Grupo de permutaciones

En matemáticas, un grupo de permutaciones es un grupo G cuyos elementos son permutaciones de un conjunto dado M y cuya operación de grupo es la composición de permutaciones en G (que se consideran funciones biyectivas del conjunto M a sí mismo). El grupo de todas las permutaciones de un conjunto M es el grupo simétrico de M, a menudo escrito como Sym(M). El término grupo de permutación por lo tanto significa un subgrupo del grupo simétrico. Si M = {1, 2,..., n} entonces Sym(M) generalmente se denota por S_n, y puede llamarse el grupo simétrico en n letras.

Según el teorema de Cayley, todo grupo es isomorfo a algún grupo de permutación.

La forma en que los elementos de un grupo de permutación permutan los elementos del conjunto se denomina acción de grupo. Las acciones grupales tienen aplicaciones en el estudio de simetrías, combinatoria y muchas otras ramas de las matemáticas, la física y la química.

El cubo popular de Rubik inventado en 1974 por Ernő Rubik ha sido utilizado como una ilustración de grupos de permutación. Cada rotación de una capa del cubo resulta en una permutación de los colores superficiales y es miembro del grupo. El grupo de permutación del cubo se llama el grupo cubo del Rubik.

Propiedades básicas y terminología

Al ser un subgrupo de un grupo simétrico, todo lo que se necesita para que un conjunto de permutaciones satisfaga los axiomas de grupo y sea un grupo de permutaciones es que contenga la permutación identidad, la permutación inversa de cada permutación que contiene, y sea cerrado bajo composición de sus permutaciones. Una propiedad general de los grupos finitos implica que un subconjunto finito no vacío de un grupo simétrico es nuevamente un grupo si y solo si es cerrado bajo la operación de grupo.

El grado de un grupo de permutaciones de un conjunto finito es el número de elementos del conjunto. El orden de un grupo (de cualquier tipo) es el número de elementos (cardinalidad) en el grupo. ¡Por el teorema de Lagrange, el orden de cualquier grupo de permutación finito de grado n debe dividir a n! ya que n-factorial es el orden del grupo simétrico S_n.

Notación

Puesto que las permutaciones son bijeones de un conjunto, pueden ser representados por Cauchy notación de dos líneas. Esta notación enumera cada uno de los elementos de M en la primera fila, y para cada elemento, su imagen bajo la permutación debajo de ella en la segunda fila. Si ${displaystyle sigma }$ es una permutación del conjunto ${displaystyle M={x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}$ entonces,

${displaystyle sigma ={begin{pmatrix}x_{1} limitx_{2} limitx_{3} &x_{n}\sigma (x_{1}) limitadasigma (x_{2}) limitadasigma (x_{3}) limitcdots &sigma (x_{n})end{pmatrix}.}$

Por ejemplo, una permutación particular del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} se puede escribir como

${displaystyle sigma ={begin{pmatrix}1 tendría2 segundos3 tarde52 coincidiendo4 con 3 pacientes1end{pmatrix}}$

esto significa que σ satisface σ(1) = 2, σ(2) = 5, σ(3) = 4, σ(4) = 3 y σ(5) = 1. Los elementos de M no necesitan aparecer en cualquier orden especial en la primera fila, por lo que la misma permutación también podría escribirse como

${displaystyle sigma ={begin{pmatrix}3 simultáneamente2 tendrían un cuerpo44 coincidiendo con un paciente2 con 3end{pmatrix}}}$

Las permutaciones también se escriben a menudo en la notación del ciclo (Forma cíclica) así que dado el conjunto M = {1, 2, 3, 4}, una permutación g de M con g(1) = 2, g2) = 4, g(4) = 1 y g(3) = 3 será escrito como (1, 2, 4)(3), o más comúnmente, (1, 2, 4) ya que 3 se deja sin cambios; si los objetos son denotados por letras o dígitos individuales, comas y espacios también pueden ser dispensados, y tenemos una notación como (124). La permutación escrita arriba en notación de 2 líneas sería escrita en notación de ciclo como ${displaystyle sigma =(125)(34).}$

