Grupo esporádico

En matemáticas, un grupo esporádico es uno de los 26 grupos excepcionales que se encuentran en la clasificación de grupos simples finitos.

Un grupo simple es un grupo g que no tiene subgrupos normales, excepto el grupo trivial y g en sí. El teorema de clasificación establece que la lista de grupos simples finitos consta de 18 familias contaminadas infinitas más 26 excepciones que no siguen un patrón tan sistemático. Estas 26 excepciones son los grupos esporádicos. También se conocen como grupos simples esporádicos, o los grupos finitos esporádicos. Debido a que no es estrictamente un grupo de tipo de mentira, el grupo TITS a veces se considera un grupo esporádico, en cuyo caso habría 27 grupos esporádicos.

The monster group, or friendly giant, is the largest of the sporadic groups, and all but six of the other sporadic groups are sub quotients of itp>

nombres

Cinco de los grupos esporádicos fueron descubiertos por Mathieu en la década de 1860 y los otros 21 fueron encontrados entre 1965 y 1975. Se predijo que varios de estos grupos existían antes de construirlos. La mayoría de los grupos llevan el nombre de los matemáticos que primero predijeron su existencia. La lista completa es:

• Grupos de Mathieu M11 (M11), M12 (M12), M22 (M22), M23 (M23), M24 (M24)
• Janko groups J1 (J1), J2 or HJ (J2), J3 or HJM (J3), J4 (J4)
• Conway groups Co1 (Co1), Co2 (Co2), Co3 (Co3)
• Fischer groups Fi22 (Fi22), Fi23 (Fi23), Fi24′ o F3+ (Fi24)
• Grupo Higman–Sims HS
• Grupo McLaughlin McL
• Grupo adhesivo Él o F₇₊ o F₇
• Grupo Rudvalis Ru
• Grupo Suzuki Suz o F_{3 - 3}
• O'Nan group O'N (ON)
• Grupo Harada–Norton HN o F₅₊ o F₅
• Grupo Lyon Ly
• Grupo Thompson Th o F_{3 vidas} o F₃
• Baby Monster group B o F₂₊ o F₂
• Fischer-Griess Monster group M o F₁

Varias construcciones para estos grupos se compilaron por primera vez en Conway et al. (1985), incluyendo tablas de caracteres, clases de conjugación individuales y listas de subgrupos máximos, así como multiplicadores y órdenes de Schur de sus automorfismos externos. Estos también figuran en línea en Wilson et al. (1999), actualizado con sus presentaciones grupales y semipresentaciones. También se han calculado los grados de representación fiel mínima o caracteres Brauer sobre campos de características p ≥ 0 para todos los grupos esporádicos, y para algunos de sus grupos de cobertura. Estos se detallan en Jansen (2005).

Una excepción que se encuentra en la clasificación de grupos esporádicos dentro de los grupos simples finitos es el grupo tits t , que a veces también se considera esporádico, es casi pero no estrictamente un grupo de tipo de mentira - Es por eso que en algunas fuentes el número de grupos esporádicos se da como 27, en lugar de 26. En algunas otras fuentes, el grupo TITS se considera ni esporádico ni de tipo de mentira. El grupo tits es el ( n = 0) -member 2 f 4 (2) ′ de la familia infinita de grupos de conmutadores 2 f ₄ (2 2 n +1 ) ′ ; Por lo tanto, por definición, no esporádica. Para n & gt; 0 Estos grupos simples finitos coinciden con los grupos de tipo de mentira 2 F ₄ (2 2 n +1 ), también conocido como grupos REE de tipo 2f4.

El uso más temprano del término grupo esporádico puede ser Burnside (1911, p. 504) donde comenta sobre los grupos de Mathieu: " Estos grupos simples aparentemente esporádicos probablemente reembolsarían un más cercano examen de lo que han recibido todavía. "

The diagram at right is based on Ronan (2006, p. 247). It does not show the numerous non-sporadic simple sub quotients of the sporadic groups.

organización

Familia feliz

De los 26 grupos esporádicos, 20 se pueden ver dentro del grupo monstruo como subgrupos o cocientes de subgrupos (secciones). Estos veinte han sido llamados la familia feliz por Robert Griess, y pueden organizarse en tres generaciones.

Primera generación (5 grupos): los grupos Mathieu

m _n para n = 11, 12, 22, 23 y 24 son grupos de permutación transitivos multiplicados en n puntos. Todos son subgrupos de M ₂₄ , que es un grupo de permutación en 24 puntos.

