a{displaystyle a} son distintos; a pesar del nombre "grupo cíclico", los poderes de los elementos no se ciclan. Un grupo cíclico infinito es isomorfo a ()Z,+){displaystyle (mathbb {Z}+)}, el grupo de enteros bajo adición introducido arriba. Como estos dos prototipos son ambos abelianos, así son todos los grupos cíclicos.

El estudio de los grupos abelianos finitamente generados es bastante maduro, incluido el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados; y reflejando este estado de cosas, muchas nociones relacionadas con grupos, como centro y conmutador, describen hasta qué punto un grupo dado no es abeliano.

Grupos de simetría

El grupo triángulo (2,3,7), un grupo de reflexión hiperbólico, actúa sobre este revestimiento del plano hiperbólico

Grupos de simetría son grupos que consisten en simetrías de objetos matemáticos dados, principalmente entidades geométricas, como el grupo de simetría del cuadrado dado como ejemplo introductorio anterior, aunque también surgen en álgebra como el simetrías entre las raíces de las ecuaciones polinómicas tratadas en la teoría de Galois (ver más abajo). Conceptualmente, la teoría de grupos puede considerarse como el estudio de la simetría. Las simetrías en matemáticas simplifican enormemente el estudio de objetos geométricos o analíticos. Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático X si cada elemento del grupo puede asociarse a alguna operación sobre X y la composición de estas operaciones sigue la ley del grupo. Por ejemplo, un elemento del grupo de triángulos (2,3,7) actúa sobre un mosaico triangular del plano hiperbólico permutando los triángulos. Mediante una acción de grupo, el patrón de grupo se conecta a la estructura del objeto sobre el que se actúa.

En campos químicos, como la cristalografía, los grupos espaciales y los grupos puntuales describen simetrías moleculares y simetrías cristalinas. Estas simetrías subyacen al comportamiento químico y físico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite la simplificación del análisis mecánico cuántico de estas propiedades. Por ejemplo, la teoría de grupos se usa para mostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados involucrados.

La teoría de grupos ayuda a predecir los cambios en las propiedades físicas que ocurren cuando un material experimenta una transición de fase, por ejemplo, de una forma cristalina cúbica a una tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos, donde el cambio de un estado paraeléctrico a un estado ferroeléctrico ocurre a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio del estado paraeléctrico de alta simetría al estado ferroeléctrico de menor simetría, acompañado por el llamado modo de fonón suave., un modo de red vibracional que va a frecuencia cero en la transición.

Esta ruptura espontánea de la simetría ha encontrado una mayor aplicación en la física de partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de los bosones de Goldstone.

Pantallas Buckminsterfullerene simetría icosahedral	Amonia, NH3. Su grupo de simetría es de orden 6, generado por una rotación de 120° y una reflexión.	Cubane C8H8 características Simetría octadral.	The tetrachloroplatinate(II) ion, [PtCl4]2- exposiciones geometría plano cuadrado

Los grupos de simetría finita, como los grupos de Mathieu, se utilizan en la teoría de la codificación, que a su vez se aplica en la corrección de errores de los datos transmitidos y en los reproductores de CD. Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois, que caracteriza funciones que tienen antiderivadas de una forma prescrita, dando criterios de teoría de grupos para cuando las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales se comportan bien. Las propiedades geométricas que permanecen estables bajo acciones grupales se investigan en la teoría invariante (geométrica).

Teoría general de grupos lineales y representación

Dos vectores (la ilustración izquierda) multiplicados por matrices (las ilustraciones media y derecha). La ilustración media representa una rotación del reloj en 90°, mientras que la más derecha estira la x{displaystyle x}-coordinado por factor 2.

Los grupos de matriz consisten en matrices junto con la multiplicación de matriz. El General linear group GL()n,R){displaystyle mathrm {GL} (n,mathbb {R})} consiste en todo invertible n{displaystyle n}-por-n{displaystyle n} matrices con entradas reales. Sus subgrupos se denominan grupos de matriz o grupos lineales. El ejemplo del grupo dihedral mencionado anteriormente puede considerarse como un grupo matriz (muy pequeño). Otro grupo importante de matriz es el grupo ortogonal especial SO()n){displaystyle mathrm {SO} (n)}. Describe todas las rotaciones posibles en n{displaystyle n} dimensiones. Las matrices de rotación en este grupo se utilizan en gráficos de computadora.

