Grupo lineal

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En matemáticas, un grupo de matrices es un grupo G que consta de matrices invertibles sobre un campo específico K, con la operación de multiplicación de matrices. . Un grupo lineal es un grupo que es isomorfo a un grupo matricial (es decir, que admite una representación fiel de dimensión finita sobre K).

Cualquier grupo finito es lineal, porque puede realizarse mediante matrices de permutación utilizando el teorema de Cayley. Entre grupos infinitos, los grupos lineales forman una clase interesante y manejable. Ejemplos de grupos que no son lineales incluyen grupos que son "demasiado grandes" o "demasiado grandes". (por ejemplo, el grupo de permutaciones de un conjunto infinito), o que exhiben algún comportamiento patológico (por ejemplo, grupos de torsión infinitos generados finitamente).

Definición y ejemplos básicos

Se dice que un grupo G es lineal si existe un campo K, un número entero d y un homomorfismo inyectivo de G al grupo lineal general GL_d(K) (una representación lineal fiel de la dimensión d sobre K): si es necesario, se puede mencionar el campo y la dimensión diciendo que G es lineal de grado d sobre K. Las instancias básicas son grupos que se definen como subgrupos de un grupo lineal, por ejemplo:

El grupo GL_n()K) sí mismo;
Grupo lineal especial SL_n()K) (el subgrupo de matrices con determinante 1);
El grupo de matrices triangulares invertibles superiores (o inferiores)
Si g_i es una colección de elementos en GL_n()K) indexado por un conjunto I, entonces el subgrupo generado por el g_i es un grupo lineal.

En el estudio de grupos de Lie, a veces es pedagógicamente conveniente restringir la atención a los grupos de Lie que pueden representarse fielmente en el campo de números complejos. (Algunos autores requieren que el grupo se represente como un subgrupo cerrado del GL_n(C).) Los libros que siguen este enfoque incluyen Hall (2015) y Rossmann (2002).

Clases de grupos lineales

Grupos clásicos y ejemplos relacionados

Los llamados grupos clásicos generalizan los ejemplos 1 y 2 anteriores. Surgen como grupos algebraicos lineales, es decir, como subgrupos de GL_n definidos por un número finito de ecuaciones. Los ejemplos básicos son grupos ortogonales, unitarios y simplécticos, pero es posible construir más usando álgebras de división (por ejemplo, el grupo unitario de un álgebra de cuaterniones es un grupo clásico). Tenga en cuenta que los grupos proyectivos asociados a estos grupos también son lineales, aunque menos obvios. Por ejemplo, el grupo PSL₂(R) no es un grupo de matrices de 2 × 2, pero tiene una representación fiel como matrices de 3 × 3 (la representación adjunta) , que se puede utilizar en el caso general.

Muchos grupos de Lie son lineales, pero no todos. La cobertura universal de SL2(R) no es lineal, como lo son muchos grupos solubles, por ejemplo el cociente del grupo de Heisenberg por un subgrupo cíclico central.

Los subgrupos discretos de grupos de Lie clásicos (por ejemplo, redes o grupos delgados) también son ejemplos de grupos lineales interesantes.

Grupos finitos

Un grupo finito G de orden n es lineal de grado como máximo n sobre cualquier campo K. Esta afirmación a veces se denomina teorema de Cayley y simplemente resulta del hecho de que la acción de G sobre el anillo del grupo K[G >] por la multiplicación por la izquierda (o por la derecha) es lineal y fiel. Los grupos finitos de tipo Lie (grupos clásicos sobre cuerpos finitos) son una familia importante de grupos finitos simples, ya que ocupan la mayoría de los espacios en la clasificación de grupos finitos simples.

Grupos de matrices finitamente generados

Si bien el ejemplo 4 anterior es demasiado general para definir una clase distintiva (incluye todos los grupos lineales), restringirlo a un conjunto de índices finito I, es decir, a grupos generados de forma finita, permite construir muchos grupos interesantes. ejemplos. Por ejemplo:

La lema de ping-pong se puede utilizar para construir muchos ejemplos de grupos lineales que son grupos libres (por ejemplo, el grupo generado por ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft ]} {\f} {\f} {\fnMicrosoft Sans}}\f}}}} {\fnMicrox} {\f}\fnMicrob} {\f}}}} {\f}\f} {\fnK\f}\fnK\f}}\fnMicrob} {\f}\f}}\fnK\f}\f}\fnMinMicrob} {\f}\f}\fnK\f}\f}\fnK\fnK\f}\fnK\f}\fnK\f}\fnK\f}\f}\fn$ es libre).
Se sabe que se generan grupos rítmicos finitos. Por otro lado, es difícil encontrar un conjunto explícito de generadores para un grupo aritmético dado.
Grupos trenzados (que se definen como un grupo de presentación finita) tienen una representación lineal fiel en un espacio vectorial complejo de dimensiones finitas donde los generadores actúan por matrices explícitas.

