Grupo Grothendieck

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Abelian group extending a commutative monoid

En matemáticas, el grupo Grothendieck, o grupo de diferencias, de un monoide conmutativo $M$ es cierto grupo abeliano. Este grupo abeliano se construye a partir de $M$ de la forma más universal, en el sentido de que cualquier grupo abeliano que contenga una imagen homomórfica de $M$ también contendrá una imagen homomórfica del grupo Grothendieck de $M$ . La construcción de grupos de Grothendieck toma su nombre de un caso específico de la teoría de categorías, introducido por Alexander Grothendieck en su demostración del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch, que resultó en el desarrollo de la teoría K. Este caso específico es el monoide de clases de isomorfismo de objetos de una categoría abeliana, con la suma directa como operación.

Grupo Grothendieck de un monoide comunitario

Motivación

Dado un monoide conmutativo $M$ , "el grupo abeliano más general" $K$ que surge de $M$ se construirá mediante la introducción de elementos inversos a todos los elementos $M$ . Tal grupo abeliano $K$ siempre existe; se llama el grupo Grothendieck $M$ . Se caracteriza por una determinada propiedad universal y también se puede construir concretamente a partir de $M$ .

Si $M$ no tiene la propiedad de cancelación (es decir, existe $a, b$ y $c$ dentro $M$ tales que ${displaystyle aneq b}$ y ${displaystyle ac=bc}$ ), entonces el grupo Grothendieck $K$ no puede contener $M$ . En particular, en el caso de una operación monoide denotó multiplicativamente que tiene un elemento cero satisfactorio ${displaystyle 0.x=0}$ para todos ${displaystyle xin M,}$ el grupo Grothendieck debe ser el grupo trivial (grupo con sólo un elemento), ya que uno debe tener

{displaystyle x=1.x=(0^{-1}.0).x=0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0}

para cada $x$ .

Propiedad universal

Vamos. M ser un monoide conmutativo. Su grupo Grothendieck es un grupo abeliano K con un homomorfismo monoide ${displaystyle icolon Mto K}$ satisfacción de la siguiente propiedad universal: para cualquier homomorfismo monoide ${displaystyle fcolon Mto A}$ desde M a un grupo abeliano A, hay un grupo único homomorfismo ${displaystyle gcolon Kto A}$ tales que ${displaystyle f=gcirc i.}$

Esto expresa el hecho de que cualquier grupo abeliano A que contenga una imagen homomórfica de M también contendrá una imagen homomórfica de K, K la opción "más general" grupo abeliano que contiene una imagen homomórfica de M.

Construcciones explícitas

Para construir el grupo Grothendieck K de un monoide comunitario M, uno forma el producto cartesiano ${displaystyle Mtimes M}$ . Las dos coordenadas están destinadas a representar una parte positiva y una parte negativa, así que ${displaystyle (m_{1},m_{2})}$ corresponde a ${displaystyle m_{1}-m_{2}}$ dentro K.

Adición sobre ${displaystyle Mtimes M}$ se define coordenada:

{displaystyle (m_{1},m_{2})+(n_{1},n_{2})=(m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2})}

Siguiente define una relación de equivalencia en ${displaystyle Mtimes M}$ , tal que ${displaystyle (m_{1},m_{2})}$ equivale a ${displaystyle (n_{1},n_{2})}$ si, para algún elemento k de M, m₁ + n₂ + k = m₂ + n₁ + k (el elemento k es necesario porque la ley de cancelación no contiene todos los monoides). La clase de equivalencia del elemento (m₁, m₂) es denotado por [(m₁, m₂)]. Uno define K ser el conjunto de clases de equivalencia. Desde la operación adicional M × M es compatible con nuestra relación de equivalencia, se obtiene una adición K, y K se convierte en un grupo abeliano. El elemento de identidad K es [(0, 0)], y el inverso de [(m₁, m₂) es [m₂, m₁)]. El homomorfismo ${displaystyle i:Mto K}$ envía el elemento m a [(m, 0)].

