Grupo linealmente ordenado

En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta, un ordenado linealmente o un grupo totalmente ordenado es un grupo G equipado con un orden total "≤" es decir, invariante en la traducción. Esto puede tener diferentes significados. Decimos que (G, ≤) es un:

• grupo de orden izquierdo si ≤ es invariante izquierdo, eso es a≤b implicación ca≤cb para todos a,b,c dentro G,
• grupo de orden derecho si ≤ es correcto-invariante, eso es a≤b implicación ac≤bc para todos a,b,c dentro G,
• Grupo biordenado si ≤ es bi-invariante, eso es tanto izquierda- y derecha-invariante.

Se dice que un grupo G es ordenable por la izquierda (o ordenable por la derecha, o biordenable) si existe un orden invariante izquierda (o derecha, o bi) en G. Una condición necesaria simple para que un grupo pueda ordenarse por la izquierda es no tener elementos de orden finito; sin embargo, esta no es una condición suficiente. Es equivalente a que un grupo se pueda ordenar por la izquierda o por la derecha; sin embargo, existen grupos ordenables por la izquierda que no son ordenables por la izquierda.

Más definiciones

En esta sección ≤ ≤ {displaystyle leq } es una orden invariable izquierda en un grupo G{displaystyle G. con elemento de identidad e{displaystyle e}. Todo lo que se dice se aplica a las órdenes invariantes adecuadas con las modificaciones obvias. Note que ≤ ≤ {displaystyle leq } ser invariante izquierdo es equivalente a la orden ≤ ≤ .{displaystyle leq} definidas por g≤ ≤ .h{displaystyle gleq 'h} si h− − 1≤ ≤ g− − 1{displaystyle h^{-1}leq g^{-1} ser invariante. En particular, un grupo que es de orden izquierdo es el mismo que ser de orden derecho.

En analogía con números ordinarios llamamos un elemento gلe{displaystyle gnot =e} de un grupo ordenado positivo si e≤ ≤ g{displaystyle eleq g}. El conjunto de elementos positivos en un grupo ordenado se llama el positivo, a menudo se denota con G+{displaystyle G_{+}; la notación ligeramente diferente G+{displaystyle G^{+} se utiliza para el cono positivo junto con el elemento de identidad.

El cono positivo G+{displaystyle G_{+} caracteriza la orden ≤ ≤ {displaystyle leq }; de hecho, por invariancia izquierda vemos que g≤ ≤ h{displaystyle gleq h} si g− − 1h▪ ▪ G+{displaystyle g^{-1}hin G_{+}. De hecho, un grupo ordenado por la izquierda puede definirse como un grupo G{displaystyle G. junto con un subconjunto P{displaystyle P} satisfaciendo las dos condiciones que:

1. para g,h▪ ▪ P{displaystyle g,hin P} también tenemos gh▪ ▪ P{displaystyle ghin P};
2. Deja P− − 1={}g− − 1,g▪ ▪ P}{displaystyle P^{-1}={g^{-1},gin P}, entonces G{displaystyle G. es la unión descomunal P,P− − 1{displaystyle P,P^{-1} y {}e}{displaystyle {e}}.

La orden ≤ ≤ P{displaystyle leq _{P} asociado con P{displaystyle P} se define por g≤ ≤ Ph.. g− − 1h▪ ▪ P{displaystyle gleq "Leftrightarrow" g^{-1}hin P}; la primera condición equivale a la invariancia izquierda y la segunda a la orden bien definida y total. El cono positivo de ≤ ≤ P{displaystyle leq _{P} es P{displaystyle P}.

La orden invariante izquierda ≤ ≤ {displaystyle leq } es bi-invariante si y sólo si es invariante conyugal, es decir, g≤ ≤ h{displaystyle gleq h} entonces para cualquier x▪ ▪ G{displaystyle xin G} tenemos xgx− − 1≤ ≤ xhx− − 1{displaystyle xgx^{-1}leq xhx^{-1} también. Esto equivale a que el cono positivo sea estable bajo automorfismos internos.