Composición de permutaciones: el producto del grupo

El producto de dos permutaciones se define como su composición como funciones, por lo que ${displaystyle sigma cdot pi }$ es la función que mapea cualquier elemento x del conjunto ${displaystyle sigma (pi (x)}$. Tenga en cuenta que la permutación más correcta se aplica al argumento primero, debido a la forma en que se escribe la composición de la función. Algunos autores prefieren que el factor más izquierdo actúe primero, pero para ese fin las permutaciones deben ser escritas al derecho de su argumento, a menudo como un superscripto, por lo que la permutación ${displaystyle sigma }$ actuando sobre el elemento ${displaystyle x}$ resultados en la imagen ${displaystyle x^{sigma}}$. Con esta convención, el producto es dado por ${displaystyle x^{sigma cdot pi }=(x^{sigma }^{pi }}$. Sin embargo, esto da un diferentes regla para multiplicar las permutaciones. Esta convención se utiliza comúnmente en la literatura del grupo de permutación, pero este artículo utiliza la convención donde se aplica la permutación más adecuada primero.

Dado que la composición de dos biyecciones siempre da otra biyección, el producto de dos permutaciones vuelve a ser una permutación. En la notación de dos líneas, el producto de dos permutaciones se obtiene reorganizando las columnas de la segunda permutación (más a la izquierda) de modo que su primera fila sea idéntica a la segunda fila de la primera permutación (más a la derecha). Entonces, el producto se puede escribir como la primera fila de la primera permutación sobre la segunda fila de la segunda permutación modificada. Por ejemplo, dadas las permutaciones,

${displaystyle P={begin{pmatrix}1 tendría2 limit3 péndulo4 péndulo52 3 péndulo 3 pmátrix}quad {text{ and }quad Q={begin{pmatrix}1 tendría2 tendría4 péndulo55 péndulo4 péndulo 3 péndulo1end{pmatrix}}}$

el producto QP es:

${displaystyle QP={4} {begin4} {pmatrix}}} {pmatrix}}}{pmatrix}1}{pmatrix}1}1}3}3 {4}0}$

La composición de las permutaciones, cuando se escriben en notación cíclica, se obtiene yuxtaponiendo las dos permutaciones (con la segunda escrita a la izquierda) y luego simplificando a una forma cíclica disjunta si se desea. Así, el producto anterior estaría dado por:

${displaystyle Qcdot P=(15)(24)cdot (1243)=(1435).}$

Puesto que la composición de la función es asociativa, así es la operación del producto en permutaciones: ${displaystyle (sigma cdot pi)cdot rho =sigma cdot (pi cdot rho)}$. Por lo tanto, los productos de dos o más permutaciones se escriben generalmente sin agregar paréntesis a la agrupación expresa; también se escriben generalmente sin un punto u otro signo para indicar la multiplicación (los puntos del ejemplo anterior se agregaron para el énfasis, por lo que simplemente se escribiría como ${displaystyle sigma pi rho }$).

Elemento neutro e inversos

La permutación de identidad, que asigna cada elemento del conjunto a sí mismo, es el elemento neutral de este producto. En notación de dos líneas, la identidad es

${displaystyle {begin{pmatrix}1⁄2 ventaja3 limitadacdots & n1⁄2 limite3 frunts &nend{pmatrix}}$

En notación cíclica, e = (1)(2)(3)...(n) que por convención también se denota simplemente por (1) o incluso ().

Dado que las biyecciones tienen inversas, también las tienen, y la inversa σ⁻¹ de σ es nuevamente una permutación. Explícitamente, siempre que σ(x)=y uno también tiene σ⁻¹ (y)=x. En la notación de dos líneas, el inverso se puede obtener intercambiando las dos líneas (y clasificando las columnas si se desea que la primera línea esté en un orden dado). Por ejemplo

${displaystyle {begin{pmatrix}1 tendrían que haber tenido una relación de dos veces más de dos veces más de dos.000 personas.$

Para obtener el inverso de un solo ciclo, invertimos el orden de sus elementos. Por lo tanto,

${displaystyle (125)^{-1}=(521)=(152). }$

Para obtener el inverso de un producto de ciclos, primero invertimos el orden de los ciclos y luego tomamos el inverso de cada uno como se indicó anteriormente. Por lo tanto,

${displaystyle [(125)(34)]^{-1}=(34)^{-1}(125)^{-1}=(43)(521)=(34)(152). }$

Tener un producto asociativo, un elemento de identidad e inversos para todos sus elementos, convierte el conjunto de todas las permutaciones de M en un grupo, Sym(M); un grupo de permutaciones.

