Grupo diedro

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Grupo de simetrías de un polígono regular

El grupo de simetría de un copo de nieve es D₆, una simetría dihedral, igual que para un hexágono regular.

En matemáticas, un grupo diédrico es el conjunto de simetrías de un polígono regular, que incluye rotaciones y reflexiones. Los grupos diedros se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos finitos y juegan un papel importante en la teoría de grupos, la geometría y la química.

La notación para el grupo diédrico difiere en geometría y álgebra abstracta. En geometría, $D n$ o $Dih n$ se refiere a las simetrías del n-ágono, un grupo de orden $2 n$ . En álgebra abstracta, $D 2 n$ se refiere a este mismo grupo diédrico. Este artículo usa la convención geométrica, $D n$ .

Definición

Elementos

Los seis ejes de reflexión de un hexágono regular

Un polígono regular con $n$ partes $2n$ diferentes simetrías: $n$ simetrías rotativas y $n$ simetrías de reflexión. Por lo general, tomamos $ngeq 3$ Aquí. Las rotaciones y reflexiones asociadas conforman el grupo dihedral ${displaystyle mathrm {D} _{n}}$ . Si $n$ es extraño, cada eje de la simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto. Si $n$ es incluso, hay $n/2$ ejes de simetría que conectan los puntos intermedios de los lados opuestos y $n/2$ ejes de simetría que conectan vértices opuestos. En cualquier caso, hay $n$ ejes de simetría y $2n$ elementos en el grupo de simetría. Reflejar en un eje de simetría seguido de reflexionar en otro eje de simetría produce una rotación a través del doble del ángulo entre los ejes.

La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de ${displaystyle mathrm {D} _{8}}$ en una señal de parada:

La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de los ocho reflejos, en cada caso actuando sobre la señal de alto con la orientación que se muestra en la parte superior izquierda.

Estructura del grupo

Como con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría de este objeto. Con la composición de simetrías para producir otra como la operación binaria, esto le da a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito.

Las líneas de reflexión etiquetadas S₀, S₁, y S₂ permanecer fijo en el espacio (en la página) y no se mueven ellos mismos cuando una operación de simetría (rotación o reflexión) se hace en el triángulo (esto importa al hacer composiciones de simetrías).

La composición de estas dos reflexiones es una rotación.

La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de la composición en el grupo D3 (las simetrías de un triángulo equilátero). r₀ denota la identidad; r₁ y r₂ indican rotaciones en sentido antihorario de 120° y 240° respectivamente, y s₀, s₁ y s₂ indican reflejos en las tres líneas que se muestran en la imagen adyacente.

	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₀	r₀	r₁	r₂	s₀	s₁	s₂
r₁	r₁	r₂	r₀	s₁	s₂	s₀
r₂	r₂	r₀	r₁	s₂	s₀	s₁
s₀	s₀	s₂	s₁	r₀	r₂	r₁
s₁	s₁	s₀	s₂	r₁	r₀	r₂
s₂	s₂	s₁	s₀	r₂	r₁	r₀

Por ejemplo, s₂s₁ = r₁, porque el reflejo s₁ seguido de la reflexión s₂ da como resultado una rotación de 120°. El orden de los elementos que denotan la composición es de derecha a izquierda, lo que refleja la convención de que el elemento actúa sobre la expresión a su derecha. La operación de composición no es conmutativa.

En general, el grupo D_n tiene elementos r₀,..., r_n−1 y s₀,..., s_n−1, con composición dada por las siguientes fórmulas:

mathrm {r} _{i},mathrm {r} _{j}=mathrm {r} _{i+j},quad mathrm {r} _{i},mathrm {s} _{j}=mathrm {s} _{i+j},quad mathrm {s} _{i},mathrm {r} _{j}=mathrm {s} _{i-j},quad mathrm {s} _{i},mathrm {s} _{j}=mathrm {r} _{i-j}.

