Grupo lineal proyectivo

En matemáticas, especialmente en el área teórica de grupos del álgebra, el grupo lineal proyectivo (también conocido como grupo lineal general proyectivo o PGL) es la acción inducida de el grupo lineal general de un espacio vectorial V en el espacio proyectivo asociado P(V). Explícitamente, el grupo lineal proyectivo es el grupo cociente

PGL(VGLV)/Z(V)

donde GL(V) es el grupo lineal general de V y Z(V) es el subgrupo de todas las transformaciones escalares distintas de cero de V; estos están coorientados porque actúan trivialmente sobre el espacio proyectivo y forman el núcleo de la acción, y la notación "Z" refleja que las transformaciones escalares forman el centro del grupo lineal general.

El grupo lineal especial proyectivo, PSL, se define de manera análoga como la acción inducida del grupo lineal especial sobre el espacio proyectivo asociado. Explícitamente:

PSL(V) = SL(V)/SZ(V)

donde SL(V) es el grupo lineal especial sobre V y SZ(V) es el subgrupo de transformaciones escalares con determinante unitario. Aquí SZ es el centro de SL, y se identifica naturalmente con el grupo de nésimas raíces de la unidad en F (donde n es la dimensión de V y F es el campo base).

PGL y PSL son algunos de los grupos de estudio fundamentales, parte de los llamados grupos clásicos, y un elemento de PGL se llama transformación lineal proyectiva, transformación proyectiva o homografía. Si V es el espacio vectorial n-dimensional sobre un campo F, es decir, V = Fⁿ, las notaciones alternativas PGL(n, F ) y PSL(n, F) también se utilizan.

Tenga en cuenta que PGL(n, F) y PSL(n, F) son isomorfos si y sólo si cada elemento de F tiene una raíz nésima en F. Como ejemplo, observe que PGL(2, C) = PSL(2, C), pero que PGL(2, R) > PSL(2, R); esto corresponde a que la línea proyectiva real sea orientable, y que el grupo lineal especial proyectivo sea solo las transformaciones que conservan la orientación.

PGL y PSL también se pueden definir sobre un anillo, siendo un ejemplo importante el grupo modular, PSL(2, Z).

Nombre

El nombre proviene de la geometría proyectiva, donde el grupo proyectivo actúa sobre coordenadas homogéneas (x₀:x₁:...:x_n) es el grupo subyacente de la geometría. Dicho de otra manera, la acción natural de GL(V) sobre V desciende a una acción de PGL(V) sobre el espacio proyectivo P(V).

Por lo tanto, los grupos lineales proyectivos generalizan el caso PGL(2, C) de las transformaciones de Möbius (a veces llamado grupo de Möbius), que actúa sobre la línea proyectiva.

Tenga en cuenta que, a diferencia del grupo lineal general, que generalmente se define axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal (espacio vectorial), el grupo lineal proyectivo se define constructivamente. como un cociente del grupo lineal general del espacio vectorial asociado, en lugar de axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal proyectiva". Esto se refleja en la notación: PGL(n, F) es el grupo asociado a GL(n, F), y es el grupo lineal proyectivo del espacio proyectivo (n-1)-dimensional, no del espacio proyectivo n-dimensional.

Colineaciones

Un grupo relacionado es el grupo de colineación, que se define axiomáticamente. Una colineación es un mapa invertible (o más generalmente uno a uno) que envía puntos colineales a puntos colineales. Se puede definir un espacio proyectivo axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P, líneas L, y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas) que satisfacen ciertos axiomas: un automorfismo de un espacio proyectivo así definido es entonces un automorfismo f del conjunto de puntos y un automorfismo g del conjunto de líneas, preservando la relación de incidencia, que es exactamente una colineación de un espacio consigo mismo. Las transformaciones lineales proyectivas son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son transformadas lineales proyectivas – PGL es en general un subgrupo adecuado del grupo de colineación.

Específicamente, para n = 2 (una línea proyectiva), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva, y excepto F₂ y F₃ (donde PGL es el grupo simétrico completo), PGL es un subgrupo propio del grupo simétrico completo sobre estos puntos.

