Grupo lorentz

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Grupo de Lie de transformaciones de Lorentz

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), después de quien el grupo Lorentz es nombrado.

En física y matemáticas, el grupo de Lorentz es el grupo de todas las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo de Minkowski, el escenario clásico y cuántico para todos los fenómenos físicos (no gravitacionales). El grupo de Lorentz lleva el nombre del físico holandés Hendrik Lorentz.

Por ejemplo, las siguientes leyes, ecuaciones y teorías respetan la simetría de Lorentz:

Las leyes cinemáticas de la relatividad especial
Ecuaciones de campo de Maxwell en la teoría del electromagnetismo
La ecuación Dirac en la teoría del electrón
El modelo estándar de la física de partículas

El grupo de Lorentz expresa la simetría fundamental del espacio y el tiempo de todas las leyes fundamentales conocidas de la naturaleza. En regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo donde las variaciones gravitatorias son insignificantes, las leyes físicas son invariantes de Lorentz de la misma manera que la relatividad especial.

Propiedades básicas

El grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo de Poincaré, el grupo de todas las isometrías del espacio-tiempo de Minkowski. Las transformaciones de Lorentz son, precisamente, isometrías que dejan fijo el origen. Así, el grupo de Lorentz es el subgrupo de isotropía con respecto al origen del grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski. Por esta razón, el grupo de Lorentz a veces se denomina grupo de Lorentz homogéneo, mientras que el grupo de Poincaré a veces se denomina grupo de Lorentz no homogéneo. Las transformaciones de Lorentz son ejemplos de transformaciones lineales; Las isometrías generales del espacio-tiempo de Minkowski son transformaciones afines. Matemáticamente, el grupo de Lorentz puede describirse como el grupo ortogonal indefinido O(1,3), el grupo de Lie de la matriz que conserva la forma cuadrática

{displaystyle (t,x,y,z)mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

on $mathbb {R} ^{4}$ (El espacio vectorial equipado con esta forma cuadrática es a veces escrito ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}}$ ). Esta forma cuadrática es, cuando se pone en forma de matriz (ver grupo ortogonal clásico), interpretado en la física como el tensor métrico de la hora espacial de Minkowski.

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie real no abeliano no compacto de seis dimensiones que no está conectado. Los cuatro componentes conectados no están simplemente conectados. El componente de identidad (es decir, el componente que contiene el elemento de identidad) del grupo de Lorentz es en sí mismo un grupo, y a menudo se denomina grupo de Lorentz restringido, y se denota SO⁺ (1,3). El grupo de Lorentz restringido consiste en aquellas transformaciones de Lorentz que conservan tanto la orientación del espacio como la dirección del tiempo. Su grupo fundamental tiene orden 2, y su cobertura universal, el grupo de espín indefinido Spin(1,3), es isomorfo tanto al grupo lineal especial SL(2, C) como al grupo simpléctico Sp (2, C). Estos isomorfismos permiten que el grupo de Lorentz actúe sobre un gran número de estructuras matemáticas importantes para la física, sobre todo los espinores. Así, en mecánica cuántica relativista y en teoría cuántica de campos, es muy común llamar a SL(2, C) el grupo de Lorentz, entendiendo que SO⁺(1,3) es una representación específica (la representación vectorial) de él. Los bicuaterniones, populares en álgebra geométrica, también son isomorfos a SL(2, C).

El grupo de Lorentz restringido también surge como el grupo de simetría puntual de una cierta ecuación diferencial ordinaria.

Tenga en cuenta que este artículo se refiere a O(3,1) como el "Grupo Lorentz", SO(3,1) como el "Grupo Lorentz adecuado" y SO⁺(3,1) como el "Grupo de Lorentz restringido". Muchos autores (especialmente en física) usan el nombre "Lorentz Group" para SO(3,1) (o, a veces, incluso SO⁺(3,1)) en lugar de O(3,1). Al leer a tales autores, es importante tener claro a qué se refieren exactamente.

Componentes conectados

Cono de luz en espacio 2D más una dimensión del tiempo.

Debido a que es un grupo de Lie, el grupo de Lorentz O(1,3) es a la vez un grupo y admite una descripción topológica como una variedad uniforme. Como variedad, tiene cuatro componentes conectados. Intuitivamente, esto significa que consta de cuatro piezas topológicamente separadas.

Los cuatro componentes conectados se pueden clasificar por dos propiedades de transformación que tienen sus elementos:

Algunos elementos se invierten bajo transformaciones de Lorentz invertidos en el tiempo, por ejemplo, un vector de tiempo que apunta futuro sería invertido en un vector de puntas pasadas
Algunos elementos han revertido la orientación transformaciones inadecuadas de Lorentz, por ejemplo, cierto vierbein (tetrados)

Las transformaciones de Lorentz que conservan la dirección del tiempo se llaman orthochronous. El subgrupo de transformaciones ortocrónicas a menudo se denota O⁺(1, 3). Las que conservan la orientación se denominan propias, y como transformaciones lineales tienen determinante +1. (Las transformaciones de Lorentz impropias tienen el determinante −1). El subgrupo de transformaciones de Lorentz propias se denota SO(1, 3).

El subgrupo de todas las transformaciones de Lorentz que conservan tanto la orientación como la dirección del tiempo se denomina grupo de Lorentz ortocrónico propio o grupo de Lorentz restringido, y se denota por SO⁺(1, 3). (Tenga en cuenta que algunos autores se refieren a SO(1,3) o incluso a O(1,3) cuando en realidad quieren decir SO⁺(1, 3).)

Al conjunto de los cuatro componentes conectados se le puede dar una estructura de grupo como el grupo de cocientes O(1, 3)/SO⁺(1, 3), que es isomorfo al cuadrilátero de Klein. grupo. Cada elemento en O(1,3) se puede escribir como el producto semidirecto de una transformación ortócrona propia y un elemento del grupo discreto

{1} P, T, PT}

donde P y T son los operadores de paridad e inversión de tiempo:

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1).

Por lo tanto, una transformación de Lorentz arbitraria se puede especificar como una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada junto con otras dos bits de información, que seleccionan uno de los cuatro componentes conectados. Este patrón es típico de los grupos de Lie de dimensión finita.

Grupo de Lorentz restringido

El grupo Lorentz restringido ${displaystyle {text{SO}}^{+}(1,3)}$ es el componente de identidad del grupo Lorentz, lo que significa que consiste en todas las transformaciones de Lorentz que pueden conectarse a la identidad por una curva continua que se encuentra en el grupo. El grupo Lorentz restringido es un subgrupo normal conectado del grupo Lorentz completo con la misma dimensión, en este caso con la dimensión seis.

El grupo de Lorentz restringido se genera mediante rotaciones espaciales ordinarias y aumentos de Lorentz (que son rotaciones en un espacio hiperbólico que incluye una dirección similar al tiempo). Dado que cada transformación de Lorentz ortocrónica propia se puede escribir como un producto de una rotación (especificada por 3 parámetros reales) y un impulso (también especificado por 3 parámetros reales), se necesitan 6 parámetros reales para especificar una transformación de Lorentz ortocrónica propia arbitraria. Esta es una forma de entender por qué el grupo restringido de Lorentz es de seis dimensiones. (Véase también el álgebra de Lie del grupo de Lorentz.)

El conjunto de todas las rotaciones forma un subgrupo de Lie isomorfo al grupo de rotación ordinaria SO(3). El conjunto de todos los impulsos, sin embargo, no forma un subgrupo, ya que la composición de dos impulsos, en general, no da como resultado otro impulso. (Más bien, un par de impulsos no colineales es equivalente a un impulso y una rotación, y esto se relaciona con la rotación de Thomas). Un impulso en alguna dirección, o una rotación sobre algún eje, genera un subgrupo de un parámetro.