Teoría de representación es una aplicación del concepto de grupo e importante para una comprensión más profunda de los grupos. Estudia el grupo por sus acciones de grupo en otros espacios. Una amplia clase de representaciones de grupos son representaciones lineales en las que el grupo actúa sobre un espacio vectorial, como el espacio Euclideano tridimensional R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}}. Representación de un grupo G{displaystyle G. on an n{displaystyle n}-dimensional espacio vectorial real es simplemente un grupo homomorfismo *** *** :G→ → GL()n,R){displaystyle rho:Gto mathrm {GL} (n,mathbb {R})}del grupo al grupo lineal general. De esta manera, la operación del grupo, que puede ser dada abstractamente, se traduce en la multiplicación de matrices que lo hacen accesible a computaciones explícitas.

Una acción grupal brinda más medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. Por otro lado, también arroja información sobre el grupo. Las representaciones de grupo son un principio organizador en la teoría de grupos finitos, grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos, especialmente (localmente) grupos compactos.

Grupos de Galois

Grupos galois fueron desarrollados para ayudar a resolver ecuaciones polinómicas capturando sus características de simetría. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0{displaystyle ax^{2}+bx+c=0} son dados por

x=− − b± ± b2− − 4ac2a.{displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}} {2a}}}} {b} {2a}}}} {b}{2a}}}}} {b} {2a}}}}} {b} {2a} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b}} {b}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {c}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}} {

± ± {displaystyle pm }

+{displaystyle +}

− − {displaystyle -}

La teoría moderna de Galois generaliza el tipo anterior de grupos de Galois cambiando a la teoría de campos y considerando las extensiones de campo formadas como el campo divisorio de un polinomio. Esta teoría establece, a través del teorema fundamental de la teoría de Galois, una relación precisa entre campos y grupos, subrayando una vez más la ubicuidad de los grupos en matemáticas.

Grupos finitos

Un grupo se llama finito si tiene un número finito de elementos. El número de elementos se denomina orden del grupo. Una clase importante es la grupos simétricos SN{displaystyle mathrm {S} _{N}, los grupos de permutaciones N{displaystyle N} objetos. Por ejemplo, el grupo simétrico de 3 letras S3{displaystyle mathrm {S} _{3} es el grupo de todas las reordenaciones posibles de los objetos. Las tres letras ABC se pueden reordenar en ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, formando en total 6 elementos (factoriales de 3). La operación de grupo es la composición de estos reordenamientos, y el elemento de identidad es la operación de reordenamiento que deja la orden sin cambios. Esta clase es fundamental en la medida en que cualquier grupo finito pueda expresarse como subgrupo de un grupo simétrico SN{displaystyle mathrm {S} _{N} para un entero adecuado N{displaystyle N}Según el teorema de Cayley. Paralela al grupo de simetrías de la plaza anterior, S3{displaystyle mathrm {S} _{3} también se puede interpretar como el grupo de simetrías de un triángulo equilátero.

El orden de un elemento a{displaystyle a} en un grupo G{displaystyle G. es el número menos positivo n{displaystyle n} tales que an=e{displaystyle a^{n}=e}, donde an{displaystyle a^{n} representaciones

a⋯ ⋯ a⏟ ⏟ nfactores,{displaystyle underbrace {acdots a} _{n{text{ factors}}}}

⋅ ⋅ {displaystyle cdot }

n{displaystyle n}

a{displaystyle a}

⋅ ⋅ {displaystyle cdot }

an{displaystyle a^{n}

n{displaystyle n}

a{displaystyle a}

n{displaystyle n}

a{displaystyle a}

Más sofisticados técnicas de conteo, por ejemplo, contando cosets, producen declaraciones más precisas sobre grupos finitos: El teorema de Lagrange dice que para un grupo finito G{displaystyle G. el orden de cualquier subgrupo finito H{displaystyle H. divide el orden de G{displaystyle G.. Los teoremas Sylow dan un converso parcial.

El grupo dihedral D4{displaystyle mathrm {} _{4} de las simetrías de un cuadrado es un grupo finito de orden 8. En este grupo, el orden de r1{displaystyle R_{1} es 4, como es el orden del subgrupo R{displaystyle R. que este elemento genera. El orden de los elementos de reflexión fv{displaystyle f_{mathrm {}} etc. es 2. Ambas órdenes dividen 8, como predijo el teorema de Lagrange. Los grupos Fp× × {fnMicrosoft Sans Serif} de multiplicación modulo a prime p{displaystyle p} orden p− − 1{displaystyle p-1}.

