Grupo espacial

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Grupo de simetría de una configuración en el espacio

En matemáticas, física y química, un grupo espacial es el grupo de simetría de un patrón que se repite en el espacio, generalmente en tres dimensiones. Los elementos de un grupo espacial (sus operaciones de simetría) son las transformaciones rígidas del patrón que lo dejan sin cambios. En tres dimensiones, los grupos espaciales se clasifican en 219 tipos distintos, o 230 tipos si las copias quirales se consideran distintas. Los grupos espaciales son grupos compactos discretos de isometrías de un espacio euclidiano orientado en cualquier número de dimensiones. En dimensiones distintas de 3, a veces se les llama grupos de Bieberbach.

En cristalografía, los grupos espaciales también se denominan grupos cristalográficos o grupos de Fedorov y representan una descripción de la simetría del cristal. Una fuente definitiva sobre los grupos espaciales tridimensionales son las Tablas Internacionales de Cristalografía Hahn (2002).

Historia

Los grupos espaciales en 2 dimensiones son los 17 grupos de papel tapiz que se conocen desde hace varios siglos, aunque la prueba de que la lista estaba completa no se dio hasta 1891, después de que se hubiera completado en gran medida la clasificación mucho más difícil de los grupos espaciales.

En 1879 el matemático alemán Leonhard Sohncke enumeró los 65 grupos espaciales (llamados grupos de Sohncke) cuyos elementos conservan la quiralidad. Más exactamente, enumeró 66 grupos, pero tanto el matemático y cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov como el matemático alemán Arthur Moritz Schoenflies notaron que dos de ellos eran realmente iguales. Los grupos espaciales en tres dimensiones fueron enumerados por primera vez en 1891 por Fedorov (cuya lista tenía dos omisiones (I43d y Fdd2) y una duplicación (Fmm2)), y poco después, en 1891, fueron enumerados de forma independiente por Schönflies (cuya lista tenía cuatro omisiones (I43d, Pc, Cc, ?) y una duplicación (P 42₁m)). La lista correcta de 230 grupos espaciales se encontró en 1892 durante la correspondencia entre Fedorov y Schönflies. William Barlow (1894) enumeró más tarde los grupos con un método diferente, pero omitió cuatro grupos (Fdd2, I42d, P42₁d, y P42₁c) aunque ya tenía la lista correcta de 230 grupos de Fedorov y Schönflies; la afirmación común de que Barlow desconocía su trabajo es incorrecta. Burckhardt (1967) describe detalladamente la historia del descubrimiento de los grupos espaciales.

Elementos

Los grupos espaciales en tres dimensiones están formados por combinaciones de los 32 grupos de puntos cristalográficos con las 14 redes de Bravais, cada una de las cuales pertenece a uno de los 7 sistemas de redes. Lo que esto significa es que la acción de cualquier elemento de un grupo espacial determinado puede expresarse como la acción de un elemento del grupo de puntos apropiado seguido opcionalmente de una traducción. Por lo tanto, un grupo espacial es una combinación de la simetría traslacional de una celda unitaria (incluido el centrado de la red), las operaciones de simetría del grupo de puntos de reflexión, rotación y rotación impropia (también llamada rotoinversión) y las operaciones de simetría del eje del tornillo y del plano de deslizamiento. La combinación de todas estas operaciones de simetría da como resultado un total de 230 grupos espaciales diferentes que describen todas las simetrías cristalinas posibles.

El número de réplicas de la unidad asimétrica en una celda unitaria es, por lo tanto, el número de puntos de la red en la celda multiplicado por el orden del grupo de puntos. Esto varía de 1 en el caso del grupo espacial P1 a 192 para un grupo espacial como Fm3m, la estructura de NaCl.

Elementos que fijan un punto

Los elementos del grupo espacial que fijan un punto del espacio son el elemento identidad, las reflexiones, las rotaciones y las rotaciones impropias, incluidos los puntos de inversión.

Traducciones

Las traducciones forman un subgrupo abeliano normal de rango 3, llamado red de Bravais (llamada así en honor al físico francés Auguste Bravais). Hay 14 tipos posibles de celosía de Bravais. El cociente del grupo espacial por la red de Bravais es un grupo finito que es uno de los 32 grupos de puntos posibles.