Superficies de transitividad

Hiperboloide de una hoja

Superficie cónica común

Hiperboloide de dos hojas

Si un grupo $G$ actúa sobre un espacio $V$ , entonces una superficie $S \subset V$ es una superficie de transitividad si $S$ es invariable bajo $G$ (es decir, $\forall g \in G, \forall s \in S : gs \in S$ ) y para dos puntos cualesquiera $s 1, s 2 \in S$ hay una $g \in G$ tal que $gs 1 = s 2$ . Por definición del grupo de Lorentz, conserva la forma cuadrática

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.

Las superficies de transitividad del grupo de Lorentz ortodoxo $O + (1, 3)$ , $Q () x Const.$ actuando en tiempo espacio plano ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}}$ son los siguientes:

$Q () x) 0 ■ 0$ es la rama superior de un hiperboloide de dos hojas. Los puntos en esta hoja están separados del origen por un futuro vector tipo tiempo.
$Q () x) 00$ es la rama inferior de este hiperboloide. Los puntos en esta hoja son los últimos vectores como el tiempo.
$Q () x) = 0, x 0 ■ 0$ es la rama superior del cono de luz, el cono de luz futuro.
$Q () x) = 0, x 00$ es la rama inferior del cono de luz, el cono de luz pasado.
$Q () x) 0$ es un hiperboloide de una hoja. Los puntos en esta hoja son espacio-como separado del origen.
El origen $x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 0$ .

Estas superficies son $3$ -dimensional, por lo que las imágenes no son fieles, pero lo son para los hechos correspondientes sobre $O + (1, 2)$ . Para el grupo de Lorentz completo, las superficies de transitividad son solo cuatro, ya que la transformación $T$ lleva una rama superior de un hiperboloide (cono) a una inferior y viceversa.

Como espacios simétricos

Una forma equivalente de formular las superficies anteriores de la transitividad es como un espacio simétrico en el sentido de la teoría de Lie. Por ejemplo, la hoja superior del hiperboloide se puede escribir como el espacio cociente ${displaystyle {text{SO}}^{+}(1,3)/{text{SO}}(3)}$ Por el teorema estabilizador de órbita. Además, esta hoja superior también proporciona un modelo para el espacio hiperbólico tridimensional.

Representaciones del grupo Lorentz

Estas observaciones constituyen un buen punto de partida para encontrar todas las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz, de hecho, del grupo de Poincaré, utilizando el método de representaciones inducidas. Uno comienza con un "vector estándar", uno para cada superficie de transitividad, y luego pregunta qué subgrupo conserva estos vectores. Estos subgrupos son llamados pequeños grupos por los físicos. Entonces, el problema se reduce esencialmente al problema más fácil de encontrar representaciones de los pequeños grupos. Por ejemplo, un vector estándar en una de las hipérbolas de dos hojas podría elegirse adecuadamente como $(m, 0, 0, 0)$ . Para cada $m \neq 0$ , el vector perfora exactamente una hoja. En este caso, el pequeño grupo es $SO(3)$ , el grupo de rotación, cuyas representaciones son todas conocidas. La representación unitaria precisa de dimensión infinita bajo la cual se transforma una partícula es parte de su clasificación. No todas las representaciones pueden corresponder a partículas físicas (hasta donde se sabe). Los vectores estándar en las hipérbolas de una hoja corresponderían a los taquiones. Las partículas en el cono de luz son fotones y, más hipotéticamente, gravitones. La "partícula" correspondiente al origen es el vacío.

Homomorfismos e isomorfismos

Varios otros grupos son homomórficos o isomorfos al grupo restringido de Lorentz SO⁺(1, 3). Estos homomorfismos juegan un papel clave en la explicación de varios fenómenos de la física.

Grupo lineal especial SL(2, C) es una cobertura doble del grupo restringida Lorentz. Esta relación se utiliza ampliamente para expresar la invariancia de Lorentz de la ecuación Dirac y la covariancia de espinas. En otras palabras, el grupo Lorentz (restricted) es isomorfo a SL(2, C)/ ${displaystyle mathbb {Z_{2}} }$
El grupo simpático Sp(2, C) es isomorfo a SL(2, C); se utiliza para construir Espinas Weyl, así como para explicar cómo las espinas pueden tener una masa.
El grupo de spin Spin(1, 3) es isomorfo a SL(2, C); se utiliza para explicar las espinas y espinas en términos del álgebra Clifford, por lo que deja claro cómo generalizar el grupo Lorentz a la configuración general en la geometría Riemanniana, incluyendo teorías de la supergravidad y la teoría de cuerdas.
El grupo Lorentz restringido es isomorfo al grupo lineal especial de proyecto PSL(2, C) que es, a su vez, isomorfa al grupo Möbius, el grupo de simetría de geometría conformal en la esfera Riemann. Esta relación es fundamental para la clasificación de los subgrupos del grupo Lorentz según un esquema de clasificación anterior desarrollado para el grupo Möbius.

La representación Weyl

La representación de Weyl o mapa de spinor es un par de homomorfismos sobreyectivos de SL(2,C) a SO⁺(1, 3). Forman un par emparejado bajo transformaciones de paridad, correspondientes a los espinores quirales izquierdo y derecho.

Se puede definir una acción de SL(2,C) en el espacio-tiempo de Minkowski escribiendo un punto del espacio-tiempo como una matriz hermitiana de dos por dos en la forma

{displaystyle {overline {X}}={begin{bmatrix}ct+z&x-iy\x+iy&ct-zend{bmatrix}}=ct1!!1+xsigma _{x}+ysigma _{y}+zsigma _{z}=ct1!!1+{vec {x}}cdot {vec {sigma }}}

en términos de matrices de Pauli.

Esta presentación, la presentación de Weyl, satisface

{displaystyle det ,{overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}

Por lo tanto, uno ha identificado el espacio de las matrices hermitianas (que es de cuatro dimensiones, como un real espacio vectorial) con Minkowski espaciotime, de tal manera que el determinante de una matriz hermitiana es la longitud cuadrada del vector correspondiente en el espacio de Minkowski. Un elemento ${displaystyle Sin operatorname {SL} (2,mathbb {C})}$ actúa en el espacio de las matrices hermitianas a través de

{displaystyle {overline {X}}mapsto S{overline {X}}S^{dagger }~,}

Donde ${displaystyle S^{dagger }}$ es la transposición de Hermitian $S$ . Esta acción preserva el determinante y así SL(2,C) actúa en Minkowski espaciotime por (linear) isometries. La forma invertida de paridad de lo anterior es

{displaystyle X=ct1!!1-{vec {x}}cdot {vec {sigma }}}

que se transforma como

{displaystyle Xmapsto left(S^{-1}right)^{dagger }XS^{-1}}

Que esta es la transformación correcta sigue al notar que

{displaystyle {overline {X}}X=left(c^{2}t^{2}-{vec {x}}cdot {vec {x}}right)1!!1=left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}right)1!!1}

permanece invariable bajo el par de transformaciones anteriores.

Estos mapas son sobreyectivos, y el núcleo de cualquiera de los mapas es el subgrupo de dos elementos ±I. Por el primer teorema del isomorfismo, el grupo cociente PSL(2, C) = SL(2, C) / {±I} es isomorfo a SO⁺(1, 3).

