Grupo lineal general

En matemáticas, el grupo lineal general de grado n es el conjunto de n×n matrices invertibles, junto con la operación de multiplicación de matrices ordinarias. Esto forma un grupo, porque el producto de dos matrices invertibles es nuevamente invertible, y el inverso de una matriz invertible es invertible, con la matriz identidad como el elemento identidad del grupo. El grupo se llama así porque las columnas (y también las filas) de una matriz invertible son linealmente independientes, por lo que los vectores/puntos que definen están en posición lineal general, y las matrices en el grupo lineal general toman puntos en posición lineal general a puntos en posición lineal general.

Para ser más precisos, es necesario especificar qué tipo de objetos pueden aparecer en las entradas de la matriz. Por ejemplo, el grupo lineal general sobre R (el conjunto de números reales) es el grupo de n×n matrices invertibles de números reales, y se denota por GL_n(R) o GL(n, R).

Más generalmente, el grupo lineal general de grado n sobre cualquier campo F (como los números complejos), o un anillo R (como el anillo de enteros), es el conjunto de matrices invertibles n×n con entradas de F (o R), de nuevo con la multiplicación de matrices como operación de grupo. La notación típica es GL_n(F) o GL(n, < i>F), o simplemente GL(n) si se entiende el campo.

Más generalmente aún, el grupo lineal general de un espacio vectorial GL(V) es el grupo de automorfismos, no necesariamente escrito como matrices.

El grupo lineal especial, escrito SL(n, F) o SL _n(F), es el subgrupo de GL(n, < i>F) que consta de matrices con un determinante de 1.

El grupo GL(n, F) y sus subgrupos a menudo se denominan grupos lineales o grupos de matrices (el grupo de automorfismos GL(V) es un grupo lineal pero no un grupo de matrices). Estos grupos son importantes en la teoría de representaciones de grupos, y también surgen en el estudio de simetrías espaciales y simetrías de espacios vectoriales en general, así como en el estudio de polinomios. El grupo modular puede realizarse como un cociente del grupo lineal especial SL(2, Z).

Si n ≥ 2, entonces el grupo GL(n, < i>F) no es abeliano.

Grupo lineal general de un espacio vectorial

Si V es un espacio vectorial sobre el campo F, el grupo lineal general de V, escrito GL(V) o Aut(V), es el grupo de todos los automorfismos de V, es decir, el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas < i>V → V, junto con la composición funcional como operación de grupo. Si V tiene una dimensión finita n, entonces GL(V) y GL(n, F) son isomorfos. El isomorfismo no es canónico; depende de la elección de la base en V. Dada una base (e₁,..., e_n) de V y un automorfismo T en GL(V), tenemos entonces para cada base vector e_i que

${displaystyle T(e_{i}=sum ¿Qué?$

para algunas constantes a_ij en F; la matriz correspondiente a T es entonces solo la matriz con entradas dadas por a_ij.

De manera similar, para un anillo conmutativo R el grupo GL(n, R) puede interpretarse como el grupo de automorfismos de un módulo libre R M de rango n. También se puede definir GL(M) para cualquier módulo R, pero en general esto no es isomorfo a GL(n , R) (para cualquier n).

En términos de determinantes

Sobre un campo F, una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, una definición alternativa de GL(n, F) es como el grupo de matrices con determinante distinto de cero.

Sobre un anillo conmutativo R, se necesita más cuidado: una matriz sobre R es invertible si y solo si su determinante es una unidad en R, es decir, si su determinante es invertible en R. Por tanto, GL(n, R) puede definirse como el conjunto de matrices cuyos determinantes son unidades.

Sobre un anillo no conmutativo R, los determinantes no se comportan nada bien. En este caso, GL(n, R) puede definirse como el grupo unitario del anillo matriz M(n, R).

Como un grupo de Mentiras

Caso real

El grupo lineal general GL(n, R) sobre el campo de los números reales es un grupo de Lie real de dimensión n². Para ver esto, observe que el conjunto de todas las matrices reales n×n, M_n (R), forma un espacio vectorial real de dimensión n². El subconjunto GL(n, R) consta de aquellas matrices cuyo determinante es distinto de cero. El determinante es un mapa polinómico y, por lo tanto, GL(n, R) es una subvariedad afín abierta de M_n(R) (un subconjunto abierto no vacío de M_n(R) en la topología de Zariski), y por lo tanto una variedad suave de la misma dimensión.

El álgebra de Lie de GL(n, R), denotado ${fn}$ consta de todo n×n matrices reales con el conmutador que sirve como el soporte Lie.

Como variedad, GL(n, R) no está conectado sino que tiene dos componentes conectados: el matrices con determinante positivo y las de determinante negativo. El componente de identidad, denotado por GL⁺(n, R), consiste en el matrices reales n×n con determinante positivo. Este también es un grupo de Lie de dimensión n²; tiene la misma álgebra de Lie que GL(n, R).

