Grupo fundamental

En el campo matemático de la topología algebraica, el grupo fundamental de un espacio topológico es el grupo de clases de equivalencia bajo la homotopia de los bucles contenidos en el espacio. Se registra información sobre la forma básica, o agujeros, del espacio topológico. El grupo fundamental es el primer y más simple grupo de homotopy. El grupo fundamental es un homotopy invariante—espaciostopológicos que son equivalentes de homotopy (o el caso más fuerte de homeomorfo) tienen grupos fundamentales isomorfos. El grupo fundamental de un espacio topológico ${displaystyle X}$ es denotado por ${displaystyle pi _{1}(X)}$.

Intuición

Comience con un espacio (por ejemplo, una superficie) y algún punto en él, y todos los bucles que comiencen y terminen en este punto: caminos que comienzan en este punto, vagan y eventualmente regresan al punto de inicio. Se pueden combinar dos bucles de una manera obvia: viaje a lo largo del primer bucle, luego a lo largo del segundo. Dos bucles se consideran equivalentes si uno puede deformarse en el otro sin romperse. El conjunto de todos esos bucles con este método de combinación y esta equivalencia entre ellos es el grupo fundamental para ese espacio en particular.

Historia

Henri Poincaré definió el grupo fundamental en 1895 en su artículo "Analysis situs". El concepto surgió en la teoría de las superficies de Riemann, en el trabajo de Bernhard Riemann, Poincaré y Felix Klein. Describe las propiedades de monodromía de funciones de valores complejos, además de proporcionar una clasificación topológica completa de superficies cerradas.

Definición

A lo largo de este artículo, X es un espacio topológico. Un ejemplo típico es una superficie como la de la derecha. Además, ${displaystyle x_{0}$ es un punto en X llamado punto base. (Como se explica a continuación, su papel es bastante auxiliar.) La idea de la definición del grupo homotopy es medir cuántas curvas (en términos generales) X se pueden deformar entre sí. La definición precisa depende de la noción de la homotopy de los bucles, que se explica primero.

Homotopía de bucles

Dado un espacio topológico X, a loop basado en ${displaystyle x_{0}$ se define como una función continua (también conocida como un mapa continuo)

${displaystyle gamma colon [0,1]to X}$

tal que el punto de partida ${displaystyle gamma (0)}$ y el punto final ${displaystyle gamma (1)}$ ambos iguales ${displaystyle x_{0}$.

Homotopy de bucles

A Homotopy es una interpolación continua entre dos bucles. Más precisamente, una homotopia entre dos lazos ${displaystyle gammagamma 'colon [0,1]to X.$ (basado en el mismo punto ${displaystyle x_{0}$) es un mapa continuo

${displaystyle hcolon [0,1]times [0,1]to X,}$

tal que

• ${displaystyle h(0,t)=x_{0}$ para todos ${displaystyle tin [0,1],}$ es decir, el punto de partida de la homotopy es ${displaystyle x_{0}$ para todos t (que a menudo se piensa como un parámetro de tiempo).
• ${displaystyle h(1,t)=x_{0}$ para todos ${displaystyle tin [0,1],}$ es decir, similarmente el punto final se mantiene en ${displaystyle x_{0}$ para todos t.
• ${displaystyle h(r,0)=gamma (r),,h(r,1)=gamma '(r)}$ para todos ${displaystyle rin [0,1]}$.

Si tan homotopy h existe, ${displaystyle gamma }$ y ${displaystyle gamma}$ se dice que Homotopic. La relación "${displaystyle gamma }$ es homotopic to ${displaystyle gamma}$" es una relación de equivalencia para que se pueda considerar el conjunto de clases de equivalencia:

${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}):={text{all loops }gamma {text{ based at }x_{0} {text{homotopy}}$.

Este conjunto (con la estructura del grupo que se describe a continuación) se llama el grupo fundamental del espacio topológico X en el punto base ${displaystyle x_{0}$. El propósito de considerar las clases de equivalencia de bucles hasta la homotopy, en lugar del conjunto de todos los bucles (el llamado espacio de bucles de X) es que este último, mientras que ser útil para varios propósitos, es un objeto bastante grande e inmutable. En cambio, el cociente anterior es, en muchos casos, más manejable y computable.

Estructura del grupo

Adición de bucles

Por la definición anterior, ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}}$ es sólo un juego. Se convierte en un grupo (y por lo tanto merece el nombre fundamental grupo) usando la concatenación de bucles. Más precisamente, dadas dos vueltas ${displaystyle gamma _{0},gamma ¿Qué?$, su producto se define como el bucle

${displaystyle gamma _{0}cdot gamma _{1}colon [0,1]to X}$

${displaystyle (gamma _{0}cdot gamma _{1})={begin{cases}gamma _{0}(2t) limit0leq ttfrac {1}{2}\\gamma - ¿Por qué?$

Así el bucle ${displaystyle gamma _{0}cdot gamma ¿Qué?$ primero sigue el bucle ${displaystyle gamma _{0}$ con "twice la velocidad" y luego sigue ${displaystyle gamma _{1}$ con "twice la velocidad".