Aviones de planeo

Un plano de deslizamiento es un reflejo en un plano, seguido de una traducción paralela con ese plano. This is noted by $a$ , $b$ , o $c$ , dependiendo del eje que el deslizamiento está a lo largo. También hay $n$ glide, que es un deslizamiento a lo largo de la mitad de una diagonal de una cara, y la $d$ deslizamiento, que es una cuarta parte del camino a lo largo de una cara o espacio diagonal de la célula unidad. Este último se llama el plano de deslizamiento de diamante como se caracteriza en la estructura de diamante. En 17 grupos espaciales, debido al centro de la célula, los deslizamientos se presentan en dos direcciones perpendiculares simultáneamente, i.e. el mismo plano deslizante se puede llamar b o c, a o b, a o c. Por ejemplo, el grupo Abm2 también podría llamarse Acm2, grupo Ccca podría llamarse Cccb. En 1992 se sugirió utilizar el símbolo e para esos aviones. Los símbolos de cinco grupos espaciales han sido modificados:

Grupo espacial No.	39	41	64	67	68
Nuevo símbolo	Aem2	Aea2	Cmce	Cmme	Ccce
Signatura antigua	Abm2	Aba2	Cmca	Cmma	Ccca

Ejes de tornillo

El eje de un tornillo es una rotación alrededor de un eje, seguida de una traslación a lo largo de la dirección del eje. Estos se indican con un número, n, para describir el grado de rotación, donde el número es cuántas operaciones se deben aplicar para completar una rotación completa (por ejemplo, 3 significaría una rotación de un tercio de la rotación). alrededor del eje cada vez). Luego, el grado de traslación se agrega como un subíndice que muestra qué tan lejos está la traslación a lo largo del eje, como una porción del vector reticular paralelo. Entonces, 2₁ es una rotación doble seguida de una traslación de la mitad del vector reticular.

Fórmula general

La fórmula general para la acción de un elemento de un grupo espacial es

Sí. = M.x + D

donde M es su matriz, D es su vector, y donde el elemento transforma el punto x en el punto y. En general, D = D (celosía) + D(M), donde D i>(M) es una función única de M que es cero para que M sea la identidad. Las matrices M forman un grupo de puntos que es la base del grupo espacial; la red debe ser simétrica bajo ese grupo de puntos, pero la estructura cristalina en sí puede no ser simétrica bajo ese grupo de puntos aplicada a cualquier punto en particular (es decir, sin una traslación). Por ejemplo, la estructura cúbica de diamante no tiene ningún punto donde se aplique el grupo de puntos cúbicos.

Did you mean:

The lattice dimension can be less than the overall dimension, resulting in a "subperiodic#34; space group. For (overall dimension, lattice dimension):

(1,1): Grupos de línea unidimensional
(2,1): Grupos de línea bidimensionales: grupos frisos
(2,2): Grupos de papel pintado
(3,1): Grupos de línea tridimensionales; con los grupos de puntos cristalinos 3D, los grupos de barras
(3,2): Grupos de capas
(3,3): Los grupos espaciales discutidos en este artículo

Quiralidad

El 65 "Sohncke" los grupos espaciales, que no contienen espejos, puntos de inversión, rotaciones impropias o planos de deslizamiento, producen cristales quirales, no idénticos a su imagen especular; mientras que los grupos espaciales que incluyen al menos uno de ellos dan cristales aquirales. Las moléculas aquirales a veces forman cristales quirales, pero las moléculas quirales siempre forman cristales quirales, en uno de los grupos espaciales que lo permiten.

Entre los 65 grupos de Sohncke hay 22 que vienen en 11 pares enantiomórficos.

Combinaciones

Solo son posibles ciertas combinaciones de elementos de simetría en un grupo espacial. Las traducciones siempre están presentes y el grupo espacial P1 solo tiene traducciones y el elemento de identidad. La presencia de espejos también implica planos de deslizamiento, y la presencia de ejes de rotación también implica ejes de tornillo, pero lo contrario no es cierto. Una inversión y un espejo implican ejes de tornillo dobles, y así sucesivamente.

Notación

Existen al menos diez métodos para nombrar grupos espaciales. Algunos de estos métodos pueden asignar varios nombres diferentes al mismo grupo espacial, por lo que en total hay miles de nombres diferentes.

Número: La Unión Internacional de Cristalografía publica tablas de todos los tipos de grupos espaciales y asigna cada uno un número único de 1 a 230. La numeración es arbitraria, excepto que los grupos con el mismo sistema de cristal o grupo de puntos reciben números consecutivos.