La descomposición polar, que es única para matrices invertibles, muestra que existe un homeomorfismo entre GL(n, R)< /span> y el producto cartesiano de O(n) con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. De manera similar, muestra que existe un homeomorfismo entre GL⁺(n, R) y el producto cartesiano de SO(n) con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. Debido a que este último es contráctil, el grupo fundamental de GL⁺(n, R) es isomorfo al de SO(n).

El homeomorfismo también muestra que el grupo GL(n, R) no es compacto. “El” subgrupo compacto máximo de GL(n, R) es el grupo ortogonal O(n), mientras que "el" subgrupo compacto máximo de GL⁺(n, R) es el grupo ortogonal especial SO (n). En cuanto a SO(n), el grupo GL⁺(n, R) no es simplemente conexo (excepto cuando n = 1), sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z para n = 2 o Z₂ para n > 2.

Caso complejo

El grupo lineal general sobre el campo de los números complejos, GL(n, C), es un < i>complejo Grupo de mentiras de dimensión compleja n². Como grupo de Mentira real (a través de la realización) tiene dimensión 2n². El conjunto de todas las matrices reales forma un subgrupo de Lie real. Estos corresponden a las inclusiones

GL(n, R)n, C)2n, R),

que tienen dimensiones reales n², 2n² y 4n² = (2n)². Las matrices n-dimensionales complejas se pueden caracterizar como matrices reales de 2n-dimensionales que conservan una estructura compleja lineal; en concreto, que conmutan con una matriz J tal que J² = −I, donde J corresponde a multiplicar por la unidad imaginaria i.

El álgebra de mentira correspondiente a GL(n, C) consta de todos los n×n con el conmutador sirviendo como corchete de mentira.

A diferencia del caso real, GL(n, C) está conectado. Esto se debe, en parte, a que el grupo multiplicativo de números complejos C^∗ es conexo. El grupo múltiple GL(n, C) no es compacto; más bien su subgrupo compacto máximo es el grupo unitario U(n). En cuanto a U(n), la variedad de grupo GL(n, C) es no está simplemente conectado sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z.

Sobre campos finitos

Mesa de Cayley GL(2, 2), que es isomorfa a S3.

Si F es un campo finito con elementos q, a veces escribimos GL(n, q) en lugar de GL(n, F). Cuando p es primo, GL(n, p) es el grupo de automorfismo exterior de el grupo Z_pⁿ, y también el grupo de automorfismos, porque Z_pⁿ es abeliano, por lo que el grupo de automorfismos internos es trivial.

El orden de GL(n, q) es:

${displaystyle prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})cdots (q^{n}-q^{n-1}).}$

Esto se puede mostrar contando las posibles columnas de la matriz: la primera columna puede ser cualquier cosa excepto el vector cero; la segunda columna puede ser cualquier cosa excepto los múltiplos de la primera columna; y en general, la kla columna puede ser cualquier vector no en el lapso lineal de la primera k − 1 columnas. En la notación q-analog, esto es ${displaystyle [n]_{q}! - ¿Qué?$.

Por ejemplo, GL(3, 2) tiene un orden (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168. Es el grupo de automorfismos del plano de Fano y del grupo Z₂³, y también se le conoce como PSL(2, 7).

Más generalmente, uno puede contar puntos de Grassmannian sobre F: en otras palabras, el número de subespacios de una dimensión dada k. Esto requiere solo encontrar el orden del subgrupo estabilizador de uno de esos subespacios y dividirlo en la fórmula que se acaba de dar, por el teorema del estabilizador de órbita.

Estas fórmulas están conectadas a la descomposición de Schubert del Grassmanniano y son q-análogos de los números de Betti de Grassmannianos complejos. Esta fue una de las pistas que llevaron a las conjeturas de Weil.

Tenga en cuenta que en el límite q ↦ 1 el orden de GL(n, q) va a 0! – pero bajo el procedimiento correcto (dividiendo por (q − 1)ⁿ) vea que es el orden del grupo simétrico (Ver el artículo de Lorscheid) – en la filosofía del campo con un elemento, uno interpreta el grupo simétrico como el grupo lineal general sobre el campo con un elemento: S_n ≅ GL(n, 1).

Historia

El grupo lineal general sobre un campo primo, GL(ν, p), fue construido y su orden calculado por Évariste Galois en 1832, en su última carta (a Chevalier) y segundo (de tres) manuscritos adjuntos, que utilizó en el contexto del estudio del grupo de Galois de la ecuación general de orden p< sup>ν.

Grupo lineal especial

El grupo lineal especial, SL(n, F), es el grupo de todas las matrices con determinante 1 Son especiales porque se encuentran en una subvariedad: satisfacen una ecuación polinomial (ya que el determinante es un polinomio en las entradas). Las matrices de este tipo forman un grupo ya que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de cada matriz. SL(n, F) es un subgrupo normal de GL( n, F).