El producto de dos clases de bucles homotopy ${displaystyle [gamma]}$ y ${displaystyle [gamma]$ entonces se define como ${displaystyle [gamma _{0}cdot gamma ¿Qué?$. Se puede demostrar que este producto no depende de la elección de representantes y por lo tanto da una operación bien definida en el conjunto ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}}$. Esta operación gira ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}}$ en un grupo. Su elemento neutral es el bucle constante, que permanece en ${displaystyle x_{0}$ para todos los tiempos t. El inverso de un bucle (clase de homoterapia) es el mismo bucle, pero atravesado en la dirección opuesta. Más formalmente,

${displaystyle gamma ^{-1}(t):=gamma (1-t)}$.

Dados tres lazos basados ${displaystyle gamma _{0},gamma _{1},gamma _{2},}$ el producto

${displaystyle (gamma _{0}cdot gamma _{1})cdot gamma ¿Qué?$

es la concatenación de estos bucles, atravesando ${displaystyle gamma _{0}$ y luego ${displaystyle gamma _{1}$ con velocidad cuádruple, y luego ${displaystyle gamma _{2}$ con doble velocidad. En comparación,

${displaystyle gamma _{0}cdot (gamma _{1}cdot gamma _{2})}$

atraviesa los mismos caminos (en el mismo orden), pero ${displaystyle gamma _{0}$ con doble velocidad, y ${displaystyle gamma _{1},gamma ¿Qué?$ con velocidad cuádruple. Así, debido a las diferentes velocidades, los dos caminos no son idénticos. El axioma de la asociación

${displaystyle [gamma _{0}]cdot left([gamma _{1}]cdot [gamma _{2}]right)=left([gamma _{0}]cdot [gamma _{1}derecha]cdot [gamma]$

Por lo tanto, fundamentalmente depende del hecho de que los caminos se consideran hasta la homotopy. De hecho, ambos compuestos arriba son homotopic, por ejemplo, al bucle que atraviesa los tres lazos ${displaystyle gamma _{0},gamma _{1},gamma ¿Qué?$ con triple velocidad. El conjunto de bucles basados hasta el homotopy, equipado con la operación anterior por lo tanto gira ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}}$ en un grupo.

Dependencia del punto base

Aunque el grupo fundamental en general depende de la elección del punto base, resulta que, hasta el isomorfismo (en realidad, incluso hasta interior isomorfismo), esta elección no hace ninguna diferencia mientras el espacio X está conectado por el camino. Para espacios conectados por caminos, por lo tanto, muchos autores escriben ${displaystyle pi _{1}(X)}$ en lugar de ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}). }$

Ejemplos concretos

Un dominio estrella está simplemente conectado ya que cualquier bucle puede ser contratado al centro del dominio, denotado ${displaystyle x_{0}$.

Esta sección enumera algunos ejemplos básicos de grupos fundamentales. Para comenzar, en el espacio Euclideano (${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$) o cualquier subconjunto convexo de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}$ sólo hay una clase de bucles homotopy, y el grupo fundamental es por lo tanto el grupo trivial con un elemento. Más generalmente, cualquier dominio estrella – y más generalmente, cualquier espacio contractual – tiene un grupo fundamental trivial. Así, el grupo fundamental no distingue entre esos espacios.

Las 2 esferas

Un bucle sobre una esfera de 2 grados (la superficie de una bola) que se contrae a un punto

Un espacio conectado por caminos cuyo grupo fundamental es trivial se llama simplemente conectado. Por ejemplo, el 2-sphere ${displaystyle S^{2}=left{(x,y,z)in mathbb {R} {3}mid} x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right}$ representados a la derecha, y también todas las esferas de mayor dimensión, están simplemente conectados. La figura ilustra una homotopy contratando un bucle particular al bucle constante. Esta idea se puede adaptar a todos los lazos ${displaystyle gamma }$ tal que hay un punto ${displaystyle (x,y,z)in S^{2}$ eso es no en la imagen de ${displaystyle gamma.}$ Sin embargo, ya que hay bucles tales que ${displaystyle gamma ([0,1])=S^{2}$ (construido de la curva Peano, por ejemplo), una prueba completa requiere un análisis más cuidadoso con herramientas de topología algebraica, como el teorema Seifert-van Kampen o el teorema de aproximación celular.

El círculo

Elementos del grupo homotopy del círculo

El círculo (también conocido como 1-esfera)

${displaystyle S^{1}=left{(x,y)in mathbb {R} {2}mid} ¿Qué?$

no está simplemente conectado. En cambio, cada clase de homotopy consiste en todos los bucles que rodean el círculo un número determinado de veces (que puede ser positivo o negativo, dependiendo de la dirección del viento). El producto de un bucle que serpentea alrededor m tiempos y otro que se mueve alrededor n tiempos es un bucle que viento alrededor m + n veces. Por lo tanto, el grupo fundamental del círculo es isomorfo a ${displaystyle (mathbb {Z}+),}$ el grupo aditivo de enteros. Este hecho se puede utilizar para dar pruebas del teorema de punto fijo Brouwer y el teorema Borsuk-Ulam en la dimensión 2.

La figura ocho

El grupo fundamental de la figura ocho es el grupo libre en dos generadores a y b.

El grupo fundamental de la figura ocho es el grupo libre en dos cartas. La idea de probar esto es la siguiente: elegir el punto base para ser el punto donde los dos círculos se encuentran (dotado en negro en la imagen a la derecha), cualquier bucle ${displaystyle gamma }$ puede ser descompuesto

${displaystyle gamma {cdots} ¿Qué?$

Donde a y b son los dos bucles que serpentean alrededor de cada mitad de la figura como se muestra, y los exponentes ${displaystyle No, no.$ son enteros. Diferente ${displaystyle pi _{1}(S^{1}),}$ el grupo fundamental de la figura ocho es no abelian: las dos formas de componer a y b no son homotopic entre sí:

${displaystyle [a]cdot [b]neq [b]cdot [a].}$

Más generalmente, el grupo fundamental de un ramo de círculos r es el grupo libre en las letras r.

