Grupo electrógeno de un grupo

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Abstract algebra concepto

Las 5a raíces de la unidad en el plano complejo forman un grupo bajo la multiplicación. Cada elemento de no identidad genera el grupo.

En álgebra abstracta, un conjunto generador de un grupo es un subconjunto del conjunto del grupo tal que cada elemento del grupo se puede expresar como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversas.

En otras palabras, si S es un subconjunto de un grupo G, entonces ⟨S⟩, el subgrupo generado por S, es el subgrupo más pequeño de G que contiene todos los elementos de S, que es igual a la intersección de todos los subgrupos que contienen los elementos de S; de manera equivalente, ⟨S⟩ es el subgrupo de todos los elementos de G que se puede expresar como el producto finito de elementos en S y sus inversos. (Tenga en cuenta que los inversos solo son necesarios si el grupo es infinito; en un grupo finito, el inverso de un elemento se puede expresar como una potencia de ese elemento).

Si G = ⟨S⟩, entonces decimos que S genera G, y los elementos en S se llaman generadores o generadores de grupo. Si S es el conjunto vacío, entonces ⟨S⟩ es el grupo trivial {e}, ya que consideramos que el producto vacío es la identidad.

Cuando hay un solo elemento x en S, ⟨S⟩ generalmente se escribe como ⟨x⟩. En este caso, ⟨x⟩ es el subgrupo cíclico de las potencias de x, un grupo cíclico, y decimos que este grupo es generado por x. Equivalente a decir que un elemento x genera un grupo es decir que ⟨x⟩ es igual a todo el grupo G. Para grupos finitos, también es equivalente a decir que x tiene orden |G|.

Un grupo puede necesitar un número infinito de generadores. Por ejemplo, el grupo aditivo de números racionales Q no se genera de forma finita. Se genera por los inversos de todos los enteros, pero cualquier número finito de estos generadores puede ser sustraído del grupo electrógeno sin que éste deje de ser un grupo electrógeno. En un caso como este, todos los elementos de un grupo electrógeno son, no obstante, "elementos no generadores", como lo son de hecho todos los elementos del grupo completo − véase el subgrupo #Frattini a continuación.

Si G es un grupo topológico, entonces un subconjunto S de G se denomina conjunto de generadores topológicos si ⟨S⟩ es denso en G, es decir, la clausura de ⟨S⟩ es todo el grupo G.

Grupo generado finitamente

Si S es finito, entonces un grupo $G = ⟨ S ⟩$ es llamado generado finitamente. La estructura de los grupos abelianos generados finitamente en particular se describe fácilmente. Muchos teoremas que son verdaderos para grupos generados finitamente fallan para grupos en general. Se ha demostrado que si un subconjunto S genera un grupo finito, entonces cada elemento del grupo puede expresarse como una palabra del alfabeto S de longitud menor o igual que el orden del grupo.

Todo grupo finito se genera finitamente desde $⟨ G ⟩ = G$ . Los enteros bajo la suma son un ejemplo de un grupo infinito que se genera finitamente tanto por 1 como por -1, pero el grupo de racionales bajo la suma no se puede generar finitamente. Ningún grupo incontable puede generarse finitamente. Por ejemplo, el grupo de números reales bajo suma, (R, +).

Diferentes subconjuntos de un mismo grupo pueden generar subconjuntos. Por ejemplo, si p y q son números enteros con $gcd(p, q) = 1$ , entonces ${p, q}$ también genera el grupo de enteros bajo suma por La identidad de Bézout.

Si bien es cierto que cada cociente de un grupo generado finitamente se genera finitamente (las imágenes de los generadores en el cociente dan un conjunto generador finito), un subgrupo de un grupo generado finitamente no necesita generarse finitamente. Por ejemplo, sea G el grupo libre en dos generadores, x y y (que claramente se genera de forma finita, ya que G = ⟨{x,y}⟩), y sea S el subconjunto formado por todos los elementos de G de la forma yⁿxy⁻ⁿ por n un número natural. ⟨S⟩ es isomorfo al grupo libre en infinitos generadores contables, por lo que no puede generarse finitamente. Sin embargo, cada subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado es en sí mismo finitamente generado. De hecho, se puede decir más: la clase de todos los grupos generados finitamente se cierra bajo extensiones. Para ver esto, tome un conjunto generador para el subgrupo normal (generado finitamente) y el cociente. Entonces los generadores del subgrupo normal, junto con las preimágenes de los generadores del cociente, generan el grupo.