En todos los casos, la suma y la resta de subíndices se realizarán utilizando aritmética modular con módulo n.

Representación matricial

Las simetrías de este pentágono son transformaciones lineales del plano como espacio vectorial.

Si centramos el polígono regular en el origen, entonces los elementos del grupo diédrico actúan como transformaciones lineales del plano. Esto nos permite representar elementos de D_n como matrices, siendo la composición una multiplicación de matrices. Este es un ejemplo de una representación de grupo (bidimensional).

Por ejemplo, los elementos del grupo D4 se pueden representar mediante las siguientes ocho matrices:

{displaystyle {begin{matrix}mathrm {r} _{0}=left({begin{smallmatrix}1&0\[0.2em]0&1end{smallmatrix}}right),&mathrm {r} _{1}=left({begin{smallmatrix}0&-1\[0.2em]1&0end{smallmatrix}}right),&mathrm {r} _{2}=left({begin{smallmatrix}-1&0\[0.2em]0&-1end{smallmatrix}}right),&mathrm {r} _{3}=left({begin{smallmatrix}0&1\[0.2em]-1&0end{smallmatrix}}right),\[1em]mathrm {s} _{0}=left({begin{smallmatrix}1&0\[0.2em]0&-1end{smallmatrix}}right),&mathrm {s} _{1}=left({begin{smallmatrix}0&1\[0.2em]1&0end{smallmatrix}}right),&mathrm {s} _{2}=left({begin{smallmatrix}-1&0\[0.2em]0&1end{smallmatrix}}right),&mathrm {s} _{3}=left({begin{smallmatrix}0&-1\[0.2em]-1&0end{smallmatrix}}right).end{matrix}}}

En general, las matrices para elementos de D_n tienen la siguiente forma:

{displaystyle {begin{aligned}mathrm {r} _{k}&={begin{pmatrix}cos {frac {2pi k}{n}}&-sin {frac {2pi k}{n}}\sin {frac {2pi k}{n}}&cos {frac {2pi k}{n}}end{pmatrix}} {text{and}}\[5pt]mathrm {s} _{k}&={begin{pmatrix}cos {frac {2pi k}{n}}&sin {frac {2pi k}{n}}\sin {frac {2pi k}{n}}&-cos {frac {2pi k}{n}}end{pmatrix}}.end{aligned}}}

r_k es una matriz de rotación, que expresa una rotación en sentido antihorario a través de un ángulo de 2πk/ n. s_k es un reflejo a través de una línea que forma un ángulo de πk/n con el eje x.

Otras definiciones

Otras definiciones equivalentes de $D n$ son:

El grupo con presentación
${displaystyle {begin{aligned}mathrm {D} _{n}&=leftlangle mathrm {r}mathrm {s} mid operatorname {ord} (mathrm {r})=n,operatorname {ord} (mathrm {s})=2,mathrm {sr} mathrm {s} ^{-1}=mathrm {r} ^{-1}rightrangle \&=leftlangle mathrm {r,s} mid mathrm {r} ^{n}=mathrm {s} ^{2}=(mathrm {sr})^{2}=1rightrangle.end{aligned}}}$
De la segunda presentación se desprende que $D n$ pertenece a la clase de grupos de Coxeter.

Pequeños grupos diedros

Subgrupos de ejemplo de una simetría hexagonal dihedral

$D 1$ es isomorfo a $Z 2$ , el grupo cíclico de orden 2.

$D 2$ es isomorfo a $K 4$ , el Klein de cuatro grupos.

$D 1$ y $D 2$ son excepcionales porque:

$D 1$ y $D 2$ son los únicos grupos dihedral abelios. De lo contrario, $D n$ no es abeliano.
$D n$ es un subgrupo del grupo simétrico $S n$ para $n \geq 3$ . Desde $2 n ■ n!$ para $n = 1$ o $n = 2$ , para estos valores, $D n$ es demasiado grande para ser un subgrupo.
El grupo de automorfismo interior $D 2$ es trivial, mientras que para otros valores incluso de $n$ , esto es $D n / Z 2$ .