El grupo fundamental de una suma cuña de dos espacios conectados por caminos X e Y se puede calcular como el producto libre de los grupos fundamentales individuales:

${displaystyle pi _{1}(Xvee Y)cong pi _{1}(X)*pi _{1}(Y).}$

Esto generaliza las observaciones anteriores, ya que la figura ocho es la suma cuña de dos círculos.

El grupo fundamental del plano pinchado en n puntos es también el grupo libre con n generadores. El i-ésimo generador es la clase del bucle que rodea el i-ésimo pinchazo sin rodear ningún otro pinchazo.

Gráficos

El grupo fundamental también se puede definir para estructuras discretas. En particular, considere un grafo conexo G = (V, E), con un vértice designado v₀ en V. Los bucles en G son los ciclos que comienzan y terminan en v₀. Sea T un árbol de expansión de G. Cada ciclo simple en G contiene exactamente un borde en E T; cada bucle en G es una concatenación de bucles tan simples. Por tanto, el grupo fundamental de un grafo es un grupo libre, en el que el número de generadores es exactamente el número de aristas en E T. Este número es igual a |E| − |V| + 1.

Por ejemplo, supongamos que G tiene 16 vértices dispuestos en 4 filas de 4 vértices cada una, con aristas que conectan vértices adyacentes horizontal o verticalmente. Entonces G tiene 24 aristas en total, y el número de aristas en cada árbol de expansión es 16 − 1 = 15, por lo que el grupo fundamental de G es el grupo libre con 9 generadores. Tenga en cuenta que G tiene 9 "agujeros", de manera similar a un ramo de 9 círculos, que tiene el mismo grupo fundamental.

Grupos de nudos

Un nudo de trefoil.

Grupos de Knot son por definición el grupo fundamental del complemento de un nudo K incrustado en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}$ Por ejemplo, el grupo nudo del nudo trefoil es conocido como el grupo trenzado ${displaystyle B_{3},}$ que da otro ejemplo de un grupo fundamental no abeliano. La presentación de Wirtinger describe explícitamente los grupos de nudos en términos de generadores y relaciones basadas en un diagrama del nudo. Por lo tanto, los grupos nudos tienen algún uso en la teoría de nudos para distinguir entre nudos: si ${displaystyle pi _{1} {R} ^{3}setminus K)}$ no es isomorfo a otro grupo nudo ${displaystyle pi _{1} {R} ^{3}setminus K'}$ de otro nudo K., entonces K no se puede transformar en K.. Así el nudo trefoil no puede ser transformado continuamente en el círculo (también conocido como el no-knot), ya que este último tiene grupo de nudos ${displaystyle mathbb {Z}$. Hay, sin embargo, nudos que no pueden ser deformados entre sí, pero tienen grupos de nudos isomorfos.

Superficies orientadas

El grupo fundamental de una superficie orientable de género-n se puede calcular en términos de generadores y relaciones como

${displaystyle leftlangle A_{1},B_{1},ldotsA_{n},B_{n}left habitA_{1}B_{1}A_{1}{-1}B_{1}cdots Bien.$

Esto incluye al toro, siendo el caso del género 1, cuyo grupo fundamental es

${displaystyle leftlangle A_{1},B_{1}left foreverA_{1}B_{1}A_{1}^{1}B_{1}right.rightrangle cong mathbb {Z} ^{2}$

Grupos topológicos

El grupo fundamental de un grupo topológico X (con respecto al punto base siendo el elemento neutral) siempre es conmutativo. En particular, el grupo fundamental de un grupo de Lie es conmutativo. De hecho, la estructura del grupo X dotaciones ${displaystyle pi _{1}(X)}$ con otra estructura de grupo: dado dos lazos ${displaystyle gamma }$ y ${displaystyle gamma}$ dentro X, otro bucle ${displaystyle gamma star gamma '$ puede definirse mediante la multiplicación del grupo X:

${displaystyle (gamma star gamma ')(x)=gamma (x)cdot gamma '(x). }$

Esta operación binaria ${displaystyle star }$ en el conjunto de todos los lazos es a priori independiente de la descrita anteriormente. Sin embargo, el argumento Eckmann-Hilton muestra que de hecho está de acuerdo con la concatenación anterior de los lazos, y además que la estructura de grupo resultante es abeliana.

Una inspección de la prueba muestra que, más generalmente, ${displaystyle pi _{1}(X)}$ es abeliano para cualquier H-espacio X, es decir, la multiplicación no necesita tener un inverso, ni tiene que ser asociativo. Por ejemplo, esto muestra que el grupo fundamental de un espacio bucle de otro espacio topológico Y, ${displaystyle X=Omega (Y),}$ es abeliano. Las ideas relacionadas conducen a la computación de Heinz Hopf de la cohomología de un grupo Lie.