Notación de símbolos internacionales

Notación Hermann-Mauguin

La notación Hermann-Mauguin (o internacional) describe la celosía y algunos generadores para el grupo. Tiene una forma acortada llamada símbolo corto internacional, que es el más utilizado en la cristalografía, y generalmente consiste en un conjunto de cuatro símbolos. El primero describe el centro de la celosa Bravais (P, A, C, I, R o F). Los tres siguientes describen la operación de simetría más prominente visible cuando se proyecta a lo largo de una de las direcciones de simetría alta del cristal. Estos símbolos son los mismos que se utilizan en grupos de puntos, con la adición de planos de deslizamiento y eje de tornillo, descritos anteriormente. Por ejemplo, el grupo espacial de cuarzo es P3₁21, mostrando que exhibe el centrado primitivo del motivo (es decir, una vez por unidad celular), con un eje de tornillo triple y un eje de rotación doble. Tenga en cuenta que no contiene explícitamente el sistema de cristal, aunque esto es único para cada grupo espacial (en el caso de P3₁21, es trigonal).

En el cortocircuito internacional el primer símbolo (3₁ en este ejemplo) denota la simetría a lo largo del eje mayor (c-axis en casos trigonos), el segundo (2 en este caso) a lo largo de ejes de importancia secundaria (a y b) y el tercer símbolo la simetría en otra dirección. En el caso trigonal también existe un grupo espacial P3₁12. En este grupo espacial los ejes dobles no están a lo largo de los ejes a y b sino en una dirección rotada por 30°.

Los símbolos internacionales y los símbolos cortos internacionales para algunos de los grupos espaciales se cambiaron ligeramente entre 1935 y 2002, por lo que varios grupos espaciales tienen 4 símbolos internacionales diferentes en uso.

Las direcciones de visualización de los 7 sistemas de cristal se muestran como sigue.

Posición en el símbolo	Triclinic	Monoclinic	Orthorhombic	Tetragonal	Trigonal	Hexagonal	Cubic
1	—	b	a	c	c	c	a
2	—		b	a	a	a	[111]
3	—		c	[110]	[210]	[210]	[110]

Notación Hall: Notación de grupo espacial con origen explícito. Los símbolos de rotación, traducción y axis-direction están claramente separados y los centros de inversión están explícitamente definidos. La construcción y el formato de la notación lo hacen particularmente adecuado para la generación informática de información de simetría. Por ejemplo, el grupo número 3 tiene tres símbolos Hall: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
Schönflies notation: Los grupos espaciales con grupo de puntos dados están numerados por 1, 2, 3,... (en el mismo orden que su número internacional) y este número se añade como un superscript al símbolo Schönflies para el grupo de puntos. Por ejemplo, grupos números 3 a 5 cuyo grupo de puntos es C₂ tienen símbolos Schönflies C¹
₂, C²
₂, C³
₂.

Notación Fedorov

Símbolo Shubnikov

Designación de Strukturbericht

Una notación relacionada para estructuras de cristal dada una carta e índice: A Elementos (monatomic), B para compuestos AB, C para AB₂ compuestos, D A_mB_n compuestos, ()E, F,... K Compuestos más complejos), L Aleaciones, O Compuestos orgánicos, S Silicatos. Algunas designaciones de estructura comparten los mismos grupos espaciales. Por ejemplo, el grupo espacial 225 es A₁, B₁, y C₁. Grupo espacial 221 es A_h, y B₂. Sin embargo, los cristalólogos no utilizarían la notación Strukturbericht para describir el grupo espacial, sino que se utilizaría para describir una estructura de cristal específica (por ejemplo, grupo espacial + arreglo atómico (motivo)).

Notación oral (2D)

Notación de compilación (3D)

Como sugiere el nombre, la notación orbifold describe el orbifold, dado por el cociente del espacio euclidiano por el grupo espacial, en lugar de generadores del grupo espacial. Fue introducido por Conway y Thurston, y no se utiliza mucho fuera de las matemáticas. Algunos de los grupos espaciales tienen varios tipos diferentes asociados a ellos, así que tienen varios símbolos diferentes.

Coxeter notation: Grupos de simetría espacial y de puntos, representados como modificaciones de los grupos de Coxeter reflejo puro.
Notación geométrica: Una notación de álgebra geométrica.

Sistemas de clasificación

Hay (al menos) 10 formas diferentes de clasificar grupos espaciales en clases. Las relaciones entre algunos de ellos se describen en la siguiente tabla. Cada sistema de clasificación es un refinamiento de los que se encuentran debajo. Para comprender una explicación dada aquí, puede que sea necesario comprender la siguiente.