Para n ≥ 3, el grupo de collineación es el grupo semilineal proyector, P GL – esto es PGL, retorcido por automorfismos de campo; formalmente, PGL ≅K/k), donde k es el primer campo para K; este es el teorema fundamental de la geometría proyectiva. Así pues, K un campo primario (F_p o QTenemos PGL = PGL, pero para K un campo con automorfismos Galois no-triviales (como Fpn{displaystyle mathbf {F} _{p^{n}} para n ≥ 2 o C), el grupo lineal proyectivo es un subgrupo adecuado del grupo de collineación, que se puede considerar como "transforma preservar un proyecto semi- Estructura lineal". Correspondientemente, el grupo de cociente P GL/PGL = Gal(K/k) corresponde a "elementos de estructura lineal", con la identidad (punto de base) siendo la estructura lineal existente.

También se pueden definir grupos de colineación para espacios proyectivos definidos axiomáticamente, donde no existe una noción natural de una transformada lineal proyectiva. Sin embargo, con la excepción de los planos no desarguesianos, todos los espacios proyectivos son la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división aunque, como se señaló anteriormente, existen múltiples opciones de estructura lineal, a saber, un torsor sobre Gal(K /k) (para n ≥ 3).

Elementos

Los elementos del grupo lineal proyectivo pueden entenderse como "inclinación del plano" a lo largo de uno de los ejes, y luego proyectándose al plano original, y también tiene dimensión n.

Una manera geométrica más familiar de entender los transformados proyectivos es a través rotaciones de proyectos (los elementos de PSO(n+1)), que corresponde a la proyección estereográfica de las rotaciones de la unidad hiperesférica, y tiene dimensión 1+2+⋯ ⋯ +n=()n+12).{displaystyle textstyle {1+2+cdots +n={binom {n+1}{2}}}} Visualmente, esto corresponde a estar de pie en el origen (o colocar una cámara en el origen), y girando el ángulo de visión, luego proyectando en un plano plano plano. Las rotaciones en ejes perpendiculares al hiperplano preservan el hiperplano y producen una rotación del hiperplano (un elemento SO)n), que tiene dimensión 1+2+⋯ ⋯ +()n− − 1)=()n2).{displaystyle textstyle {1+2+cdots +(n-1)={binom {n}{2}}}}), mientras que las rotaciones en ejes paralelos al hiperplano son mapas de proyecto adecuados, y cuentas de los restantes n dimensiones.

Propiedades

• PGL envía puntos collineales a puntos collinear (conserva líneas proyectivas), pero no es el grupo completo de collineación, que es en lugar de P GL (para n o el grupo simétrico completo n = 2 (la línea proyectiva).
• Cada automorfismo algebraico (biregular) de un espacio proyector es lineal proyector. Los automorfismos biracionales forman un grupo mayor, el grupo Cremona.
• El PGL actúa fielmente en el espacio proyector: elementos no-identitarios actúan no-trivialmente.

  En concreto, el núcleo de la acción de GL en el espacio proyectivo es exactamente los mapas de escalar, que se citan en PGL.

• PGL actúa 2-transitivamente en el espacio proyector.

  Esto se debe a que 2 puntos distintos en el espacio proyector corresponden a 2 vectores que no se encuentran en un solo espacio lineal, y por lo tanto son linealmente independientes, y GL actúa transitivamente en k-element sets de vectores linealmente independientes.

• PGL(2, K) actúa agudamente 3-transitivamente en la línea proyectiva.

  3 puntos arbitrarios se mapean convencionalmente a [0, 1], [1, 1], [1, 0]; en notación alternativa, 0, 1, ∞. En la notación de transformación lineal fraccional, la función x− − ax− − c⋅ ⋅ b− − cb− − a{displaystyle {frac {x-a}{x-c}cdot {fnMicroc {b-c}{b-a}} mapas a ↦ 0, b ↦ 1, c ↦ ∞, y es el mapa único que lo hace. Esta es la relación cruzada ()x, b; a, c) – ver Cross-ratio § Enfoque transformador para detalles.

• Para n ≥ 3, PGL(n, K) no actúa 3-transitivamente, porque debe enviar 3 puntos collinear a otros 3 puntos collinear, no un conjunto arbitrario. Para n = 2 el espacio es la línea proyectiva, por lo que todos los puntos son collinear y esto no es restricción.
• PGL(2, K) no actúa 4-transitivamente en la línea proyectiva (excepto PGL(2, 3), como P¹(3) tiene 3+1=4 puntos, por lo que 3-transitivos implica 4-transitivos); el invariante que se conserva es la relación de la cruz, y esto determina dónde se envía cada otro punto: especificar dónde se mapean 3 puntos determina el mapa. Así, en particular, no es el grupo completo de collineación de la línea proyectiva (excepto para F₂ y F₃).
• PSL(2, q) y PGL(2, q(para) q, y q son dos de las cuatro familias de los grupos Zassenhaus.
• PGL(n, K) es un grupo algebraico de la dimensión n²−1 y un subgrupo abierto del espacio proyectado Pⁿ²⁻¹. Como se define, el functor PSL(n,K) no define un grupo algebraico, o incluso una hoja fppf, y su sheafification en la topología fppf es de hecho PGL(n,K).
• PSL y PGL son sin centro – esto es porque las matrices diagonales no son sólo el centro, sino también el hipercentro (el cociente de un grupo por su centro no es necesariamente sin centro).

