![{displaystyle {begin{matrix}mathrm {r} _{0}=left({begin{smallmatrix}1&0\[0.2em]0&1end{smallmatrix}}right),&mathrm {r} _{1}=left({begin{smallmatrix}0&-1\[0.2em]1&0end{smallmatrix}}right),&mathrm {r} _{2}=left({begin{smallmatrix}-1&0\[0.2em]0&-1end{smallmatrix}}right),&mathrm {r} _{3}=left({begin{smallmatrix}0&1\[0.2em]-1&0end{smallmatrix}}right),\[1em]mathrm {s} _{0}=left({begin{smallmatrix}1&0\[0.2em]0&-1end{smallmatrix}}right),&mathrm {s} _{1}=left({begin{smallmatrix}0&1\[0.2em]1&0end{smallmatrix}}right),&mathrm {s} _{2}=left({begin{smallmatrix}-1&0\[0.2em]0&1end{smallmatrix}}right),&mathrm {s} _{3}=left({begin{smallmatrix}0&-1\[0.2em]-1&0end{smallmatrix}}right).end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72296b4c5f5de93a62ee7d535c60589b3da46cb)
![{displaystyle {begin{aligned}mathrm {r} _{k}&={begin{pmatrix}cos {frac {2pi k}{n}}&-sin {frac {2pi k}{n}}\sin {frac {2pi k}{n}}&cos {frac {2pi k}{n}}end{pmatrix}} {text{and}}\[5pt]mathrm {s} _{k}&={begin{pmatrix}cos {frac {2pi k}{n}}&sin {frac {2pi k}{n}}\sin {frac {2pi k}{n}}&-cos {frac {2pi k}{n}}end{pmatrix}}.end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df538c73fe0c524d36aebb6da4a6b9df94c97db)
![{displaystyle mathrm {r} _{1}={begin{bmatrix}cos {2pi over n}&-sin {2pi over n}\[4pt]sin {2pi over n}&cos {2pi over n}end{bmatrix}}qquad mathrm {s} _{0}={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bff7dfa39121ba3bd82f144fa7b762715e93c7)
Conjetura de Collatz
La conjetura de Collatz es uno de los problemas matemáticos sin resolver más famosos. La conjetura pregunta si la repetición de dos operaciones... (leer más)
Grupo diedro
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El grupo de simetría de un copo de nieve es D6, una simetría dihedral, igual que para un hexágono regular.
En matemáticas, un grupo diédrico es el conjunto de simetrías de un polígono regular, que incluye rotaciones y reflexiones. Los grupos diedros se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos finitos y juegan un papel importante en la teoría de grupos, la geometría y la química.
La notación para el grupo diédrico difiere en geometría y álgebra abstracta. En geometría, Dn o Dihn se refiere a las simetrías del n-ágono, un grupo de orden 2n. En álgebra abstracta, D2n se refiere a este mismo grupo diédrico. Este artículo usa la convención geométrica, Dn.
Definición
Elementos
Los seis ejes de reflexión de un hexágono regular
Un polígono regular con n{displaystyle n} partes 2n{displaystyle 2n} diferentes simetrías: n{displaystyle n} simetrías rotativas y n{displaystyle n} simetrías de reflexión. Por lo general, tomamos n≥ ≥ 3{displaystyle ngeq 3} Aquí. Las rotaciones y reflexiones asociadas conforman el grupo dihedral Dn{displaystyle mathrm {} _{n}. Si n{displaystyle n} es extraño, cada eje de la simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto. Si n{displaystyle n} es incluso, hay n/2{displaystyle n/2} ejes de simetría que conectan los puntos intermedios de los lados opuestos y n/2{displaystyle n/2} ejes de simetría que conectan vértices opuestos. En cualquier caso, hay n{displaystyle n} ejes de simetría y 2n{displaystyle 2n} elementos en el grupo de simetría. Reflejar en un eje de simetría seguido de reflexionar en otro eje de simetría produce una rotación a través del doble del ángulo entre los ejes.
La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de D8{displaystyle mathrm {} _{8} en una señal de parada:
La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de los ocho reflejos, en cada caso actuando sobre la señal de alto con la orientación que se muestra en la parte superior izquierda.