Grupos abelianos finitos

Cualquier grupo abeliano finito es isomorfo a un producto de grupos cíclicos finitos; esta afirmación es parte del teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados.

Cualquier grupo de orden principal p{displaystyle p} es isomorfo al grupo cíclico Zp{displaystyle mathrm {Z} _{p} (una consecuencia del teorema de Lagrange). Cualquier grupo de orden p2{displaystyle p^{2} es abeliano, isomorfo a Zp2{displaystyle mathrm {Z} _{p^{2}} o Zp× × Zp{displaystyle mathrm {Z} _{p}times mathrm {Z} _{p}. Pero existen grupos nonabelianos de orden p3{displaystyle p^{3}; el grupo dihedral D4{displaystyle mathrm {} _{4} de orden 23{displaystyle 2^{3} arriba es un ejemplo.

Grupos simples

Cuando un grupo G{displaystyle G. tiene un subgrupo normal N{displaystyle N} de otros {}1}{displaystyle {1}} y G{displaystyle G. en sí mismo, preguntas sobre G{displaystyle G. a veces se puede reducir a las preguntas N{displaystyle N} y G/N{displaystyle G/N}. Un grupo no tripartito se llama simple si no tiene un subgrupo normal. Grupos simples finitos son para grupos finitos como números primos son para números enteros positivos: sirven como bloques de construcción, en un sentido hecho preciso por el teorema Jordan-Hölder.

Clasificación de grupos finitos simples

Se han utilizado sistemas de álgebra computacional para listar todos los grupos de orden hasta 2000. Pero clasificar todos los grupos finitos es un problema que se considera demasiado difícil de resolver.

La clasificación de todos los grupos simples finitos fue un logro importante en la teoría de grupos contemporánea. Hay varias familias infinitas de tales grupos, así como 26 "grupos esporádicos" que no pertenecen a ninguna de las familias. El grupo esporádico más grande se llama grupo de monstruos. Las conjeturas de la luz de la luna monstruosa, probadas por Richard Borcherds, relacionan el grupo de monstruos con ciertas funciones modulares.

La brecha entre la clasificación de grupos simples y la clasificación de todos los grupos radica en el problema de extensión.

Grupos con estructura adicional

Una definición equivalente del grupo consiste en reemplazar la parte "existe" del grupo axiomas por operaciones cuyo resultado es el elemento que debe existir. Entonces, un grupo es un conjunto G{displaystyle G. equipado con una operación binaria G× × G→ → G{displaystyle Gtimes Grightarrow G} (la operación del grupo), una operación sin peligro G→ → G{displaystyle Grightarrow G} (que proporciona la inversa) y una operación nullaria, que no tiene operado y resulta en el elemento de identidad. De lo contrario, los axiomas del grupo son exactamente iguales. Esta variante de la definición evita cuantificadores existenciales y se utiliza en la computación con grupos y para pruebas informatizadas.

Esta forma de definir grupos se presta a generalizaciones como la noción de objeto de grupo en una categoría. Brevemente, este es un objeto con morfismos que imitan los axiomas de grupo.

Grupos topológicos

El círculo de la unidad en el plano complejo bajo la multiplicación compleja es un grupo de Lie y, por lo tanto, un grupo topológico. Es topológico ya que la multiplicación y división complejas son continuas. Es un múltiple y por lo tanto un grupo de Lie, porque cada pequeña pieza, como el arco rojo en la figura, parece una parte de la línea real (que aparece en la parte inferior).

Algunos espacios topológicos pueden estar dotados de una ley de grupo. Para que la ley del grupo y la topología interrelacionen bien, las operaciones del grupo deben ser funciones continuas; informalmente, g⋅ ⋅ h{displaystyle gcdot h} y g− − 1{displaystyle g^{-1} no debe variar salvajemente si g{displaystyle g} y h{displaystyle h} varían un poco. Se denominan tales grupos grupos topológicos, y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos. Los ejemplos más básicos son el grupo de números reales bajo adición y el grupo de números reales no cero bajo multiplicación. Ejemplos similares pueden formarse de cualquier otro campo topológico, como el campo de números complejos o el campo de números p-adic. Estos ejemplos son localmente compactos, por lo que tienen medidas Haar y pueden ser estudiados a través del análisis armónico. Otros grupos topológicos locales compactos incluyen el grupo de puntos de un grupo algebraico sobre un campo local o anillo de adele; estos son básicos a la teoría de números Los grupos galois de extensiones de campo algebraico infinito están equipados con la topología Krull, que juega un papel en la teoría infinita de Galois. Una generalización utilizada en la geometría algebraica es el grupo fundamental étale.