Transformaciones lineales fraccionarias

En cuanto a las transformaciones de Möbius, el grupo PGL(2, K) se puede interpretar como transformaciones lineales fraccionarias con coeficientes en K. Los puntos en la línea proyectiva sobre K corresponden a pares de K², siendo dos pares equivalentes cuando son proporcionales. Cuando la segunda coordenada es distinta de cero, un punto se puede representar mediante [z, 1]. Entonces cuando ad– bc ≠ 0, la acción de PGL(2, K) es por transformación lineal:

[z,1]()acbd)=[az+b,cz+d]=[az+bcz+d,1].{displaystyle [z, 1]{begin{pmatrix}a Pulc\b [az+b, cz+d] = left[{frac {az+b}{cz+d}, 1right].}

De esta manera, las transformaciones sucesivas se pueden escribir como multiplicación correcta por dichas matrices, y la multiplicación de matrices se puede utilizar para el producto del grupo en PGL(2, K).

Campos finitos

Los grupos lineales especiales proyectivos PSL(n, F_q) para un campo finito F_q a menudo se escriben como PSL(n, q) o L_n(q). Son grupos finitos simples siempre que n sea al menos 2, con dos excepciones: L₂(2), que es isomorfo a S₃, el grupo simétrico de 3 letras, y tiene solución; y L₂(3), que es isomorfo a A₄, el grupo alterno de 4 letras, y también tiene solución. Se puede entender que estos isomorfismos excepcionales surgen de la acción sobre la línea proyectiva.

Los grupos lineales especiales SL(n, q) son, por tanto, cuasisimples: extensiones centrales perfectas de un grupo simple (a menos que n = 2 y q = 2 o 3).

Historia

Los grupos PSL(2, p) fueron construidos por Évariste Galois en la década de 1830 y eran la segunda familia de grupos finitos simples, después de los grupos alternos. Galois los construyó como transformaciones lineales fraccionarias y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3; esto está contenido en su última carta a Chevalier. En la misma carta y en los manuscritos adjuntos, Galois también construyó el grupo lineal general sobre un campo primo, GL(ν, p), al estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado p^ν.

Los grupos PSL(n, q) (n general, campo finito general) fueron construidos en el texto clásico de 1870 de Camille. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques.

Pedido

El orden de PGL(n, q) es

()qⁿ − 1)qⁿ − q)qⁿ − q²⋅⋅⋅qⁿ − qⁿ⁻¹)/(q −1) = qⁿ²⁻¹ − Oqⁿ²⁻³),

que corresponde al orden de GL(n, q), dividido por q − 1 para proyectivización; consulte q-analog para una discusión sobre tales fórmulas. Tenga en cuenta que el grado es n² − 1, lo que concuerda con la dimensión como grupo algebraico. La "O" es para notación O grande, que significa "términos que involucran orden inferior". Esto también equivale al orden de SL(n, q); allí dividir por q − 1 se debe al determinante.

El orden PSL(n, q) es lo anterior, dividido por gcd()n,q− − 1){displaystyle gcd(n,q-1)}. Esto es igual a SilencioSZ(n, q)Silencio, el número de matrices escalar con determinante 1;F^×/(F^×)ⁿSilencio, el número de clases de elemento que no tienen nla raíz; y es también el número de nlas raíces de la unidad en F_q.

Isomorfismos excepcionales

Además de los isomorfismos

L₂(2) S₃, L₂3) A₄, y PGL(2, 3) S₄,

Existen otros isomorfismos excepcionales entre grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternos (todos estos grupos son simples, ya que el grupo alterno de 5 o más letras es simple):

L2()4).. A5{displaystyle L_{2}(4)cong A_{5}

L2()5).. A5{displaystyle L_{2}(5)cong A_{5} (ver aquí para una prueba)

L2()9).. A6{displaystyle L_{2}(9)cong A_{6}

L4()2).. A8.{displaystyle L_{4}(2)cong A_{8}

El isomorfismo L₂(9) ≅ A₆ permite ver el exótico automorfismo externo de A₆ en términos de automorfismo de campo y operaciones matriciales. El isomorfismo L₄(2) ≅ A₈ es de interés en la estructura del grupo de Mathieu M₂₄.

