Grupo galois

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Grupo matemático

En matemáticas, en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de Galois, el grupo de Galois de cierto tipo de extensión de campo es un grupo específico asociado con la extensión de campo. El estudio de las extensiones de campo y su relación con los polinomios que las originan a través de los grupos de Galois se denomina teoría de Galois, nombrada así en honor a Évariste Galois, quien las descubrió por primera vez.

Para una discusión más elemental de los grupos de Galois en términos de grupos de permutación, vea el artículo sobre la teoría de Galois.

Definición

Supongamos que $E$ es una extensión del campo $F$ (escrito como $E/F$ y leer "E sobre F"). Un automorfismo $E/F$ se define como un automorfismo $E$ que arregla $F$ En sentido de punto. En otras palabras, un automorfismo $E/F$ es un isomorfismo ${displaystyle alpha:Eto E}$ tales que $alpha(x) = x$ para cada uno $xin F$ . El conjunto de todos los automorfismos de $E/F$ forma un grupo con el funcionamiento de la composición de la función. Este grupo a veces es denotado por ${displaystyle operatorname {Aut} (E/F).}$

Si $E/F$ es una extensión Galois, entonces ${displaystyle operatorname {Aut} (E/F)}$ se llama Grupo Galois de $E/F$ , y es generalmente denotado por ${displaystyle operatorname {Gal} (E/F)}$ .

Si $E/F$ no es una extensión Galois, entonces el grupo Galois de $E/F$ a veces se define como ${displaystyle operatorname {Aut} (K/F)}$ , donde $K$ es el cierre de Galois $E$ .

Grupo de Galois de un polinomio

Otra definición del grupo Galois proviene del grupo Galois de un polinomio ${displaystyle fin F[x]}$ . Si hay un campo ${displaystyle K/F}$ tales que $f$ factores como producto de polinomios lineales

{displaystyle f(x)=(x-alpha _{1})cdots (x-alpha _{k})in K[x]}

sobre el terreno $K$ , entonces el Grupo Galois del polinomio $f$ se define como el grupo Galois de ${displaystyle K/F}$ Donde $K$ es mínimo entre todos estos campos.

Estructura de los grupos de Galois

Teorema fundamental de la teoría de Galois

Uno de los teoremas de estructura importantes de la teoría de Galois proviene del teorema fundamental de la teoría de Galois. Esto afirma que dada una extensión galois finita ${displaystyle K/k}$ , si hay una bijección entre el conjunto de subcampos ${displaystyle ksubset Esubset K}$ y los subgrupos ${displaystyle Hsubset G.}$ Entonces, $E$ es dado por el conjunto de invariantes de $K$ en virtud de las medidas adoptadas $H$ Así que

{displaystyle E=K^{H}={ain K:ga=a{text{ where }}gin H}}

Además, si $H$ es un subgrupo normal entonces ${displaystyle G/Hcong operatorname {Gal} (E/k)}$ . Y al revés, si $E/k$ es una extensión de campo normal, luego el subgrupo asociado en ${displaystyle operatorname {Gal} (K/k)}$ es un grupo normal.

Estructura de celosía

Suppose $K_{1},K_{2}$ son extensiones de Galois de $k$ con grupos de Galois ${displaystyle G_{1},G_{2}.}$ El campo ${displaystyle K_{1}K_{2}}$ con el grupo Galois ${displaystyle G=operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$ tiene una inyección ${displaystyle Gto G_{1}times G_{2}}$ que es un isomorfismo cuando ${displaystyle K_{1}cap K_{2}=k}$ .

Inducción

Como corolario, esto puede ser inducido finitamente muchas veces. Given Galois extensions ${displaystyle K_{1},ldotsK_{n}/k}$ Donde ${displaystyle K_{i+1}cap (K_{1}cdots K_{i})=k,}$ entonces hay un isomorfismo de los grupos Galois correspondientes:

{displaystyle operatorname {Gal} (K_{1}cdots K_{n}/k)cong operatorname {Gal} (K_{1}/k)times cdots times operatorname {Gal} (K_{n}/k).}

Ejemplos

En los siguientes ejemplos $F$ es un campo, y ${displaystyle mathbb {C}mathbb {R}mathbb {Q} }$ son los campos de números complejos, reales y racionales, respectivamente. La notación $F () a)$ indica la extensión de campo obtenida al unir un elemento $a$ sobre el terreno $F$ .

