Grupo gratis

Diagrama mostrando el gráfico Cayley para el grupo libre en dos generadores. Cada vértice representa un elemento del grupo libre, y cada borde representa la multiplicación por a o b.

En matemáticas, el grupo libre F_S sobre un conjunto dado S consta de todas las palabras que se pueden construir a partir de miembros de S, considerando dos palabras diferentes a menos que su igualdad se desprenda de los axiomas de grupo (por ejemplo, st = suu ⁻¹t, pero s ≠ t⁻¹ para s,t,u ∈ S). Los miembros de S se denominan generadores de F_S, y el número de generadores es el rango del grupo libre. Un grupo arbitrario G se llama libre si es isomorfo a F_S para algún subconjunto S de G, es decir, si hay un subconjunto S de G tal que cada elemento de G se puede escribir exactamente de una manera como un producto de un número finito de elementos de S y sus inversos (sin tener en cuenta variaciones triviales como st = suu⁻¹t).

Una noción relacionada pero diferente es un grupo abeliano libre; ambas nociones son instancias particulares de un objeto libre del álgebra universal. Como tales, los grupos libres se definen por su propiedad universal.

Historia

Los grupos libres surgieron por primera vez en el estudio de la geometría hiperbólica, como ejemplos de grupos fucsianos (grupos discretos que actúan por isometrías en el plano hiperbólico). En un artículo de 1882, Walther von Dyck señaló que estos grupos tienen las presentaciones más simples posibles. El estudio algebraico de los grupos libres fue iniciado por Jakob Nielsen en 1924, quien les dio su nombre y estableció muchas de sus propiedades básicas. Max Dehn se dio cuenta de la conexión con la topología y obtuvo la primera prueba del teorema completo de Nielsen-Schreier. Otto Schreier publicó una prueba algebraica de este resultado en 1927, y Kurt Reidemeister incluyó un tratamiento completo de los grupos libres en su libro de 1932 sobre topología combinatoria. Más tarde, en la década de 1930, Wilhelm Magnus descubrió la conexión entre la serie central inferior de grupos libres y las álgebras de Lie libres.

Ejemplos

El grupo (Z,+) de los enteros está libre de rango 1; un conjunto generador es S = {1}. Los enteros son también un grupo abeliano libre, aunque todos los grupos libres de rango ≥ ≥ 2{displaystyle geq 2} no son abelianos. Un grupo libre en un conjunto de dos elementos S se produce en la prueba de la paradoja Banach-Tarski y se describe allí.

Por otro lado, cualquier grupo finito no trivial no puede ser libre, ya que los elementos de un conjunto generador libre de un grupo libre tienen un orden infinito.

En topología algebraica, el grupo fundamental de un ramo de k círculos (un conjunto de bucles k que tienen un solo punto en común) es el grupo libre en un conjunto de k elementos.

Construcción

El grupo libre F_S con grupo electrógeno libre S puede ser construido de la siguiente manera. S es un conjunto de símbolos, y suponemos que para cada s en S hay un correspondiente "inverso" símbolo, s⁻¹, en un conjunto S⁻¹. Sea T = S ∪ S⁻¹, y defina una palabra en S cualquier producto escrito de elementos de T. Es decir, una palabra en S es un elemento del monoide generado por T. La palabra vacía es la palabra sin ningún símbolo. Por ejemplo, si S = {a, b, c}, entonces T = {a, a⁻¹, b, b ⁻¹, c, c⁻¹}, y

ab3c− − 1ca− − 1c{displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c,}

es una palabra en S.

Si un elemento de S se encuentra inmediatamente al lado de su inverso, la palabra se puede simplificar omitiendo el par c, c⁻¹:

ab3c− − 1ca− − 1crestablecimiento restablecimiento ab3a− − 1c.{displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c;longrightarrow ;;ab^{3},a^{-1}c}

Una palabra que no se puede simplificar más se llama reducido.

El grupo libre F_S se define como el grupo de todas las palabras reducidas en S, con concatenación de palabras (seguido de reducción si es necesario) como operación de grupo. La identidad es la palabra vacía.

Una palabra reducida se llama reducida cíclicamente si su primera y última letra no son inversas entre sí. Cada palabra se conjuga a una palabra cíclicamente reducida, y un conjugado cíclicamente reducido de una palabra cíclicamente reducida es una permutación cíclica de las letras de la palabra. Por ejemplo, b⁻¹abcb no se reduce cíclicamente, sino que se conjuga con abc, que se reduce cíclicamente. Los únicos conjugados cíclicamente reducidos de abc son abc, bca y cab.

Propiedad universal

El grupo libre F_S es el grupo universal generado por el conjunto S. Esto se puede formalizar mediante la siguiente propiedad universal: dada cualquier función f de S a un grupo G, existe un único homomorfismo φ: F_S → G haciendo lo siguiente diagrama de desplazamiento (donde la asignación sin nombre denota la inclusión de S en F_S):

Es decir, los homomorfismos F_S → G están en correspondencia uno a uno con las funciones S → G. Para un grupo no libre, la presencia de relaciones restringiría las posibles imágenes de los generadores bajo un homomorfismo.