(Crystallographic) space group types (230 in three dimensions)
Dos grupos espaciales, considerados como subgrupos del grupo de transformaciones afines del espacio, tienen el mismo tipo de grupo espacial si son el mismo hasta una transformación afinada del espacio que preserva la orientación. Por ejemplo, un cambio de ángulo entre vectores de traducción no afecta al tipo de grupo espacial si no añade o elimina ninguna simetría. Una definición más formal implica conjugación (ver grupo de simetría). En tres dimensiones, para 11 de los grupos espaciales de ataúdes, no hay mapa de orientación (es decir, orientación-preservación) del grupo a su imagen del espejo, por lo que si uno distingue grupos de sus imágenes del espejo estos se dividen en dos casos (como P4)₁ y P4₃). Así que en lugar de los 54 grupos espaciales afines que preservan la quiridad hay 54 + 11 = 65 tipos de grupos espaciales que preservan la quiridad (los grupos Sohncke). Para la mayoría de los cristales quiral, los dos enantiomorfos pertenecen al mismo grupo espacial cristalino, como P2₁3 para FeSi, pero para otros, como el cuarzo, pertenecen a dos grupos espaciales enantiomorfos.
Tipos de grupo espacial fino (219 en tres dimensiones)
Dos grupos espaciales, considerados como subgrupos del grupo de transformaciones afines del espacio, tienen el mismo tipo de grupo espacial afine si son el mismo hasta una transformación afinada, incluso si eso invierte la orientación. El tipo de grupo espacial affine es determinado por el grupo abstracto subyacente del grupo espacial. En tres dimensiones, Cincuenta y cuatro de los grupos espaciales de afinidad conservan la quiralidad y dan cristales chiral. Los dos enantiomorfos de un cristal quiral tienen el mismo grupo espacial afine.
Clases de cristal aritmético (73 en tres dimensiones)
A veces se llama clase Z. Estos son determinados por el grupo de puntos junto con la acción del grupo de puntos en el subgrupo de traducciones. En otras palabras, las clases de cristal aritmético corresponden a clases de conjugación de subgrupo finito del grupo lineal general GL_n()ZSobre los enteros. Un grupo espacial se llama simmorfo (o división) si hay un punto tal que todas las simetrías son el producto de una simetría fijando este punto y una traducción. Equivalentemente, un grupo espacial es simórfico si se trata de un producto semidirecto de su grupo de puntos con su subgrupo de traducción. Hay 73 grupos espaciales simórficos, con exactamente uno en cada clase de cristal aritmético. También hay 157 tipos de grupos espaciales no simmorfos con números variados en las clases de cristal aritmético. Las clases de cristal aritméticas pueden interpretarse como diferentes orientaciones de los grupos de puntos en la rejilla, con los componentes de matriz de elementos de grupo que se limitan a tener coeficientes enteros en el espacio de la rejilla. Esto es bastante fácil de imaginar en el caso bidimensional del grupo de papel pintado. Algunos de los grupos de puntos tienen reflejos, y las líneas de reflexión pueden estar a lo largo de las direcciones de celo, a mitad de camino entre ellos, o ambos. Ninguno: C₁: p1; C₂: p2; C₃: p3; C₄p4; C₆: p6 A lo largo de: D₁: pm, pg; D₂: pmm, pmg, pgg; D₃: p31m Entre: D₁: cm; D₂: cmm; D₃: p3m1 Ambos: D₄: p4m, p4g; D₆: p6m
Clases de cristal (32 en tres dimensiones)	Rebaños de Bravais (14 en tres dimensiones)
A veces se llama clase Q. La clase de cristal de un grupo espacial está determinada por su grupo de puntos: el cociente por el subgrupo de traducciones, actuando en la rejilla. Dos grupos espaciales están en la misma clase de cristal si y sólo si sus grupos de puntos, que son subgrupos de GL_n()Z), son conjugados en el grupo más grande GL_n()Q).	Estos son determinados por el tipo de celosía Bravais subyacente. Estos corresponden a clases de conjugación de grupos de puntos de celo en GL_n()Z), donde el grupo de puntos de celo es el grupo de simetrías de la rejilla subyacente que fija un punto de la rejilla, y contiene el grupo de puntos.
Sistemas de cristal (7 en tres dimensiones)	Sistemas de celos (7 en tres dimensiones)
Los sistemas de cristal son una modificación ad hoc de los sistemas de celosía para que sean compatibles con la clasificación según grupos de puntos. Ellos difieren de las familias cristalinas en que la familia de cristal hexagonal se divide en dos subconjuntos, llamados sistemas de cristal trigono y hexagonal. El sistema de cristal trigono es más grande que el sistema de celosía rhombohedral, el sistema de cristal hexagonal es más pequeño que el sistema de celos hexagonales, y los sistemas de cristal restante y de celo son los mismos.	El sistema de celosía de un grupo espacial está determinado por la clase de conjugación del grupo de puntos de celo (un subgrupo de GL_n()Z) en el grupo más grande GL_n()Q). En tres dimensiones el grupo de puntos de tracción puede tener una de las 7 órdenes diferentes 2, 4, 8, 12, 16, 24 o 48. La familia hexagonal de cristal se divide en dos subconjuntos, llamados los sistemas de retícula y hexagonal.
Familias de cristal (6 en tres dimensiones)
El grupo de puntos de un grupo espacial no determina su sistema de celosía, porque ocasionalmente dos grupos espaciales con el mismo grupo de puntos pueden estar en diferentes sistemas de celosía. Las familias cristalinas se forman a partir de sistemas de celosía fusionando los dos sistemas de celos cuando esto sucede, de modo que la familia cristalina de un grupo espacial sea determinada por su sistema de celosía o su grupo de puntos. En 3 dimensiones las únicas dos familias celosas que se fusionan de esta manera son los sistemas de celo hexagonal y romboedral, que se combinan en la familia de cristal hexagonal. Las 6 familias de cristal en 3 dimensiones se denominan triclínicas, monoclínicas, ortoróbicas, tetragonales, hexagonales y cúbicas. Las familias de cristal se utilizan comúnmente en libros populares sobre cristales, donde a veces se llaman sistemas de cristal.

