Grupo lineal especial

Cayley table of SL(2,3).

En matemáticas, el grupo lineal especial SL(n, F) de grado n sobre un campo F es el conjunto de n × n matrices con determinante 1, con las operaciones de grupo de multiplicación de matrices ordinarias e inversión de matrices. Este es el subgrupo normal del grupo lineal general dado por el núcleo del determinante

Det:: GL⁡ ⁡ ()n,F)→ → F× × .{displaystyle det colon operatorname {GL} (n,F)to F^{times }

donde F^× es el grupo multiplicativo de F (es decir, F excluyendo 0).

Estos elementos son "especiales" en que forman una subvariedad algebraica del grupo lineal general: satisfacen una ecuación polinomial (ya que el determinante es polinomial en las entradas).

Cuando F es un campo finito de orden q, la notación SL(n, q).

Interpretación geométrica

El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de volumen y orientación conservando transformaciones lineales de Rⁿ; esto corresponde a la interpretación del determinante como un cambio de medida en volumen y orientación.

Subgrupo de mentiras

Cuando F es R o C, SL(n, F) es un subgrupo de Lie GL(n, F) de la dimensión n² − 1. El álgebra de Lie sl()n,F){displaystyle {mathfrak}(n,F)} of SL(n, F) consiste en todo n × n matrices sobre F con rastro desaparecido. El soporte de Lie es dado por el conmutador.

Topología

Cualquier matriz invertible se puede representar de forma única según la descomposición polar como el producto de una matriz unitaria y una matriz hermítica con valores propios positivos. El determinante de la matriz unitaria está sobre el círculo unitario mientras que el de la matriz hermítica es real y positivo y como en el caso de una matriz del grupo lineal especial el producto de estos dos determinantes debe ser 1, entonces cada uno de ellos debe ser 1. Por lo tanto, una matriz lineal especial se puede escribir como el producto de una matriz unitaria especial (o matriz ortogonal especial en el caso real) y una matriz hermítica definida positiva (o matriz simétrica en el caso real) con determinante 1.

Así, la topología del grupo SL(n, C) es el producto de la topología de SU(n) y la topología del grupo de matrices hermitianas de determinante unitario con valores propios positivos. Una matriz hermítica de determinante unitario y que tiene valores propios positivos puede expresarse de manera única como la exponencial de una matriz hermítica sin rastro y, por lo tanto, la topología de esto es la de (n² − 1)espacio euclidiano dimensional. Dado que SU(n) es simplemente conexo, concluimos que SL(n, C) también es simplemente conexo, para todo n.

La topología de SL(n, R) es el producto de la topología de SO( n) y la topología del grupo de matrices simétricas con autovalores positivos y determinante unitario. Dado que las últimas matrices se pueden expresar de forma única como exponencial de matrices simétricas sin rastro, entonces esta última topología es la de (n + 2)(n − Espacio euclidiano de 1)/2 dimensiones. Así, el grupo SL(n, R) tiene el mismo grupo fundamental que SO(n), es decir, Z para n = 2 y Z ₂ para n > 2. En particular, esto significa que SL(n, R), a diferencia de SL(n, C), no es simplemente conexo, para n mayor que 1.

Relaciones con otros subgrupos de GL(n,A)

Dos subgrupos relacionados, que en algunos casos coinciden con SL y en otros casos se fusionan accidentalmente con SL, son el subgrupo conmutador de GL y el grupo generado por transvecciones. Ambos son subgrupos de SL (las transvecciones tienen determinante 1 y det es un mapa de un grupo abeliano, por lo que [GL, GL] ≤ SL), pero en general no coinciden con él.

El grupo generado por transvecciones se denota E(n, A) (para matrices elementales) o TV(n, A). Según la segunda relación de Steinberg, para n ≥ 3, las transvecciones son conmutadores, por lo que para n ≥ 3, E(n, A) ≤ [GL(n, A), GL(n, A)].

Para n = 2, las transvecciones no necesitan ser conmutadores (de matrices 2 × 2), como se ve por ejemplo cuando A es F₂, el campo de dos elementos, entonces

<math alttext="{displaystyle operatorname {Alt} (3)cong [operatorname {GL} (2,mathbf {F} _{2}),operatorname {GL} (2,mathbf {F} _{2})]Alt⁡ ⁡ ()3).. [GL⁡ ⁡ ()2,F2),GL⁡ ⁡ ()2,F2)].E⁡ ⁡ ()2,F2)=SL⁡ ⁡ ()2,F2)=GL⁡ ⁡ ()2,F2).. Sym⁡ ⁡ ()3),{displaystyle operatorname {Alt} (3)cong [operatorname {GL} (2,mathbf {F} _{2}),operatorname {GL} (2,mathbf {F} _{2})])] {F} _{2}=fnMiembro {SL} (2,mathbf {F} _{2})=fone {GL} (2,mathbf {F} _{2})cong operatorname {Sym} (3),}<img alt="operatorname{Alt}(3) cong [operatorname{GL}(2, mathbf{F}_2),operatorname{GL}(2, mathbf{F}_2)]

donde Alt(3) y Sym(3) denotan la alternancia resp. grupo simétrico en 3 letras.

