Grupo de poincaré
El grupo de Poincaré, llamado así por Henri Poincaré (1906), fue definido por primera vez por Hermann Minkowski (1908) como el grupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski. Es un grupo de Lie no abeliano de diez dimensiones que es importante como modelo en nuestra comprensión de los fundamentos más básicos de la física.
Resumen
Una isometría del espacio-tiempo de Minkowski tiene la propiedad de que el intervalo entre eventos permanece invariable. Por ejemplo, si todo se pospusiera dos horas, incluidos los dos eventos y el camino que tomaste para ir de uno a otro, entonces el intervalo de tiempo entre los eventos registrados por un cronómetro que llevas contigo sería el mismo. O si todo se desplazara cinco kilómetros hacia el oeste, o girara 60 grados a la derecha, tampoco vería ningún cambio en el intervalo. Resulta que la longitud adecuada de un objeto tampoco se ve afectada por tal cambio. Una inversión de tiempo o espacio (un reflejo) también es una isometría de este grupo.
En el espacio de Minkowski (es decir, ignorando los efectos de la gravedad), hay diez grados de libertad de las isometrías, que pueden considerarse como traslación a través del tiempo o el espacio (cuatro grados, uno por dimensión); reflexión a través de un plano (tres grados, la libertad de orientación de este plano); o un "impulso" en cualquiera de las tres direcciones espaciales (tres grados). La composición de transformaciones es la operación del grupo de Poincaré, produciéndose rotaciones propias como la composición de un número par de reflexiones.
En la física clásica, el grupo galileano es un grupo comparable de diez parámetros que actúa en el tiempo y el espacio absolutos. En lugar de impulsos, presenta mapeos de corte para relacionar marcos de referencia de movimiento conjunto.
Simetría de Poincaré
Simetría de Poincaré es la simetría completa de la relatividad especial. Incluye:
- traducciones (desplazamientos) en el tiempo y el espacio (P), formando el abelian Lie group of translations on space-time;
- rotaciones en el espacio, formando el no-abeliano Grupo de mentira de rotaciones tridimensionales (J);
- impulsos, transformaciones que conectan dos cuerpos uniformemente móviles (K).
Las dos últimas simetrías, J y K, juntas forman el grupo de Lorentz (ver también invariancia de Lorentz); el producto semidirecto del grupo de traducciones y el grupo de Lorentz produce luego el grupo de Poincaré. Los objetos que son invariantes bajo este grupo se dice que poseen invariancia de Poincaré o invariancia relativista.
10 generadores (en cuatro dimensiones del espacio-tiempo) asociados a la simetría de Poincaré, por el teorema de Noether, implican 10 leyes de conservación: 1 para la energía, 3 para el momento, 3 para el momento angular y 3 para la velocidad del centro de masa.
Grupo de Poincaré
El grupo de Poincaré es el grupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski. Es un grupo de Lie no compacto de diez dimensiones. El grupo abeliano de traducciones es un subgrupo normal, mientras que el grupo de Lorentz es también un subgrupo, el estabilizador del origen. El propio grupo de Poincaré es el subgrupo mínimo del grupo afín que incluye todas las traslaciones y transformaciones de Lorentz. Más precisamente, es un producto semidirecto de las traducciones y del grupo de Lorentz,
- R1,3⋊ ⋊ O ()1,3),{displaystyle mathbf {R} ^{1,3}rtimes operatorname {O} (1,3),}
con multiplicación de grupos
- ()α α ,f)⋅ ⋅ ()β β ,g)=()α α +f⋅ ⋅ β β ,f⋅ ⋅ g){displaystyle (alphaf)cdot (betag)=(alpha +fcdot beta;fcdot g)}.
Otra forma de expresar esto es que el grupo de Poincaré es una extensión del grupo del grupo de Lorentz mediante una representación vectorial del mismo; a veces se le denomina, informalmente, como el grupo heterogéneo de Lorentz. A su vez, también se puede obtener como una contracción de grupo del grupo de de Sitter SO(4,1) ~ Sp(2,2), ya que el radio de de Sitter tiende a infinito.