Las extensiones asociadas SL(n, q) → PSL(n, q) cubren grupos de los grupos alternos (extensiones centrales perfectas universales) para A₄, A₅, por unicidad del universal perfecta extensión central; para L₂(9) ≅ A₆, la extensión asociada es una extensión central perfecta, pero no universal: hay un grupo de cobertura triple.

Los grupos sobre F₅ tienen una serie de isomorfismos excepcionales:

PSL(2, 5) A₅. I, el grupo alternado sobre cinco elementos, o equivalentemente el grupo icosahedral;

PGL(2, 5) S₅, el grupo simétrico sobre cinco elementos;

SL(2, 5) ⋅ 2 ⋅ A₅ ▪ 2I la doble cubierta del grupo alternante A5, o equivalentemente el grupo icosahedral binario.

También se pueden utilizar para construir un mapa exótico S5 → S6, como se describe a continuación. Sin embargo, tenga en cuenta que GL(2, 5) no es una cobertura doble de S₅, sino más bien una cobertura cuádruple.

Otro isomorfismo adicional es:

L₂(7) L₃(2) es el grupo simple de orden 168, el segundo grupo sencillo no abeliano, y no es un grupo alterno; véase PSL(2,7).

Los isomorfismos excepcionales anteriores que involucran a grupos lineales especiales proyectivos son casi todos los isomorfismos excepcionales entre familias de grupos finitos simples; el único otro isomorfismo excepcional es PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3), entre un grupo unitario especial proyectivo y un grupo simpléctico proyectivo.

Acción sobre línea proyectiva

Algunos de los mapas anteriores se pueden ver directamente en términos de la acción de PSL y PGL en la línea proyectiva asociada: PGL(n, q) actúa sobre la espacio proyectivo Pⁿ⁻¹(q), que tiene (qn−1)/(q−1) puntos, y esto produce un mapa del grupo lineal proyectivo al grupo simétrico en (qⁿ−1)/(q−1) puntos. Para n = 2, esta es la línea proyectiva P¹(q) que tiene (q ²−1)/(q−1) = q+1 puntos, por lo que hay un mapa PGL(2, q) → S_q+1.

Para comprender estos mapas, es útil recordar estos hechos:

• La orden de PGL(2, q) es

()q2− − 1)()q2− − q)/()q− − 1)=q3− − q=()q− − 1)q()q+1);{displaystyle (q^{2}-1)(q^{2}-q)/(q-1)=q^{3}-q=(q-1)q(q+1);}

la orden de PSL(2, q) es igual (si la característica es 2), o es la mitad de esto (si la característica no es 2).

• La acción del grupo lineal proyectivo en la línea proyectiva es agudamente 3-transitivo (fiel y 3-transitivo), por lo que el mapa es uno a uno y tiene imagen un subgrupo 3-transitivo.

Por tanto, la imagen es un subgrupo de 3 transitivos de orden conocido, lo que permite identificarla. Esto produce los siguientes mapas:

• PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S₃, del orden 6, que es un isomorfismo.
  • El mapa inverso (una representación proyectiva de S3) puede ser realizado por el grupo anharmónico, y más generalmente produce una incrustación S₃ → PGL(2, q) para todos los campos.
• PSL(2, 3) S₄, de las órdenes 12 y 24, este último es un isomorfismo, con PSL(2, 3) siendo el grupo alternante.
  • El grupo anharmónico da un mapa parcial en la dirección opuesta, mapeando S₃ → PGL(2, 3) como estabilizador del punto −1.
• PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S₅, del orden 60, produciendo el grupo alternante A₅.
• PSL(2, 5) S₆, de las órdenes 60 y 120, que produce una incrustación de S₅ (respectivamente, A₅como un transitoria subgrupo de S₆ (respectivamente, A₆). Este es un ejemplo de un mapa exótico S5 → S6, y se puede utilizar para construir el automorfismo exterior excepcional de S6. Note que el isomorfismo PGL(2, 5) S₅ no es transparente a partir de esta presentación: no hay un conjunto especialmente natural de 5 elementos sobre los cuales actúa PGL(2, 5).