Para ver cómo se relaciona esto con la definición constructiva, piense en la asignación de S a F_S como enviar cada símbolo a una palabra que consta de ese símbolo. Para construir φ para la f dada, primero tenga en cuenta que φ envía la palabra vacía a la identidad de G y tiene que concordar con f en los elementos de S. Para las palabras restantes (que constan de más de un símbolo), φ puede extenderse de forma única, ya que es un homomorfismo, es decir, φ(ab) = φ(a) φ(b).

La propiedad anterior caracteriza a los grupos libres hasta el isomorfismo y, a veces, se usa como una definición alternativa. Se conoce como la propiedad universal de los grupos libres, y el conjunto generador S se denomina base para F_S. La base para un grupo libre no está determinada de manera única.

Estar caracterizado por una propiedad universal es la característica estándar de los objetos libres en el álgebra universal. En el lenguaje de la teoría de categorías, la construcción del grupo libre (similar a la mayoría de las construcciones de objetos libres) es un funtor de la categoría de conjuntos a la categoría de grupos. Este funtor se deja adjunto al funtor olvidadizo de grupos a conjuntos.

Hechos y teoremas

Algunas propiedades de los grupos libres se derivan fácilmente de la definición:

1. Cualquier grupo G es la imagen homomorfa de algún grupo libre F(S). Vamos S ser un conjunto de generadores de G. El mapa natural fF(S) → G es un epimorfismo, que demuestra la afirmación. Equivalentemente, G es isomorfo a un grupo cociente de algún grupo libre F(S). El núcleo φ es un conjunto de relaciones en la presentación de G. Si S puede ser elegido para ser finito aquí, entonces G se llama finitamente generado.
2. Si S tiene más de un elemento, entonces F(S) no es abeliano, y de hecho el centro de F(S) es trivial (es decir, consiste sólo en el elemento de identidad).
3. Dos grupos libres F(S) y F(T) son isomorfos si y sólo si S y T tienen la misma cardenalidad. Esta cardenalidad se llama rango del grupo libre F. Así por cada número cardenal k, hay, hasta el isomorfismo, exactamente un grupo libre de rango k.
4. Un grupo libre de rango finito n ■ 1 tiene una tasa de crecimiento exponencial del orden 2n − 1.

Algunos otros resultados relacionados son:

1. El Teorema Nielsen-Schreier: Cada subgrupo de un grupo libre es libre.
2. Un grupo libre de rango k claramente tiene subgrupos de cada rango menos que k. Menos obviamente, a (¡Nonabelian!) grupo libre de rango al menos 2 tiene subgrupos de todas las filas contables.
3. El subgrupo de un grupo libre de rango k 1 tiene rango infinito; por ejemplo para F(a,b), es generado libremente por los conmutadores [a^m, bⁿ] para no-cero m y n.
4. El grupo libre en dos elementos es SQ universal; lo anterior sigue como cualquier grupo universal SQ tiene subgrupos de todos los rangos contables.
5. Cualquier grupo que actúa en un árbol, libremente y preservando la orientación, es un grupo libre de rango contable (denominado por 1 más la característica Euler del gráfico cociente).
6. El gráfico Cayley de un grupo libre de rango finito, con respecto a un conjunto de generación libre, es un árbol en el que el grupo actúa libremente, preservando la orientación.
7. El enfoque groupoid de estos resultados, dado en el trabajo de P.J. Higgins abajo, se extrae de un enfoque que utiliza espacios de cobertura. Permite resultados más poderosos, por ejemplo en el teorema de Grushko, y una forma normal para el grupoide fundamental de un gráfico de grupos. En este enfoque hay un uso considerable de grupoides libres en un gráfico dirigido.
8. El teorema de Grushko tiene la consecuencia de que si un subconjunto B de un grupo libre F on n generadores F y ha n elementos, entonces B genera F libremente.

Grupo abeliano libre

El grupo abeliano libre en un conjunto S se define mediante su propiedad universal de forma análoga, con modificaciones obvias: Considere un par (F, φ), donde F es un grupo abeliano y φ: S → F es una función. F se dice que es el grupo abeliano libre en S con respecto a φ si para cualquier grupo abeliano G y cualquier función ψ: S → G, existe un único homomorfismo f: F → G tal que

f()φ()s) = ↑()s), para todos s dentro S.

El grupo abeliano libre en S se puede identificar explícitamente como el grupo libre F(S) módulo el subgrupo generado por sus conmutadores, [F(S ), F(S)], es decir su abelianización. En otras palabras, el grupo abeliano libre en S es el conjunto de palabras que se distinguen solo hasta el orden de las letras. Por lo tanto, el rango de un grupo libre también puede definirse como el rango de su abelianización como grupo abeliano libre.

Los problemas de Tarski

Alrededor de 1945, Alfred Tarski preguntó si los grupos libres en dos o más generadores tienen la misma teoría de primer orden y si esta teoría es decidible. Sela (2006) respondió a la primera pregunta mostrando que dos grupos libres no abelianos cualesquiera tienen la misma teoría de primer orden, y Kharlampovich & Myasnikov (2006) respondió ambas preguntas, mostrando que esta teoría es decidible.

Una pregunta similar sin resolver (a partir de 2011) en la teoría de la probabilidad libre pregunta si las álgebras de grupos de von Neumann de dos grupos libres generados finitamente no abelianos son isomorfos.