Estructura del grupo
Como con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría de este objeto. Con la composición de simetrías para producir otra como la operación binaria, esto le da a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito.
Las líneas de reflexión etiquetadas S0, S1, y S2 permanecer fijo en el espacio (en la página) y no se mueven ellos mismos cuando una operación de simetría (rotación o reflexión) se hace en el triángulo (esto importa al hacer composiciones de simetrías).
La composición de estas dos reflexiones es una rotación.
La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de la composición en el grupo D3 (las simetrías de un triángulo equilátero). r0 denota la identidad; r1 y r2 indican rotaciones en sentido antihorario de 120° y 240° respectivamente, y s0, s1 y s2 indican reflejos en las tres líneas que se muestran en la imagen adyacente.
| r0 | r1 | r2 | s0 | s1 | s2 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| r0 | r0 | r1 | r2 | s0 | s1 | s2 |
| r1 | r1 | r2 | r0 | s1 | s2 | s0 |
| r2 | r2 | r0 | r1 | s2 | s0 | s1 |
| s0 | s0 | s2 | s1 | r0 | r2 | r1 |
| s1 | s1 | s0 | s2 | r1 | r0 | r2 |
| s2 | s2 | s1 | s0 | r2 | r1 | r0 |
Por ejemplo, s2s1 = r1, porque el reflejo s1 seguido de la reflexión s2 da como resultado una rotación de 120°. El orden de los elementos que denotan la composición es de derecha a izquierda, lo que refleja la convención de que el elemento actúa sobre la expresión a su derecha. La operación de composición no es conmutativa.
En general, el grupo Dn tiene elementos r0,..., rn−1 y s0,..., sn−1, con composición dada por las siguientes fórmulas:
- rirj=ri+j,risj=si+j,sirj=si− − j,sisj=ri− − j.{displaystyle mathrm {r} _{i},mathrm {r} _{j}=mathrm {r} _{i+j},quad mathrm {r} _{i},mathrm {s} _{j}=mathrm {s} _{i+j},quad mathrm {s} _{i},mathrm {r} _{j}=mathrm {s} _{i-j},quad mathrm {s} {} {m} {} {m} {} {m} {}}}}} {m} {m}}} {m}} {m}} {m}}} {}}}}}}} {m} {m} {m}}}m}m}}}}}}m}m} {m} {m} {m} {}}} {}}}} {m} {m}m}cm}m}m}cccH00} {cH00}cH00}cH00}ccH00}}}}cH00}
En todos los casos, la suma y la resta de subíndices se realizarán utilizando aritmética modular con módulo n.
Representación matricial
Las simetrías de este pentágono son transformaciones lineales del plano como espacio vectorial.
Si centramos el polígono regular en el origen, entonces los elementos del grupo diédrico actúan como transformaciones lineales del plano. Esto nos permite representar elementos de Dn como matrices, siendo la composición una multiplicación de matrices. Este es un ejemplo de una representación de grupo (bidimensional).
Por ejemplo, los elementos del grupo D4 se pueden representar mediante las siguientes ocho matrices:
- r0=()1001),r1=()0− − 110),r2=()− − 100− − 1),r3=()01− − 10),s0=()100− − 1),s1=()0110),s2=()− − 1001),s3=()0− − 1− − 10).{0} {0} {0} {0}
En general, las matrices para elementos de Dn tienen la siguiente forma:
- rk=()# 2π π kn− − pecado 2π π knpecado 2π π kn# 2π π kn)ysk=()# 2π π knpecado 2π π knpecado 2π π kn− − # 2π π kn).{displaystyle {begin{aligned}mathrm {r}{k}={begin{pmatrix}cos {frac {2pi} k} {n} {fn} {fnMicroc {2fn}\fn}\\fn}\\fn}\\\fn}\\\\\\\\\fn\\\fn}\\\\\fn\\\\\\\\\fn}\\\\\fn}\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\fn}fn\\\\\\\\\\\fnfn}\\fn}\\fn\fnfn}\fn}fn}fn}fn\\\\\\\\\\\fn {2ccH00} {fn} {fn} {fn}fn} {fn}fn}fn}\\\fn}\fn9}\fn}fn9}\fnK}}\fn}\fn}}\\fnK}nKn}}n}n}n} {n}n}}n}}\n}n}n}n}n}n}}n}}n}\\n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}\\n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fn}\\\fn}\\\fn}\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\ {2ccH00} {fn} {fn}end{pmatrix}}end{aligned}}
rk es una matriz de rotación, que expresa una rotación en sentido antihorario a través de un ángulo de 2πk/ n. sk es un reflejo a través de una línea que forma un ángulo de πk/n con el eje x.
