Grupo de simetría

Un tetraedro regular es invariante bajo doce rotaciones distintas (si la transformación de identidad se incluye como una rotación trivial y se excluyen las reflexiones). Estos se ilustran aquí en el formato del gráfico del ciclo, junto con el borde de 180° (flechas azules) y 120° vértice (flechas de color rosa y naranja) rotaciones que afectan al tetraedro a través de las posiciones. Las doce rotaciones forman la grupo de rotación (simetría) de la figura.

En teoría de grupos, el grupo de simetría de un objeto geométrico es el grupo de todas las transformaciones bajo las cuales el objeto es invariante, dotado de la operación de grupo de composición. Tal transformación es un mapeo invertible del espacio ambiental que toma el objeto en sí mismo y que preserva toda la estructura relevante del objeto. Una notación frecuente para el grupo de simetría de un objeto X es G = Sym(X).

Para un objeto en un espacio métrico, sus simetrías forman un subgrupo del grupo de isometría del espacio ambiental. Este artículo considera principalmente los grupos de simetría en la geometría euclidiana, pero el concepto también puede estudiarse para tipos más generales de estructura geométrica.

Introducción

Consideramos que los "objetos" que poseen simetría para ser figuras geométricas, imágenes y patrones, como un patrón de papel tapiz. Para la simetría de los objetos físicos, también se puede tomar su composición física como parte del patrón. (Un patrón puede especificarse formalmente como un campo escalar, una función de posición con valores en un conjunto de colores o sustancias; como un campo vectorial; o como una función más general sobre el objeto.) El grupo de isometrías del espacio induce una la acción del grupo sobre los objetos en él, y el grupo de simetría Sym(X) consiste en esas isometrías que mapean X a sí mismo (así como mapean cualquier otro patrón a sí mismo). Decimos que X es invariante bajo tal mapeo, y el mapeo es una simetría de X.

Lo anterior a veces se llama el grupo de simetría total de X para enfatizar que incluye isometrías de inversión de orientación (reflejos, reflejos de deslizamiento y rotaciones incorrectas), siempre que esas isometrías asignan esta X particular a sí misma. El subgrupo de simetrías que conservan la orientación (traslaciones, rotaciones y composiciones de éstas) se llama su grupo de simetría propia. Un objeto es quiral cuando no tiene simetrías que inviertan la orientación, de modo que su grupo de simetría propio es igual a su grupo de simetría completo.

Cualquier grupo de simetría cuyos elementos tengan un punto fijo común, lo cual es cierto si el grupo es finito o la figura está acotada, puede representarse como un subgrupo del grupo ortogonal O(n) por eligiendo que el origen sea un punto fijo. El grupo de simetría propio es entonces un subgrupo del grupo ortogonal especial SO(n), y se llama el grupo de rotación de la figura.

En un grupo de simetría discreta, los puntos simétricos a un punto dado no se acumulan hacia un punto límite. Es decir, cada órbita del grupo (las imágenes de un punto dado debajo de todos los elementos del grupo) forma un conjunto discreto. Todos los grupos de simetría finitos son discretos.

Los grupos de simetría discreta vienen en tres tipos: (1) grupos de puntos finitos, que incluyen solo rotaciones, reflexiones, inversiones y rotoinversiones, es decir, los subgrupos finitos de O(n); (2) infinitos grupos reticulares, que incluyen solo traslaciones; y (3) infinitos grupos espaciales que contienen elementos de los dos tipos anteriores, y quizás también transformaciones adicionales como desplazamientos de tornillo y reflejos de deslizamiento. También hay grupos de simetría continua (grupos de Lie), que contienen rotaciones de ángulos arbitrariamente pequeños o traslaciones de distancias arbitrariamente pequeñas. Un ejemplo es O(3), el grupo de simetría de una esfera. Los grupos de simetría de objetos euclidianos pueden clasificarse completamente como los subgrupos del grupo euclidiano E(n) (el grupo de isometría de Rⁿ).

Dos figuras geométricas tienen el mismo tipo de simetría cuando sus grupos de simetría son subgrupos conjugados del grupo euclidiano: es decir, cuando los subgrupos H₁, H₂ están relacionados por H₁ = g⁻¹H₂g para algo de g en E(n). Por ejemplo:

• dos figuras 3D tienen simetría de espejo, pero con respecto a diferentes planos de espejo.
• dos figuras 3D tienen simetría rotacional 3 veces, pero con respecto a diferentes ejes.
• dos patrones 2D tienen simetría traduccional, cada uno en una dirección; los dos vectores de traducción tienen la misma longitud pero una dirección diferente.

En las siguientes secciones, solo consideramos los grupos de isometría cuyas órbitas son topológicamente cerradas, incluidos todos los grupos de isometría discretos y continuos. Sin embargo, esto excluye, por ejemplo, el grupo 1D de traslaciones por un número racional; una figura no cerrada de este tipo no se puede dibujar con una precisión razonable debido a su detalle arbitrariamente fino.