El mapa de la paridad cambia estas dos cubiertas. Corresponde a la conjugación hermitiana siendo un automorfismo ${displaystyle operatorname {SL} (2,mathbb {C}).}$ Estas dos cubiertas distintas corresponden a las dos acciones chiral distintas del grupo Lorentz sobre las espinas. La forma no sobrelineada corresponde a las espinas derechas transformando como ${displaystyle psi _{R}mapsto Spsi _{R}~,}$ mientras que la forma overline corresponde a los spinors zurdos transformando como ${displaystyle psi _{L}mapsto left(S^{dagger }right)^{-1}psi _{L}~.}$

Es importante observar que este par de cubiertas no sobrevive a la cuantización; cuando se cuantifica, esto conduce al peculiar fenómeno de la anomalía quiral. Las simetrías clásicas (es decir, no cuantificadas) del grupo de Lorentz se rompen mediante la cuantificación; este es el contenido del teorema del índice de Atiyah-Singer.

Convenciones de notación

En física, es convencional denotar una transformación de Lorentz ${displaystyle Lambda in operatorname {SO} ^{+}(1,3)}$ como ${displaystyle {Lambda ^{mu }}_{nu }~,}$ mostrando así la matriz con índices de tiempo espacial ${displaystyle munu =0,1,2,3.}$ Un cuatro-vector puede ser creado de las matrices Pauli de dos maneras diferentes: como ${displaystyle sigma ^{mu }=(I,{vec {sigma }})}$ y como ${displaystyle {overline {sigma }}^{mu }=left(I,-{vec {sigma }}right)~.}$ Las dos formas están relacionadas con una transformación de paridad. Note que ${displaystyle {overline {sigma }}_{mu }=sigma ^{mu }~.}$

Dada una transformación de Lorentz ${displaystyle x^{mu }mapsto x^{prime mu }={Lambda ^{mu }}_{nu }x^{nu }~,}$ la doble cubierta del grupo de Lorentz ortocrónico ${displaystyle Sin operatorname {SL} (2,mathbb {C})}$ dado arriba puede ser escrito como

{displaystyle x^{prime mu }{overline {sigma }}_{mu }={overline {sigma }}_{mu }{Lambda ^{mu }}_{nu }x^{nu }=Sx^{nu }{overline {sigma }}_{nu }S^{dagger }}

Dejando caer $x^mu$ esto toma la forma

{displaystyle {overline {sigma }}_{mu }{Lambda ^{mu }}_{nu }=S{overline {sigma }}_{nu }S^{dagger }}

La forma conjugada de paridad es

{displaystyle sigma _{mu }{Lambda ^{mu }}_{nu }=left(S^{-1}right)^{dagger }sigma _{nu }S^{-1}}

Prueba

Que la anterior es la forma correcta para la notación indexada no es inmediatamente obvia, en parte porque, cuando se trabaja en notación indexada, es bastante fácil confundir accidentalmente una transformación de Lorentz con su inverso, o su transposición. Esta confusión surge debido a la identidad ${displaystyle eta Lambda ^{textsf {T}}eta =Lambda ^{-1}}$ ser difícil de reconocer cuando se escribe en forma indexada. Las transformaciones de Lorentz son no ¡Tensores bajo transformaciones de Lorentz! Así es útil una prueba directa de esta identidad, para establecer su corrección. Puede demostrarse comenzando por la identidad

{displaystyle omega sigma ^{k}omega ^{-1}=-left(sigma ^{k}right)^{textsf {T}}=-left(sigma ^{k}right)^{*}}

Donde $k=1,2,3$ así que lo anterior son sólo las matrices Pauli habituales, y ${displaystyle (cdot)^{textsf {T}}}$ es la matriz transpose, y ${displaystyle (cdot)^{*}}$ es una conjugación compleja. La matriz $omega$ es

{displaystyle omega =isigma _{2}={begin{bmatrix}0&1\-1&0end{bmatrix}}}

Escrito como el vector de cuatro, la relación es

{displaystyle sigma _{mu }^{textsf {T}}=sigma _{mu }^{*}=omega {overline {sigma }}_{mu }omega ^{-1}}

Esto se transforma como

{displaystyle {begin{aligned}sigma _{mu }^{textsf {T}}{Lambda ^{mu }}_{nu }&=omega {overline {sigma }}_{mu }omega ^{-1}{Lambda ^{mu }}_{nu }\&=omega S;{overline {sigma }}_{nu },S^{dagger }omega ^{-1}\&=left(omega Somega ^{-1}right),left(omega {overline {sigma }}_{nu }omega ^{-1}right),left(omega S^{dagger }omega ^{-1}right)\&=left(S^{-1}right)^{textsf {T}},sigma _{nu }^{textsf {T}},left(S^{-1}right)^{*}end{aligned}}}

Tomando una transposición más, se obtiene

{displaystyle sigma _{mu }{Lambda ^{mu }}_{nu }=left(S^{-1}right)^{dagger }sigma _{nu }S^{-1}}

El grupo simpléctico

El grupo simpático Sp(2, C) es isomorfo a SL(2, C). Este isomorfismo se construye para preservar una forma bilineal simpática ${displaystyle mathbb {C} ^{2},}$ es decir, dejar la forma invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Esto puede articularse como sigue. El grupo simpléctico se define como

{displaystyle operatorname {Sp} (2,mathbb {C})=left{Sin operatorname {GL} (2,mathbb {C}):S^{textsf {T}}omega S=omega right}}

dónde

{displaystyle omega =isigma _{2}={begin{bmatrix}0&1\-1&0end{bmatrix}}}

Otras notaciones comunes ${displaystyle omega =epsilon }$ para este elemento; a veces $J$ se utiliza, pero esto invita confusión con la idea de estructuras casi complejas, que no son las mismas, ya que se transforman de manera diferente.

Dado un par de espinores de Weyl (espinores de dos componentes)

{displaystyle u={begin{bmatrix}u_{1}\u_{2}end{bmatrix}}~,quad v={begin{bmatrix}v_{1}\v_{2}end{bmatrix}}}

la forma bilineal invariable se escribe convencionalmente como

{displaystyle langle u,vrangle =-langle v,urangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{textsf {T}}omega v}

Esta forma es invariable bajo el grupo Lorentz, así que ${displaystyle Sin operatorname {SL} (2,mathbb {C})}$ uno tiene

{displaystyle langle Su,Svrangle =langle u,vrangle }

Esto define una especie de "producto escalar" de espinas, y se utiliza comúnmente para definir un término de masa de Lorentz-invariante en Lagrangians. Hay varias propiedades notables que hay que llamar que son importantes para la física. Uno es que ${displaystyle omega ^{2}=-1}$ y así ${displaystyle omega ^{-1}=omega ^{textsf {T}}=omega ^{dagger }=-omega }$

La relación definitoria se puede escribir como

{displaystyle omega S^{textsf {T}}omega ^{-1}=S^{-1}}

que se parece mucho a la relación definitoria del grupo de Lorentz

{displaystyle eta Lambda ^{textsf {T}}eta ^{-1}=Lambda ^{-1}}

Donde ${displaystyle eta =operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$ es el tensor métrico para el espacio de Minkowski y, por supuesto, ${displaystyle Lambda in operatorname {SO} (1,3)}$ como antes.

Cubrir grupos

Dado que SL(2, C) es simplemente conexo, es el grupo de cobertura universal del grupo restringido de Lorentz SO⁺(1, 3). Por restricción, existe un homomorfismo SU(2) → SO(3). Aquí, el grupo unitario especial SU(2), que es isomorfo al grupo de cuaterniones de normas unitarias, también está simplemente conectado, por lo que es el grupo de cobertura del grupo de rotación SO(3). Cada uno de estos mapas de cobertura son coberturas dobles en el sentido de que precisamente dos elementos del grupo de cobertura corresponden a cada elemento del cociente. A menudo se dice que el grupo de Lorentz restringido y el grupo de rotación están doblemente conectados. Esto significa que el grupo fundamental de cada grupo es isomorfo al grupo cíclico de dos elementos Z₂.