Funcionalidad

Si ${displaystyle fcolon Xto Y}$ es un mapa continuo, ${displaystyle x_{0}in X}$ y ${displaystyle y_{0}in Sí.$ con ${displaystyle f(x_{0}=y_{0}$ entonces cada bucle en X con punto base ${displaystyle x_{0}$ se puede componer con f para ceder un bucle en Y con punto base ${displaystyle Sí.$ Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopy y con la composición de bucles. El homomorfismo grupo resultante, llamado homomorfismo inducido, está escrito como ${displaystyle pi (f)}$ o, más comúnmente,

${displaystyle f_{*}colon pi _{1}(X,x_{0})to pi _{1}(Y,y_{0}). }$

Este mapeo de mapas continuos a homomorfismos de grupo es compatible con la composición de mapas y morfismos de identidad. En el lenguaje de la teoría de categorías, la formación de asociar a un espacio topológico su grupo fundamental es por lo tanto un funtor

${displaystyle {begin{aligned}pi ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Top} _{*} limitto mathbf {Grp}(X,x_{0}) limitmapsto pi _{1}(X,x_{0})end{aligned}}}}$

de la categoría de espacios topológicos junto con un punto base a la categoría de grupos. Resulta que este functor no distingue mapas que son homotópicos con respecto al punto base: if f, g: X → Y son mapas continuos con f(x₀) = g(x< /i>₀) = y₀, y f y g son homotópicas relativo a {x₀}, entonces f_∗ = g _∗. Como consecuencia, dos espacios conexos por caminos equivalentes homotópicos tienen grupos fundamentales isomórficos:

${displaystyle Xsimeq Yimplies pi _{1}(X,x_{0})cong pi _{1}(Y,y_{0}). }$

Por ejemplo, la inclusión del círculo en el plano perforado

${displaystyle S^{1}subset mathbb {R} {2}setminus {0}$

es una equivalencia de homotopía y por lo tanto produce un isomorfismo de sus grupos fundamentales.

El funtor de grupo fundamental lleva productos a productos y coproductos a coproductos. Es decir, si X e Y están conectados por caminos, entonces

${displaystyle pi _{1}(Xtimes Y,(x_{0},y_{0})cong pi _{1}(X,x_{0})times pi _{1}(Y,y_{0})}$

y si también son contraíbles localmente, entonces

${displaystyle pi _{1}(Xvee Y)cong pi _{1}(X)*pi _{1}(Y).}$

(En la última fórmula, ${displaystyle vee }$ denota la suma de cuñada de los espacios topológicos apuntados, y ${displaystyle *}$ el producto libre de grupos.) Esta última fórmula es un caso especial del teorema de Seifert-van Kampen, que afirma que el funerario de grupo fundamental toma impulsos a lo largo de las inclusiones para los empujes.

Resultados abstractos

Como se mencionó anteriormente, calcular el grupo fundamental de incluso espacios topológicos relativamente simples tiende a no ser del todo trivial, pero requiere algunos métodos de topología algebraica.

Relación con el primer grupo de homología

La abelianización del grupo fundamental se puede identificar con el primer grupo de homología del espacio.

Un caso especial del teorema Hurewicz afirma que el primer grupo singular de homología ${displaystyle H_{1}(X)}$ es, coloquialmente hablando, la aproximación más cercana al grupo fundamental por medio de un grupo abeliano. En más detalle, mapear la clase homotopy de cada bucle a la clase de homología del bucle da un grupo homomorfismo

${displaystyle pi _{1}(X)to H_{1}(X)}$

del grupo fundamental de un espacio topológico X su primer grupo singular de homología ${displaystyle H_{1}(X). }$ Este homomorfismo no es en general un isomorfismo ya que el grupo fundamental puede ser no abeliano, pero el grupo de homología es, por definición, siempre abeliano. Esta diferencia es, sin embargo, la única: X está conectado con el camino, este homomorfismo es subjetivo y su núcleo es el subgrupo conmutador del grupo fundamental, de modo que ${displaystyle H_{1}(X)}$ es isomorfa a la abelianización del grupo fundamental.

Pegado de espacios topológicos

Generalizando la declaración anterior, para una familia de espacios conectados ${displaystyle X_{i},}$ el grupo fundamental ${textstyle pi _{1}left(bigvee _{iin Yo...$ es el producto libre de los grupos fundamentales ${displaystyle X_{i}.$ Este hecho es un caso especial del teorema Seifert-van Kampen, que permite calcular, más generalmente, grupos fundamentales de espacios que se unen de otros espacios. Por ejemplo, el 2-sphere ${displaystyle S^{2}$ se puede obtener pegando dos copias de semiesféricas ligeramente superpuestas a lo largo de un barrio del Ecuador. En este caso el teorema cede ${displaystyle pi _{1}(S^{2})}$ es trivial, ya que los dos semiesféricos son contractuales y por lo tanto tienen un grupo fundamental trivial. Los grupos fundamentales de superficies, como se ha mencionado anteriormente, también pueden ser computados utilizando este teorema.

En el lenguaje de la teoría de categorías, el teorema se puede enunciar de manera concisa diciendo que el funtor de grupo fundamental lleva las salidas (en la categoría de espacios topológicos) junto con las inclusiones a las salidas (en la categoría de grupos).

Revestimientos

El mapa ${displaystyle mathbb {R} times [0,1]to S^{1}times [0,1]}$ es una cubierta: la preimage de U (destalado en gris) es una unión descomunal de copias de U. Además, es una cobertura universal desde entonces ${displaystyle mathbb {R} times [0,1]}$ es contractual y por lo tanto simplemente conectado.