Otras definiciones
Otras definiciones equivalentes de Dn son:
- El grupo con presentación
- Dn=.r,s▪ ▪ ord ()r)=n,ord ()s)=2,srs− − 1=r− − 1.=.r,s▪ ▪ rn=s2=()sr)2=1..{displaystyle {begin{aligned}mathrm {D} _{n} ago=leftlangle mathrm {r}mathrm {s} mid operatorname {ord} (mathrm {r})=n,operatorname {ord} (mathrm {s})=2,mathrm {sr} mathrm {s} {s} {s} {} {}}} {} {}} {}}} {}}}}}}}} {} {} {}} {}}}}} {} {}}} {}}}} {}}}}} {}} {} {}}} {}}} {}}}}}} {}}} {}}}}}}}}} {} {} {}}}} {}}}}} {}}}}}}}} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ^{-1}=mathrm {r} ^{-1}rightrangle \leftlangle mathrm {r,s} mid mathrm {r} ^{n}=mathrm {s} ^{2}==(mathrm {sr})}{2}=1rightrangle}end{aligned}=}=}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m} {m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=m}=
Pequeños grupos diedros
Subgrupos de ejemplo de una simetría hexagonal dihedral
D1 es isomorfo a Z2, el grupo cíclico de orden 2.
D2 es isomorfo a K4, el Klein de cuatro grupos.
D1 y D2 son excepcionales porque:
- D1 y D2 son los únicos grupos dihedral abelios. De lo contrario, Dn no es abeliano.
- Dn es un subgrupo del grupo simétrico Sn para n ≥ 3. Desde 2n ■ n! para n = 1 o n = 2, para estos valores, Dn es demasiado grande para ser un subgrupo.
- El grupo de automorfismo interior D2 es trivial, mientras que para otros valores incluso de n, esto es Dn / Z2.
Los gráficos de ciclo de los grupos diédricos consisten en un ciclo de n-elemento y n ciclos de 2 elementos. El vértice oscuro en los gráficos de ciclo a continuación de varios grupos diédricos representa el elemento de identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consta de potencias sucesivas de cualquiera de los elementos conectados al elemento de identidad.
| D1 = Z2 | D2 = Z22 = K4 | D3 | D4 | D5 |
|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |
| D6 D3 × Z2 | D7 | D8 | D9 | D10 D5 × Z2 |
| D3 = S3 | D4 |
|---|---|
 |  |
El grupo diédrico como grupo de simetría en 2D y grupo de rotación en 3D
Un ejemplo de grupo abstracto Dn, y una forma común de visualizarlo, es el grupo de Euclides isometrías planas que mantienen fijo el origen. Estos grupos forman una de las dos series de grupos puntuales discretos en dos dimensiones. Dn consta de n rotaciones de múltiplos de 360°/n sobre el origen y reflexiones a través de n líneas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de 180°/n entre sí. Este es el grupo de simetría de un polígono regular con n lados (para n ≥ 3; esto se extiende a los casos n = 1 y n = 2 donde tenemos un plano con respectivamente un punto desplazado desde el 'centro' del '1-ágono' y un '2-ágono'. o segmento de línea).
Dn se genera mediante una rotación r de orden n y un reflejo s de orden 2 tal que
- srs=r− − 1{displaystyle mathrm {srs} = 'mathrm {r} ^{-1},}
En términos geométricos: en el espejo una rotación parece una rotación inversa.
En términos de números complejos: multiplicación por e2π π in{displaystyle e^{2pi i over n} y conjugación compleja.