Segunda generación (7 grupos): la letra de sanguijuela

Todos los subcuotientes del grupo de automorfismo de una red en 24 dimensiones llamadas Lattice de sanguijuela:

• Co₁ es el cociente del grupo de automorfismo por su centro {±1}
• Co₂ es el estabilizador de un tipo 2 (es decir, longitud 2) vector
• Co₃ es el estabilizador de un tipo 3 (es decir, longitud √6vector
• Suz es el grupo de automorfismos preservando una estructura compleja (modulo su centro)
• McL es el estabilizador de un triángulo tipo 2-2-3
• HS es el estabilizador de un triángulo tipo 2-3-3
• J₂ es el grupo de automorfismos preservando una estructura cuaternónica (modulo su centro).

Tercera generación (8 grupos): otros subgrupos del Monstruo

Consiste en subgrupos que están estrechamente relacionados con el grupo Monstruo M:

• B o F₂ tiene una doble cubierta que es el centralizador de un elemento de orden 2 en M
• Fi₂₄′ tiene una cubierta triple que es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en clase de conjugación "3A")
• Fi₂₃ es un subgrupo Fi₂₄.
• Fi₂₂ tiene una cubierta doble que es un subgrupo Fi₂₃
• El producto de Th = F₃ y un grupo de orden 3 es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en clase de conjugación "3C")
• El producto de HN = F₅ y un grupo de orden 5 es el centralizador de un elemento de orden 5 en M
• El producto de Él = F₇ y un grupo de orden 7 es el centralizador de un elemento del orden 7 en M.
• Finalmente, se considera que el grupo Monster está en esta generación.

(Esta serie continúa más allá: el producto de M₁₂ y un grupo de orden 11 es el centralizador de un elemento de orden 11 en M.)

El grupo de las Tetas, si se considera un grupo esporádico, pertenecería a esta generación: hay un subgrupo S₄ ײF₄(2)′ normalizando un subgrupo 2C² de B, dando lugar a un subgrupo 2·S₄ ײF₄(2)′ normalizando un determinado subgrupo Q₈ del Monstruo. ²F₄(2)′ es también un subcociente del grupo de Fischer Fi₂₂, y por lo tanto también de Fi₂₃ y Fi₂₄′, y del Bebé Monstruo B. ²F₄(2)′ también es un subcociente del grupo (paria) Rudvalis Ru, y no participa en grupos simples esporádicos excepto los ya mencionados.

Parias

Las seis excepciones son J₁, J₃, J₄, O'N, Ru y Ly, a veces conocidos como los parias.

Did you mean:

Table of the sporadic group orders (with/ Tits group)