Sin embargo, si A es un campo con más de 2 elementos, entonces E(2, A) = [GL(2, A), GL(2, A)], y si A es un campo con más de 3 elementos, E(2, A) = [SL(2, A), SL(2, A)] .

En algunas circunstancias estos coinciden: el grupo lineal especial sobre un campo o dominio euclidiano es generado por transvecciones, y el grupo lineal especial estable sobre un dominio de Dedekind es generado por transvecciones. Para anillos más generales, la diferencia estable se mide con el grupo especial Whitehead SK₁(A):= SL(A)/E(A), donde SL(A) y E(A) son los grupos estables de el grupo lineal especial y las matrices elementales.

Generadores y relaciones

Si se trabaja sobre un anillo donde SL se genera mediante transvecciones (como un campo o dominio euclidiano), se puede dar una presentación de SL usando transvecciones con algunas relaciones. Las transvecciones satisfacen las relaciones de Steinberg, pero no son suficientes: el grupo resultante es el grupo de Steinberg, que no es el grupo lineal especial, sino la extensión central universal del subgrupo conmutador de GL.

Un conjunto suficiente de relaciones para SL(n, Z) para n ≥ 3 viene dado por dos de las relaciones de Steinberg, más una tercera relación (Conder, Robertson & Williams 1992, p. 19). Sea T_ij:= e_ij(1) sea la matriz elemental con 1's en la diagonal y en la posición ij, y 0's en cualquier otro lugar (y i ≠ j). Entonces

[Tij,Tjk]=Tikparaiل ل k[Tij,Tkl l ]=1paraiل ل l l ,jل ل k()T12T21− − 1T12)4=1{displaystyle {begin{aligned}left[T_{ij},T_{jk}right=T_{ik} limitándose {text{for }ineq k[4pt]left [T_{ij},T_{kell }right] {1} end{aligned}}

son un conjunto completo de relaciones para SL(n, Z), n ≥ 3.

SL±(n,F)

En característica distinta de 2, el conjunto de matrices con determinante ±1 forman otro subgrupo de GL, con SL como subgrupo de índice 2 (necesariamente normal); en la característica 2 esto es lo mismo que SL. Esto forma una breve secuencia exacta de grupos:

SL()n,F)→ → SL± ± ()n,F)→ → {}± ± 1}.{displaystyle mathrm {SL} (n,F)to mathrm {SL} ^{pm }(n,F)to {pm 1}.}

Esta secuencia se divide tomando cualquier matriz con determinante −1, por ejemplo la matriz diagonal ()− − 1,1,...... ,1).{displaystyle (-1,1,dots1).} Si n=2k+1{displaystyle n=2k+1} es extraño, la matriz de identidad negativa − − I{displaystyle - Yo. está dentro SL^±()n,F) pero no en SL(n,F) y así el grupo se divide como un producto directo interno SL± ± ()2k+1,F).. SL()2k+1,F)× × {}± ± I}{displaystyle SL^{pm}(2k+1,F)cong SL(2k+1,F)times {fnh00 I}}. Sin embargo, si n=2k{displaystyle n=2k} es incluso, − − I{displaystyle - Yo. ya está en SL(n,F) SL^± no se divide, y en general es una extensión de grupo no-trivial.

Sobre los números reales, SL^±()n, R) tiene dos componentes conectados, correspondientes a SL(n, R) y otro componente, que son isomorfos con identificación dependiendo de una elección de punto (matrix con determinante −1). En la dimensión extraña estos son identificados naturalmente − − I{displaystyle - Yo., pero incluso en dimensión no hay una identificación natural.

Estructura de GL(n,F)

El grupo GL(n, F) se divide en su determinante (usamos F^× ≅ GL(1, F) → GL(n, F) como el monomorfismo de F^× a GL(n, F), ver producto semidirecto), y por lo tanto GL(n, F) se puede escribir como un producto semidirecto de SL(n, F) por F^×:

GL(n, F) = SL(n, F⋊ F^×.