Los recubrimientos dobles son característicos de los grupos de espín. De hecho, además de las dobles cubiertas

Spin⁺(1, 3) = SL(2, C) → SO⁺(1, 3)

Spin(3) = SU(2) → SO(3)

tenemos las cubiertas dobles

Pin(1, 3) → O(1, 3)

Spin(1, 3) → SO(1, 3)

Spin⁺(1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2)

Estas cubiertas dobles espinoriales se construyen a partir de álgebras de Clifford.

Topología

Los grupos izquierdo y derecho en la doble cubierta

SU(2) → SO(3)

son retracciones de deformación de los grupos izquierdo y derecho, respectivamente, en la doble cubierta

SL(2, C) → SO⁺(1, 3).

Pero el espacio homogéneo SO⁺(1, 3)/SO(3) es homeomorfo al 3-espacio hiperbólico H³, por lo que hemos exhibido el Lorentz restringido grupo como un haz principal de fibras con fibras SO(3) y base H³. Dado que este último es homeomorfo a R³, mientras que SO(3) es homeomorfo al espacio proyectivo real tridimensional RP³, vemos que el grupo de Lorentz restringido es localmente homeomorfo al producto de RP³ con R³. Dado que el espacio base es contráctil, esto se puede extender a un homeomorfismo global.

Clases de conjugación

Debido a que el grupo restringido de Lorentz SO⁺(1, 3) es isomorfo al grupo de Möbius PSL(2, C), sus clases de conjugación también se dividen en cinco clases:

Elliptic transformaciones
Hiperbólico transformaciones
Loxodrómico transformaciones
Parabólica transformaciones
El trivial identidad transformación

En el artículo sobre las transformaciones de Möbius, se explica cómo surge esta clasificación considerando los puntos fijos de las transformaciones de Möbius en su acción sobre la esfera de Riemann, lo que corresponde aquí a los espacios propios nulos de las transformaciones de Lorentz restringidas en su acción sobre el espacio-tiempo de Minkowski.

En las subsecciones siguientes se proporciona un ejemplo de cada tipo, junto con el efecto del subgrupo de un parámetro que genera (por ejemplo, en la apariencia del cielo nocturno).

Las transformaciones de Möbius son las transformaciones conformes de la esfera de Riemann (o esfera celeste). Luego, conjugando con un elemento arbitrario de SL(2,C) se obtienen los siguientes ejemplos de transformaciones de Lorentz elípticas, hiperbólicas, loxodrómicas y parabólicas (restringidas) arbitrarias, respectivamente. El efecto sobre las líneas de flujo de los correspondientes subgrupos de un parámetro es transformar el patrón visto en los ejemplos mediante alguna transformación conforme. Por ejemplo, una transformación elíptica de Lorentz puede tener dos puntos fijos distintos en la esfera celeste, pero los puntos aún fluyen a lo largo de arcos circulares desde un punto fijo hacia el otro. Los otros casos son similares.

Elíptica

(feminine)

Un elemento elíptico de SL(2, C) es

{displaystyle P_{1}={begin{bmatrix}exp left({frac {i}{2}}theta right)&0\0&exp left(-{frac {i}{2}}theta right)end{bmatrix}}}

y tiene puntos fijos $ξ$ = 0, ∞. Escribiendo la acción como $X \mapsto P 1 X P 1 †$ y recopilando términos, el mapa spinor convierte esto en la transformación de Lorentz (restringida)

{displaystyle Q_{1}={begin{bmatrix}1&0&0&0\0&cos(theta)&-sin(theta)&0\0&sin(theta)&cos(theta)&0\0&0&0&1end{bmatrix}}=exp left(theta {begin{bmatrix}0&0&0&0\0&0&-1&0\0&1&0&0\0&0&0&0end{bmatrix}}right)~.}

Esta transformación representa una rotación sobre el eje $z$ , exp( $iθJ z$ ). El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando $θ$ como una variable real, el ángulo de rotación, en lugar de una constante.

Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten todos los mismos dos puntos fijos, los polos norte y sur. Las transformaciones mueven todos los demás puntos alrededor de los círculos de latitud para que este grupo produzca una rotación continua en sentido antihorario sobre el eje $z$ como $θ$ aumenta. La duplicación del ángulo evidente en el mapa del espinor es un rasgo característico de las cubiertas dobles del espinorial.

Hiperbólica

(feminine)

Un elemento hiperbólico de SL(2,C) es

{displaystyle P_{2}={begin{bmatrix}exp left({frac {eta }{2}}right)&0\0&exp left(-{frac {eta }{2}}right)end{bmatrix}}}

y tiene puntos fijos $ξ$ = 0, ∞. Bajo proyección estereográfica desde la esfera de Riemann al plano euclidiano, el efecto de esta transformación de Möbius es una dilatación desde el origen.

El mapa spinor convierte esto en la transformación de Lorentz

{displaystyle Q_{2}={begin{bmatrix}cosh(eta)&0&0&sinh(eta)\0&1&0&0\0&0&1&0\sinh(eta)&0&0&cosh(eta)end{bmatrix}}=exp left(eta {begin{bmatrix}0&0&0&1\0&0&0&0\0&0&0&0\1&0&0&0end{bmatrix}}right)~.}

Esta transformación representa un impulso a lo largo del eje $z$ con rapidez $η$ . El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene tomando $η$ como una variable real, en lugar de una constante. Todas las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos puntos fijos (los polos norte y sur), y mueven todos los demás puntos a lo largo de longitudes que se alejan del polo sur y se acercan al polo norte.

Loxodrómico

Un elemento loxodrómico de SL(2, C) es

{displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={begin{bmatrix}exp left({frac {1}{2}}(eta +itheta)right)&0\0&exp left(-{frac {1}{2}}(eta +itheta)right)end{bmatrix}}}

y tiene puntos fijos $ξ$ = 0, ∞. El mapa spinor convierte esto a la transformación de Lorentz

Q_3 = Q_2 Q_1 = Q_1 Q_2.

El subgrupo de un parámetro que genera se obtiene reemplazando η + iθ con cualquier múltiplo real de esta constante compleja. (Si η, θ varían independientemente, entonces se obtiene un subgrupo abeliano bidimensional, que consiste en rotaciones simultáneas sobre el $z$ eje y aumenta a lo largo del $z$ -eje; por el contrario, el subgrupo unidimensional discutido aquí consiste en aquellos elementos de este subgrupo bidimensional tales que la rapidez del impulso y el ángulo de la rotación tienen una proporción fija.)

Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (exceptuando la identidad) comparten todos los mismos dos puntos fijos (los polos norte y sur). Mueven todos los demás puntos lejos del polo sur y hacia el polo norte (o viceversa), a lo largo de una familia de curvas llamadas loxódromos. Cada loxódromo gira en espiral infinitamente a menudo alrededor de cada polo.

Parabólica

(feminine)

Un elemento parabólico de SL(2, C) es

{displaystyle P_{4}={begin{bmatrix}1&alpha \0&1end{bmatrix}}}

y tiene el único punto fijo $ξ$ = ∞ en la esfera de Riemann. Bajo proyección estereográfica, aparece como una traslación ordinaria a lo largo del eje real.