Grupo	Discoverer	Año	Generación	Orden		Orden de fábrica	Minimal fiel grado de caracteres Brauer	()a,b,ab){displaystyle (a,b,ab)} Generadores	.. .. a,b▪ ▪ o()z).. .. {displaystyle langle langle a,bmid o(z)rangle rangle } Representación semipresentante
M o F1	Fischer, Griess	1973	3a	808017424794512875886459904961710757005754368000000	Entendido 8×1053	246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71	196883	2A, 3B, 29	o()()ab)4()ab2)2)=50{displaystyle o{bigl (}(ab)^{4}(ab^{2}{2}{bigr)}=50}
B o F2	Fischer	1973	3a	4154781481226426191177580544000	■ 4×1033	241 · 313 · 56 · 72 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47	4371	2C, 3A, 55	o()()ab)2()abab2)2ab2)=23{displaystyle o{bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{bigr)}=23}
Fi24 o F3+	Fischer	1971	3a	1255205709190661721292800	Entendido 1×1024	221 · 316 · 52 · 73 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29	8671	2A, 3E, 29	o()()ab)3b)=33{displaystyle o{bigl (}(ab)}{3}b{bigr)}=33}
Fi23	Fischer	1971	3a	4089470473293004800	■ 4×1018	218 · 313 · 52 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23	782	2B, 3D, 28	o()abb()ab)14)=5{fnMicrosoft Sans Serif}=5}
Fi22	Fischer	1971	3a	64561751654400	Entendido 6×1013	217 · 39 · 52 · 7 · 11 · 13	78	2A, 13, 11	o()()ab)2()abab2)2ab2)=12{displaystyle o{bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{bigr)}=12}
Th o F3	Thompson	1976	3a	9074594388787872000	Entendido 9×1016	215 · 310 · 53 · 72 · 13 · 19 · 31	248	2, 3A, 19	o()()ab)3b)=21{displaystyle o{bigl (}(ab)}{3}b{bigr)}=21}
Ly	Lyons	1972	Pariah	51765179004000	■ 5×1016	28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67	2480	2, 5A, 14	o()ababab2)=67{displaystyle o{bigl (}ababab^{2}{bigr)}=67}
HN o F5	Harada, Norton	1976	3a	273030912000000	Entendido 3×1014	214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19	133	2A, 3B, 22	o()[a,b])=5{displaystyle o{bigl (}[a,b]{bigr)}=5}
Co1	Conway	1969	2a	4157776806543360000	■ 4×1018	221 · 39 · 54 · 72 · 11 · 13 · 23	276	2B, 3C, 40	o()ab()abab2)2)=42{displaystyle o{bigl (}ab(abab^{2}{2}{bigr)}=42}
Co2	Conway	1969	2a	42305421312000	■ 4×1013	218 · 36 · 53 · 7 · 11 · 23	23	2A, 5A, 28	o()[a,b])=4{displaystyle o{bigl (}[a,b]{bigr)}=4}
Co3	Conway	1969	2a	495766656000	■ 5×1011	210 · 37 · 53 · 7 · 11 · 23	23	2A, 7C, 17	o()()uvv)3()uv)6)=5{displaystyle o{bigl (}(uvv)^{3}(uv)}{6}{bigr)}=5}
ON or O'N	O'Nan	1976	Pariah	460815505920	■ 5×1011	29 · 34 · 5 · 73 · 11 · 19 · 31	10944	2A, 4A, 11	o()abab()b2()b2)abab)5)=5{displaystyle o{bigl (}abab(b^{2}(b^{2})^{abab}{5}{bigr)}=5}
Suz	Suzuki	1969	2a	448345497600	■ 4×1011	213 · 37 · 52 · 7 · 11 · 13	143	2B, 3B, 13	o()[a,b])=15{displaystyle o{bigl (}[a,b]{bigr)}=15}
Ru	Rudvalis	1972	Pariah	145926144000	Entendido 1×1011	214 · 33 · 53 · 7 · 13 · 29	378	2B, 4A, 13	o()abab2)=29{displaystyle o(abab^{2}=29}
Él o F7	Soldado	1969	3a	4030387200	■ 4×109	210 · 33 · 52 · 73 · 17	51	2A, 7C, 17	o()ab2abab2ab2)=10{displaystyle o{bigl} {2}abab}ab^{2}{2}{bigr)}=10}
McL	McLaughlin	1969	2a	898128000	Entendido 9×108	27 · 36 · 53 · 7 · 11	22	2A, 5A, 11	o()()ab)2()abab2)2ab2)=7{displaystyle o{bigl (}(ab)^{2}(abab^{2}} {2}ab^{2}{bigr)}=7}
HS	Higman, Sims	1967	2a	44352000	■ 4×107	29 · 32 · 53 · 7 · 11	22	2A, 5A, 11	o()abab2)=15{displaystyle o(abab^{2}=15}
J4	Janko	1976	Pariah	86775571046077562880	Entendido 9×1019	221 · 33 · 5 · 7 · 113 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43	1333	2A, 4A, 37	o()abab2)=10{displaystyle o{bigl (}abab^{2}{bigr)}=10}
J3 o HJM	Janko	1968	Pariah	50232960	■ 5×107	27 · 35 · 5 · 17 · 19	85	2A, 3A, 19	o()[a,b])=9{displaystyle o{bigl (}[a,b]{bigr)}=9}
J2 o HJ	Janko	1968	2a	604800	Entendido 6×105	27 · 33 · 52 · 7	14	2B, 3B, 7	o()[a,b])=12{displaystyle o{bigl (}[a,b]{bigr)}=12}
J1	Janko	1965	Pariah	175560	Entendido 2×105	23 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19	56	2, 3, 7	o()abab2)=19{displaystyle o{bigl (}abab^{2}{bigr)}=19}
T (o 2F4(2)′)	Tits	1964	3a	17971200	Entendido 2×107	211 · 33 · 52 · 13	104	2A, 3, 13	o()[a,b])=5{displaystyle o{bigl (}[a,b]{bigr)}=5}
M24	Mathieu	1861	1a	244823040	Entendido 2×108	210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23	23	2B, 3A, 23	o()ab()abab2)2ab2)=4{displaystyle o{bigl (}ab(abab^{2} {2}ab^{2}{bigr)}=4}
M23	Mathieu	1861	1a	10200960	Entendido 1×107	27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	22	2, 4, 23	o()()ab)2()abab2)2ab2)=8{displaystyle o{bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{bigr)}=8}
M22	Mathieu	1861	1a	443520	■ 4×105	27 · 32 · 5 · 7 · 11	21	2A, 4A, 11	o()abab2)=11{displaystyle o{bigl (}abab^{2}{bigr)}=11}
M12	Mathieu	1861	1a	95040	Entendido 1×105	26 · 33 · 5 · 11	11	2B, 3B, 11	o()[a,b])=o()ababab2)=6{bigr]}=o{bigl (}ababab^{2}{bigr)}=6}
M11	Mathieu	1861	1a	7920	Entendido 8×103	24 · 32 · 5 · 11	10	2, 4, 11	o()()ab)2()abab2)2ab2)=4{displaystyle o{bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{bigr)}=4}