Acción sobre puntos p

Mientras que PSL(n, q) actúa naturalmente sobre (qⁿ−1)/(q−1) = 1+q+...+qⁿ⁻¹ puntos, las acciones no triviales con menos puntos son más raras. De hecho, para PSL(2, p) actúa de manera no trivial en p puntos si y sólo si p = 2, 3, 5, 7, o 11; para 2 y 3 el grupo no es simple, mientras que para 5, 7 y 11, el grupo es simple; además, no actúa de manera no trivial sobre menos de p puntos. Esto fue observado por primera vez por Évariste Galois en su última carta a Chevalier, 1832.

Esto se puede analizar de la siguiente manera; observe que para 2 y 3 la acción no es fiel (es un cociente no trivial y el grupo PSL no es simple), mientras que para 5, 7 y 11 la acción es fiel (ya que el grupo es simple y la acción no es trivial) y produce una incrustación en S_p. En todos los casos excepto en el último, PSL(2, 11), corresponde a un isomorfismo excepcional, donde el grupo más a la derecha tiene una acción obvia en los puntos p:

• L2()2).. S3↠ ↠ S2{displaystyle L_{2}(2)cong S_{3}twoheadrightarrow S_{2} a través del mapa de signos;
• L2()3).. A4↠ ↠ A3.. C3{displaystyle L_{2}(3)cong A_{4}twoheadrightarrow A_{3}cong C_{3} a través del cociente del grupo Klein 4;
• L2()5).. A5.{displaystyle L_{2}(5)cong A_{5} Para construir tal isomorfismo, hay que considerar al grupo L₂(5) como grupo Galois de una cubierta Galois a₅: X(5) → X1) P¹, donde X()N) es una curva modular de nivel N. Esta cubierta se ramifica en 12 puntos. La curva modular X(5) tiene el género 0 y es isomorfa a una esfera sobre el campo de los números complejos, y luego la acción de L₂(5) en estos 12 puntos se convierte en el grupo de simetría de un icosahedro. A continuación, hay que considerar la acción del grupo de simetría de icosahedron en los cinco tetrahedra asociados.
• L₂(7) L₃(2) que actúa en el 1+2+4 = 7 puntos del avión Fano (plano proyectado sobre F₂); esto también se puede considerar como la acción sobre el orden 2 biplano, que es el complementario complementario complementario Avión Fano.
• L₂(11) es más sutil y elaborado a continuación; actúa sobre el orden 3 biplano.

Además, L₂(7) y L₂(11) tienen dos no equivalentes. acciones en puntos p; Geométricamente, esto se logra mediante la acción sobre un biplano, que tiene p puntos y p bloques: la acción sobre los puntos y la acción sobre los bloques son ambas acciones sobre p puntos, pero no conjugados (tienen diferentes estabilizadores de puntos); en cambio, están relacionados por un automorfismo externo del grupo.

Más recientemente, estas tres últimas acciones excepcionales se han interpretado como un ejemplo de la clasificación ADE: estas acciones corresponden a productos (como conjuntos, no como grupos) de los grupos como A ₄ × Z/5Z, S₄ × Z /7Z, y A₅ × Z/11Z, donde el grupos A₄, S₄ y A₅ son los grupos de isometría de los sólidos platónicos, y corresponden a E₆, E₇ y E₈ bajo la correspondencia de McKay. Estos tres casos excepcionales también se realizan como geometrías de poliedros (equivalentemente, mosaicos de superficies de Riemann), respectivamente: el compuesto de cinco tetraedros dentro del icosaedro (esfera, género 0), el biplano de orden 2 (plano de Fano complementario) dentro del Klein cuártico (género 3) y el biplano de orden 3 (biplano de Paley) dentro de la superficie de buckyball (género 70).

La acción de L₂(11) se puede ver algebraicamente como debido a una inclusión excepcional L2()5).. L2()11){displaystyle L_{2}(5)hookrightarrow L_{2}(11) – hay dos clases de conjugación de subgrupos L₂(11) que son isomorfos a L₂(5), cada uno con 11 elementos: la acción de L₂(11) por conjugación sobre estos es una acción en 11 puntos, y, además, las dos clases de conjugación están relacionadas con un automorfismo externo L₂(11). (Lo mismo es cierto para subgrupos de L₂(7) isomorfo a S₄, y esto también tiene una geometría biplane.)