Herramientas informáticas

Cardinalidad del grupo de Galois y el grado de extensión del campo

Una de las proposiciones básicas necesarias para determinar completamente los grupos Galois de una extensión de campo finito es la siguiente: Dado un polinomio ${displaystyle f(x)in F[x]}$ , vamos $E/F$ ser su extensión de campo de división. Entonces el orden del grupo Galois es igual al grado de extensión de campo; es decir,

{displaystyle left|operatorname {Gal} (E/F)right|=[E:F]}

Criterio de Eisenstein

Una herramienta útil para determinar el grupo Galois de un polinomio viene del criterio de Eisenstein. Si un polinomio ${displaystyle fin F[x]}$ factores en polinomios irreducibles ${displaystyle f=f_{1}cdots f_{k}}$ el grupo Galois $f$ se puede determinar utilizando los grupos Galois de cada $f_{i}$ desde el grupo Galois $f$ contiene cada uno de los grupos Galois de los ${displaystyle f_{i}.}$

Grupo trivial

${displaystyle operatorname {Gal} (F/F)}$ es el grupo trivial que tiene un único elemento, a saber, el automorfismo de identidad.

Otro ejemplo de un grupo Galois que es trivial es ${displaystyle operatorname {Aut} (mathbb {R} /mathbb {Q}).}$ De hecho, se puede demostrar que cualquier automorfismo de $mathbb {R}$ debe preservar el orden de los números reales y por lo tanto debe ser la identidad.

Considerar el campo ${displaystyle K=mathbb {Q} ({sqrt[{3}]{2}}).}$ El grupo ${displaystyle operatorname {Aut} (K/mathbb {Q})}$ contiene sólo el automorfismo de identidad. Esto es porque $K$ no es una extensión normal, ya que las otras dos raíces cubo de $2$ ,

{displaystyle exp left({tfrac {2pi i}{3}}right){sqrt[{3}]{2}}}

{displaystyle exp left({tfrac {4pi i}{3}}right){sqrt[{3}]{2}},}

faltan en la extensión; en otras palabras, $K$ no es un campo de división.

Grupos abelianos finitos

El grupo Galois ${displaystyle operatorname {Gal} (mathbb {C} /mathbb {R})}$ tiene dos elementos, el automorfismo de identidad y el complejo automorfismo de conjugación.

Extensiones cuadráticas

El grado dos extensión de campo ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})/mathbb {Q} }$ tiene el grupo Galois ${displaystyle operatorname {Gal} (mathbb {Q} ({sqrt {2}})/mathbb {Q})}$ con dos elementos, el automorfismo de identidad y el automorfismo $sigma$ los intercambios √2 and −√2. Este ejemplo generaliza para un número primo ${displaystyle pin mathbb {N}.}$

Producto de extensiones cuadráticas

Usando la estructura de celosía de los grupos de Galois, para números no iguales $p_{1},ldotsp_{k}$ el grupo Galois ${displaystyle mathbb {Q} left({sqrt {p_{1}}},ldots{sqrt {p_{k}}}right)/mathbb {Q} }$ es

{displaystyle operatorname {Gal} left(mathbb {Q} ({sqrt {p_{1}}},ldots{sqrt {p_{k}}})/mathbb {Q} right)cong operatorname {Gal} left(mathbb {Q} ({sqrt {p_{1}}})/mathbb {Q} right)times cdots times operatorname {Gal} left(mathbb {Q} ({sqrt {p_{k}}})/mathbb {Q} right)cong (mathbb {Z} /2mathbb {Z})^{k}}

Extensiones ciclotómicas

Otra clase útil de ejemplos proviene de los campos de división de polinomios ciclotómicos. Estos son polinomios $Phi _{n}$ definidas

{displaystyle Phi _{n}(x)=prod _{begin{matrix}1leq kleq n\gcd(k,n)=1end{matrix}}left(x-e^{frac {2ikpi }{n}}right)}

cuyo grado es $phi (n)$ , la función totiente de Euler en $n$ . Entonces, el campo de división sobre $mathbb {Q}$ es ${displaystyle mathbb {Q} (zeta _{n})}$ y tiene automorfismos $sigma _{a}$ envío ${displaystyle zeta _{n}mapsto zeta _{n}^{a}}$ para $<math alttext="{displaystyle 1leq a1\leq \leq a.n{displaystyle 1leq a meantn} <img alt="{displaystyle 1leq a$ relativamente primo a $n$ . Dado que el grado del campo es igual al grado del polinomio, estos automorfismos generan el grupo Galois. Si ${displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}cdots p_{k}^{a_{k}},}$ entonces