El mapa de spinor convierte esto a la matriz (que representa una transformación de Lorentz)

{displaystyle {begin{aligned}Q_{4}&={begin{bmatrix}1+{frac {1}{2}}vert alpha vert ^{2}&operatorname {Re} (alpha)&operatorname {Im} (alpha)&-{frac {1}{2}}vert alpha vert ^{2}\operatorname {Re} (alpha)&1&0&-operatorname {Re} (alpha)\-operatorname {Im} (alpha)&0&1&operatorname {Im} (alpha)\{frac {1}{2}}vert alpha vert ^{2}&operatorname {Re} (alpha)&operatorname {Im} (alpha)&1-{frac {1}{2}}vert alpha vert ^{2}end{bmatrix}}\[6pt]&=exp {begin{bmatrix}0&operatorname {Re} (alpha)&operatorname {Im} (alpha)&0\operatorname {Re} (alpha)&0&0&-operatorname {Re} (alpha)\-operatorname {Im} (alpha)&0&0&operatorname {Im} (alpha)\0&operatorname {Re} (alpha)&operatorname {Im} (alpha)&0end{bmatrix}}~.end{aligned}}}

Esto genera un subgrupo abeliano de dos parámetros, que se obtiene al considerar $α$ una variable compleja en lugar de una constante. Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (a excepción de la transformación de identidad) mueven puntos a lo largo de una familia de círculos que son todos tangentes en el polo norte a cierto gran círculo. Todos los puntos que no sean el propio polo norte se mueven a lo largo de estos círculos.

Las transformaciones parabólicas de Lorentz a menudo se denominan rotaciones nulas. Dado que es probable que estos sean los menos familiares de los cuatro tipos de transformaciones de Lorentz sin identidad (elíptica, hiperbólica, loxodrómica, parabólica), aquí se ilustra cómo determinar el efecto de un ejemplo de una transformación de Lorentz parabólica en el espacio-tiempo de Minkowski.

La matriz dada arriba produce la transformación

{displaystyle {begin{bmatrix}t\x\y\zend{bmatrix}}rightarrow {begin{bmatrix}t\x\y\zend{bmatrix}}+operatorname {Re} (alpha);{begin{bmatrix}x\t-z\0\xend{bmatrix}}+operatorname {Im} (alpha);{begin{bmatrix}y\0\z-t\yend{bmatrix}}+{frac {vert alpha vert ^{2}}{2}};{begin{bmatrix}t-z\0\0\t-zend{bmatrix}}.}

Ahora, sin pérdida de generalidad, seleccione $Im(α) = 0$ . Diferenciando esta transformación con respecto al parámetro de grupo ahora real $α$ y evaluando en $α = 0$ produce el campo vectorial correspondiente (operador diferencial parcial lineal de primer orden),

{displaystyle x,left(partial _{t}+partial _{z}right)+(t-z),partial _{x}.}

Aplique esto a una función $f(t, x, y, z)$ , y exigir que permanezca invariable; es decir, es aniquilado por esta transformación. La solución de la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden resultante se puede expresar en la forma

{displaystyle f(t,x,y,z)=Fleft(y,,t-z,,t^{2}-x^{2}-z^{2}right),}

donde $F$ es una función fluida arbitraria. Los argumentos de $F$ dan tres invariantes racionales que describen cómo se mueven los puntos (eventos) bajo esta transformación parabólica, como ellos mismos no se mueven,

{displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}

La elección de valores reales para las constantes de la derecha genera tres condiciones y, por lo tanto, especifica una curva en el espacio-tiempo de Minkowski. Esta curva es una órbita de la transformación.

La forma de los invariantes racionales muestra que estas líneas de flujo (órbitas) tienen una descripción simple: suprimir la coordenada no esencial $y$ , cada órbita es la intersección de un plano nulo, $t = z + c 2$ , con un hiperboloide, $t 2 - x 2 - z 2 = c 3$ . El caso $c$ ₃ = 0 tiene el hiperboloide degenerado en un cono de luz con las órbitas convirtiéndose en parábolas situadas en planos nulos correspondientes.

Una línea nula particular que se encuentra en el cono de luz se deja invariante; esto corresponde al punto fijo único (doble) en la esfera de Riemann mencionado anteriormente. Las otras líneas nulas que pasan por el origen se "giran alrededor del cono" por la transformación. Seguir el movimiento de una línea nula como $α$ aumenta corresponde a seguir el movimiento de un punto a lo largo de una de las líneas de flujo circular en la esfera celeste, como se ha descrito anteriormente.

Una elección $Re(α) = 0$ en su lugar, produce órbitas similares, ahora con las funciones del estilo $x$ y $y$ intercambiados.

Las transformaciones parabólicas conducen a la simetría de calibre de partículas sin masa (como fotones) con helicidad | $h$ | ≥ 1. En el ejemplo explícito anterior, una partícula sin masa se mueve en la dirección $z$ , por lo que con 4 impulsos $P = (p, 0, 0, p)$ , no se ve afectado en absoluto por $x$ -boost y $y$ - combinación de rotación $K x - J y$ definida a continuación, en el "pequeño grupo" de su movimiento. Esto es evidente a partir de la ley de transformación explícita discutida: como cualquier vector similar a la luz, P ahora es invariante; es decir, todos los rastros o efectos de $α$ han desaparecido. $c$ ₁ = $c$ ₂ = $c$ ₃ = 0, en el caso especial discutido. (El otro generador similar, $K y + J x$ así como it y $J$ _z comprenden en conjunto el pequeño grupo del vector similar a la luz, isomorfo a $E$ (2).)

La acción de un impulso de Lorentz en la dirección x en el cono de luz y "círculo espacial" en 1+2 tiempo espacial. Después de aplicar la matriz de impulso de Lorentz a todo el espacio, el círculo celeste debe ser recuperado al escalar cada punto a t = 1.

Aspecto del cielo nocturno

Este isomorfismo tiene como consecuencia que las transformaciones de Möbius de la esfera de Riemann representan la forma en que las transformaciones de Lorentz cambian la apariencia del cielo nocturno, como lo ve un observador que maniobra a velocidades relativistas relativas a las "estrellas fijas" 34;.

Suponga que las "estrellas fijas" viven en el espacio-tiempo de Minkowski y están modelados por puntos en la esfera celeste. Entonces, un punto dado en la esfera celeste se puede asociar con $ξ = u + iv$ , un número complejo que corresponde al punto en la esfera de Riemann y se puede identificar con un vector nulo (un vector similar a la luz) en el espacio de Minkowski

{displaystyle {begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\2u\-2v\u^{2}+v^{2}-1end{bmatrix}}}

o, en la representación de Weyl (el mapa spinor), la matriz hermítica

{displaystyle N=2{begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\u-iv&1end{bmatrix}}.}

La acción de un impulso de Lorentz en la dirección z negativa en la proyección espacial de la esfera celestial (en alguna elección del marco ortonormal). Una vez más, después de que la matriz de impulso de Lorentz se aplique a todo el espacio, la esfera celeste debe ser recuperada recalcándose de nuevo a t = 1, o equivalentemente vivx eterna = 1.

El conjunto de múltiplos escalares reales de este vector nulo, denominado línea nula a través del origen, representa una línea de visión de un observador en un lugar y momento determinados (un evento arbitrario que podemos identificar con el origen del espacio-tiempo de Minkowski) a varios objetos distantes, como las estrellas. Luego, los puntos de la esfera celeste (equivalentemente, líneas de visión) se identifican con ciertas matrices hermitianas.