Geométricamente, esta acción se puede entender a través de una geometría biplana que se define de la siguiente manera. Una geometría biplano es un diseño simétrico (un conjunto de puntos y un número igual de "líneas", o más bien bloques) tal que cualquier conjunto de dos puntos está contenido en dos líneas, mientras que dos líneas cualesquiera se cruzan en dos puntos; esto es similar a un plano proyectivo finito, excepto que en lugar de dos puntos que determinan una línea (y dos líneas que determinan un punto), determinan dos líneas (respectivamente, puntos). En este caso (el biplano de Paley, obtenido del dígrafo de Paley de orden 11), los puntos son la recta afín (el campo finito) F₁₁, donde la primera recta se define como los cinco residuos cuadráticos distintos de cero (puntos que son cuadrados: 1, 3, 4, 5, 9), y las otras líneas son las traducciones afines de esto (agregue una constante a todos los puntos). L₂(11) es entonces isomorfo al subgrupo de S₁₁ que preserva esta geometría (envía líneas a líneas), dando un conjunto de 11 puntos sobre los que actúa – de hecho dos: los puntos o las líneas, lo que corresponde al automorfismo exterior – mientras que L₂(5) es el estabilizador de una línea determinada, o dualmente de un punto determinado.

Más sorprendentemente, el espacio lateral L₂(11)/Z/11Z, que tiene orden 660/11 = 60 (y sobre el cual actúa el grupo icosaédrico) tiene naturalmente la estructura de una buckeyball, que se utiliza en la construcción de la superficie de la buckyball.

Grupos de Mathieu

El grupo PSL(3, 4) se puede utilizar para construir el grupo de Mathieu M₂₄, uno de los grupos simples esporádicos; en este contexto, uno se refiere a PSL(3, 4) como M₂₁, aunque no es propiamente un grupo de Mathieu. Se comienza con el plano proyectivo sobre el campo de cuatro elementos, que es un sistema Steiner de tipo S(2, 5, 21), es decir, que tiene 21 puntos, cada línea ("bloque", en Steiner terminología) tiene 5 puntos, y 2 puntos cualesquiera determinan una línea, y sobre la cual actúa PSL(3, 4). A este sistema Steiner lo llamamos W₂₁ ("W" para Witt) y luego lo expandimos a un sistema Steiner más grande W₂₄, expandiendo el grupo de simetría. en el camino: al grupo lineal general proyectivo PGL(3, 4), luego al grupo semilineal proyectivo PΓL(3, 4), y finalmente al grupo de Mathieu M₂₄.

M₂₄ también contiene copias de PSL(2, 11), que es máximo en M₂₂, y PSL(2, 23), que es máximo en M ₂₄, y se puede utilizar para construir M₂₄.

Superficies de Hurwitz

Los grupos PSL surgen como grupos de Hurwitz (grupos de automorfismo de superficies de Hurwitz - curvas algebraicas de grupo de posible simetría máxima). La superficie de Hurwitz del género más bajo, el cuártico de Klein (género 3), tiene un grupo de automorfismo isomorfo a PSL (2, 7) (equivalentemente GL (3, 2)), mientras que la superficie de Hurwitz del segundo género más bajo, la superficie de Macbeath (género 7), tiene un grupo de automorfismo isomorfo a PSL (2, 8).

De hecho, muchos, pero no todos, los grupos simples surgen como grupos de Hurwitz (incluido el grupo de los monstruos, aunque no todos los grupos alternos o esporádicos), aunque el PSL se destaca por incluir los grupos más pequeños.

Grupo modular

Los grupos PSL(2, Z/nZ) surgen al estudiar el grupo modular, PSL(2, Z ), como cocientes reduciendo todos los elementos mod n; los núcleos se denominan subgrupos principales de congruencia.

Un subgrupo digno de mención del grupo lineal proyectivo general PGL(2, Z) (y del grupo lineal proyectivo especial PSL(2, Z[i])) son las simetrías del conjunto {0, 1, ∞} ⊂ P¹(C) que se conoce como grupo anarmónico, y surge como las simetrías de las seis relaciones cruzadas. El subgrupo puede expresarse como transformaciones lineales fraccionarias o representarse (de forma no única) mediante matrices, como:

x{displaystyle x}	1/()1− − x){displaystyle 1/(1-x)}	()x− − 1)/x{displaystyle (x-1)/x}
()1001){displaystyle {begin{pmatrix}1 {}}}}}	()01− − 11){displaystyle {begin{pmatrix}0 â11end{pmatrix}}	()1− − 110){displaystyle {begin{pmatrix}1 {1}}}}
1/x{displaystyle 1/x}	1− − x{displaystyle 1-x}	x/()x− − 1){displaystyle x/(x-1)}
()0110){displaystyle {begin{pmatrix}0 tarde11}}}}	()− − 1101){displaystyle {begin{pmatrix}-1 âcera1end{pmatrix}}	()101− − 1){displaystyle {begin{pmatrix}1 âTMa âTMa {1end{pmatrix}}
()0ii0){displaystyle {begin{pmatrix}0 âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa}	()− − ii0i){displaystyle {begin{pmatrix}-i âTMa âTMa âTMa}}	()i0i− − i){displaystyle {begin{pmatrix}i âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa}}