Sus representaciones irreducibles unitarias de energía positiva están indexadas por masa (número no negativo) y espín (entero o medio entero) y están asociadas con partículas en la mecánica cuántica (consulte la clasificación de Wigner).
De acuerdo con el programa de Erlangen, la geometría del espacio de Minkowski está definida por el grupo de Poincaré: el espacio de Minkowski se considera un espacio homogéneo para el grupo.
En la teoría cuántica de campos, la cobertura universal del grupo de Poincaré
- R1,3⋊ ⋊ SL ()2,C),{displaystyle mathbf {R} ^{1,3}rtimes operatorname {SL} (2,mathbf {C}),}
que puede identificarse con la doble tapa
- R1,3⋊ ⋊ Spin ()1,3),{displaystyle mathbf {R} ^{1,3}rtimes operatorname {Spin} (1,3),}
es más importante, porque las representaciones de SO ()1,3){displaystyle operatorname {SO} (1,3)} no son capaces de describir campos con spin 1/2; es decir, fermions. Aquí. SL ()2,C){displaystyle operatorname {SL} (2,mathbf {C})} es el grupo de complejos 2× × 2{displaystyle 2times 2} matrices con determinante de unidad, isomorfa al grupo de giro de la firma de Lorentz Spin ()1,3){displaystyle operatorname {Spin} (1,3)}.
Álgebra de Poincaré
El Álgebra Poincaré es el álgebra de Lie del grupo Poincaré. Es una extensión de álgebra de Lie del álgebra de Lie del grupo Lorentz. Más específicamente, el adecuado (Det▪ ▪ =1{textstyle det Lambda =1}), ortocrónico (▪ ▪ 00≥ ≥ 1{textstyle #Lambda ^{0}_{0}geq 1}) parte del subgrupo Lorentz (su componente de identidad), SO()1,3)+↑ ↑ {textstyle SO(1,3)_{+}{uparrow }, está conectado a la identidad y es así proporcionado por la exponentiación exp ()iaμ μ Pμ μ )exp ()i2⋅ ⋅ μ μ .. Mμ μ .. ){textstyle exp left(ia_{mu }P^{mu }right)exp left({frac {i}{2}omega _{munu }M^{munu }right)} de este álgebra de Lie. En forma de componente, el álgebra Poincaré es dado por las relaciones de conmutación:
[Pμ μ ,P.. ]=01i[Mμ μ .. ,P*** *** ]=.. μ μ *** *** P.. − − .. .. *** *** Pμ μ 1i[Mμ μ .. ,M*** *** σ σ ]=.. μ μ *** *** M.. σ σ − − .. μ μ σ σ M.. *** *** − − .. .. *** *** Mμ μ σ σ +.. .. σ σ Mμ μ *** *** ,{displaystyle {begin{aligned}[] [ P_{mu },P_{nu }] {1}{i}~ [M_{munu },P_{rho }] }P_{nu }-eta _{nu rho }P_{mu }\\\{fnMicroc {1}{i}}~[M_{munu },M_{rho sigma } {eta=eta _{murho }M_{nusigma }-eta _musigma }M_{nurho }
![{displaystyle {begin{aligned}[][P_{mu },P_{nu }]&=0,\{frac {1}{i}}~[M_{mu nu },P_{rho }]&=eta _{mu rho }P_{nu }-eta _{nu rho }P_{mu },\{frac {1}{i}}~[M_{mu nu },M_{rho sigma }]&=eta _{mu rho }M_{nu sigma }-eta _{mu sigma }M_{nu rho }-eta _{nu rho }M_{mu sigma }+eta _{nu sigma }M_{mu rho },,end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c467531b0b1bec3124586a9ad9bcd62a7b16422)
Donde P{displaystyle P} es el generador de traducciones, M{displaystyle M} es el generador de transformaciones de Lorentz, y .. {displaystyle eta } es ()+,− − ,− − ,− − ){displaystyle (+,-,-,-)} Minkowski métrica (ver convención de firmas).