Geometría proyectiva y diferentes vistas de la 2-esfera

Esta imagen emerge limpiamente en el lenguaje de la geometría proyectiva. El grupo Lorentz (restricto) actúa sobre el esfera celeste proyectada. Este es el espacio de vectores nulos no cero con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t■0{displaystyle t fiel0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a2960e88369263fe3cfe00ccbfeb83daee212a" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;"/>$ bajo el cociente dado para espacios proyectores: ${displaystyle (t,x,y,z)sim (t',x',y',z')}$ si ${displaystyle (t',x',y',z')=(lambda t,lambda x,lambda y,lambda z)}$ para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">λ λ ■0{displaystyle lambda }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;"/>$ . Esto se conoce como la esfera celestial, ya que esto nos permite reescalificar la coordinación del tiempo $t$ a 1 después de actuar utilizando una transformación de Lorentz, asegurando que la parte similar al espacio se sienta en la esfera de unidad.

Del lado Möbius, ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ actos relativos al espacio complejo $mathbb{CP}^1$ , que se puede demostrar que es diffeomorfo a la 2-sfera - esto se conoce a veces como la esfera Riemann. El cociente en el espacio proyectivo conduce a un cociente en el grupo ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ .

Finalmente, estos dos pueden estar unidos usando el complejo vector proyectivo para construir un vencedor nulo. Si $xi$ es un $mathbb{CP}^1$ vector proyector, puede ser tensor con su conjugado ermitiano para producir un $2times 2$ Matriz hermitiana. Desde otro lugar de este artículo sabemos que este espacio de matrices se puede ver como 4-vectores. El espacio de matrices provenientes de convertir cada vector proyectivo en la esfera Riemann en una matriz se conoce como la esfera Bloch.

Álgebra de mentira

Como con cualquier grupo de Lie, una manera útil de estudiar muchos aspectos del grupo Lorentz es a través de su Lie algebra. Desde el grupo Lorentz ${displaystyle {text{SO}}(1,3)}$ es una matriz Grupo Lie, su correspondiente Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {so}}(1,3)}$ es una matriz Álgebra de mentira, que puede ser calculado como

{displaystyle {mathfrak {so}}(1,3)=left{4times 4,,,mathbb {R} {text{-valued matrices}},Xmid e^{tX}in mathrm {SO} (1,3),mathrm {for} ,mathrm {all} ,tright}}

Si $eta$ es la matriz diagonal con entradas diagonales ${displaystyle (1,-1,-1,-1)}$ , entonces el álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {o}}(1,3)}$ consta de $4times 4$ matrices $X$ tales que

{displaystyle eta Xeta =-X^{textsf {T}}}

Explícitamente, ${displaystyle {mathfrak {so}}(1,3)}$ consta de $4times 4$ matrices de la forma

{displaystyle {begin{pmatrix}0&a&b&c\a&0&d&e\b&-d&0&f\c&-e&-f&0end{pmatrix}}}

Donde ${displaystyle a,b,c,d,e,f}$ son números reales arbitrarios. Este álgebra Lie es de seis dimensiones. El subalgebra de ${displaystyle {mathfrak {so}}(1,3)}$ que consiste en elementos en los que $a$ , $b$ , y $c$ igual a cero es isomorfo a ${mathfrak {so}}(3)$ .

El grupo Lorentz completo ${displaystyle {text{O}}(1,3)}$ , el grupo Lorentz adecuado ${displaystyle {text{SO}}(1,3)}$ y el grupo de Lorentz ortónico adecuado ${displaystyle mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$ (el componente conectado a la identidad) todos tienen el mismo álgebra de Lie, que es típicamente denotado ${displaystyle {mathfrak {so}}(1,3)}$ .

Puesto que el componente de identidad del grupo Lorentz es isomorfo a un cociente finito de ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ (ver la sección anterior sobre la conexión del grupo Lorentz al grupo Möbius), el álgebra Lie del grupo Lorentz es isomorfo al álgebra Lie ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C})}$ . Como un álgebra de Lie complejo ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C})}$ es tridimensional, pero es seis dimensiones cuando se ve como un verdadero álgebra de Lie.

Relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz

Las matrices de base estándar pueden ser indexadas como ${displaystyle M^{mu nu }}$ Donde ${displaystyle mu,nu}$ tomar valores en ${displaystyle {0,1,2,3}}$ . Estos surgen de tomar sólo uno de ${displaystyle a,b,cdotsf}$ ser uno, y otros cero, a su vez. Los componentes se pueden escribir como

{displaystyle (M^{mu nu })_{rho sigma }=delta ^{mu }{}_{rho }delta ^{nu }{}_{sigma }-delta ^{nu }{}_{rho }delta ^{mu }{}_{sigma }}

Las relaciones de conmutación son

{displaystyle [M^{mu nu },M^{rho sigma }]=M^{mu sigma }eta ^{nu rho }-M^{nu sigma }eta ^{mu rho }+M^{nu rho }eta ^{mu sigma }-M^{mu rho }eta ^{nu sigma }.}

Hay diferentes opciones posibles de convención en uso. En la física, es común incluir un factor de $i$ con los elementos de base, que da un factor $i$ en las relaciones de conmutación.

Entonces... ${displaystyle M^{0i}}$ generar impulsos y ${displaystyle M^{ij}}$ generar rotaciones.

Las constantes de estructura para el álgebra de Lorentz se pueden leer a partir de las relaciones de conmutación. Cualquier conjunto de elementos básicos que satisfagan estas relaciones forman una representación del álgebra de Lorentz.

Generadores de impulsos y rotaciones

El grupo de Lorentz se puede considerar como un subgrupo del grupo de difeomorfismos de R⁴ y, por lo tanto, su álgebra de Lie se puede identificar con campos vectoriales en R ⁴. En particular, los vectores que generan isometrías en un espacio son sus vectores Killing, lo que proporciona una alternativa conveniente al campo vectorial invariante a la izquierda para calcular el álgebra de Lie. Podemos escribir un conjunto de seis generadores:

Campos vectoriales R⁴ generando tres rotaciones i J,
${displaystyle -ypartial _{x}+xpartial _{y}equiv iJ_{z}~,qquad -zpartial _{y}+ypartial _{z}equiv iJ_{x}~,qquad -xpartial _{z}+zpartial _{x}equiv iJ_{y}~;}$
Campos vectoriales R⁴ generando tres impulsos i K,
${displaystyle xpartial _{t}+tpartial _{x}equiv iK_{x}~,qquad ypartial _{t}+tpartial _{y}equiv iK_{y}~,qquad zpartial _{t}+tpartial _{z}equiv iK_{z}.}$

El factor de $i$ parece asegurarse de que los generadores de rotaciones son Hermitian.

Puede ser útil recordar brevemente aquí cómo obtener un grupo de un parámetro a partir de un campo vectorial, escrito en la forma de un operador diferencial parcial lineal de primer orden como

{displaystyle {mathcal {L}}=-ypartial _{x}+xpartial _{y}.}

El problema de valor inicial correspondiente (considerador) ${displaystyle r=(x,y)}$ a función de un escalar $lambda$ y resolver ${displaystyle partial _{lambda }r={mathcal {L}}r}$ con algunas condiciones iniciales)

{displaystyle {frac {partial x}{partial lambda }}=-y,;{frac {partial y}{partial lambda }}=x,;x(0)=x_{0},;y(0)=y_{0}.}

La solución se puede escribir

{displaystyle x(lambda)=x_{0}cos(lambda)-y_{0}sin(lambda),;y(lambda)=x_{0}sin(lambda)+y_{0}cos(lambda)}

{displaystyle {begin{bmatrix}t\x\y\zend{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0&0&0\0&cos(lambda)&-sin(lambda)&0\0&sin(lambda)&cos(lambda)&0\0&0&0&1end{bmatrix}}{begin{bmatrix}t_{0}\x_{0}\y_{0}\z_{0}end{bmatrix}}}

donde reconocemos fácilmente el grupo de rotaciones de la matriz de un parámetro exp(i λ J_z) sobre el eje z.