Alternativamente, el grupo Grothendieck K de M también se puede construir utilizando generadores y relaciones: ${displaystyle (Z(M),+')}$ el grupo abeliano libre generado por el conjunto MEl grupo Grothendieck K es el cociente de ${displaystyle Z(M)}$ por el subgrupo generado por ${displaystyle {(x+'y)-'(x+y)mid x,yin M}}$ . (Aquí + y −′ denota la adición y resta del grupo abeliano libre ${displaystyle Z(M)}$ mientras + denota la adición en el monoide M) Esta construcción tiene la ventaja de que se puede realizar para cualquier semigrupo M y produce un grupo que satisface las propiedades universales correspondientes para semigrupos, es decir, el "más general y más pequeño grupo que contiene una imagen homomorfa de M". Esto se conoce como la "conclusión colectiva de un semigrupo" o "grupo de fracciones de un semigrupo".

Propiedades

En el lenguaje de la teoría de categorías, cualquier construcción universal da lugar a un funtor; se obtiene así un functor de la categoría de monoides conmutativos a la categoría de grupos abelianos que envía el monoide conmutativo M a su grupo de Grothendieck K. Este funtor se deja adjunto al funtor olvidadizo de la categoría de grupos abelianos a la categoría de monoides conmutativos.

Para un monoide conmutativo M, el mapa i: M → K es inyectivo si y sólo si M tiene la propiedad de cancelación y es biyectivo si y sólo si M ya es un grupo.

Ejemplo: los números enteros

El ejemplo más fácil de un grupo Grothendieck es la construcción de los enteros ${displaystyle mathbb {Z} }$ de los números naturales (aditivos) ${displaystyle mathbb {N} }$ . Primero se observa que los números naturales (incluyendo 0) junto con la adición usual forman un monoide conmutativo ${displaystyle (mathbb {N}+).}$ Ahora cuando se utiliza la construcción del grupo Grothendieck uno obtiene las diferencias formales entre los números naturales como elementos n − m y uno tiene la relación de equivalencia

{displaystyle n-msim n'-m'iff n+m'+k=n'+m+k}

para algunos

{displaystyle kiff n+m'=n'+m}

Ahora define

{displaystyle forall nin mathbb {N}:qquad {begin{cases}n:=[n-0]\-n:=[0-n]end{cases}}}

Esto define los enteros ${displaystyle mathbb {Z} }$ . De hecho, esta es la construcción habitual para obtener los enteros de los números naturales. Vea "Construcción" bajo Integers para una explicación más detallada.

Ejemplo: los números racionales positivos

Del mismo modo, el grupo Grothendieck del monoide multiplicativo ${displaystyle (mathbb {N} ^{*},times)}$ (a partir de 1) consiste en fracciones formales ${displaystyle p/q}$ con la equivalencia

{displaystyle p/qsim p'/q'iff pq'r=p'qr}

para algunos

{displaystyle riff pq'=p'q}

que por supuesto se puede identificar con los números racionales positivos.

Ejemplo: el grupo de Grothendieck de una variedad

El grupo Grothendieck es la construcción fundamental de la teoría K. El grupo ${displaystyle K_{0}(M)}$ de un manifold compacto M se define como el grupo Grothendieck del monoide conmutativo de todas las clases de isomorfismo de los paquetes vectores de rango finito en M con la operación monoide dada por suma directa. Esto le da a un funerario contravariante de manifolds a grupos abelianos. Este functor es estudiado y extendido en la Teoría K topológica.

Ejemplo: el grupo de Grothendieck de un anillo

El grupo K algebraico cero ${displaystyle K_{0}(R)}$ de un anillo (no necesariamente conmutativo) R es el grupo Grothendieck del monoide que consiste en clases de isomorfismo de módulos de proyecto finitos generados sobre R, con la operación monoide dada por la suma directa. Entonces... ${displaystyle K_{0}}$ es un functor covariante de anillos a grupos abelianos.

Los dos ejemplos anteriores están relacionados: considerar el caso en que ${displaystyle R=C^{infty }(M)}$ es el anillo de funciones suaves de valor complejo en un conjunto compacto M. En este caso el proyecto R-módulos son dobles a los paquetes vectoriales sobre M (por el teorema Serre-Swan). Así ${displaystyle K_{0}(R)}$ y ${displaystyle K_{0}(M)}$ son el mismo grupo.