Una dimensión

Los grupos de isometría en una dimensión son:

• el grupo cíclico trivial C₁
• los grupos de dos elementos generados por una reflexión; son isomorfos con C₂
• los grupos discretos infinitos generados por una traducción; son isomorfos con Z, el grupo aditivo de los enteros
• los grupos discretos infinitos generados por una traducción y una reflexión; son isomorfos con el grupo dihedral generalizado Z, Dih(Z), también denotado por D_JUEGO (que es un producto semidirecto de Z y C₂).
• el grupo generado por todas las traducciones (isomorfo con el grupo aditivo de los números reales R); este grupo no puede ser el grupo de simetría de una figura euclidiana, incluso dotado de un patrón: tal patrón sería homogéneo, por lo tanto también podría reflejarse. Sin embargo, un campo vectorial de una dimensión constante tiene este grupo de simetría.
• el grupo generado por todas las traducciones y reflexiones en puntos; son isomorfos con el grupo dihedral generalizado Dih(R).

Dos dimensiones

Hasta la conjugación, los grupos puntuales discretos en el espacio bidimensional son las siguientes clases:

• Grupos cíclicos C₁, C₂, C₃, C₄, donde C_n consiste en todas las rotaciones sobre un punto fijo por múltiplos del ángulo 360°/n
• dihedral groups D₁, D₂D3, D4, donde D_n (de la orden 2n) consiste en las rotaciones en C_n junto con reflexiones en n ejes que pasan por el punto fijo.

C₁ es el grupo trivial que contiene solo la operación de identidad, que ocurre cuando la figura es asimétrica, por ejemplo, la letra "F". C₂ es el grupo de simetría de la letra "Z", C₃ el de un triskelion, C₄ de un swastika, y C₅, C₆, etc. son los grupos de simetría de figuras parecidas a swastika similares con cinco, seis, etc. brazos en lugar de cuatro.

D₁ es el grupo de 2 elementos que contiene la operación de identidad y una sola reflexión, que ocurre cuando la figura tiene un solo eje de simetría bilateral, por ejemplo, la letra "A& #34;.

D₂, que es isomorfo al grupo de cuatro de Klein, es el grupo de simetría de un rectángulo no equilátero. Esta figura tiene cuatro operaciones de simetría: la operación de identidad, un doble eje de rotación y dos planos especulares no equivalentes.

D₃, D₄ etc. son los grupos de simetría de los polígonos regulares.

Dentro de cada uno de estos tipos de simetría, hay dos grados de libertad para el centro de rotación, y en el caso de los grupos diédricos, uno más para las posiciones de los espejos.

Los restantes grupos de isometrías en dos dimensiones con punto fijo son:

• el grupo especial de ortogonales SO(2) que consiste en todas las rotaciones sobre un punto fijo; también se llama el grupo círculo S¹, el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto 1. Es la apropiado grupo de simetría de un círculo y el equivalente continuo de C_n. No hay figura geométrica que tenga como completo grupo de simetría el grupo círculo, pero para un campo vectorial puede aplicar (ver el caso tridimensional abajo).
• el grupo ortogonal O(2) que consiste en todas las rotaciones sobre un punto fijo y reflexiones en cualquier eje a través de ese punto fijo. Este es el grupo de simetría de un círculo. También se llama Dih(S)¹) como es el grupo dihedral generalizado de S¹.

Las figuras no delimitadas pueden tener grupos de isometría, incluidas las traslaciones; estos son:

• los 7 grupos frisos
• los 17 grupos de fondos de pantalla
• para cada uno de los grupos de simetría en una dimensión, la combinación de todas las simetrías en ese grupo en una dirección, y el grupo de todas las traducciones en la dirección perpendicular
• ditto con también reflexiones en una línea en la primera dirección.

Tres dimensiones

Hasta la conjugación, el conjunto de grupos puntuales tridimensionales consta de 7 series infinitas y otros 7 grupos individuales. En cristalografía, solo se consideran aquellos grupos de puntos que conservan algo de red cristalina (por lo que sus rotaciones solo pueden tener orden 1, 2, 3, 4 o 6). Esta restricción cristalográfica de las familias infinitas de grupos puntuales generales da como resultado 32 grupos puntuales cristalográficos (27 grupos individuales de la serie 7 y 5 de los otros 7 individuales).