Diferenciar con respecto al parámetro de grupo $λ$ y configurarlo λ=0 en ese resultado, recuperamos la matriz estándar,

{displaystyle iJ_{z}={begin{bmatrix}0&0&0&0\0&0&-1&0\0&1&0&0\0&0&0&0end{bmatrix}}~,}

que corresponde al campo vectorial con el que comenzamos. Esto ilustra cómo pasar entre representaciones matriciales y de campo vectorial de elementos del álgebra de Lie. El mapa exponencial juega este papel especial no solo para el grupo de Lorentz sino también para los grupos de Lie en general.

Invirtiendo el procedimiento de la sección anterior, vemos que las transformaciones de Möbius que corresponden a nuestros seis generadores surgen de exponenciar respectivamente η/2 (para los tres impulsos) o iθ/2 (para las tres rotaciones) por las tres matrices de Pauli

{displaystyle sigma _{1}={begin{bmatrix}0&1\1&0end{bmatrix}},;;sigma _{2}={begin{bmatrix}0&-i\i&0end{bmatrix}},;;sigma _{3}={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}.}

Generadores del grupo Möbius

Otro conjunto generador surge a través del isomorfismo al grupo de Möbius. La siguiente tabla enumera los seis generadores, en los que

La primera columna da un generador del flujo bajo la acción Möbius (después de la proyección estereográfica de la esfera Riemann) como un real Campo vectorial en el plano Euclideano.
La segunda columna da el subgrupo de un parámetro correspondiente de las transformaciones de Möbius.
La tercera columna da el subgrupo de un parámetro correspondiente de las transformaciones de Lorentz (la imagen bajo nuestro homomorfismo del subgrupo de un parámetro anterior).
La cuarta columna da el generador correspondiente del flujo bajo la acción Lorentz como un campo vectorial real en la hora espacial de Minkowski.

Observe que los generadores consisten en

Dos parabólicas (roturas nulas)
Un hiperbólico (boost in the $partial_z$ dirección)
Tres eliptics (rotaciones sobre el x, Sí., z ejes, respectivamente)

Vector field on $mathbb {R} ^{2}$	Subgrupo de un parámetro ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ , representación Transformaciones Möbius	Subgrupo de un parámetro ${displaystyle {text{SO}}^{+}(1,3)}$ , representando las transformaciones de Lorentz	Vector field on ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}}$
Parabólica
$partial_u,!$	${displaystyle {begin{bmatrix}1&alpha \0&1end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}1+{frac {1}{2}}alpha ^{2}&alpha &0&-{frac {1}{2}}alpha ^{2}\alpha &1&0&-alpha \0&0&1&0\{frac {1}{2}}alpha ^{2}&alpha &0&1-{frac {1}{2}}alpha ^{2}end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{aligned}X_{1}=x&(partial _{t}+partial _{z})+{}\&(t-z)partial _{x}end{aligned}}}$
$partial_v,!$	${displaystyle {begin{bmatrix}1&ialpha \0&1end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}1+{frac {1}{2}}alpha ^{2}&0&alpha &-{frac {1}{2}}alpha ^{2}\0&1&0&0\alpha &0&1&-alpha \{frac {1}{2}}alpha ^{2}&0&alpha &1-{frac {1}{2}}alpha ^{2}end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{aligned}X_{2}=y&(partial _{t}+partial _{z})+{}\&(t-z)partial _{y}end{aligned}}}$
Hiperbólico
$frac{1}{2} left(u partial_u + v partial_v right)$	${displaystyle {begin{bmatrix}exp left({frac {eta }{2}}right)&0\0&exp left(-{frac {eta }{2}}right)end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}cosh(eta)&0&0&sinh(eta)\0&1&0&0\0&0&1&0\sinh(eta)&0&0&cosh(eta)end{bmatrix}}}$	${displaystyle X_{3}=zpartial _{t}+tpartial _{z},!}$
Elliptic
$frac{1}{2} left(-v partial_u + u partial_v right)$	${displaystyle {begin{bmatrix}exp left({frac {itheta }{2}}right)&0\0&exp left({frac {-itheta }{2}}right)end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&0\0&cos(theta)&-sin(theta)&0\0&sin(theta)&cos(theta)&0\0&0&0&1end{bmatrix}}}$	${displaystyle X_{4}=-ypartial _{x}+xpartial _{y}}$
${displaystyle {frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}partial _{u}-uv,partial _{v}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}cos left({frac {theta }{2}}right)&-sin left({frac {theta }{2}}right)\sin left({frac {theta }{2}}right)&cos left({frac {theta }{2}}right)end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&0\0&cos(theta)&0&sin(theta)\0&0&1&0\0&-sin(theta)&0&cos(theta)end{bmatrix}}}$	${displaystyle X_{5}=-xpartial _{z}+zpartial _{x}}$
${displaystyle uv,partial _{u}+{frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}partial _{v}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}cos left({frac {theta }{2}}right)&isin left({frac {theta }{2}}right)\isin left({frac {theta }{2}}right)&cos left({frac {theta }{2}}right)end{bmatrix}}}$	${displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&cos(theta)&-sin(theta)\0&0&sin(theta)&cos(theta)end{bmatrix}}}$	${displaystyle X_{6}=-zpartial _{y}+ypartial _{z}}$

Ejemplo resuelto: rotación sobre el eje y

Empezar con

{displaystyle sigma _{2}={begin{bmatrix}0&i\-i&0end{bmatrix}}.}

Exponenciar:

{displaystyle exp left({frac {itheta }{2}},sigma _{2}right)={begin{bmatrix}cos left({frac {theta }{2}}right)&-sin left({frac {theta }{2}}right)\sin left({frac {theta }{2}}right)&cos left({frac {theta }{2}}right)end{bmatrix}}.}

Este elemento ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ representa el subgrupo de un parámetro de transformaciones Möbius (elliptic):

{displaystyle xi mapsto xi '={frac {cos left({frac {theta }{2}}right),xi -sin left({frac {theta }{2}}right)}{sin left({frac {theta }{2}}right),xi +cos left({frac {theta }{2}}right)}}.}

Siguiente,

{displaystyle left.{frac {dxi '}{dtheta }}right|_{theta =0}=-{frac {1+xi ^{2}}{2}}.}

El campo vectorial correspondiente $mathbb {C}$ (pensado como la imagen de $S^{2}$ bajo proyección estereográfica)

{displaystyle -{frac {1+xi ^{2}}{2}},partial _{xi }.}

Escritura $xi = u + i v$ , esto se convierte en el campo vectorial $mathbb {R} ^{2}$

{displaystyle -{frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}},partial _{u}-uv,partial _{v}.}

Volviendo a nuestro elemento de ${displaystyle {text{SL}}(2,mathbb {C})}$ , escribiendo la acción ${displaystyle Xmapsto PXP^{dagger }}$ y términos de recogida, encontramos que la imagen bajo el mapa de la espina dorsal es el elemento ${displaystyle {text{SO}}^{+}(1,3)}$

{displaystyle {begin{bmatrix}1&0&0&0\0&cos(theta)&0&sin(theta)\0&0&1&0\0&-sin(theta)&0&cos(theta)end{bmatrix}}.}

Diferenciando con respecto a $theta$ a $theta =0$ , produce el campo vectorial correspondiente en ${displaystyle mathbb {R} ^{1,3}}$ ,

z partial_x - x partial_z. ,!