Si escribimos F^× para el grupo multiplicativo de F (excluyendo 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupo

det: GL(n, F) → F^×.

que es sobreyectiva y su núcleo es el grupo lineal especial. Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo, GL(n, F)/SL(n, F) es isomorfo a F^×. De hecho, GL(n, F) se puede escribir como un producto semidirecto:

GL(n, F) = SL(n, F⋊ F^×

El grupo lineal especial es también el grupo derivado (también conocido como subgrupo de conmutadores) del GL(n, F(para un campo o un anillo de división) F) siempre que ${displaystyle nneq 2}$ o k no es el campo con dos elementos.

Cuando F es R o C, SL(n, F) es un subgrupo de mentiras de GL(n, F) de dimensión n² − 1. El álgebra de mentira de SL(n, F) consta de todos Matrices n×n sobre F con rastro de fuga. El soporte de Lie lo da el conmutador.

El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de volumen y transformaciones lineales de Rⁿ que preservan la orientación.

El grupo SL(n, C) simplemente está conectado, mientras que SL(n, R) no lo es. SL(n, R) tiene el mismo grupo fundamental que GL ⁺(n, R), es decir, Z para < i>n = 2 y Z₂ para n > 2.

Otros subgrupos

Subgrupos diagonales

El conjunto de todas las matrices diagonales invertibles forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo a (< i>F^×)ⁿ. En campos como R y C, estos corresponden a reescalar el espacio; las llamadas dilataciones y contracciones.

Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante multiplicada por la matriz identidad. El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo a F^×. Este grupo es el centro de GL(n, F). En particular, es un subgrupo abeliano normal.

El centro de SL(n, F) es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unitario, y es isomorfo al grupo de raíces nésimas de la unidad en el campo F.

Grupos clásicos

Los llamados grupos clásicos son subgrupos de GL(V) que conservan algún tipo de forma bilineal en un espacio vectorial V. Estos incluyen el

• grupo ortogonal, O(V), que conserva una forma cuadrática no degenerada en V,
• grupo simpático, Sp(V), que conserva una forma simpática en V (una forma alterna no degenerada),
• grupo unitario, U(V), que, cuando, F = C, preserva una forma hermitiana no degenerada en V.

Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de grupos de Lie.

Grupos relacionados y monoides

Grupo lineal proyectivo

El grupo lineal proyectivo PGL(n, F) y el grupo lineal proyectivo especial PSL(n, F) son los cocientes de GL(n, F) y SL(n, F) por sus centros (que consisten en los múltiplos de la matriz identidad en el mismo); son la acción inducida sobre el espacio proyectivo asociado.

Grupo afín

El grupo afín Aff(n, F) es una extensión de GL(n, F) por el grupo de traducciones en F^{n< /sup>. Se puede escribir como un producto semidirecto:}

Aff(Aff)n, FGLn, F⋉ Fⁿ

donde GL(n, F) actúa sobre F^{< i>n} de forma natural. El grupo afín puede verse como el grupo de todas las transformaciones afines del espacio afín subyacente al espacio vectorial Fⁿ.

Se tienen construcciones análogas para otros subgrupos del grupo lineal general: por ejemplo, el grupo afín especial es el subgrupo definido por el producto semidirecto, SL(n, F) ⋉ Fⁿ, y el grupo de Poincaré es el grupo afín asociado a la Grupo de Lorentz, O(1, 3, F) ⋉ Fⁿ .

Grupo semilineal general

El grupo semilineal general ΓL(n, F) es el grupo de todas las transformaciones semilineales invertibles y contiene GL. Una transformación semilineal es una transformación que es lineal "hasta un giro", lo que significa "hasta un automorfismo de campo en la multiplicación escalar". Se puede escribir como un producto semidirecto:

.n, F) = Gal(F⋉ GL(n, F)

donde Gal(F) es el grupo de Galois de F (sobre su campo principal), que actúa sobre GL(n, F) por la acción de Galois sobre las entradas.

El interés principal de ΓL(n, F) es que el grupo semilineal proyectivo asociado PΓL(n, F) (que contiene PGL(n, F)) es el grupo de colineación del espacio proyectivo, para n > 2 y, por lo tanto, los mapas semilineales son de interés en geometría proyectiva.

Monoide lineal completo

Si se elimina la restricción de que el determinante no sea cero, la estructura algebraica resultante es un monoide, generalmente llamado monoide lineal completo, pero ocasionalmente también semigrupo lineal completo, monoide lineal general etc. En realidad es un semigrupo regular.

Grupo lineal general infinito

El grupo lineal general infinito o grupo lineal general estable es el límite directo de las inclusiones GL(n, F) → GL(n + 1, F) como la matriz de bloque superior izquierda. Se denota por GL(F) o GL(∞, F), y también puede interpretarse como invertible matrices infinitas que difieren de la matriz identidad sólo en un número finito de lugares.

Se usa en la teoría K algebraica para definir K1, y sobre los reales tiene una topología bien entendida, gracias a la periodicidad de Bott.

No debe confundirse con el espacio de operadores invertibles (acotados) en un espacio de Hilbert, que es un grupo más grande y topológicamente mucho más simple, es decir, contráctil; consulte el teorema de Kuiper.