Tenga en cuenta que la fila superior es la identidad y los dos 3 ciclos, y preservan la orientación, formando un subgrupo en PSL(2, Z), mientras que la fila inferior son los tres 2 -ciclos, y están en PGL(2, Z) y PSL(2, Z[i]), pero no en PSL(2, Z), por lo tanto, se realiza como matrices con determinante −1 y coeficientes enteros, o como matrices con determinante 1 y coeficientes enteros gaussianos.

Estos mapas a las simetrías de {0, 1, ∞ P¹()n) bajo reducción mod n. Notablemente, para n = 2, este subgrupo mapas isomorfos a PGL(2, Z/2Z) = PSL(2, Z/2Z) S₃, y por lo tanto proporciona una división PGL⁡ ⁡ ()2,Z/2).. PGL⁡ ⁡ ()2,Z){displaystyle operatorname {PGL} (2,mathbf {Z} /2)hookrightarrow operatorname {PGL} (2,mathbf {Z}}} para el mapa de referencia PGL⁡ ⁡ ()2,Z)↠ ↠ PGL⁡ ⁡ ()2,Z/2).{displaystyle operatorname {PGL} (2,mathbf {Z})twoheadrightarrow operatorname {PGL} (2,mathbf {Z} /2). }

Los puntos fijos de ambos 3 ciclos son los "más simétricos" cross-ratios, e± ± iπ π /3=12± ± 32i{displaystyle e^{pm ipi /3}={tfrac {1}{2}pm {fnMicroc {fnMicrosoft} {3}{2}i}, las soluciones a x2− − x+1{displaystyle x^{2}-x+1} (las seis raíces primitivas de la unidad). Los 2 ciclos intercambian estos, ya que hacen cualquier punto que no sea sus puntos fijos, que realiza el mapa de referencia S₃ → S₂ por el grupo de acción sobre estos dos puntos. Es decir, el subgrupo C₃. S₃ consistente en la identidad y los 3 ciclos, {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)}, fija estos dos puntos, mientras que los otros elementos los intercambian.

Los puntos fijos de los 2 ciclos individuales son, respectivamente, −1, 1/2, 2, y este conjunto también es preservado y permutado por los 3 ciclos. Esto corresponde a la acción de S₃ en los 2 ciclos (sus dos subgrupos Sylow) por conjugación y realiza el isomorfismo con el grupo de automorfismos internos, S3→ → ♪ ♪ Inn⁡ ⁡ ()S3).. S3.{displaystyle S_{3}{overset {sim}{to #### Operatorname {Inn} (S_{3}cong S_{3}

Geométricamente, esto se puede visualizar como el grupo de rotación de la bipirámide triangular, que es isomorfo al grupo dihedral del triángulo D3.. S3{displaystyle D_{3}cong S_{3}; ver grupo anharmónico.

Topología

Sobre los números reales y complejos, la topología de PGL y PSL se puede determinar a partir de los haces de fibras que los definen:

Z.. KAlternativa Alternativa → → GL→ → PGLSZ.. μ μ n→ → SL→ → PSL{displaystyle {begin{Matrix}mathrm {Z} &cong > k^{*} {to > {GL} &to &mathrm {PGL} \mathrm {SZ} &cong}mu _{n} limiteto > {SL} > {to > {m}} {m} {mtrix}}}

a través de la secuencia larga y exacta de una fibración.

Tanto para los reales como para los complejos, SL es un espacio de cobertura de PSL, con un número de hojas igual al número de raíces nésimas en K; así, en particular, todos sus grupos de homotopía superior están de acuerdo. Para los reales, SL es una cubierta doble de PSL para n par, y es una cubierta doble para n impar, es decir, un isomorfismo:

{±1} → SL(2n, R) → PSL(2)n, R)

SL⁡ ⁡ ()2n+1,R)→ → ♪ ♪ PSL⁡ ⁡ ()2n+1,R){displaystyle operatorname {SL} (2n+1,mathbf {R}{overset {sim }{to }}operatorname {PSL} (2n+1,mathbf {R}}}}

Para los complejos, SL es una cubierta n de PSL.