La relación de conmutación inferior es la ("homogeneous") Grupo Lorentz, compuesto por rotaciones, Ji=12ε ε imnMmn{textstyle J_{i}={frac {1}{2}epsilon _{imn}M^{mn}, y los impulsos, Ki=Mi0{textstyle K_{i}=M_{i0}. En esta notación, todo el álgebra Poincaré es expresible en lenguaje no covariante (pero más práctico) como
- [Jm,Pn]=iε ε mnkPk,[Ji,P0]=0,[Ki,Pk]=i.. ikP0,[Ki,P0]=− − iPi,[Jm,Jn]=iε ε mnkJk,[Jm,Kn]=iε ε mnkKk,[Km,Kn]=− − iε ε mnkJk,{displaystyle {begin{aligned}[] [ J_{m},P_{n} ¿Qué? [J_{i},P_{0}] _{ik} P_{0}~,[K_{i},P_{0}] [ J_{m},J_{n} ¿Qué? [J_{m],K_{n} ¿Qué? [K_{m],K_{n} ¿Qué?
![{displaystyle {begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=iepsilon _{mnk}P_{k}~,\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\[][K_{i},P_{k}]&=ieta _{ik}P_{0}~,\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\[][J_{m},J_{n}]&=iepsilon _{mnk}J_{k}~,\[][J_{m},K_{n}]&=iepsilon _{mnk}K_{k}~,\[][K_{m},K_{n}]&=-iepsilon _{mnk}J_{k}~,end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd79be626e42dc8b5e015a4467278c2ffa4e1bf)
donde el conmutador de la línea inferior de dos impulsos se conoce a menudo como una "rotación de Wigner". La simplificación [Jm+iKm,Jn− − iKn]=0{fnfn} permite la reducción del subalgebra de Lorentz su()2)⊕ ⊕ su()2){fnMitfrak {fnK}}(2)oplus {fnMitfrak {su}(2)} y tratamiento eficiente de sus representaciones asociadas. En términos de los parámetros físicos, tenemos
![{textstyle [J_{m}+iK_{m},,J_{n}-iK_{n}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aaf1fcdbd0eb83c8bec785960878156d3c20c9)
- [H,pi]=0[H,Li]=0[H,Ki]=i▪ ▪ cpi[pi,pj]=0[pi,Lj]=i▪ ▪ ε ε ijkpk[pi,Kj]=i▪ ▪ cHδ δ ij[Li,Lj]=i▪ ▪ ε ε ijkLk[Li,Kj]=i▪ ▪ ε ε ijkKk[Ki,Kj]=− − i▪ ▪ ε ε ijkLk{displaystyle {begin{aligned}left[{Mathcal] {H},p_{i}derecha] {H},L_{i}derecha] {H},K_{i}right] cp_{i}\\left[p_{i},p_{j}right=0\left[p_{i},L_{j}right] {i}hbar {} {fn} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {\fn}}} {\\\fnH}\fn}}fn}}}}}}}}}}\\\\\\fnH}}}}\\\\fnH}}}}\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\fnH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ################################################################################################################################################################################################################################################################
![{displaystyle {begin{aligned}left[{mathcal {H}},p_{i}right]&=0\left[{mathcal {H}},L_{i}right]&=0\left[{mathcal {H}},K_{i}right]&=ihbar cp_{i}\left[p_{i},p_{j}right]&=0\left[p_{i},L_{j}right]&=ihbar epsilon _{ijk}p_{k}\left[p_{i},K_{j}right]&={frac {ihbar }{c}}{mathcal {H}}delta _{ij}\left[L_{i},L_{j}right]&=ihbar epsilon _{ijk}L_{k}\left[L_{i},K_{j}right]&=ihbar epsilon _{ijk}K_{k}\left[K_{i},K_{j}right]&=-ihbar epsilon _{ijk}L_{k}end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9d399d3cce4a3fa5ed6480aaaeb54e9f2807a9)
Los invariantes de Casimir de este álgebra son Pμ μ Pμ μ {textstyle - ¿Sí? y Wμ μ Wμ μ {textstyle ¿Qué? Donde Wμ μ {textstyle W_{mu}} es el seudovector Pauli-Lubanski; sirven como etiquetas para las representaciones del grupo.
