Grupo friso

En matemáticas, un friso o un patrón de friso es un diseño bidimensional que se repite en una dirección. Estos patrones aparecen con frecuencia en la arquitectura y el arte decorativo. Los patrones de friso se pueden clasificar en siete tipos según sus simetrías. El conjunto de simetrías de un patrón de friso se denomina grupo de friso.

Los grupos de frisos son grupos de líneas bidimensionales que tienen repetición en una sola dirección. Están relacionados con los grupos de papel tapiz más complejos, que clasifican patrones repetitivos en dos direcciones, y grupos cristalográficos, que clasifican patrones repetitivos en tres direcciones.

Generalidades

Formalmente, un grupo de friso es una clase de infinitos grupos de patrones de simetría discreta en una franja (rectángulo infinitamente ancho), por lo tanto, una clase de grupos de isometrías del plano o de una franja. Un grupo de simetría de un grupo de friso contiene necesariamente traslaciones y puede contener reflexiones de deslizamiento, reflexiones a lo largo del eje largo de la franja, reflexiones a lo largo del eje estrecho de la franja y rotaciones de 180°. Hay siete grupos de frisos, enumerados en la tabla resumen. Muchos autores presentan los grupos de frisos en diferente orden.

Los grupos de simetría reales dentro de un grupo de friso se caracterizan por la distancia de traslación más pequeña y, para los grupos de friso con reflexión de línea vertical o rotación de 180° (grupos 2, 5, 6 y 7), por un parámetro de desplazamiento que ubica el eje de reflexión o punto de rotación. En el caso de grupos de simetría en el plano, los parámetros adicionales son la dirección del vector de traslación y, para los grupos de friso con reflexión de línea horizontal, reflexión de deslizamiento o rotación de 180° (grupos 3 a 7), la posición de la reflexión. Eje o punto de rotación en la dirección perpendicular al vector de traslación. Por tanto, hay dos grados de libertad para el grupo 1, tres para los grupos 2, 3 y 4, y cuatro para los grupos 5, 6 y 7.

Para dos de los siete grupos de frisos (grupos 1 y 4) los grupos de simetría se generan individualmente, para cuatro (grupos 2, 3, 5 y 6) tienen un par de generadores, y para el grupo 7 los grupos de simetría Requiere tres generadores. Un grupo de simetría en el grupo de friso 1, 2, 3 o 5 es un subgrupo de un grupo de simetría en el último grupo de friso con la misma distancia de traslación. Un grupo de simetría en el grupo de friso 4 o 6 es un subgrupo de un grupo de simetría en el último grupo de friso con la mitad de la distancia de traslación. Este último grupo de friso contiene los grupos de simetría de los patrones periódicos más simples en la franja (o el plano), una fila de puntos. Cualquier transformación del plano que deje invariante este patrón se puede descomponer en una traducción, (x, y) ↦ (n + x, y), seguido opcionalmente de un reflejo en el eje horizontal, ( x, y) ↦ (x, −y), o el eje vertical, (x, y) ↦ (−x, y), proporcionado que este eje se elige a través o a medio camino entre dos puntos, o una rotación de 180°, (x, y) ↦ (−x, −y) (ídem). Por tanto, en cierto modo, este grupo de frisos contiene el "mayor" grupos de simetría, que consisten en todas esas transformaciones.

La inclusión de la condición discreta es para excluir el grupo que contiene todas las traducciones y los grupos que contienen traducciones arbitrariamente pequeñas (por ejemplo, el grupo de traducciones horizontales por distancias racionales). Incluso aparte de escalar y desplazar, hay infinitos casos, p.e. considerando números racionales cuyos denominadores son potencias de un número primo dado.

La inclusión de la condición infinita es para excluir grupos que no tienen traducciones:

• el grupo con la identidad solamente (isomorfo a C₁, el grupo trivial de orden 1).
• el grupo formado por la identidad y la reflexión en el eje horizontal (isómorfo a C₂, el grupo cíclico de orden 2).
• los grupos que consisten en la identidad y la reflexión en un eje vertical (ditto)
• los grupos que consisten en la identidad y rotación de 180° sobre un punto sobre el eje horizontal (ditto)
• los grupos que consisten en la identidad, la reflexión en un eje vertical, la reflexión en el eje horizontal, y la rotación de 180° sobre el punto de intersección (isómorfo al grupo de Klein)

Descripciones de los siete grupos de frisos

Hay siete subgrupos distintos (hasta escalamiento y desplazamiento de patrones) en el grupo de friso discreto generado por una traslación, reflexión (a lo largo del mismo eje) y una rotación de 180°. Cada uno de estos subgrupos es el grupo de simetría de un patrón de friso, y en la Fig. 1 se muestran patrones de muestra. Los siete grupos diferentes corresponden a las 7 series infinitas de grupos de puntos axiales en tres dimensiones, con n = ∞.