Conway, Delgado Friedrichs y Huson et al. (2001) dieron otra clasificación de los grupos espaciales, llamada notación fibríptica, según las estructuras fibrípticas en el orbifold correspondiente. Dividieron los 219 grupos espaciales afines en grupos reducibles e irreducibles. Los grupos reducibles se dividen en 17 clases correspondientes a los 17 grupos de papel tapiz, y los 35 grupos irreducibles restantes son los mismos que los grupos cúbicos y se clasifican por separado.

En otras dimensiones

Did you mean:

Bieberbach 's theorems

En n dimensiones, un grupo espacial afín, o grupo de Bieberbach, es un subgrupo discreto de isometrías del espacio euclidiano n-dimensional con un dominio fundamental compacto. Bieberbach (1911, 1912) demostró que el subgrupo de traducciones de cualquier grupo contiene n traducciones linealmente independientes, y es un subgrupo abeliano libre de índice finito, y también es el único subgrupo abeliano normal máximo único. También demostró que en cualquier dimensión n sólo hay un número finito de posibilidades para la clase de isomorfismo del grupo subyacente de un grupo espacial y, además, la acción del grupo en el espacio euclidiano es única hasta conjugación por transformaciones afines. Esto responde a parte del decimoctavo problema de Hilbert. Zassenhaus (1948) demostró que, a la inversa, cualquier grupo que sea la extensión de Zⁿ por un grupo finito que actúa fielmente es un grupo espacial afín. La combinación de estos resultados muestra que clasificar grupos espaciales en n dimensiones hasta la conjugación mediante transformaciones afines es esencialmente lo mismo que clasificar clases de isomorfismo para grupos que son extensiones de Z^{< en} por un grupo finito que actúa fielmente.

Es esencial en los teoremas de Bieberbach asumir que el grupo actúa como isometrías; los teoremas no se generalizan a grupos cocompactos discretos de transformaciones afines del espacio euclidiano. Un contraejemplo lo da el grupo tridimensional de Heisenberg de los números enteros que actúa mediante traslaciones sobre el grupo Heisenberg de los reales, identificado con el espacio euclidiano tridimensional. Este es un grupo cocompacto discreto de transformaciones afines del espacio, pero no contiene un subgrupo Z³.

Clasificación en pequeñas dimensiones

Esta tabla proporciona la cantidad de tipos de grupos espaciales en dimensiones pequeñas, incluida la cantidad de varias clases de grupos espaciales. Los números de pares enantiomórficos se dan entre paréntesis.

Dimensiones	Familias de cristal, OEIS secuencia A004032	Sistemas de cristal, OEIS secuencia A004031	Bravais lattices, OEIS secuencia A256413	Grupos de puntos cristalinos abstractos, OEIS secuencia A006226	Clases de cristal geométrico, clase Q, grupos de puntos cristalinos, OEIS secuencia A004028	Clases de cristal aritméticas, Clases Z, OEIS secuencia A004027	Afina tipos de grupos espaciales, OEIS secuencia A004029	Tipos de grupo espacial cristalino, OEIS secuencia A006227
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	2	2	2	2	2
2	4	4	5	9	10	13	17	17
3	6	7	14	18	32	73	219 (+11)	230
4	23 (+6)	33 (+7)	64 (+10)	118	227 (+44)	710 (+70)	4783 (+111)	4894
5	32	59	189	239	955	6079	222018 (+79)	222097
6	91	251	841	1594	7103	85308 (+?)	28927915 (+?)	?