Los gráficos de ciclo de los grupos diédricos consisten en un ciclo de n-elemento y n ciclos de 2 elementos. El vértice oscuro en los gráficos de ciclo a continuación de varios grupos diédricos representa el elemento de identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consta de potencias sucesivas de cualquiera de los elementos conectados al elemento de identidad.

Gráficos de ciclo
D₁ = Z2	D₂ = Z₂² = K4	D₃	D₄	D₅


D₆ D₃ × Z₂	D₇	D₈	D₉	D₁₀ D₅ × Z₂

D3 = S₃	D4

El grupo diédrico como grupo de simetría en 2D y grupo de rotación en 3D

Un ejemplo de grupo abstracto $D n$ , y una forma común de visualizarlo, es el grupo de Euclides isometrías planas que mantienen fijo el origen. Estos grupos forman una de las dos series de grupos puntuales discretos en dos dimensiones. $D n$ consta de $n$ rotaciones de múltiplos de $360°/ n$ sobre el origen y reflexiones a través de $n$ líneas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de $180°/ n$ entre sí. Este es el grupo de simetría de un polígono regular con $n$ lados (para $n \geq 3$ ; esto se extiende a los casos $n = 1$ y $n = 2$ donde tenemos un plano con respectivamente un punto desplazado desde el 'centro' del '1-ágono' y un '2-ágono'. o segmento de línea).

$D n$ se genera mediante una rotación $r$ de orden $n$ y un reflejo $s$ de orden 2 tal que

{displaystyle mathrm {srs} =mathrm {r} ^{-1},}

En términos geométricos: en el espejo una rotación parece una rotación inversa.

En términos de números complejos: multiplicación por $e^{2pi i over n}$ y conjugación compleja.

En forma de matriz, configurando

{displaystyle mathrm {r} _{1}={begin{bmatrix}cos {2pi over n}&-sin {2pi over n}\[4pt]sin {2pi over n}&cos {2pi over n}end{bmatrix}}qquad mathrm {s} _{0}={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}

y definición $mathrm {r} _{j}=mathrm {r} _{1}^{j}$ y $mathrm {s} _{j}=mathrm {r} _{j},mathrm {s} _{0}$ para $jin {1,ldotsn-1}$ podemos escribir las reglas del producto para D_n como

{displaystyle {begin{aligned}mathrm {r} _{j},mathrm {r} _{k}&=mathrm {r} _{(j+k){text{ mod }}n}\mathrm {r} _{j},mathrm {s} _{k}&=mathrm {s} _{(j+k){text{ mod }}n}\mathrm {s} _{j},mathrm {r} _{k}&=mathrm {s} _{(j-k){text{ mod }}n}\mathrm {s} _{j},mathrm {s} _{k}&=mathrm {r} _{(j-k){text{ mod }}n}end{aligned}}}

(Compara rotaciones de coordenadas y reflexiones).

El grupo diédrico D₂ se genera mediante la rotación r de 180 grados y la reflexión s en el eje x. Los elementos de D₂ se pueden representar como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es el reflejo a través de y -eje.

Los cuatro elementos de D₂ (El eje x es vertical aquí)

D₂ es isomorfo al grupo de cuatro de Klein.

Para n > 2 las operaciones de rotación y reflexión en general no conmutan y D_n no es abeliano; por ejemplo, en D4, una rotación de 90 grados seguida de un reflejo produce un resultado diferente de un reflejo seguido de una rotación de 90 grados.

D₄ es nonabeliano (el eje x es vertical aquí).

Por lo tanto, más allá de su aplicación obvia a problemas de simetría en el plano, estos grupos se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos no abelianos y, como tales, surgen con frecuencia como contraejemplos fáciles de teoremas que están restringidos a grupos abelianos.