Esto es evidentemente el generador de rotación en sentido contrario sobre el $y$ -Eje.

Subgrupos del grupo Lorentz

Los subalgebras del álgebra de Lie del grupo Lorentz se pueden enumerar, hasta la conjugación, de la cual se pueden enumerar los subgrupos cerrados del grupo de Lorentz restringido, hasta la conjugación. (Ver el libro de Hall citado a continuación para los detalles.) Estos pueden expresarse fácilmente en términos de los generadores $X_{n}$ dado en la tabla anterior.

Las subálgebras unidimensionales, por supuesto, corresponden a las cuatro clases de conjugación de elementos del grupo de Lorentz:

$X_{1}$ genera un subalgebra de un parámetro de parabolics SO(0, 1),
$X_3$ genera un subalgebra de un parámetro de impulsos SO(1, 1),
$X_4$ genera un solo parámetro de rotaciones SO(2),
$X_3 + a X_4$ (para cualquier $aneq 0$ ) genera un subalgebra de un parámetro de transformaciones loxodrómicas.

(Hablando estrictamente el último corresponde a infinitamente muchas clases, ya que distintas $a$ dar clases diferentes.) Los subalgebras bidimensionales son:

$X_{1},X_{2}$ generar un subalgebra abeliana consistente enteramente en parabolicos,
$X_1, X_3$ generar un isomorfo subalgebra nonabeliano al álgebra de Lie del grupo affine Aff(1),
$X_3, X_4$ generar un subalgebra abeliana consistente en impulsos, rotaciones y loxodrómicos que comparten el mismo par de puntos fijos.

Las subálgebras tridimensionales utilizan el esquema de clasificación de Bianchi:

${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ generar un Bianchi V subalgebra, isomorfo al álgebra de Lie de Hom(2), el grupo de euclidean homotheties,
${displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}}$ generar un Bianchi VII₀ subalgebra, isomorfo al álgebra de Lie de E(2), el grupo euclidiano,
${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}+aX_{4}}$ , donde $aneq 0$ , generar un Bianchi VII_a Subalgebra,
${displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}}$ generar un Bianchi VIII subalgebra, isomorfo al álgebra de Lie de SL(2, R), el grupo de isometrías del plano hiperbólico,
${displaystyle X_{4},X_{5},X_{6}}$ generar un Bianchi IX subalgebra, isomorfo al álgebra de Lie de SO(3), el grupo de rotación.

Los tipos de Bianchi hacen referencia a la clasificación de las álgebras de Lie tridimensionales del matemático italiano Luigi Bianchi.

Las subálgebras de cuatro dimensiones son todas conjugadas a

${displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$ generar un isomorfo de subalgebra al álgebra de Lie de Sim(2), el grupo de las similitudes de Euclidean.

Las subálgebras forman una red (ver la figura), y cada subálgebra genera por exponenciación un subgrupo cerrado del grupo de Lie restringido. A partir de estos, se pueden construir todos los subgrupos del grupo de Lorentz, hasta la conjugación, multiplicando por uno de los elementos del grupo de cuatro de Klein.

La celo de los subalgebras del álgebra de Lie SO(1, 3), hasta la conjugación.

Al igual que con cualquier grupo de Lie conexo, los espacios laterales de los subgrupos cerrados del grupo de Lorentz restringido, o espacios homogéneos, tienen un interés matemático considerable. Algunas, breves descripciones:

El grupo Sim(2) es el estabilizador de un línea null; es decir, de un punto en la esfera Riemann, así el espacio homogéneo SO⁺(1, 3)/Sim(2) es la geometría Kleiniana que representa la geometría conformal en la esfera S².
El componente de identidad del grupo euclidiano SE(2) es el estabilizador de un vector nulo, por lo que el espacio homogéneo SO⁺(1, 3)/SE(2) es el espacio de impulso de una partícula sin masa; geométricamente, esta geometría Kleiniana representa la degenerado geometría del cono de luz en el espacio de Minkowski.
El grupo de rotación SO(3) es el estabilizador de un vector tipo tiempo, por lo que el espacio homogéneo SO⁺(1, 3)/SO(3) es el espacio de impulso de una partícula masiva; geométricamente, este espacio no es otro espacio hiperbólico tridimensional H³.

Generalización a dimensiones superiores

El concepto del grupo de Lorentz tiene una generalización natural al espacio-tiempo de cualquier número de dimensiones. Matemáticamente, el grupo de Lorentz del espacio de Minkowski (n + 1)-dimensional es el grupo ortogonal indefinido O(n, 1) de transformaciones lineales de Rⁿ⁺¹ que conserva la forma cuadrática

{displaystyle (x_{1},x_{2},ldotsx_{n},x_{n+1})mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.}

El grupo O(1, n) conserva la forma cuadrática

{displaystyle (x_{1},x_{2},ldotsx_{n},x_{n+1})mapsto x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-cdots -x_{n+1}^{2}}

Es isomorfo a O(n, 1) pero goza de mayor popularidad en la física matemática, principalmente porque el álgebra de la ecuación de Dirac y, más generalmente, las álgebras de espinor y de Clifford, son "más natural" con esta firma.

Una notación común para el espacio vectorial $mathbb {R} ^{n+1}$ , equipado con esta opción de forma cuadrática, es ${displaystyle mathbb {R} ^{1,n}}$ .

Muchas de las propiedades del grupo de Lorentz en cuatro dimensiones (donde n = 3) se generalizan directamente a n. Por ejemplo, el grupo de Lorentz O(n, 1) tiene cuatro componentes conectadas y actúa mediante transformaciones conformes en la esfera celeste (n−1) en (n+1)-dimensional. El componente de identidad SO⁺(n, 1) es un SO(n)-paquete sobre hiperbólico n- espacio Hⁿ.

Los casos de baja dimensión n = 1 y n = 2 suelen ser útiles como "modelos de juguete" para el caso físico n = 3, mientras que los grupos de Lorentz de dimensiones superiores se utilizan en teorías físicas como la teoría de cuerdas que postulan la existencia de dimensiones ocultas. El grupo de Lorentz O(n, 1) es también el grupo de isometría del espacio n-dimensional de Sitter dS_n, que puede realizarse como el espacio homogéneo O(n, 1)/O(n − 1, 1). En particular, O(4, 1) es el grupo de isometría del universo de De Sitter dS₄, un modelo cosmológico.

Lista de lectura

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Carmeli, Moshe (1977). Teoría del Grupo y Relatividad General, Representaciones del Grupo Lorentz y Sus Aplicaciones al Campo Gravitacional. McGraw-Hill, Nueva York. Una referencia canónica; véase capítulos 1 a 6 para las representaciones del grupo Lorentz.
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Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teoría de representación. Un primer curso. Textos de Graduación en Matemáticas, Lecturas en Matemáticas. Vol. Nueva York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. Véase la Conferencia 11 para las representaciones irreducibles de SL(2,C).
Gelfand, I.M.; Minlos, R.A.; Shapiro, Z.Ya. (1963), Representaciones de los Grupos de Rotación y Lorentz y sus Aplicaciones, Nueva York: Pergamon Press
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras y Representaciones: Una Introducción Elemental, Textos de Graduación en Matemáticas, vol. 222 (2a edición), Springer, ISBN 978-3319134666.
Hall, G. S. (2004). Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-02-1051-9. Véase el capítulo 6 para los subalgebras del álgebra de Lie del grupo Lorentz.
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