En forma de matriz, configurando
- r1=[# 2π π n− − pecado 2π π npecado 2π π n# 2π π n]s0=[100− − 1]{displaystyle mathrm {r} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {0}={begin{bmatrix}1 {0}}
y definición rj=r1j{displaystyle mathrm {r} _{j}=mathrm {r} _{1}{j}} y sj=rjs0{displaystyle mathrm {s} _{j}=mathrm {r} _{j},mathrm {s} ¿Qué? para j▪ ▪ {}1,...... ,n− − 1}{displaystyle jin {1,ldotsn-1} podemos escribir las reglas del producto para Dn como
- rjrk=r()j+k)modnrjsk=s()j+k)modnsjrk=s()j− − k)modnsjsk=r()j− − k)modn{fnMicrosoft Sans Serif}
(Compara rotaciones de coordenadas y reflexiones).
El grupo diédrico D2 se genera mediante la rotación r de 180 grados y la reflexión s en el eje x. Los elementos de D2 se pueden representar como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es el reflejo a través de y -eje.
Los cuatro elementos de D2 (El eje x es vertical aquí)
D2 es isomorfo al grupo de cuatro de Klein.
Para n > 2 las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y Dn no es abeliano; por ejemplo, en D4, una rotación de 90 grados seguida de un reflejo produce un resultado diferente de un reflejo seguido de una rotación de 90 grados.
D4 es nonabeliano (el eje x es vertical aquí).
Por lo tanto, más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano, estos grupos se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos no abelianos y, como tales, surgen con frecuencia como contraejemplos fáciles de teoremas que están restringidos a grupos abelianos.
Los 2n elementos de Dn se puede escribir como e, r, r2 ,... rn−1, s, rs, r2s,... rn−1s. Los primeros n elementos enumerados son rotaciones y los elementos restantes n son reflejos de eje (todos los cuales tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión.
Hasta ahora, hemos considerado que Dn es un subgrupo de O(2), es decir, el grupo de rotaciones (sobre el origen) y reflexiones (sobre ejes que pasan por el origen) del plano. Sin embargo, la notación Dn también se usa para un subgrupo de SO(3) que también es de tipo de grupo abstracto Dn: el grupo de simetría propio de un polígono regular incrustado en un espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede considerarse como un sólido regular degenerado con sus caras contadas dos veces. Por lo tanto, también se le llama diedro (del griego: sólido de dos caras), lo que explica el nombre de grupo diédrico (en analogía con tetraédrico, octaédrico y grupo icosaédrico, que se refieren a los grupos de simetría propios de un tetraedro regular, un octaedro y un icosaedro respectivamente).
Ejemplos de simetría diédrica 2D
2D D16 simetría – Sello imperial de Japón, representando el crisantemo ocho veces con dieciséis pétalos.
2D D6 simetría – La Estrella Roja de David
2D D12 simetría — El Jack Naval de la República de China (White Sun)
2D D24 simetría – Ashoka Chakra, como se describe en la bandera nacional de la República de la India.
Propiedades
Las propiedades de los grupos diédricos Dn con n ≥ 3 depende de si n es par o impar. Por ejemplo, el centro de Dn consta solo de la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, a saber, la identidad y el elemento rn/2 (con Dn como un subgrupo de O(2), esto es inversión; como es una multiplicación escalar por −1, es claro que conmuta con cualquier transformación lineal).
En el caso de isometrías 2D, esto corresponde a agregar inversión, dando rotaciones y espejos entre las existentes.
Para n dos veces un número extraño, el grupo abstracto Dn es isomorfo con el producto directo de Dn / 2 y Z2. Generalmente, si m divideciones n, entonces Dn tiene n/m subgrupos de tipo Dm, y un subgrupo Z{displaystyle mathbb {Z}m. Por consiguiente, el número total de subgrupos Dn ()n≥ 1), es igual a d()n) + σ(n), donde d()n) es el número de divisores positivos de n y σ()n) es la suma de los divisores positivos den. Ver lista de grupos pequeños para los casosn≤ 8.
El grupo diédrico de orden 8 (D4) es el ejemplo más pequeño de un grupo que no es un grupo T. Cualquiera de sus dos subgrupos de cuatro grupos de Klein (que son normales en D4) tiene como subgrupo normal subgrupos de orden 2 generados por una reflexión (flip) en D4, pero estos subgrupos no son normales en D4.
Clases de conjugación de reflejos
Todas las reflexiones se conjugan entre sí siempre que n sea impar, pero se dividen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un n-ágono regular: para n impares hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para par n solo se puede alcanzar la mitad de los espejos desde uno mediante estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono impar todo eje de simetría pasa por un vértice y un lado, mientras que en un polígono par hay dos conjuntos de ejes, cada uno correspondiente a una clase de conjugación: los que pasan por dos vértices y los que pasan por dos lados..