^ Trivial group
^ Uno es el grupo de enteros y el otro es el grupo dihedral infinito; vea grupos de simetría en una dimensión.
^ Éstos Grupos espaciales 2D también se llaman grupos de papel pintado o grupos de aviones.
^ En 3D, hay 230 tipos de grupos espaciales cristalinos, que reducen a 219 tipos de grupos espaciales afines debido a que algunos tipos son diferentes de su imagen espejo; se dice que difieren por carácter enantiomorfo (por ejemplo, P3₁12 y P3₂12). Normalmente grupo espacial se refiere a 3D. Fueron enumerados independientemente por Barlow (1894), Fedorov (1891a) y Schönflies (1891).
^ Los 4895 grupos de 4 dimensiones fueron enumerados por Harold Brown, Rolf Bülow, y Joachim Neubüser et al. (1978) Neubüser, Souvignier & Wondratschek (2002) corrigieron el número de grupos enantiomorfos de 112 a 111, por lo que el número total de grupos es 4783 + 111 = 4894. Hay 44 grupos de puntos enantiomórficos en el espacio dimensional. Si consideramos grupos enantiomorfos como diferentes, el número total de grupos de puntos es 227 + 44 = 271.
^ Plesken " Schulz (2000) enumera los de la dimensión 5. Souvignier (2003) contó los enantiomorfos.
^ Plesken " Schulz (2000) enumera los de la dimensión 6, después se encontraron las cifras corregidas. Inicialmente publicado número de 826 tipos Lattice en Plesken " Hanrath (1984) fue corregido a 841 en Opgenorth, Plesken " Schulz (1998). Véase también Janssen y otros (2002). Souvignier (2003) contó los enantiomorfos, pero ese documento se basó en viejos datos erróneos de CARAT para la dimensión 6.

Grupos magnéticos e inversión del tiempo

Además de los grupos espaciales cristalográficos, también existen grupos espaciales magnéticos (también llamados grupos cristalográficos de dos colores (blanco y negro) o grupos Shubnikov). Estas simetrías contienen un elemento conocido como inversión del tiempo. Tratan el tiempo como una dimensión adicional, y los elementos del grupo pueden incluir la inversión del tiempo como reflejo en él. Son de importancia en estructuras magnéticas que contienen espines no apareados ordenados, es decir, estructuras ferro, ferri o antiferromagnéticas estudiadas por difracción de neutrones. El elemento de inversión de tiempo invierte un giro magnético dejando todas las demás estructuras iguales y se puede combinar con otros elementos de simetría. Incluyendo la inversión del tiempo, hay 1651 grupos espaciales magnéticos en 3D (Kim 1999, p.428). También ha sido posible construir versiones magnéticas para otras dimensiones generales y de red (artículos de Daniel Litvin, (Litvin 2008), (Litvin 2005)). Los grupos de friso son grupos de líneas magnéticas 1D y los grupos de capas son grupos de papel tapiz magnético, y los grupos de puntos axiales 3D son grupos de puntos magnéticos 2D. Número de grupos originales y magnéticos por dimensión (general, reticular): (Palistrant 2012) (Souvignier 2006)

En general dimensión	Lattice dimensión	Grupos ordinarios			Grupos magnéticos
En general dimensión	Lattice dimensión	Nombre	Signatura	Conde	Signatura	Conde
0	0	Grupo de simetría dimensional	$G_{0}$	1	${displaystyle G_{0}^{1}}$	2
1	0	Grupos de puntos únicos	$G_{{10}}$	2	${displaystyle G_{10}^{1}}$	5
1	1	Grupos de simetría discreta de una dimensión	$G_{1}$	2	${displaystyle G_{1}^{1}}$	7
2	0	Grupos de puntos bidimensionales	${displaystyle G_{20}}$	10	${displaystyle G_{20}^{1}}$	31
	1	Grupos frisos	${displaystyle G_{21}}$	7	${displaystyle G_{21}^{1}}$	31
	2	Grupos de papel pintado	$G_{2}$	17	${displaystyle G_{2}^{1}}$	80
3	0	Grupos de puntos tridimensionales	${displaystyle G_{30}}$	32	${displaystyle G_{30}^{1}}$	122
	1	Grupos	${displaystyle G_{31}}$	75	${displaystyle G_{31}^{1}}$	394
	2	Grupos de capas	${displaystyle G_{32}}$	80	${displaystyle G_{32}^{1}}$	528
	3	Grupos espaciales tridimensionales	${displaystyle G_{3}}$	230	${displaystyle G_{3}^{1}}$	1651
4	0	Grupos de puntos de cuatro dimensiones	${displaystyle G_{40}}$	271	${displaystyle G_{40}^{1}}$	1202
	1		${displaystyle G_{41}}$	343
	2		${displaystyle G_{42}}$	1091
	3		${displaystyle G_{43}}$	1594
	4	Grupos de simetría discreta de cuatro dimensiones	$G_{4}$	4894	${displaystyle G_{4}^{1}}$	62227