Los $2 n$ elementos de $D n$ se puede escribir como $e$ , $r$ , $r 2$ ,... $r n -1$ , $s$ , $rs$ , $r 2 s$ ,... $r n -1 s$ . Los primeros $n$ elementos enumerados son rotaciones y los elementos restantes $n$ son reflejos de eje (todos los cuales tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; el producto de una rotación y una reflexión es una reflexión.

Hasta ahora, hemos considerado que $D n$ es un subgrupo de $O(2)$ , es decir, el grupo de rotaciones (sobre el origen) y reflexiones (sobre ejes que pasan por el origen) del plano. Sin embargo, la notación $D n$ también se usa para un subgrupo de SO(3) que también es de tipo de grupo abstracto $D n$ : el grupo de simetría propio de un polígono regular incrustado en un espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede considerarse como un sólido regular degenerado con sus caras contadas dos veces. Por lo tanto, también se le llama diedro (del griego: sólido de dos caras), lo que explica el nombre de grupo diédrico (en analogía con tetraédrico, octaédrico y grupo icosaédrico, que se refieren a los grupos de simetría propios de un tetraedro regular, un octaedro y un icosaedro respectivamente).

Ejemplos de simetría diédrica 2D

2D D₁₆ simetría – Sello imperial de Japón, representando el crisantemo ocho veces con dieciséis pétalos.
2D D₆ simetría – La Estrella Roja de David
2D D₁₂ simetría — El Jack Naval de la República de China (White Sun)
2D D₂₄ simetría – Ashoka Chakra, como se describe en la bandera nacional de la República de la India.

Propiedades

Las propiedades de los grupos diédricos $D n$ con $n \geq 3$ depende de si $n$ es par o impar. Por ejemplo, el centro de $D n$ consta solo de la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, a saber, la identidad y el elemento r^n/2 (con D_n como un subgrupo de O(2), esto es inversión; como es una multiplicación escalar por −1, es claro que conmuta con cualquier transformación lineal).

En el caso de isometrías 2D, esto corresponde a agregar inversión, dando rotaciones y espejos entre las existentes.

Para n dos veces un número extraño, el grupo abstracto $D n$ es isomorfo con el producto directo de $D n / 2$ y $Z 2$ . Generalmente, si m divideciones n, entonces $D n$ tiene n/m subgrupos de tipo $D m$ , y un subgrupo $mathbb {Z}$ _m. Por consiguiente, el número total de subgrupos $D n$ ()n≥ 1), es igual a d()n) + σ(n), donde d()n) es el número de divisores positivos de n y σ()n) es la suma de los divisores positivos den. Ver lista de grupos pequeños para los casosn≤ 8.

El grupo diédrico de orden 8 (D₄) es el ejemplo más pequeño de un grupo que no es un grupo T. Cualquiera de sus dos subgrupos de cuatro grupos de Klein (que son normales en D₄) tiene como subgrupo normal subgrupos de orden 2 generados por una reflexión (flip) en D₄, pero estos subgrupos no son normales en D₄.

Clases de conjugación de reflejos

Todas las reflexiones se conjugan entre sí siempre que n sea impar, pero se dividen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un n-ágono regular: para n impares hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para par n solo se puede alcanzar la mitad de los espejos desde uno mediante estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono impar todo eje de simetría pasa por un vértice y un lado, mientras que en un polígono par hay dos conjuntos de ejes, cada uno correspondiente a una clase de conjugación: los que pasan por dos vértices y los que pasan por dos lados..

Algebraicamente, esta es una instancia del teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflejo, junto con la identidad, forman un subgrupo de order 2, que es un subgrupo Sylow 2 (2 = 2¹ es la potencia máxima de 2 dividiendo 2 n = 2[2k + 1]), mientras que incluso para n, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow porque 4 (una potencia superior a 2) divide el orden del grupo.