Algebraicamente, esta es una instancia del teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflejo, junto con la identidad, forman un subgrupo de order 2, que es un subgrupo Sylow 2 (2 = 21 es la potencia máxima de 2 dividiendo 2 n = 2[2k + 1]), mientras que incluso para n, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow porque 4 (una potencia superior a 2) divide el orden del grupo.
Para n incluso hay un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflejos (correctamente, una clase de automorfismos externos, que están todos conjugados por un automorfismo interno).
Grupo de automorfismos
El grupo de automorfismo Dn es isomorfo al holomorfo Z{displaystyle mathbb {Z}/nZ{displaystyle mathbb {Z}, es decir, a Hol...Z{displaystyle mathbb {Z}/nZ{displaystyle mathbb {Z}♪♪ax + b Silencioa, n= 1} y tiene orden #()n), donde φ es la función totiente de Euler, el número de k dentro 1,... n − 1 coprime n.
Se puede entender en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por k(2π/n), para k coprimo a n); qué automorfismos son internos y externos depende de la paridad de n.
- Para n extraño, el grupo dihedral es sin centro, por lo que cualquier elemento define un automorfismo interno no-trivial; para n incluso, la rotación de 180° (reflexión a través del origen) es el elemento no-trivial del centro.
- Así pues, n extraño, el grupo automorfismo interno tiene orden 2n, y para n incluso (más que n = 2) el grupo automorfismo interior tiene orden n.
- Para n extraña, todas las reflexiones son conjugadas; para n incluso, caen en dos clases (aquellas a través de dos vértices y las a través de dos caras), relacionadas con un automorfismo exterior, que puede ser representado por rotación por π/n (la mitad de la rotación mínima).
- Las rotaciones son un subgrupo normal; la conjugación por un reflejo cambia el signo (dirección) de la rotación, pero de otro modo los deja sin cambios. Así automorfismos que multiplican ángulos por k (coprime to n) son exteriores a menos que k = ±1.
Ejemplos de grupos de automorfismos
D9 tiene 18 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D9, el grupo tiene espejos a intervalos de 20°. Los 18 automorfismos internos proporcionan rotación de los espejos en múltiplos de 20° y reflejos. Como grupo de isometría estos son todos automorfismos. Como grupo abstracto hay además de estos, 36 automorfismos externos; por ejemplo, multiplicando los ángulos de rotación por 2.
D10 tiene 10 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D10, el grupo tiene espejos a intervalos de 18°. Los 10 automorfismos internos proporcionan rotación de los espejos en múltiplos de 36° y reflejos. Como grupo de isometrías hay 10 automorfismos más; son conjugados por isometrías fuera del grupo, girando los espejos 18° con respecto a los automorfismos interiores. Como grupo abstracto hay además de estos 10 automorfismos internos y 10 externos, 20 automorfismos más externos; por ejemplo, multiplicar rotaciones por 3.
Compare los valores 6 y 4 para la función totient de Euler, el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente. Esto triplica y duplica el número de automorfismos en comparación con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo el mismo orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).
Los únicos valores de n para los que φ(n) = 2 son 3, 4 y 6 y, en consecuencia, hay solo tres grupos diédricos que son isomorfos a sus propios grupos de automorfismos, a saber, D3 (orden 6), D4 (orden 8) y D6 (orden 12).
Grupo de automorfismos internos
El grupo de automorfismos internos de Dn es isomorfo a:
- Dn si n es extraño;
- Dn / Z2 si n es incluso (para n = 2, D2 / Z2 = 1).
Generalizaciones
Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diédricos:
- El grupo dihedral infinito es un grupo infinito con estructura algebraica similar a los grupos dihedral finitos. Se puede ver como el grupo de simetrías de los enteros.
- El grupo ortogonal O(2), i.e., el grupo de simetría del círculo, también tiene propiedades similares a los grupos dihedral.
- La familia de grupos dihedral generalizados incluye ambos ejemplos anteriores, así como muchos otros grupos.
- Los grupos cuasidiedral son familia de grupos finitos con propiedades similares a los grupos dihedral.
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