Para PGL, para los reales, la fibra es R* ≅ {±1}, por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un espacio de cobertura doble, y todos los grupos de homotopía superior están de acuerdo.

Para PGL sobre los complejos, la fibra es C* ≅ S¹, por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un círculo manojo. Los grupos de homotopía superiores del círculo desaparecen, por lo que los grupos de homotopía de GL(n, C) y PGL(n, C ) concuerdan con n ≥ 3. De hecho, π₂ siempre desaparece para los grupos de Lie, por lo que los grupos de homotopía concuerdan con n ≥ 2. Para n = 1, tenemos que π₁(GL(n, C)) = π₁(S¹) = Z. El grupo fundamental de PGL(2, C) es un grupo cíclico finito de orden 2.

Grupos de cobertura

Sobre los números reales y complejos, los grupos lineales especiales de proyecto son los mínimo (sin centro) Lie grupo realizaciones para el álgebra de Lie linear especial sl()n):: {displaystyle {Mathfrak {}(n)colon } cada conectado Grupo de mentiras Lie álgebra es sl()n){displaystyle {mathfrak}(n)} es una cubierta de PSL(n, F). Por el contrario, su grupo de cobertura universal es el maximal (simplemente conectado) elemento, y las realizaciones intermediarias forman una celosa de los grupos de cobertura.

Por ejemplo, SL(2, R) tiene centro {±1} y grupo fundamental Z y, por lo tanto, tiene cobertura universal SL(2, R) y cubre el PSL sin centros (2, R).

Teoría de la representación

Un homomorfismo de grupo G → PGL(V) de un grupo G a un grupo lineal proyectivo se denomina representación proyectiva del grupo. G, por analogía con una representación lineal (un homomorfismo G → GL(V)). Estos fueron estudiados por Issai Schur, quien demostró que las representaciones proyectivas de G pueden clasificarse en términos de representaciones lineales de extensiones centrales de . G. Esto llevó al multiplicador de Schur, que se utiliza para abordar esta cuestión.

Dimensiones bajas

El grupo lineal proyectivo se estudia principalmente para n ≥ 2, aunque se puede definir para dimensiones bajas.

Para n = 0 (o de hecho n < 0) el espacio proyectivo de K⁰ está vacío, ya que no hay subespacios unidimensionales de un espacio de 0 dimensiones. Por lo tanto, PGL(0, K) es el grupo trivial, que consiste en el mapa vacío único del conjunto vacío hacia sí mismo. Además, la acción de los escalares en un espacio de dimensión 0 es trivial, por lo que el mapa K* → GL(0, K) es trivial, en lugar de una inclusión como está en dimensiones superiores.

Para n = 1, el espacio proyectado de K¹ es un solo punto, ya que hay un único subespacio de 1 dimensión. Así, PGL(1, K) es el grupo trivial, que consiste en el mapa único de un singleton conjunto a sí mismo. Además, el grupo lineal general de un espacio 1-dimensional es exactamente los escalares, por lo que el mapa KAlternativa Alternativa → → ♪ ♪ GL⁡ ⁡ ()1,K){displaystyle ¿Qué? es un isomorfismo, correspondiente a PGL(1, K) GL(1, K)/K* Ser trivial.

Para n = 2, PGL(2, K) no es trivial, pero es inusual porque es 3-transitivo, a diferencia de dimensiones superiores cuando es solo 2-transitivo.

Ejemplos

• PSL(2,7)
• Grupo modular, PSL(2, Z)
• PSL(2,R)
• Möbius group, PGL(2, C) = PSL(2, C)

Subgrupos

• Grupo ortogonal proyectivo, PO – subgrupo máximo compacto de PGL
• Grupo unitario de proyecto, PU
• Grupo ortogonal especial de proyecto, PSO – subgrupo compacto maximal de PSL
• Grupo unitario especial de proyecto, PSU

Grupos más grandes

El grupo lineal proyectivo está contenido dentro de grupos más grandes, en particular:

• Grupo semilineal proyectivo, P GL, que permite automorfismos de campo.
• Grupo Cremona, Cr()Pⁿ()k) de automorfismos biracionales; cualquier automorfismo biregular es lineal, por lo que PGL coincide con el grupo de automorfismos biregulares.