Grupo Grothendieck y ampliaciones

Definición

Otra construcción que lleva el nombre Grupo Grothendieck es el siguiente: Vamos. R ser un álgebra finito-dimensional sobre algún campo k o más generalmente un anillo artiniano. Entonces definir el grupo Grothendieck ${displaystyle G_{0}(R)}$ como el grupo abeliano generado por el conjunto ${displaystyle {[X]mid Xin R{text{-mod}}}}$ de clases de isomorfismo de generación finita R-módulos y las siguientes relaciones: Para cada secuencia exacta corta

{displaystyle 0to Ato Bto Cto 0}

de R-módulos, agregue la relación

{displaystyle [A]-[B]+[C]=0.}

Esta definición implica que para cualquier dos generación finita R-módulos M y N, ${displaystyle [Moplus N]=[M]+[N]}$ , debido a la secuencia corta de división exacta

{displaystyle 0to Mto Moplus Nto Nto 0.}

Ejemplos

Vamos. K Sé un campo. Luego el grupo Grothendieck ${displaystyle G_{0}(K)}$ es un grupo abeliano generado por símbolos ${displaystyle [V]}$ para cualquier dimensión finita K- Espacio de vehículos V. De hecho, ${displaystyle G_{0}(K)}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} }$ cuyo generador es el elemento ${displaystyle [K]}$ . Aquí, el símbolo ${displaystyle [V]}$ para una dimensión finita K- Espacio de vehículos V se define como ${displaystyle [V]=dim _{K}V}$ , la dimensión del espacio vectorial V. Supongamos que uno tiene la siguiente secuencia corta exacta K- Espacios vencedores.

{displaystyle 0to Vto Tto Wto 0}

Desde cualquier breve secuencia exacta de espacios vectoriales se divide, sostiene que ${displaystyle Tcong Voplus W}$ . De hecho, para cualquier espacio vectorial de dos dimensiones finitas V y W las siguientes bodegas:

{displaystyle dim _{K}(Voplus W)=dim _{K}(V)+dim _{K}(W)}

La igualdad anterior por lo tanto satisface la condición del símbolo ${displaystyle [V]}$ en el grupo Grothendieck.

{displaystyle [T]=[Voplus W]=[V]+[W]}

Tenga en cuenta que cualquier bi isomorfo finito-dimensional K- los espacios vencedores tienen la misma dimensión. Además, cualquier dos dimensiones finitas K- Espacios de vehículos V y W de la misma dimensión son isomorfos entre sí. De hecho, cada finito n-dimensional K- Espacio de vehículos V es isomorfo a ${displaystyle K^{oplus n}}$ . Por consiguiente, la observación del párrafo anterior demuestra la siguiente ecuación:

{displaystyle [V]=left[K^{oplus n}right]=n[K]}

Por lo tanto, cada símbolo ${displaystyle [V]}$ se genera por el elemento ${displaystyle [K]}$ con coeficientes enteros, lo que implica que ${displaystyle G_{0}(K)}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} }$ con el generador ${displaystyle [K]}$ .

Más generalmente, dejar ${displaystyle mathbb {Z} }$ ser el conjunto de enteros. El grupo Grothendieck ${displaystyle G_{0}(mathbb {Z})}$ es un grupo abeliano generado por símbolos ${displaystyle [A]}$ para cualquier grupo abeliano finitamente generado A. Una primera nota que cualquier grupo abeliano finito G satisfizo que ${displaystyle [G]=0}$ . La siguiente secuencia corta exacta sostiene, donde el mapa ${displaystyle mathbb {Z} to mathbb {Z} }$ multiplicación por n.

{displaystyle 0to mathbb {Z} to mathbb {Z} to mathbb {Z} /nmathbb {Z} to 0}

La secuencia exacta implica que ${displaystyle [mathbb {Z} /nmathbb {Z} ]=[mathbb {Z} ]-[mathbb {Z} ]=0}$ , así que cada grupo cíclico tiene su símbolo igual a 0. Esto a su vez implica que cada grupo abeliano finito G satisfizo ${displaystyle [G]=0}$ por el teorema fundamental de grupos finitos abelianos.