Grupos de mentiras

Un grupo de Lie es un grupo que también tiene la estructura de una variedad diferenciable; informalmente, esto significa que se ve localmente como un espacio euclidiano de alguna dimensión fija. Nuevamente, la definición requiere que la estructura adicional, aquí la estructura múltiple, sea compatible: se requiere que la multiplicación y los mapas inversos sean suaves.

Un ejemplo estándar es el grupo lineal general introducido anteriormente: es un subconjunto abierto del espacio de todos n{displaystyle n}-por-n{displaystyle n} matrices, porque es dada por la desigualdad

Det()A)ل ل 0,{displaystyle det(A)neq 0,}

A{displaystyle A}

n{displaystyle n}

n{displaystyle n}

Los grupos de mentira tienen una importancia fundamental en la física moderna: el teorema de Noether vincula simetrías continuas con cantidades conservadas. La rotación, así como las traslaciones en el espacio y el tiempo, son simetrías básicas de las leyes de la mecánica. Pueden, por ejemplo, usarse para construir modelos simples; imponer, digamos, simetría axial en una situación generalmente conducirá a una simplificación significativa en las ecuaciones que uno necesita resolver para proporcionar una descripción física. Otro ejemplo es el grupo de las transformaciones de Lorentz, que relacionan las medidas de tiempo y velocidad de dos observadores en movimiento entre sí. Se pueden deducir de forma puramente teórica de grupos, expresando las transformaciones como una simetría rotacional del espacio de Minkowski. Este último sirve, en ausencia de una gravitación significativa, como modelo del espacio-tiempo en la relatividad especial. El grupo de simetría completo del espacio de Minkowski, es decir, incluidas las traslaciones, se conoce como el grupo de Poincaré. Por lo anterior, juega un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, en las teorías cuánticas de campos. Las simetrías que varían con la ubicación son fundamentales para la descripción moderna de las interacciones físicas con la ayuda de la teoría de calibre. Un ejemplo importante de una teoría de calibre es el modelo estándar, que describe tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas y clasifica todas las partículas elementales conocidas.

Generalizaciones

Se pueden definir estructuras más generales relajando algunos de los axiomas que definen un grupo. La tabla da una lista de varias estructuras que generalizan grupos.

Por ejemplo, si se elimina el requisito de que cada elemento tiene un inverso, la estructura algebraica resultante se llama monoide. Los números naturales N{displaystyle mathbb {N} (incluyendo cero) bajo adición forman un monoide, al igual que los enteros no cero bajo la multiplicación ()Z∖ ∖ {}0},⋅ ⋅ ){displaystyle (mathbb {Z} smallsetminus {0},cdot)}. Adjuntar inversos de todos los elementos del monoide ()Z∖ ∖ {}0},⋅ ⋅ ){displaystyle (mathbb {Z} smallsetminus {0},cdot)} produce un grupo ()Q∖ ∖ {}0},⋅ ⋅ ){displaystyle (mathbb {Q} smallsetminus {0},cdot)}, y asimismo acompañando inversos a cualquier monoide (abeliano) M produce un grupo conocido como el grupo Grothendieck M.

Un grupo puede ser considerado como una pequeña categoría con un objeto x en el que cada morfismo es un isomorfismo: dada tal categoría, el conjunto Hom⁡ ⁡ ()x,x){displaystyle operatorname {Hom} (x,x)} es un grupo; por el contrario, dado un grupo G, se puede construir una pequeña categoría con un objeto x en que Hom⁡ ⁡ ()x,x)≃ ≃ G{displaystyle operatorname {Hom} (x,x)simeq G}. Más generalmente, un groupoid es cualquier pequeña categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo. En un groupoid, el conjunto de todos los morfismos en la categoría generalmente no es un grupo, porque la composición es sólo parcialmente definida: fg se define sólo cuando la fuente de f coincide con el objetivo de g. Los grupoides surgen en topología (por ejemplo, el grupoides fundamental) y en la teoría de las pilas.

Finalmente, es posible generalizar cualquiera de estos conceptos reemplazando la operación binaria con una operación n-aria (es decir, una operación que toma n argumentos, para algún número entero no negativo n). Con la generalización adecuada de los axiomas de grupo, esto da una noción de grupo n-ario.