Ejemplos

Considere el siguiente conjunto G₁ de permutaciones del conjunto M = {1, 2, 3, 4}:

• e = (1)(2)(3)(4) = (1)
  • Esta es la identidad, la permutación trivial que fija cada elemento.
• a = (1 2) 3)(4) = (1 2)
  • Esta permutación intercambia 1 y 2, y fija 3 y 4.
• b = (1)(2)(3 4) = (3 4)
  • Como el anterior, pero intercambiando 3 y 4, y arreglando los otros.
• ab = (1 2)(3 4)
  • Esta permutación, que es la composición de los dos anteriores, intercambia simultáneamente 1 con 2, y 3 con 4.

G₁ forma un grupo, ya que aa = bb = e, ba = ab y abab = e. Este grupo de permutación es isomorfo, como grupo abstracto, al grupo de Klein V₄.

Como otro ejemplo, considere el grupo de simetrías de un cuadrado. Deje que los vértices de un cuadrado se rotulen 1, 2, 3 y 4 (en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del cuadrado que comienza con 1 en la esquina superior izquierda). Las simetrías están determinadas por las imágenes de los vértices, que a su vez pueden ser descritas por permutaciones. La rotación de 90° (en sentido antihorario) alrededor del centro del cuadrado se describe mediante la permutación (1234). Las rotaciones de 180° y 270° están dadas por (13)(24) y (1432), respectivamente. La reflexión sobre la línea horizontal que pasa por el centro viene dada por (12)(34) y la reflexión de la línea vertical correspondiente es (14)(23). La reflexión sobre la línea diagonal 1,3 es (24) y la reflexión sobre la diagonal 2,4 es (13). La única simetría restante es la identidad (1)(2)(3)(4). Este grupo de permutaciones se conoce de manera abstracta como el grupo diédrico de orden 8.

Acciones de grupo

En el ejemplo anterior del grupo de simetría de un cuadrado, las permutaciones "describen" el movimiento de los vértices del cuadrado inducido por el conjunto de simetrías. Es común decir que estos elementos del grupo son "actuando" en el conjunto de vértices del cuadrado. Esta idea se puede precisar definiendo formalmente una acción de grupo.

Sea G un grupo y M un conjunto no vacío. Una acción de G sobre M es una función f: G × M → M tal que

• f(1, x) x, para todos x dentro M (1 es el elemento de identidad (neutral) del grupo G), y
• f()g, f()h, x) = f()gh, x), para todos g,h dentro G y todos x dentro M.

Este par de condiciones también se puede expresar diciendo que la acción induce un homomorfismo de grupo de G a Sym(M). Cualquier homomorfismo de este tipo se denomina representación (permutación) de G en M.

Para cualquier grupo de permutación, la acción que envía (g, x) → g(x) se llama la acción natural de G sobre M. Esta es la acción que se asume a menos que se indique lo contrario. En el ejemplo del grupo de simetría del cuadrado, la acción del grupo sobre el conjunto de vértices es la acción natural. Sin embargo, este grupo también induce una acción sobre el conjunto de cuatro triángulos en el cuadrado, que son: t₁ = 234, t₂ = 134, t₃ = 124 y t₄ = 123. También actúa en las dos diagonales: d₁ = 13 y d₂ = 24.

Acciones transitivas

Se dice que la acción de un grupo G sobre un conjunto M es transitiva si, para cada dos elementos s< /i>, t de M, hay algún elemento de grupo g tal que g(s ) = t. De manera equivalente, el conjunto M forma una sola órbita bajo la acción de G. De los ejemplos anteriores, el grupo {e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} de permutaciones de {1, 2, 3, 4} no es transitivo (ningún elemento del grupo toma 1 a 3) pero el conjunto de simetrías de un cuadrado es transitivo en los vértices.

Acciones primitivas

Un grupo de permutaciones G que actúa transitivamente sobre un conjunto finito no vacío M es imprimitivo si existe alguna partición de conjunto no trivial de M que se conserva por la acción de G, donde "no trivial" significa que la partición no es la partición en conjuntos singleton ni la partición con una sola parte. De lo contrario, si G es transitivo pero no conserva ninguna partición no trivial de M, el grupo G es primitivo.