Observe que por el teorema fundamental de grupos abelianos de generación finita, cada grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de un subgrupo de torsión y un grupo abeliano libre de torsión isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} ^{r}}$ para algunos enteros no negativos r, llamado el rango de A y denotado por ${displaystyle r={mbox{rank}}(A)}$ . Define el símbolo ${displaystyle [A]}$ como ${displaystyle [A]={mbox{rank}}(A)}$ . Luego el grupo Grothendieck ${displaystyle G_{0}(mathbb {Z})}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} }$ con generador ${displaystyle [mathbb {Z} ].}$ De hecho, la observación hecha del párrafo anterior muestra que cada grupo abeliano A tiene su símbolo ${displaystyle [A]}$ igual al símbolo ${displaystyle [mathbb {Z} ^{r}]=r[mathbb {Z} ]}$ Donde ${displaystyle r={mbox{rank}}(A)}$ . Además, el rango del grupo abeliano satisface las condiciones del símbolo ${displaystyle [A]}$ del grupo Grothendieck. Supongamos que uno tiene la siguiente breve secuencia exacta de grupos abelianos:

{displaystyle 0to Ato Bto Cto 0}

Entonces tensor con los números racionales ${displaystyle mathbb {Q} }$ implica la siguiente ecuación.

{displaystyle 0to Aotimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q} to Botimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q} to Cotimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q} to 0}

Puesto que lo anterior es una breve secuencia exacta ${displaystyle mathbb {Q} }$ - Espacios vencedores, la secuencia se divide. Por lo tanto, uno tiene la siguiente ecuación.

{displaystyle dim _{mathbb {Q} }(Botimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q})=dim _{mathbb {Q} }(Aotimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q})+dim _{mathbb {Q} }(Cotimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q})}

Por otro lado, también se tiene la siguiente relación; para obtener más información, consulte Rango de un grupo abeliano.

{displaystyle operatorname {rank} (A)=dim _{mathbb {Q} }(Aotimes _{mathbb {Z} }mathbb {Q})}

Por lo tanto, la siguiente ecuación sostiene:

{displaystyle [B]=operatorname {rank} (B)=operatorname {rank} (A)+operatorname {rank} (C)=[A]+[C]}

Por lo tanto uno ha demostrado que ${displaystyle G_{0}(mathbb {Z})}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} }$ con generador ${displaystyle [mathbb {Z} ].}$

Propiedad universal

El grupo Grothendieck satisface una propiedad universal. Uno hace una definición preliminar: Una función ${displaystyle chi }$ del conjunto de clases de isomorfismo a un grupo abeliano ${displaystyle X}$ se llama aditivo si, para cada secuencia exacta ${displaystyle 0to Ato Bto Cto 0}$ , uno tiene ${displaystyle chi (A)-chi (B)+chi (C)=0.}$ Entonces, para cualquier función aditiva ${displaystyle chi:R{text{-mod}}to X}$ Hay un único grupo homomorfismo ${displaystyle f:G_{0}(R)to X}$ tales que ${displaystyle chi }$ factores ${displaystyle f}$ y el mapa que toma cada objeto de ${displaystyle {mathcal {A}}}$ al elemento que representa su clase de isomorfismo en ${displaystyle G_{0}(R).}$ Concretamente esto significa que ${displaystyle f}$ satisfice la ecuación ${displaystyle f([V])=chi (V)}$ para cada generación finitamente ${displaystyle R}$ - módulo ${displaystyle V}$ y ${displaystyle f}$ es el único homomorfismo grupal que hace eso.

Ejemplos de funciones aditivas son la función de carácter de la teoría de la representación: Si ${displaystyle R}$ es una dimensión finita ${displaystyle k}$ - álgebra, entonces uno puede asociar el carácter ${displaystyle chi _{V}:Rto k}$ a cada dimensión finita ${displaystyle R}$ - módulo ${displaystyle V:chi _{V}(x)}$ se define como el trazo del ${displaystyle k}$ - mapa lineal que se da por multiplicación con el elemento ${displaystyle xin R}$ on ${displaystyle V}$ .