El grupo Poincaré es el grupo de simetría completa de cualquier teoría relativista de campo. Como resultado, todas las partículas elementales caen en representaciones de este grupo. Estos son generalmente especificados por el cuatro meses cuadrados de cada partícula (es decir, su masa cuadrada) y los números cuánticos intrínsecos JPC{textstyle J^{PC}, donde J{displaystyle J} es el número de columna cuántica, P{displaystyle P} es la paridad y C{displaystyle C} es el número cuántico de carga-conjugación. En la práctica, la conjugación y la paridad son violadas por muchas teorías de campo cuántico; donde esto ocurre, P{displaystyle P} y C{displaystyle C} están perdidos. Dado que la simetría del CPT es invariante en la teoría del campo cuántico, se puede construir un número cuántico reversal de los dados.
Como espacio topológico, el grupo tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente de tiempo invertido; el componente de inversión espacial; y el componente que es a la vez invertido en el tiempo y espacialmente.
Otras dimensiones
Las definiciones anteriores se pueden generalizar a dimensiones arbitrarias de manera directa. El grupo de Poincaré d-dimensional se define de manera análoga por el producto semidirecto
- IO ()1,d− − 1):=R1,d− − 1⋊ ⋊ O ()1,d− − 1){displaystyle operatorname {IO} (1,d-1):=mathbf {R} ^{1,d-1}rtimes operatorname {O} (1,d-1)}
con la multiplicación análoga
- ()α α ,f)⋅ ⋅ ()β β ,g)=()α α +f⋅ ⋅ β β ,f⋅ ⋅ g){displaystyle (alphaf)cdot (betag)=(alpha +fcdot beta;fcdot g)}.
El álgebra de Lie conserva su forma, con índices µ y ν ahora tomando valores entre 0 y d − 1. La representación alternativa en términos de Ji y K i no tiene análogo en dimensiones superiores.
Super-Álgebra de Poincaré
Una observación relacionada es que las representaciones del grupo Lorentz incluyen un par de representaciones de espinas complejas inequivalentes de dos dimensiones 2{displaystyle 2} y 2̄ ̄ {displaystyle {fnK}} cuyo producto tensor 2⊗ ⊗ 2̄ ̄ =3⊕ ⊕ 1{displaystyle 2otimes {2}=3oplus 1} es la representación conjunta. Uno puede identificar este último bit con el espacio de Minkowski en cuatro dimensiones (a diferencia de identificarlo con una partícula spin-1, como se haría normalmente por un par de fermions, por ejemplo un pión que se compone de un par quark-anti-quark). Esto sugiere fuertemente que podría ser posible extender el álgebra Poincaré para incluir también espinas. Esto conduce directamente a la noción del álgebra super-Poincaré. El atractivo matemático de esta idea es que uno está trabajando con las representaciones fundamentales, en lugar de las representaciones adyacentes. El atractivo físico de esta idea es que las representaciones fundamentales corresponden a los fermions, que se ven en la naturaleza. Hasta ahora, sin embargo, la supersimetría implícita aquí, de una simetría entre direcciones espaciales y fermiónicas, no se ha visto experimentalmente en la naturaleza. El tema experimental se puede decir aproximadamente como la pregunta: si vivimos en la representación conjunta (tiempo espacial de Minkowski), entonces, ¿dónde se esconde la representación fundamental?