Dado un espacio topológico B, un mapa continuo

${displaystyle f:Eto B}$

se llama recubrimiento o E se llama espacio de recubrimiento de B si cada punto b en B admite una vecindad abierta U tal que existe un homeomorfismo entre la preimagen de U y una unión disjunta de copias de U (indexado por algún conjunto I),

${displaystyle varphi:bigsqcup _{iin I}Uto f^{-1}(U)}$

de tal manera que ${displaystyle pi circ varphi }$ es el mapa de proyección estándar ${displaystyle bigsqcup _{iin I}Uto U.}$

Revestimiento universal

Se dice que un revestimiento es universal si E es, además de la condición anterior, simplemente conexo. Es universal en el sentido de que todos los demás revestimientos pueden construirse identificando adecuadamente los puntos en E. Conociendo una cobertura universal

${displaystyle p:{widetilde {X}to X}$

de un espacio topológico X es útil para entender su grupo fundamental de varias maneras: primero, ${displaystyle pi _{1}(X)}$ identifica con el grupo de transformaciones de cubierta, es decir, el grupo de homeomorfismos ${displaystyle varphi:{widetilde {X}to {widetilde {X}}$ que comunica con el mapa X, es decir, ${displaystyle pcirc varphi =p.}$Otra relación con el grupo fundamental es que ${displaystyle pi _{1}(X,x)}$ se puede identificar con la fibra ${displaystyle p^{-1}(x). }$ Por ejemplo, el mapa

${displaystyle p:mathbb {R} to S^{1},,tmapsto exp(2pi it)}$

(o, equivalentemente, ${displaystyle pi:mathbb {R} to mathbb {R} /mathbb {Z} tmapsto [t]}$) es una cobertura universal. Las transformaciones de la cubierta son los mapas ${displaystyle tmapsto t+n}$ para ${displaystyle nin mathbb {Z}$ Esto está en línea con la identificación ${displaystyle p^{-1}(1)=mathbb {Z}$ en particular esto demuestra la reclamación anterior ${displaystyle pi _{1}(S^{1})cong mathbb {Z}$

Cualquier camino conectado, localmente camino conectado y localmente simplemente conectado espacio topológico X Admite una cobertura universal. Una construcción abstracta procede analógicamente al grupo fundamental tomando pares (x, γ), donde x es un punto en X y γ es una clase de homotopy de caminos de x₀ a x. El paso de un espacio topológico a su cobertura universal se puede utilizar en la comprensión de la geometría X. Por ejemplo, el teorema de uniformización muestra que cualquier superficie simplemente conectada Riemann es (isomorfa a) ya sea ${displaystyle S^{2}$ ${displaystyle mathbb {C}$ o el medio plano superior. Las superficies generales Riemann entonces surgen como cocientes de acciones de grupo en estas tres superficies.

El cociente de una acción libre de un grupo discreto G sobre un espacio simplemente conexo Y tiene grupo fundamental

${displaystyle pi _{1}(Y/G)cong G.}$

Como ejemplo, lo real n-dimensional espacio de proyecto real ${displaystyle mathbb {R} mathrm {fn}$ se obtiene como el cociente del n- esfera de unidad dimensionada ${displaystyle S^{n}$ por la acción antipodal del grupo ${displaystyle mathbb {Z}$ envío ${displaystyle xin S^{n}$ a ${displaystyle -x.$ As ${displaystyle S^{n}$ es simplemente conectado para n ≥ 2, es una cubierta universal ${displaystyle mathbb {R} mathrm {fn}$ en estos casos, lo que implica ${displaystyle pi _{1}(mathbb {R} mathrm {P} ^{n})cong mathbb {Z} /2}$ para n ≥ 2.

Grupos de mentiras

Sea G un grupo de Lie compacto conexo, simplemente conexo, por ejemplo, el grupo unitario especial SU(n), y sea Γ un subgrupo finito de < i>G. Entonces el espacio homogéneo X = G/Γ tiene un grupo fundamental Γ, que actúa por multiplicación recta sobre el espacio universal que lo cubre G. Entre las muchas variantes de esta construcción, una de las más importantes está dada por espacios localmente simétricos X = Γ G/K, donde

• G es un no-compact simplemente conectado, conectado Grupo de mentira (a menudo semisimple),
• K es un subgrupo compacto maximal G
• Dimension es un subgrupo discreto sin torsión G.

En este caso, el grupo fundamental es Γ y el espacio de cobertura universal G/K es realmente contráctil (por la descomposición de Cartan para grupos de Lie).

Como ejemplo, tome G = SL(2, R), K = SO(2) y Γ cualquier congruencia libre de torsión subgrupo del grupo modular SL(2, Z).

De la realización explícita, también se deduce que el espacio de cobertura universal de un grupo topológico conectado por caminos H es de nuevo un grupo topológico conectado por caminos G. Además, el mapa de cobertura es un homomorfismo abierto continuo de G sobre H con núcleo Γ, un subgrupo normal discreto cerrado de G:

${displaystyle 1to Gamma to Gto Hto 1.$

Como G es un grupo conexo con una acción continua por conjugación sobre un grupo discreto Γ, debe actuar de forma trivial, por lo que Γ tiene que ser un subgrupo del centro de G< /i>. En particular, π₁(H) = Γ es un grupo abeliano; esto también se puede ver fácilmente directamente sin usar espacios de cobertura. El grupo G se denomina grupo de cobertura universal de H.

Como sugiere el grupo de cobertura universal, existe una analogía entre el grupo fundamental de un grupo topológico y el centro de un grupo; esto se elabora en Celosía de grupos de cobertura.