Al elegir una base adecuada y escribir las matrices correspondientes en forma triangular de bloque se ve fácilmente que las funciones de carácter son aditivas en el sentido anterior. Por la propiedad universal esto nos da un " carácter universal" ${displaystyle chi:G_{0}(R)to mathrm {Hom} _{K}(R,K)}$ tales que ${displaystyle chi ([V])=chi _{V}}$ .

Si ${displaystyle k=mathbb {C} }$ y ${displaystyle R}$ es el anillo de grupo ${displaystyle mathbb {C} [G]}$ de un grupo finito ${displaystyle G}$ entonces este mapa de caracteres incluso da un isomorfismo natural ${displaystyle G_{0}(mathbb {C} [G])}$ y el anillo de carácter ${displaystyle Ch(G)}$ . En la teoría de representación modular de grupos finitos, ${displaystyle k}$ puede ser un campo ${displaystyle {overline {mathbb {F} _{p}}},}$ el cierre algebraico del campo finito con p elementos. En este caso el mapa definido analógicamente que se asocia a cada uno ${displaystyle k[G]}$ - Acomode su El carácter Brauer es también un isomorfismo natural ${displaystyle G_{0}({overline {mathbb {F} _{p}}}[G])to mathrm {BCh} (G)}$ sobre el anillo de caracteres Brauer. De esta manera los grupos Grothendieck aparecen en la teoría de la representación.

Esta propiedad universal también hace ${displaystyle G_{0}(R)}$ el ' receptor universal' de las características generalizadas de Euler. En particular, por cada complejo consolidado de objetos en ${displaystyle R{text{-mod}}}$

{displaystyle cdots to 0to 0to A^{n}to A^{n+1}to cdots to A^{m-1}to A^{m}to 0to 0to cdots }

uno tiene un elemento canónico

{displaystyle [A^{*}]=sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{*})]in G_{0}(R).}

De hecho, el grupo de Grothendieck se introdujo originalmente para el estudio de las características de Euler.

Grupos Grothendieck de categorías exactas

Una generalización común de estos dos conceptos es dada por el grupo Grothendieck de una categoría exacta ${displaystyle {mathcal {A}}}$ . En pocas palabras, una categoría exacta es una categoría aditiva junto con una clase de secuencias cortas distinguidas A → B → C. Las secuencias distinguidas se llaman " secuencias exactas", por lo tanto el nombre. Los axiomas precisos para esta distinguida clase no importan para la construcción del grupo Grothendieck.

El grupo Grothendieck se define de la misma manera que antes como el grupo abeliano con un generador [M] para cada (clase isomorfismo de) objeto(s) de la categoría ${displaystyle {mathcal {A}}}$ y una relación

{displaystyle [A]-[B]+[C]=0}

para cada secuencia exacta

{displaystyle Ahookrightarrow Btwoheadrightarrow C}

Alternativamente y equivalentemente, se puede definir el grupo Grothendieck usando una propiedad universal: A map ${displaystyle chi:mathrm {Ob} ({mathcal {A}})to X}$ desde ${displaystyle {mathcal {A}}}$ en un grupo abeliano X se llama "additivo" si para cada secuencia exacta ${displaystyle Ahookrightarrow Btwoheadrightarrow C}$ uno tiene ${displaystyle chi (A)-chi (B)+chi (C)=0}$ ; un grupo abeliano G junto con un mapeo aditivo ${displaystyle phi:mathrm {Ob} ({mathcal {A}})to G}$ se llama el grupo Grothendieck ${displaystyle {mathcal {A}}}$ sif cada mapa aditivo ${displaystyle chi:mathrm {Ob} ({mathcal {A}})to X}$ factores únicos mediante ${displaystyle phi }$ .

Cada categoría abeliana es una categoría exacta si se utiliza la interpretación estándar de "exacto". Esto da la noción de un grupo Grothendieck en la sección anterior si uno elige ${displaystyle {mathcal {A}}:=R{text{-mod}}}$ la categoría de generación finita R-módulos como ${displaystyle {mathcal {A}}}$ . Esto es realmente abeliano porque R fue asumido como artiniano (y por lo tanto noetheriano) en la sección anterior.