Por ejemplo, el grupo de simetrías de un cuadrado es imprimitivo en los vértices: si se numeran 1, 2, 3, 4 en orden cíclico, entonces la partición {{1, 3}, {2, 4}} en pares opuestos es preservado por cada elemento del grupo. Por otro lado, el grupo simétrico completo en un conjunto M es siempre primitivo.

Teorema de Cayley

Cualquier grupo G puede actuar sobre sí mismo (considerándose los elementos del grupo como el conjunto M) de muchas formas. En particular, hay una acción regular dada por la multiplicación (izquierda) en el grupo. Es decir, f(g, x) = gx para todo g y x en G. Para cada g fijo, la función f_g(x) = gx es una biyección sobre G y por lo tanto una permutación del conjunto de elementos de G. Cada elemento de G se puede considerar como una permutación de esta manera, por lo que G es isomorfo a un grupo de permutaciones; este es el contenido del teorema de Cayley.

Por ejemplo, considere el grupo G₁ actuando sobre el conjunto {1, 2, 3, 4} dado arriba. Denotemos los elementos de este grupo por e, a, b y c = ab< /i> = ba. La acción de G₁ sobre sí mismo descrita en el teorema de Cayley da la siguiente representación de permutación:

f_e ↦e)a)b)c)

f_a ↦ea)bc)

f_b ↦eb)ac)

f_c ↦ec)ab).

Isomorfismos de grupos de permutación

Si G y H son dos grupos de permutaciones en conjuntos X e Y con acciones f ₁ y f₂ respectivamente, entonces decimos que G y H son isomorfos de permutación (o isomorfos como grupos de permutación) si existe un mapa biyectivo λ: < i>X → Y y un isomorfismo de grupo ψ: G → H tal que

λ()f₁()g, x) = f₂()↑()g), λ()x) para todos g dentro G y x dentro X.

Si X = Y esto es equivalente a G y H siendo conjugados como subgrupos de Sym(X). El caso especial donde G = H y ψ es el mapa de identidad da lugar a la concepto de acciones equivalentes de un grupo.

En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado dado arriba, la acción natural sobre el conjunto {1,2,3,4} es equivalente a la acción sobre los triángulos. La biyección λ entre los conjuntos está dada por i ↦ t_i. La acción natural del grupo G₁ anterior y su acción sobre sí mismo (a través de la multiplicación por la izquierda) no son equivalentes ya que la acción natural tiene puntos fijos y la segunda acción no.

Grupos oligomorfos

Cuando un grupo G actúa sobre un conjunto S, la acción puede extenderse naturalmente al producto cartesiano Sⁿ< /i> de S, que consta de n-tuplas de elementos de S: la acción de un elemento g en la tupla n (s₁,..., s_{n< /i>}) está dada por

g()s₁,... s_n) =g()s₁),... g()s_n)).

Se dice que el grupo G es oligomorfo si la acción sobre Sⁿ tiene un número finito de órbitas para cada entero positivo n. (Esto es automático si S es finito, por lo que el término suele ser de interés cuando S es infinito).

El interés en los grupos oligomórficos se basa en parte en su aplicación a la teoría de modelos, por ejemplo, cuando se consideran automorfismos en teorías categóricas contables.

Historia

El estudio de los grupos surgió originalmente de la comprensión de los grupos de permutación. Las permutaciones habían sido estudiadas intensamente por Lagrange en 1770 en su trabajo sobre las soluciones algebraicas de ecuaciones polinómicas. Este tema floreció y, a mediados del siglo XIX, existía una teoría bien desarrollada de los grupos de permutación, codificada por Camille Jordan en su libro Traité des Substitutions et des Équations Algébriques de 1870. El libro de Jordan fue, a su vez, a partir de los papeles que dejó Évariste Galois en 1832.

Cuando Cayley introdujo el concepto de grupo abstracto, no quedó inmediatamente claro si se trataba o no de una colección de objetos más grande que los grupos de permutación conocidos (que tenían una definición diferente a la moderna). Cayley pasó a demostrar que los dos conceptos eran equivalentes en el teorema de Cayley.

Otro texto clásico que contiene varios capítulos sobre grupos de permutación es la Teoría de los grupos de orden finito de Burnside de 1911. La primera mitad del siglo XX fue un período en barbecho en el estudio de los grupos de permutación. la teoría en general, pero el interés en los grupos de permutación fue revivido en la década de 1950 por H. Wielandt, cuyas notas de conferencias en alemán se reimprimieron como Finite Permutation Groups en 1964.