Fibraciones

Fibras proporcionar un medio muy poderoso para computar grupos de homotopy. Una fibra f el llamado total de espacio, y el espacio base B tiene, en particular, la propiedad que todas sus fibras ${displaystyle f^{-1}(b)}$ son equivalentes de homotopy y por lo tanto no se puede distinguir utilizando grupos fundamentales (y grupos de homotopy superiores), siempre que B está conectado con el camino. Por lo tanto, el espacio E puede ser considerado como un "producto girado" del espacio base B y la fibra ${displaystyle F=f^{-1}(b). }$ La gran importancia de las fibraciones a la computación de grupos de homotopy se deriva de una secuencia exacta larga

${displaystyle dots to pi _{2}(B)to pi _{1}(F)to pi _{1}(E)to pi _{1}(B)to pi _{0}(F)to pi _{0}(E)}$

siempre que B está conectado con el camino. El término ${displaystyle pi _{2}(B)}$ es el segundo grupo de homotopy B, que se define como el conjunto de clases de homotopy de mapas de ${displaystyle S^{2}$ a B, en analogía directa con la definición de ${displaystyle pi _{1}$

Si E es conexo por caminos y simplemente conexo, esta secuencia se reduce a un isomorfismo

${displaystyle pi _{1}(B)cong pi _{0}(F)}$

lo que generaliza el hecho anterior sobre el recubrimiento universal (lo que equivale al caso en que la fibra F también es discreta). Si en cambio F resulta ser conexo y simplemente conexo, se reduce a un isomorfismo

${displaystyle pi _{1}(E)cong pi _{1}(B). }$

Además, la secuencia puede continuar a la izquierda con los grupos de homotopy más altos ${displaystyle pi _{n}$ de los tres espacios, que da cierto acceso a la computación de tales grupos en la misma vena.

Grupos de Lie Clásica

Tales secuencias de fibra se pueden utilizar para computar inductivamente grupos fundamentales de compacto clásico Grupos de mentira como el grupo unitario especial ${displaystyle mathrm {SU} (n),}$ con ${displaystyle ngeq 2.}$ Este grupo actúa transitivamente en la esfera de la unidad ${displaystyle S^{2n-1}$ dentro ${displaystyle mathbb {C} {fn}=Mathbb {R} ^{2n}$ El estabilizador de un punto en la esfera es isomorfo a ${displaystyle mathrm {SU} (n-1). }$ Entonces se puede demostrar que esto produce una secuencia de fibra

${displaystyle mathrm {SU} (n-1)to mathrm {SU} (n)to S^{2n-1}.}$

Desde ${displaystyle ngeq 2,}$ la esfera ${displaystyle S^{2n-1}$ tiene dimensión al menos 3, lo que implica

${displaystyle pi _{1}(S^{2n-1})cong pi _{2}(S^{2n-1})=1.}$

La sucesión exacta larga muestra entonces un isomorfismo

${displaystyle pi _{1}(mathrm {SU} (n))cong pi _{1}(mathrm {SU} (n-1)). }$

Desde ${displaystyle mathrm {SU} (1)$ es un solo punto, así que ${displaystyle pi _{1}(mathrm {SU} (1))}$ es trivial, esto muestra que ${displaystyle mathrm {SU} (n)}$ es simplemente conectado para todos ${displaystyle n.}$

El grupo fundamental de grupos de Lie no compactos se puede reducir al caso compacto, ya que dicho grupo es homotópico a su subgrupo compacto máximo. Estos métodos dan los siguientes resultados:

Clásico compacto Grupo de mentiras G	Non-compact Grupo de mentiras	${displaystyle pi ¿Qué?$
grupo unitario especial ${displaystyle mathrm {SU} (n)}$	${displaystyle mathrm {SL} (n,mathbb {C})}$	1
grupo unitario ${displaystyle mathrm {U} (n)}$	${displaystyle mathrm {GL} (n,mathbb {C}),mathrm {Sp} (n,mathbb {R})}$	${displaystyle mathbb {Z}$
especial grupo ortogonal ${displaystyle mathrm {SO} (n)}$	${displaystyle mathrm {SO} (n,mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {Z}$ para ${displaystyle ngeq 3}$ y ${displaystyle mathbb {Z}$ para ${displaystyle n=2}$
grupo simpático compacto ${displaystyle mathrm {Sp} (n)}$	${displaystyle mathrm {Sp} (n,mathbb {C})}$	1

Un segundo método de cálculo de grupos fundamentales se aplica a todos los grupos compactos conectados Lie y utiliza la maquinaria del torus maximal y el sistema raíz asociado. Específicamente, ${displaystyle T}$ ser un torus maximal en un compacto conectado Grupo de mentiras ${displaystyle K,}$ y dejar ${displaystyle {s} {fnK}}$ ser el álgebra de Lie de ${displaystyle T.}$ El mapa exponencial

${displaystyle exp:{mathfrak {t}to T}$

es una fibra y por lo tanto su núcleo ${displaystyle "Gamma subset {mathfrak {t}}$ identificaciones con ${displaystyle pi _{1}(T). }$ El mapa

${displaystyle pi _{1}(T)to pi _{1}(K)}$

puede demostrarse que es sobreyectiva con núcleo dado por el conjunto I de combinación lineal entera de co-raíces. Esto conduce al cálculo

${displaystyle pi _{1}(K)cong Gamma /I.}$

Este método muestra, por ejemplo, que cualquier compacto conectado Grupo de mentira para el cual el sistema raíz asociado es de Tipo ${displaystyle G_{2}$ simplemente está conectado. Así, hay (hasta el isomorfismo) sólo un grupo compacto conectado Lie que tiene álgebra de tipo Lie ${displaystyle G_{2}$; este grupo está simplemente conectado y tiene un centro trivial.