Se identifican en la siguiente tabla utilizando notación Hermann-Mauguin (o notación IUC), notación Coxeter, notación Schönflies, notación orbifold, apodos creados por el matemático John H. Conway, y finalmente una descripción en términos de traducción, reflexiones y rotaciones.

Grupos frisos

IUC	Cox.	Schön.*	Orbifold	Diagrama§	Ejemplos y Conway nickname		Descripción
p1	[viejo]+	CJUEGO Z Juegos	JUEGO			hop	(T) Translations only: Este grupo se genera cantinamente, por una traducción por la distancia más pequeña sobre la cual el patrón es periódico.
p11g	[Firmado]+,2+]	SJUEGO ZJUEGO	JUEGO			paso	Glide-reflections and Translations: Este grupo se genera cantemente, por un reflejo del deslizamiento, con traducciones obtenidas combinando dos reflejos del deslizamiento.
p1m1	[viejo]	C∞v Dihicula	*			cuna	(TV) Líneas de reflexión verticales y traducciones: El grupo es el mismo que el grupo no-trivial en el caso unidimensional; se genera por una traducción y una reflexión en el eje vertical.
p2	[∞,2]+	DJUEGO DihJUEGO	22 camas			spinning hop	(TR) Traducciones y rotación de 180°: El grupo se genera por una traducción y una rotación de 180°.
p2mg	[Libertad]+]	D∞d DihJUEGO	2*			sillón giratorio	(TRVG) Líneas de reflexión verticales, reflexiones de deslizamiento, traducciones y rotaciones de 180°: Las traducciones aquí surgen de las reflexiones de deslizamiento, por lo que este grupo se genera por una reflexión de deslizamiento y una rotación o una reflexión vertical.
p11m	[Firmado]+,2]	CLevántate ZJUEGO× Dih1	∞*			salto	(THG) Traducciones, reflexiones horizontales, reflexiones de deslizamiento: Este grupo es generado por una traducción y la reflexión en el eje horizontal. La reflexión del deslizamiento aquí surge como la composición de la traducción y la reflexión horizontal
p2mm	[∞,2]	DLevántate DihJUEGO× Dih1	*22 vivos			salto giratorio	(TRHVG) Líneas de reflexión horizontal y vertical, Traducciones y 180° Rotaciones: Este grupo requiere tres generadores, con un conjunto generador que consiste en una traducción, la reflexión en el eje horizontal y una reflexión a través de un eje vertical.

^*La notación del grupo de puntos de Schönflies se extiende aquí como casos infinitos de las simetrías de puntos dihedral equivalentes

^§El diagrama muestra un dominio fundamental en amarillo, con líneas de reflexión en azul, líneas de reflexión deslizadas en verde desgarrado, normales de traducción en rojo, y 2 puntos de giro como pequeñas plazas verdes.

De los siete grupos frisos, sólo hay cuatro hasta el isomorfismo. Dos son generados cantando y isomorfos a Z{displaystyle mathbb {Z}; cuatro de ellos se generan doblemente, entre los cuales uno es abeliano y tres son nonabelios e isomorfos a DJUEGO JUEGO {displaystyle D_{infty}, el grupo dihedral infinito; y uno de ellos tiene tres generadores.

Tipos de celosía: oblicua y rectangular

Los grupos se pueden clasificar por su tipo de cuadrícula o celosía bidimensional. El hecho de que la red sea oblicua significa que la segunda dirección no necesita ser ortogonal a la dirección de repetición.

Demostración web y software

Existen herramientas gráficas de software que crean patrones 2D utilizando grupos de frisos. Normalmente, todo el patrón se actualiza automáticamente en respuesta a las ediciones de la tira original.