Ejemplos de geometría

En algunos casos, se puede demostrar que el grupo fundamental de una variedad es lineal utilizando representaciones provenientes de una estructura geométrica. Por ejemplo, todas las superficies cerradas del género al menos 2 son superficies de Riemann hiperbólicas. A través del teorema de uniformización, esto da lugar a una representación de su grupo fundamental en el grupo de isometría del plano hiperbólico, que es isomorfo a PSL₂(R) y esto realiza la grupo fundamental como grupo fucsiano. Una generalización de esta construcción viene dada por la noción de estructura (G,X) en una variedad.

Otro ejemplo es el grupo fundamental de variedades de Seifert. Por otro lado, no se sabe si todos los grupos fundamentales de variedades 3 son lineales.

Propiedades

Si bien los grupos lineales son una amplia clase de ejemplos, entre todos los grupos infinitos se distinguen por muchas propiedades notables. Los grupos lineales generados finitamente tienen las siguientes propiedades:

Son finitas residuales;
Teorema de Burnside: un grupo de torsión de exponente finito que es lineal sobre un campo de característica 0 debe ser finito;
Teorema de Schur: un grupo lineal de torsión es localmente finito. En particular, si se genera finitamente entonces es finito.
Lemma de Selberg: cualquier grupo lineal generado finitamente contiene un subgrupo sin torsión de índice finito.

La alternativa de Tetas establece que un grupo lineal contiene un grupo libre no abeliano o es virtualmente resoluble (es decir, contiene un grupo resoluble de índice finito). Esto tiene muchas consecuencias más, por ejemplo:

la función Dehn de un grupo lineal de generación finita sólo puede ser polinomio o exponencial;
un grupo lineal amenable es virtualmente solvable, en particular elemental amenable;
la conjetura de von Neumann es verdad para grupos lineales.

Ejemplos de grupos no lineales

No es difícil dar ejemplos de grupos no lineales generados infinitamente: por ejemplo, el grupo abeliano infinito (Z/2Z)^N x (Z/3Z)^N no puede ser lineal. Dado que el grupo simétrico en un conjunto infinito contiene este grupo, tampoco es lineal. Encontrar ejemplos generados de forma finita es más sutil y normalmente requiere el uso de una de las propiedades enumeradas anteriormente.

Puesto que cualquier grupo finito lineal es residualmente finito, no puede ser tanto simple como infinito. Así generó grupos simples infinitos, por ejemplo, el grupo de Thompson F, y el cociente del grupo de Higman por un subgrupo normal óptimo, no son lineales.
Por el corolario a la alternativa Tits mencionada anteriormente, grupos de crecimiento intermedio como el grupo de Grigorchuk no son lineales.
Otra vez por la alternativa Tits, como se mencionó anteriormente todos los contraexamples a la conjetura von Neumann no son lineales. Esto incluye al grupo de Thompson F y grupos de monstruos Tarski.
Por el teorema de Burnside, grupos de torsión infinitamente generados finitamente como grupos de monstruos de Tarski no pueden ser lineales.
Hay ejemplos de grupos hiperbólicos que no son lineales, obtenidos como cocientes de lattices en los grupos Lie Sp(n1).
El grupo de automorfismo externo Out(Fn) del grupo libre se sabe que no es lineal para n al menos 4.
En contraste con el caso de grupos trenzados, es una pregunta abierta si el grupo de clase de mapeo de una superficie de género 1 es lineal.

Teoría de la representación

Una vez que se ha establecido que un grupo es lineal, es interesante intentar encontrar grupos "óptimos" representaciones lineales fieles para él, por ejemplo de la dimensión más baja posible, o incluso intentar clasificar todas sus representaciones lineales (incluidas aquellas que no son fieles). Estas preguntas son el objeto de la teoría de la representación. Las partes más destacadas de la teoría incluyen:

Teoría de representación de grupos finitos;
Teoría de representación de grupos de Lie y grupos algebraicos más generalmente lineales.

La teoría de la representación de grupos finitos infinitos es en general misteriosa; el objeto de interés en este caso son las variedades de carácter del grupo, que se entienden bien sólo en muy pocos casos, por ejemplo grupos libres, grupos superficiales y más generalmente lattices en grupos de Lie (por ejemplo, a través del teorema de superrigidez de Margulis y otros resultados de rigidez).

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