Tabla de grupos espaciales en 2 dimensiones (grupos de fondos de pantalla)

Tabla de los grupos de papel tapiz utilizando la clasificación de los grupos espaciales bidimensionales:

Sistema de cristal, Bravais lattice	Clase geométrica, grupo de puntos					Arithmetic clase	Grupos de papel pintado (esquema de células)
Sistema de cristal, Bravais lattice	Int'l	Schön.	Orbifold	Cox.	Ord.	Arithmetic clase	Grupos de papel pintado (esquema de células)
Oblicua	1	C₁	1)	[ ]⁺	1	Ninguno	p1 1)
Oblicua	2	C₂	(22)	[2]⁺	2	Ninguno	p2 (2222)
Rectangular	m	D₁	(*)	[ ]	2	Juntos	pm (**)	pg (××)
Rectangular	2mm	D₂	(*22)	[2]	4	Juntos	pm (*22222)	pmg (22*)
Centro rectangular	m	D₁	(*)	[ ]	2	Entre	cm (*×)
Centro rectangular	2mm	D₂	(*22)	[2]	4	Entre	cm (2*22)	Pgg (22×)
Plaza	4	C₄	(44)	[4]⁺	4	Ninguno	p4 (442)
Plaza	4mm	D₄	(*44)	[4]	8	Ambos	p4m (*442)	p4g (4*2)
Hexagonal	3	C₃	(33)	[3]⁺	3	Ninguno	p3 (333)
	3m	D₃	(*33)	[3]	6	Entre	p3m1 (*333)	p31m (3*3)
	6	C₆	(66)	[6]⁺	6	Ninguno	p6 (632)
	6mm	D₆	(*66)	[6]	12	Ambos	p6m (*632)

Para cada clase geométrica, las posibles clases aritméticas son

Ninguna: ninguna línea de reflexión
A lo largo: líneas de reflexión a lo largo de las direcciones de celo
Entre: líneas de reflexión a mitad de camino entre direcciones de celo
Ambos: líneas de reflexión tanto a lo largo como entre direcciones de celo