Los grupos de simetría continua con punto fijo incluyen los de:

• simetría cilíndrica sin un plano de simetría perpendicular al eje, esto se aplica por ejemplo para una botella de cerveza
• simetría cilíndrica con plano de simetría perpendicular al eje
• simetría esférica

Para objetos con patrones de campo escalar, la simetría cilíndrica implica también simetría vertical de reflexión. Sin embargo, esto no es cierto para los patrones de campo vectorial: por ejemplo, en coordenadas cilíndricas con respecto a algún eje, el campo vectorial A=A*** *** *** *** ^ ^ +Aφ φ φ φ ^ ^ +Azz^ ^ {displaystyle mathbf {A} =A_{rho ♫{boldsymbol {fnh} }A_{phi }{boldsymbol {fnfnK} ♪ ♪ ♪♪♪♪♪♪♪♪♪ {fnK}} tiene simetría cilíndrica con respecto al eje siempre que A*** *** ,Aφ φ ,{displaystyle A_{rho },A_{phi } y Az{displaystyle A_{z} tener esta simetría (sin dependencia de φ φ {displaystyle phi }); y tiene simetría reflexiva sólo cuando Aφ φ =0{displaystyle A_{phi}=0}.

Para la simetría esférica, no existe tal distinción: cualquier objeto con patrón tiene planos de simetría de reflexión.

Los grupos de simetría continua sin un punto fijo incluyen aquellos con un eje de tornillo, como una hélice infinita. Véase también subgrupos del grupo euclidiano.

Grupos de simetría en general

En contextos más amplios, un grupo de simetría puede ser cualquier tipo de grupo de transformación o grupo de automorfismos. Cada tipo de estructura matemática tiene mapeos invertibles que preservan la estructura. Por el contrario, especificar el grupo de simetría puede definir la estructura, o al menos aclarar el significado de congruencia o invariancia geométrica; esta es una forma de ver el programa de Erlangen.

Por ejemplo, los objetos en una geometría hiperbólica no euclidiana tienen grupos de simetría fucsiana, que son los subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico, conservando la distancia hiperbólica en lugar de la euclidiana. (Algunos están representados en dibujos de Escher). De manera similar, los grupos de automorfismos de geometrías finitas conservan familias de conjuntos de puntos (subespacios discretos) en lugar de subespacios euclidianos, distancias o productos internos. Al igual que las figuras euclidianas, los objetos en cualquier espacio geométrico tienen grupos de simetría que son subgrupos de las simetrías del espacio ambiental.

Otro ejemplo de un grupo de simetría es el de un grafo combinatorio: una simetría de grafo es una permutación de los vértices que lleva aristas a aristas. Cualquier grupo presentado finitamente es el grupo de simetría de su gráfico de Cayley; el grupo libre es el grupo de simetría de un gráfico de árbol infinito.

Estructura de grupo en términos de simetrías

El teorema de Cayley establece que cualquier grupo abstracto es un subgrupo de las permutaciones de algún conjunto X, por lo que puede considerarse como el grupo de simetría de X con alguna estructura extra. Además, muchas características abstractas del grupo (definidas puramente en términos de la operación del grupo) pueden interpretarse en términos de simetrías.

Por ejemplo, sea G = Sym(X) el grupo de simetría finita de una figura X en un espacio euclidiano, y sea H ⊂ G sea un subgrupo. Entonces H puede interpretarse como el grupo de simetría de X⁺, un "decorado" versión de X. Tal decoración puede construirse como sigue. Agregue algunos patrones como flechas o colores a X para romper toda simetría, obteniendo una figura X^# con Sym(X ^#) = {1}, el subgrupo trivial; es decir, gX^# ≠ X^# para todos los g no triviales ∈ G. Ahora obtenemos:

X+=⋃ ⋃ h▪ ▪ HhX# # satisfizoH=SSí.m()X+).{displaystyle X^{+} = bigcup _{hin H}hX^{#}quad {text{satisfies}quad H=mathrm {Sym} (X^{+}). }

Los subgrupos normales también se pueden caracterizar en este marco. El grupo de simetría de la traslación gX ⁺ es el subgrupo conjugado gHg⁻¹. Así H es normal siempre que:

SSí.m()gX+)=SSí.m()X+)para todosg▪ ▪ G;{displaystyle mathrm {Sym} (gX^{+})=mathrm {Sym} (X^{+}) {texto {fnK}fnK}fnMicrosoft} gin G;}

es decir, siempre que la decoración de X⁺ pueda dibujarse en cualquier orientación, con respecto a cualquier lado o característica de X, y aún producir el mismo grupo de simetría gHg⁻¹ = H.

Como ejemplo, considere el grupo diedro G = D₃ = Sym(X), donde X es un triángulo equilátero. Podemos decorarlo con una flecha en un borde, obteniendo una figura asimétrica X^#. Sea τ ∈ G el reflejo de la arista con flecha, la figura compuesta X⁺ = X ^# ∪ τX^# tiene una flecha bidireccional en ese borde, y su grupo de simetría es H = {1, τ}. Este subgrupo no es normal, ya que gX⁺ puede tener la bi-flecha en un borde diferente, dando un grupo de simetría de reflexión diferente.

Sin embargo, siendo H = {1, ρ, ρ²} ⊂ D₃ el subgrupo cíclico generado por una rotación, el la figura decorada X⁺ consiste en un ciclo de 3 flechas con orientación consistente. Entonces H es normal, ya que dibujar tal ciclo con cualquier orientación produce el mismo grupo de simetría H.