Si a▪ ▪ G{displaystyle ain G}, entonces el valor absoluto de a{displaystyle a}, denotado por SilencioaSilencio{displaystyle Silencioso, se define como:

SilencioaSilencio:={}a,sia≥ ≥ 0,− − a,de otra manera.{displaystyle tención:={begin{cases}a, limit{text{if }ageq 0,a, âtext{otherwise}end{cases}}

G{displaystyle G.

a,b▪ ▪ G{displaystyle a,bin G}

Silencioa+bSilencio≤ ≤ SilencioaSilencio+SilenciobSilencio{displaystyle Silencioa+b sufrimientoleq Навывывывывывывые ные нельные ные ные ные ные ные ные нели ные неные ные ные не ные ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный ный н

Ejemplos

Cualquier grupo ordenable por la izquierda o por la derecha está libre de torsión, es decir, no contiene elementos de orden finito además de la identidad. Por el contrario, F. W. Levi demostró que un grupo abeliano libre de torsión es biordenable; Esto sigue siendo cierto para los grupos nilpotentes, pero existen grupos sin torsión, presentados de forma finita, que no se pueden ordenar por la izquierda.

Grupos ordenados de Arquímedes

Otto Hölder mostró que cada grupo de Arquímedes (grupo bi-ordenado que satisface una propiedad arquímica) es isomorfo para un subgrupo del grupo aditivo de números reales (Fuchs & Salce 2001, p. 61). Si escribimos el grupo Archimedean l.o. multiplicativamente, esto puede ser mostrado considerando la terminación Dedekind, G^ ^ {displaystyle {widehat {G}} de la clausura de un grupo de n{displaystyle n}las raíces. Dotamos este espacio con la topología habitual de un orden lineal, y entonces se puede demostrar que para cada uno g▪ ▪ G^ ^ {displaystyle gin {fnfnfnHFFFF}displaystyle gin {fnfnfnfnfnfnfn\fnHFFFF}nnHFF}nnHFFFFFF}nHFF}displaystyle gin {nnnHnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnHnnnnnnnnnHnnnnnnnHnHnHnHnnnnHnnHnHnnnHnnHnnnnnnnnnnnnnnnnnn {G}} los mapas exponenciales g⋅ ⋅ :()R,+)→ → ()G^ ^ ,⋅ ⋅ ):limiqi▪ ▪ Q↦ ↦ limigqi{displaystyle g^{cdot}:(mathbb {R}+)to ({widehat {G}},cdot):lim ¿Qué? mathbb {Q} mapsto lim ¿Qué? son el orden bien definido preservar/revertir, isomorfismos de grupo topológico. Completar un grupo l.o. puede ser difícil en el caso no armenio. En estos casos, se puede clasificar un grupo por su rango: que está relacionado con el tipo de orden de la mayor secuencia de subgrupos convexos.

Otros ejemplos

Los grupos gratuitos se pueden ordenar por izquierda. En términos más generales, este también es el caso de los grupos de Artin en ángulo recto. Los grupos de trenzas también se pueden ordenar a la izquierda.

El grupo dado por la presentación .. a,bSilencioa2ba2b− − 1,b2ab2a− − 1.. {displaystyle langle a,b vidasa^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}rangle } es libre de torsión pero no izquierdible; note que es un grupo cristalino tridimensional (se puede realizar como el grupo generado por dos vueltas medias con ejes ortogonales y la misma longitud de la traducción), y es el mismo grupo que se comprobó que era un contraexample a la conjetura unidad. Más generalmente el tema de la ordenabilidad de 3 - múltiples grupos es interesante para su relación con varios invariantes topológicos. Existe un grupo 3-manifold que es de orden izquierdo pero no bi-ordenable (de hecho no satisface la propiedad más débil de ser localmente indicable).

Los grupos de orden izquierdo también han atraído interés desde la perspectiva de la carcasa de sistemas dinámicos se sabe que un grupo contable es de orden izquierdo si y sólo si actúa en la línea real por homeomorfismos. Los no ejemplos relacionados con este paradigma son lattices en grupos de alto rango de Lie; se sabe que (por ejemplo) subgrupos de índice finito en SLn()Z){displaystyle mathrm {SL} _{n}(mathbb {Z})} no son de orden izquierdo; una amplia generalización de esto ha sido anunciada recientemente.