Por otro lado, cada categoría aditiva también es exacta si se declara que esas y sólo esas secuencias son exactas que tienen la forma ${displaystyle Ahookrightarrow Aoplus Btwoheadrightarrow B}$ con la inclusión canónica y morfismos de proyección. Este procedimiento produce el grupo Grothendieck del monoide conmutativo ${displaystyle (mathrm {Iso} ({mathcal {A}}),oplus)}$ en el primer sentido (aquí ${displaystyle mathrm {Iso} ({mathcal {A}})}$ significa el "set" [ignorando todos los temas fundamentales] de las clases de isomorfismo en ${displaystyle {mathcal {A}}}$ )

Grupos de Grothendieck de categorías trianguladas

Generalizando aún más, también es posible definir el grupo de Grothendieck para categorías trianguladas. La construcción es esencialmente similar pero utiliza las relaciones [X] − [Y] + [Z] = 0 siempre que haya un triángulo distinguido X → Y → Z → X[1].

Más ejemplos

En la categoría abeliana de espacios vectoriales finitos sobre un campo k, dos espacios vectoriales son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. Así, para un espacio vectorial V

{displaystyle [V]={big [}k^{dim(V)}{big ]}in K_{0}(mathrm {Vect} _{mathrm {fin} }).}

Además, para una secuencia exacta

{displaystyle 0to k^{l}to k^{m}to k^{n}to 0}

m = l + n, entonces

{displaystyle left[k^{l+n}right]=left[k^{l}right]+left[k^{n}right]=(l+n)[k].}

Así

{displaystyle [V]=dim(V)[k],}

{displaystyle K_{0}(mathrm {Vect} _{mathrm {fin} })}

es isomorfo a

{displaystyle mathbb {Z} }

y se genera por

{displaystyle [k].}

Finalmente para un complejo atado de espacios vectoriales finitos-dimensionales V*

{displaystyle [V^{*}]=chi (V^{*})[k]}

Donde

{displaystyle chi }

es el estándar Características de Euler definidas

{displaystyle chi (V^{*})=sum _{i}(-1)^{i}dim V=sum _{i}(-1)^{i}dim H^{i}(V^{*}).}

Para un espacio anillo ${displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}$ , se puede considerar la categoría ${displaystyle {mathcal {A}}}$ de todos los sheaves libres localmente X. ${displaystyle K_{0}(X)}$ se define entonces como el grupo Grothendieck de esta categoría exacta y de nuevo esto da un functor.

Para un espacio anillo ${displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}$ , también se puede definir la categoría ${displaystyle {mathcal {A}}}$ ser la categoría de todos los sheaves coherentes X. Esto incluye el caso especial (si el espacio anillado es un esquema de afinidad) ${displaystyle {mathcal {A}}}$ siendo la categoría de módulos finitos generados sobre un anillo noetheriano R. En ambos casos ${displaystyle {mathcal {A}}}$ es una categoría abeliana y un fortiori una categoría exacta por lo que la construcción anterior se aplica.

En el caso en que R es un álgebra finita-dimensional sobre algún campo, los grupos Grothendieck ${displaystyle G_{0}(R)}$ (definido a través de secuencias cortas exactas de módulos generados finitos) y ${displaystyle K_{0}(R)}$ (definido a través de la suma directa de módulos proyectados finitos) coinciden. De hecho, ambos grupos son isomorfos al grupo abeliano libre generado por las clases de isomorfismo simple R-módulos.

Hay otro grupo de Grothendieck ${displaystyle G_{0}}$ de un anillo o un espacio anillado que a veces es útil. La categoría en el caso es elegida para ser la categoría de todos los cuasi-coherentes en el espacio anillado que reduce a la categoría de todos los módulos sobre algunos anillos R en caso de planes de afinidad. ${displaystyle G_{0}}$ es no un functor, pero sin embargo lleva información importante.

Puesto que la categoría derivada (abundada) es triangulada, hay un grupo Grothendieck para categorías derivadas también. Esto tiene aplicaciones en la teoría de la representación, por ejemplo. Para la categoría sin límites el grupo Grothendieck sin embargo desaparece. Para una categoría derivada de algún álgebra finita-dimensional de grado positivo complejo hay una subcategoría en la categoría derivada unbounded que contiene la categoría abeliana A de módulos de grado finito-dimensional cuyo grupo Grothendieck es el q-adic completion of the Grothendieck group of A.

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