Ejemplos

El grupo multiplicador de enteros modulo 9, $U 9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$ , es el grupo de todos los enteros relativamente primo a 9 bajo la multiplicación $mod. 9$ . Nota que 7 no es un generador de $U 9$ , desde
${displaystyle {7^{i}{bmod {9}} | iin mathbb {N} }={7,4,1},}$
mientras que 2 es, desde
${displaystyle {2^{i}{bmod {9}} | iin mathbb {N} }={2,4,8,7,5,1}.}$

Por otro lado, S_n, el grupo simétrico de grado n, no se genera por ningún elemento (no es cíclico) cuando n ■ 2. Sin embargo, en estos casos S_n siempre puede ser generado por dos permutaciones que se escriben en la notación del ciclo como (1 2) y $(1 2 3... n)$ . Por ejemplo, los 6 elementos de S₃ se puede generar de los dos generadores, (1 2) y (1 2 3), como se muestra por el lado derecho de las siguientes ecuaciones (la composición es izquierda a derecha):

e = (1 2)(1 2)

(1 2) = 1 2)

(1 3) = 1 2) (1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

Los grupos infinitos también pueden tener grupos generadores finitos. El grupo aditivo de enteros tiene 1 como conjunto generador. El elemento 2 no es un conjunto generador, ya que los números impares faltarán. El subconjunto de dos elementos ${3, 5}$ es un conjunto generador, ya que $(5) - + 3 + 3 = 1$ (de hecho, cualquier par de números de coprime es, como consecuencia de la identidad de Bézout).

El grupo dihedral de un n-gon (que tiene orden $2n$ ) se genera por el conjunto ${} r, s}$ , donde $r$ representa la rotación $2 π / n$ y $s$ es cualquier reflexión a través de una línea de simetría.

El grupo cíclico de orden $n$ , $mathbb {Z} /nmathbb {Z}$ , y el $n$ ^T Las raíces de la unidad son generadas por un solo elemento (de hecho, estos grupos son isomorfos entre sí).

Una presentación de un grupo se define como un conjunto de generadores y una colección de relaciones entre ellos, por lo que cualquiera de los ejemplos enumerados en esa página contiene ejemplos de conjuntos de generación.

Grupo libre

El grupo más general generado por un conjunto S es el grupo generado libremente por S. Cada grupo generado por S es isomorfo a un cociente de este grupo, característica que se utiliza en la expresión de la presentación de un grupo.

Subgrupo Frattini

Un tema complementario interesante es el de los no generadores. Un elemento x del grupo G no es generador si todo conjunto S que contiene x genera G, aún genera G cuando x se elimina de S. En los enteros con suma, el único no generador es 0. El conjunto de todos los no generadores forma un subgrupo de G, el subgrupo Frattini.

Semigrupos y monoides

Si G es un semigrupo o un monoide, todavía se puede usar la noción de un conjunto generador S de G. S es un conjunto generador de semigrupo/monoide de G si G es el semigrupo/monoide más pequeño que contiene S.

Las definiciones de conjunto generador de un grupo que usa sumas finitas, dadas anteriormente, deben modificarse ligeramente cuando se trata de semigrupos o monoides. De hecho, esta definición ya no debería usar la noción de operación inversa. Se dice que el conjunto S es un conjunto generador de semigrupos de G si cada elemento de G es una suma finita de elementos de S . De manera similar, se dice que un conjunto S es un conjunto generador monoide de G si cada elemento distinto de cero de G es una suma finita de elementos de S.

Por ejemplo {1} es un generador monoide del conjunto de números naturales no negativos $mathbb N_0$ . El conjunto {1} es también un generador semigrupo de los números naturales positivos $0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">N■0{displaystyle mathbb {N} _{}0}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b4e184f316510e0fff0574407c12e5f470b4f1" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.011ex; height:2.509ex;"/>$ . Sin embargo, el entero 0 no se puede expresar como una suma (no vacía) de 1s, por lo tanto {1} no es un generador semigrupo de los números naturales no negativos.

Del mismo modo, mientras {1} es un generador de grupo del conjunto de enteros $mathbb {Z}$ No es un generador monoide del conjunto de enteros. De hecho, el entero – 1 no puede ser expresado como una suma finita de 1s.

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