Para n incluso hay un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflejos (correctamente, una clase de automorfismos externos, que están todos conjugados por un automorfismo interno).

Grupo de automorfismos

El grupo de automorfismo $D n$ es isomorfo al holomorfo $mathbb {Z}$ /n $mathbb {Z}$ , es decir, a Hol... $mathbb {Z}$ /n $mathbb {Z}$ ♪♪ax + b Silencioa, n= 1} y tiene orden #()n), donde φ es la función totiente de Euler, el número de k dentro 1,... n − 1 coprime n.

Se puede entender en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por k(2π/n), para k coprimo a n); qué automorfismos son internos y externos depende de la paridad de n.

Para n extraño, el grupo dihedral es sin centro, por lo que cualquier elemento define un automorfismo interno no-trivial; para n incluso, la rotación de 180° (reflexión a través del origen) es el elemento no-trivial del centro.
Así pues, n extraño, el grupo automorfismo interno tiene orden 2n, y para n incluso (más que n = 2) el grupo automorfismo interior tiene orden n.
Para n extraña, todas las reflexiones son conjugadas; para n incluso, caen en dos clases (aquellas a través de dos vértices y las a través de dos caras), relacionadas con un automorfismo exterior, que puede ser representado por rotación por π/n (la mitad de la rotación mínima).
Las rotaciones son un subgrupo normal; la conjugación por un reflejo cambia el signo (dirección) de la rotación, pero de otro modo los deja sin cambios. Así automorfismos que multiplican ángulos por k (coprime to n) son exteriores a menos que k = ±1.

Ejemplos de grupos de automorfismos

$D 9$ tiene 18 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D₉, el grupo tiene espejos a intervalos de 20°. Los 18 automorfismos internos proporcionan rotación de los espejos en múltiplos de 20° y reflejos. Como grupo de isometría estos son todos automorfismos. Como grupo abstracto hay además de estos, 36 automorfismos externos; por ejemplo, multiplicando los ángulos de rotación por 2.

$D 10$ tiene 10 automorfismos internos. Como grupo de isometría 2D D₁₀, el grupo tiene espejos a intervalos de 18°. Los 10 automorfismos internos proporcionan rotación de los espejos en múltiplos de 36° y reflejos. Como grupo de isometrías hay 10 automorfismos más; son conjugados por isometrías fuera del grupo, girando los espejos 18° con respecto a los automorfismos interiores. Como grupo abstracto hay además de estos 10 automorfismos internos y 10 externos, 20 automorfismos más externos; por ejemplo, multiplicar rotaciones por 3.

Compare los valores 6 y 4 para la función totient de Euler, el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente. Esto triplica y duplica el número de automorfismos en comparación con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo el mismo orden de las rotaciones o invirtiendo el orden).

Los únicos valores de n para los que φ(n) = 2 son 3, 4 y 6 y, en consecuencia, hay solo tres grupos diédricos que son isomorfos a sus propios grupos de automorfismos, a saber, $D 3$ (orden 6), $D 4$ (orden 8) y $D 6$ (orden 12).

Grupo de automorfismos internos

El grupo de automorfismos internos de $D n$ es isomorfo a:

$D n$ si n es extraño;
$D n / Z 2$ si $n$ es incluso (para $n = 2$ , $D 2 / Z 2 = 1$ ).

Generalizaciones

Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diédricos:

El grupo dihedral infinito es un grupo infinito con estructura algebraica similar a los grupos dihedral finitos. Se puede ver como el grupo de simetrías de los enteros.
El grupo ortogonal O(2), i.e., el grupo de simetría del círculo, también tiene propiedades similares a los grupos dihedral.
La familia de grupos dihedral generalizados incluye ambos ejemplos anteriores, así como muchos otros grupos.
Los grupos cuasidiedral son familia de grupos finitos con propiedades similares a los grupos dihedral.

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