Tabla de grupos espaciales en 3 dimensiones

No	Sistema de cristal, (contable), Bravais lattice	Grupo de puntos					Grupos espaciales (símbolo corto internacional)
No	Sistema de cristal, (contable), Bravais lattice	Int'l	Schön.	Orbifold	Cox.	Ord.	Grupos espaciales (símbolo corto internacional)
1	Triclinic 2)	1	C₁	11	[ ]⁺	1	P1
2	Triclinic 2)	1	C_i	1×	[2]⁺,2⁺]	2	P1
3 a 5	Monoclinic (13)	2	C₂	22	[2]⁺	2	P2, P2₁ C2
6 a 9		m	C_s	*11	[ ]	2	Pm, Pc Cm, Cc
10 a 15		2/m	C_2h	2*	[2,2]⁺]	4	P2/m, P2₁/m C2/m, P2/c, P2₁/c C2/c
16 a 24	Orthorhombic (59)	222	D₂	222	[2,2]⁺	4	P222, P222₁, P2₁2₁2, P2₁2₁2₁, C222₁, C222, F222, I222, I2₁2₁2₁
25 a 46		mm2	C_2v	*22	[2]	4	Pmm2, Pmc2₁, Pcc2, Pma2, Pca2₁, Pnc2, Pmn2₁, Pba2, Pna2₁, Pnn2 Cmm2, Cmc2₁, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2 Fmm2, Fdd2 Imm2, Iba2, Ima2
47 a 74		mmm	D_2h	*222	[2,2]	8	Pmmm, Pnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce Fmmm, Fddd Immm, Ibam, Ibca, Imma
75 a 80	Tetragonal (68)	4	C₄	44	[4]⁺	4	P4, P4₁, P4₂, P4₃, I4, I4₁
81–82		4	S₄	2×	[2]⁺,4⁺]	4	P4, I4
83-88		4/m	C_4h	4*	[2,4]⁺]	8	P4/m, P4₂/m, P4/n, P4₂/n I4/m, I4₁/a
89 a 98		422	D₄	224	[2,4]⁺	8	P422, P42₁2, P4₁22, P4₁2₁2, P4₂22, P4₂2₁2, P4₃22, P4₃2₁2 I422, I4₁22
99–110		4mm	C_4v	*44	[4]	8	P4mm, P4bm, P4₂cm, P4₂nm, P4cc, P4nc, P4₂mc, P4₂bc I4mm, I4cm, I4₁md, I4₁cd
111–122		42m	D_2d	2*2	[2]⁺,4]	8	P42m, P42c, P42₁m, P42₁c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2 I4m2, I4c2, I42m, I42d
123–142		4/mmm	D_4h	*224	[2,4]	16	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P4/ncc, P4₂/mmc, P4₂/mcm, P4₂/nbc, P4₂/nnm, P4₂/mbc, P4₂/mnm, P4₂/nmc, P4₂/ncm I4/mmm, I4/mcm, I4₁/amd, I4₁/acd
143–146	Trigonal (25)	3	C₃	33	[3]⁺	3	P3, P3₁, P3₂ R3
147–148		3	S₆	3×	[2]⁺,6⁺]	6	P3, R3
149–155		32	D₃	223	[2,3]⁺	6	P312, P321, P3₁12, P3₁21, P3₂12, P3₂21 R32
156 a 161		3m	C_3v	*33	[3]	6	P3m1, P31m, P3c1, P31c R3m, R3c
162-167		3m	D_3d	2*3	[2]⁺,6]	12	P31m, P31c, P3m1, P3c1 R3m, R3c
168–173	Hexagonal (27)	6	C₆	66	[6]⁺	6	P6, P6₁, P6₅, P6₂, P6₄, P6₃
174		6	C_3h	3*	[2,3]⁺]	6	P6
175–176		6/m	C_6h	6*	[2,6]⁺]	12	P6/m, P6₃/m
177–182		622	D₆	226	[2,6]⁺	12	P622, P6₁22, P6₅22, P6₂22, P6₄22, P6₃22
183–186		6mm	C_6v	*66	[6]	12	P6mm, P6cc, P6₃cm, P6₃mc
187–190		6m2	D_3h	*223	[2,3]	12	P6m2, P6c2, P62m, P62c
191–194		6/mmm	D_6h	*226	[2,6]	24	P6/mmm, P6/mcc, P6₃/mcm, P6₃/mmc
195–199	Cubic (36)	23	T	332	[3,3]⁺	12	P23, F23, I23 P2₁3, I2₁3
200–206		m3	T_h	3*2	[3]⁺,4]	24	Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
207–214		432	O	432	[3,4]⁺	24	P432, P4₂32 F432, F4₁32 I432 P4₃32, P4₁32, I4₁32
215–220		43m	T_d	*332	[3,3]	24	P43m, F43m, I43m P43n, F43c, I43d
221–230		m3m	O_h	*432	[3,4]	48	Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m F m3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c Im3m, Ia3d

Nota: Un avión e es un avión de doble planeo, uno que se desliza en dos direcciones diferentes. Se encuentran en siete grupos espaciales ortorrómbicos, cinco tetragonales y cinco cúbicos, todos con red centrada. El uso del símbolo e se hizo oficial con Hahn (2002).

El sistema reticular se puede encontrar de la siguiente manera. Si el sistema cristalino no es trigonal entonces el sistema reticular es del mismo tipo. Si el sistema cristalino es trigonal, entonces el sistema reticular es hexagonal a menos que el grupo espacial sea uno de los siete en el sistema reticular romboédrico que consta de los 7 grupos espaciales trigonales en la tabla anterior cuyo nombre comienza con R. (El término sistema romboédrico es también se utiliza a veces como nombre alternativo para todo el sistema trigonal.) El sistema de red hexagonal es más grande que el sistema cristalino hexagonal y consta del sistema cristalino hexagonal junto con los 18 grupos del sistema cristalino trigonal distintos de los siete cuyos nombres comienzan con R.

La red de Bravais del grupo espacial está determinada por el sistema de red junto con la letra inicial de su nombre, que para los grupos no romboédricos es P, I, F, A o C, que representa la principal, centrada en el cuerpo., celosías centradas en la cara, centradas en la cara A o centradas en la cara C. Hay siete grupos espaciales romboédricos, con la letra inicial R.

Derivación de la clase de cristal del grupo espacial

Deje fuera el tipo Bravais
Convertir todos los elementos de simetría con componentes de traducción en sus respectivos elementos de simetría sin simetría de traducción (Los aviones de deslizamiento se convierten en simples planos de espejo; los ejes de tornillo se convierten en simples ejes de rotación)
Los ejes de rotación, ejes de rotoinversión y planos de espejo permanecen inalterados.

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