Grupo borde-camino de un complejo simplicial

Cuando el espacio topológico es homeomorfo a un complejo simplicial, su grupo fundamental puede describirse explícitamente en términos de generadores y relaciones.

Si X es un complejo simplicial conexo, una ruta de arista en X se define como una cadena de vértices conectados por aristas en X. Se dice que dos caminos de aristas son equivalentes a las aristas si uno puede obtenerse de la otra alternando sucesivamente entre una arista y las dos aristas opuestas de un triángulo en X. Si v es un vértice fijo en X, un borde-bucle en v es un camino de borde que comienza y terminando en v. El grupo de ruta de borde E(X, v) se define como el conjunto de clases de equivalencia de borde de bucles de borde en v, con el producto y el inverso definidos por concatenación e inversión de bucles de borde.

El grupo de ruta de borde es naturalmente isomorfo a π₁(|X |, v), el grupo fundamental de la realización geométrica |X | de X. Dado que depende solo del esqueleto de 2 X² de X (es decir, los vértices, aristas y triángulos de X ), los grupos π₁(|X |,v) y π₁(| X²|, v) son isomorfos.

El grupo borde-camino se puede describir explícitamente en términos de generadores y relaciones. Si T es un árbol de expansión máxima en el esqueleto 1 de X, entonces E(X, v) es canónicamente isomorfo al grupo con generadores (los caminos de borde orientados de X que no ocurren en T) y relaciones (las equivalencias de borde correspondientes a triángulos en X). Un resultado similar se cumple si T se reemplaza por cualquier subcomplejo simplemente conectado, en particular contráctil, de X. Esto a menudo brinda una forma práctica de calcular grupos fundamentales y puede usarse para mostrar que cada grupo presentado finitamente surge como el grupo fundamental de un complejo simplicial finito. Es también uno de los métodos clásicos utilizados para superficies topológicas, las cuales se clasifican por sus grupos fundamentales.

El espacio de cobertura universal de un complejo simplicial conexo finito X también se puede describir directamente como un complejo simplicial usando caminos de borde. Sus vértices son pares (w,γ) donde w es un vértice de X y γ es una clase de caminos de equivalencia de borde desde v a w. Los simples k que contienen (w,γ) corresponden naturalmente a los simples k que contienen w. Cada nuevo vértice u del k-simplex da una arista wu y por lo tanto, por concatenación, un nuevo camino γ _u de v a u. Los puntos (w,γ) y (u, γ_u) son los vértices de la "transportado" simplex en el espacio de cobertura universal. El grupo edge-path actúa naturalmente por concatenación, conservando la estructura simplicial, y el espacio del cociente es solo X.

Es bien sabido que este método también se puede utilizar para calcular el grupo fundamental de un espacio topológico arbitrario. Esto sin duda lo sabían Eduard Čech y Jean Leray y apareció explícitamente como un comentario en un artículo de André Weil; varios otros autores como Lorenzo Calabi, Wu Wen-tsün y Nodar Berikashvili también han publicado pruebas. En el caso más simple de un espacio compacto X con una cubierta abierta finita en el que todas las intersecciones finitas no vacías de conjuntos abiertos en la cubierta son contráctiles, el grupo fundamental se puede identificar con el grupo de caminos de borde del complejo simplicial correspondiente al nervio de la cubierta.

Realización

• Cada grupo se puede realizar como el grupo fundamental de un complejo CW conectado de la dimensión 2 (o superior). Como se señaló anteriormente, sin embargo, sólo los grupos libres pueden ocurrir como grupos fundamentales de complejos CW-dimensionales (es decir, gráficos).
• Cada grupo presentado finitamente se puede realizar como el grupo fundamental de un conjunto compacto, conectado y liso de la dimensión 4 (o superior). Pero hay severas restricciones sobre las cuales los grupos se presentan como grupos fundamentales de manifolds de baja dimensión. Por ejemplo, ningún grupo abeliano libre de rango 4 o superior puede ser realizado como el grupo fundamental de un conjunto de dimensiones 3 o menos. Se puede probar que cada grupo puede ser realizado como el grupo fundamental de un espacio compacto Hausdorff si y sólo si no hay cardenal mensurable.

Conceptos relacionados

Grupos de homotopía superior

Roughly speaking, the fundamental group detects the 1-dimensional hole structure of a space, but not holes in higher dimensions such as for the 2-sphere. Tales "agujeros de mayor dimensión" se pueden detectar utilizando los grupos de homotopy superiores ${displaystyle pi _{n}(X)}$, que se definen para consistir en clases de homotopy de mapas (preservación de puntos bajos) de ${displaystyle S^{n}$ a X. Por ejemplo, el teorema Hurewicz implica que para todos ${displaystyle ngeq 1}$ el grupo n-th homotopy de la N-sphere es

${displaystyle {fn}$

Como se mencionó en el cálculo anterior ${displaystyle pi ¿Qué?$ de la clásica Grupos de mentira, grupos de homotopy más altos pueden ser relevantes incluso para la computación de grupos fundamentales.