{displaystyle operatorname {Gal} (mathbb {Q} (zeta _{n})/mathbb {Q})cong prod _{a_{i}}operatorname {Gal} left(mathbb {Q} (zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/mathbb {Q} right)}

Si $n$ es un primo $p$ , entonces un corolario de esto es

{displaystyle operatorname {Gal} (mathbb {Q} (zeta _{p})/mathbb {Q})cong mathbb {Z} /(p-1)mathbb {Z} }

De hecho, cualquier grupo abeliano finito se puede encontrar como el grupo de Galois de algún subcampo de una extensión de campo ciclotómico mediante el teorema de Kronecker-Weber.

Campos finitos

Otra clase útil de ejemplos de grupos galois con grupos abelianos finitos proviene de campos finitos. Si $q$ es un poder primario, y si ${displaystyle F=mathbb {F} _{q}}$ y ${displaystyle E=mathbb {F} _{q^{n}}}$ denota los campos de orden Galois $q$ y $q^{n}$ respectivamente, entonces ${displaystyle operatorname {Gal} (E/F)}$ es ciclo de orden $n$ y generado por el homomorfismo Frobenius.

Ejemplos de grado 4

La extensión de campo ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}})/mathbb {Q} }$ es un ejemplo de grado $4$ extensión de campo. Esto tiene dos automorfismos ${displaystyle sigmatau }$ Donde ${displaystyle sigma ({sqrt {2}})=-{sqrt {2}}}$ y ${displaystyle tau ({sqrt {3}})=-{sqrt {3}}.}$ Puesto que estos dos generadores definen un grupo de orden $4$ El grupo Klein, determinan todo el grupo Galois.

Otro ejemplo se da del campo de división ${displaystyle E/mathbb {Q} }$ del polinomio

{displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}

Nota ${displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}$ las raíces de $f(x)$ son ${displaystyle exp left({tfrac {2kpi i}{5}}right).}$ Hay automorfismos

{displaystyle {begin{cases}sigma _{l}:Eto E\exp left({frac {2pi i}{5}}right)mapsto left(exp left({frac {2pi i}{5}}right)right)^{l}end{cases}}}

generar un grupo de orden $4$ . Desde $sigma _{2}$ genera este grupo, el grupo Galois es isomorfo para ${displaystyle mathbb {Z} /4mathbb {Z} }$ .

Grupos finitos no abelianos

Considere ahora ${displaystyle L=mathbb {Q} ({sqrt[{3}]{2}},omega),}$ Donde $omega$ es una raíz primitiva del cubo de la unidad. El grupo ${displaystyle operatorname {Gal} (L/mathbb {Q})}$ es isomorfo a $S 3$ , el grupo dihedral de orden 6, y $L$ es en realidad el campo de división de ${displaystyle x^{3}-2}$ sobre ${displaystyle mathbb {Q}.}$

Grupo de cuaterniones

El grupo Quaternion se puede encontrar como el grupo Galois de una extensión de campo $mathbb {Q}$ . Por ejemplo, la extensión de campo

{displaystyle mathbb {Q} left({sqrt {2}},{sqrt {3}},{sqrt {(2+{sqrt {2}})(3+{sqrt {3}})}}right)}

tiene el grupo de Galois prescrito.

Grupo simétrico de orden primo

Si $f$ es un polinomio irreducible de primer grado $p$ con coeficientes racionales y exactamente dos raíces no reales, entonces el grupo Galois de $f$ es el grupo simétrico completo ${displaystyle S_{p}.}$

Por ejemplo, ${displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2in mathbb {Q} [x]}$ es irreducible del criterio de Eisenstein. Plotting el gráfico de $f$ con software de graficado o papel muestra que tiene tres raíces reales, por lo tanto dos raíces complejas, mostrando sus Grupo Galois $S_{5}$ .