Espacio de bucle

El conjunto de bucles basados (como es, es decir, no tomado hasta la homotopy) en un espacio apuntado X, dotado con la topología abierta compacta, se conoce como el espacio de bucle, denotado ${displaystyle Omega X.$ El grupo fundamental X está en bijección con el conjunto de componentes de ruta de su espacio de bucle:

${displaystyle pi _{1}(X)cong pi _{0}(Omega X).}$

Grupoide fundamental

El fundamental groupoid es una variante del grupo fundamental que es útil en situaciones donde la elección de un punto base ${displaystyle x_{0}in X}$ es indeseable. Se define por primera vez considerando la categoría de caminos en ${displaystyle X.$ i.e. funciones continuas

${displaystyle gamma colon [0,r]to X}$,

Donde r es un número real arbitrario no negativo. Desde la longitud r es variable en este enfoque, tales caminos pueden ser concatenados como es (es decir, no hasta el homotopy) y por lo tanto producir una categoría. Dos de esos caminos ${displaystyle gammagamma}$ con los mismos puntos finales y longitud r, resp. r ' son considerados equivalentes si existen números reales ${displaystyle u,vgeqslant 0}$ tales que ${displaystyle r+u=r'+v}$ y ${displaystyle gamma _{u},gamma '_{v}colon [0,r+u]to X}$ son homotopic relativos a sus puntos finales, donde ${displaystyle gamma _{u}(t)={begin{cases}gamma (t), implicatin [0,r]\gamma (r), recurtin [r,r+u]. {fnMicrosoft Sans Serif}}$

La categoría de caminos hasta esta relación de equivalencia se denota ${displaystyle Pi (X).}$ Cada morfismo en ${displaystyle Pi (X)}$ es un isomorfismo, con inverso dado por el mismo camino atravesado en la dirección opuesta. Tal categoría se llama un groupoid. Reproduce el grupo fundamental desde entonces

${displaystyle pi _{1}(X,x_{0})=mathrm {Hom} _{Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$.

Más generalmente, se puede considerar la cúpula fundamental en un conjunto A de puntos de base, elegidos según la geometría de la situación; por ejemplo, en el caso del círculo, que puede ser representado como la unión de dos conjuntos abiertos conectados cuya intersección tiene dos componentes, uno puede elegir un punto de base en cada componente. El teorema de van Kampen admite una versión para grupos fundamentales que da, por ejemplo, otra manera de computar el grupo(oid) fundamental de ${displaystyle S^{1}.$

Sistemas locales

En términos generales, las representaciones pueden servir para exhibir características de un grupo por sus acciones en otros objetos matemáticos, a menudo espacios vectoriales. Las representaciones del grupo fundamental tienen un significado muy geométrico: cualquier sistema local (i.e., a sheaf ${displaystyle {fnMithcal}}$ on X con la propiedad que localmente en un barrio suficientemente pequeño U de cualquier punto sobre X, la restricción de F es una hoja constante de la forma ${displaystyle {fncipal {fnh}h}h}hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh {fn}$) da lugar a la llamada representación monodroma, una representación del grupo fundamental en un n-dimensional ${displaystyle mathbb {Q}$-Espacio del vencedor. Por el contrario, cualquier representación en un espacio conectado por el camino X surge de esta manera. Esta equivalencia de categorías entre representaciones de ${displaystyle pi _{1}(X)}$ y los sistemas locales se utilizan, por ejemplo, en el estudio de ecuaciones diferenciales, como las ecuaciones Knizhnik-Zamolodchikov.

Étale grupo fundamental

En la geometría algebraica, el grupo fundamental denominado étale se utiliza como sustituto del grupo fundamental. Desde la topología de Zariski en una variedad o esquema algebraico X es mucho más grueso que, por ejemplo, la topología de los subconjuntos abiertos en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}$ ya no es significativo considerar mapas continuos de un intervalo a X. En cambio, el enfoque desarrollado por Grothendieck consiste en construir ${displaystyle pi _{1} {text{et}}$ considerando todas las cubiertas de étale finito X. Estos sirven como análogo algebro-geométrico de cubiertas con fibras finitas.

Esto produce una teoría aplicable en situaciones en las que no se dispone de ninguna intuición topológica clásica de gran generalidad, por ejemplo, para variedades definidas sobre un campo finito. Además, el grupo fundamental étale de un campo es su grupo (absoluto) de Galois. Por otro lado, para variedades suaves X sobre los números complejos, el grupo fundamental étale conserva gran parte de la información inherente al grupo fundamental clásico: el primero es la terminación profinita del segundo.

Grupo fundamental de grupos algebraicos

Se define el grupo fundamental de un sistema raíz, de forma análoga al cálculo de los grupos de Lie. Esto permite definir y utilizar el grupo fundamental de un grupo algebraico lineal semisimple G, que es una herramienta básica útil en la clasificación de grupos algebraicos lineales.

Grupo fundamental de conjuntos simpliciales

La relación Homotopy entre 1-simplices de un conjunto simplicial X es una relación de equivalencia si X es un complejo de Kan pero no necesariamente así en general. Así, ${displaystyle pi ¿Qué?$ de un complejo de Kan se puede definir como el conjunto de clases de homotopy de 1-simplices. El grupo fundamental de un conjunto simplicial arbitrario X son definidos para ser el grupo homotopy de su realización topológica, ${displaystyle Silencioso$ es decir, el espacio topológico obtenido pegando los simplices topológicos según lo prescrito por la estructura de conjunto simplicial X.