Comparando grupos de Galois de extensiones de campo de campos globales

Dada una extensión mundial sobre el terreno ${displaystyle K/k}$ (como ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt[{5}]{3}},zeta _{5})/mathbb {Q} }$ ) el y $w$ una clase de equivalencia de valoraciones $K$ (como $p$ -adic valoración), y $v$ on $k$ tal que sus terminaciones dan una extensión de campo Galois

${displaystyle K_{w}/k_{v}}$

de campos locales. Entonces, hay una acción inducida del grupo de Galois

${displaystyle G=operatorname {Gal} (K/k)}$

sobre el conjunto de clases de equivalencia de valoraciones de tal manera que las terminaciones de los campos son compatibles. Esto significa si $s in G$ entonces hay una isomorfa inducida de campos locales

${displaystyle s_{w}:K_{w}to K_{sw}}$

Desde que hemos tomado la hipótesis de que $w$ mentiras $v$ (i.e. there is a Galois field extension ${displaystyle K_{w}/k_{v}}$ ), el morfismo de campo ${displaystyle s_{w}}$ es de hecho un isomorfismo ${displaystyle k_{v}}$ - Álgebras. Si tomamos el subgrupo de isotropía $G$ para la clase de valoración $w$

${displaystyle G_{w}={sin G:sw=w}}$

entonces hay una sobreyección del grupo de Galois global al grupo de Galois local de modo que hay un isomorfismo entre el grupo de Galois local y el subgrupo de isotropía. Esquemáticamente, esto significa

${displaystyle {begin{matrix}operatorname {Gal} (K/v)&twoheadrightarrow &operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\downarrow &&downarrow \G&twoheadrightarrow &G_{w}end{matrix}}}$

donde las flechas verticales son isomorfismos. Esto proporciona una técnica para construir grupos de Galois de campos locales utilizando grupos de Galois globales.

Grupos infinitos

Un ejemplo básico de una extensión de campo con un grupo infinito de automorfismos es ${displaystyle operatorname {Aut} (mathbb {C} /mathbb {Q})}$ , ya que contiene cada extensión de campo algebraico ${displaystyle E/mathbb {Q} }$ . Por ejemplo, las extensiones de campo ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {a}})/mathbb {Q} }$ para un elemento libre de cuadrado ${displaystyle ain mathbb {Q} }$ cada uno tiene un grado único $2$ automorfismo, induciendo un automorfismo ${displaystyle operatorname {Aut} (mathbb {C} /mathbb {Q}).}$

Una de las clases más estudiadas del grupo Galois infinito es el grupo absoluto Galois, que es un grupo infinito, profinito definido como el límite inverso de todas las extensiones galois finitas $E/F$ para un campo fijo. El límite inverso está denotado

{displaystyle operatorname {Gal} ({overline {F}}/F):=varprojlim _{E/F{text{ finite separable}}}{operatorname {Gal} (E/F)}}

Donde ${overline {F}}$ es el cierre separable del campo $F$ . Note que este grupo es un grupo topológico. Algunos ejemplos básicos incluyen ${displaystyle operatorname {Gal} ({overline {mathbb {Q} }}/mathbb {Q})}$ y

{displaystyle operatorname {Gal} ({overline {mathbb {F} }}_{q}/mathbb {F} _{q})cong {hat {mathbb {Z} }}cong prod _{p}mathbb {Z} _{p}}

Otro ejemplo fácilmente computable viene de la extensión de campo ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}},{sqrt {5}},ldots)/mathbb {Q} }$ que contiene la raíz cuadrada de cada primo positivo. Tiene el grupo Galois

{displaystyle operatorname {Gal} (mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}},{sqrt {5}},ldots)/mathbb {Q})cong prod _{p}mathbb {Z} /2}

que se puede deducir del límite profinito

{displaystyle cdots to operatorname {Gal} (mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}},{sqrt {5}})/mathbb {Q})to operatorname {Gal} (mathbb {Q} ({sqrt {2}},{sqrt {3}})/mathbb {Q})to operatorname {Gal} (mathbb {Q} ({sqrt {2}})/mathbb {Q})}

y utilizando el cálculo de los grupos de Galois.

Propiedades

La importancia de que una extensión sea Galois es que obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois: los subgrupos cerrados (con respecto a la topología de Krull) del grupo de Galois corresponden a los campos intermedios de la extensión de campo.

Si $E/F$ es una extensión Galois, entonces ${displaystyle operatorname {Gal} (E/F)}$ se puede dar una topología, llamada la topología de Krull, que la convierte en un grupo profinito.

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