Grupo de mentiras

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Grupo que también es un grupo diferente con operaciones de grupo que son suaves

En matemáticas, un grupo de Lie (pronunciado LEE) es un grupo que también es una variedad diferenciable. Una variedad es un espacio que localmente se asemeja al espacio euclidiano, mientras que los grupos definen el concepto abstracto de una operación binaria junto con las propiedades adicionales que debe tener para ser considerada como una "transformación" en el sentido abstracto, por ejemplo, la multiplicación y la toma de inversas (división), o de manera equivalente, el concepto de suma y la toma de inversas (resta). Combinando estas dos ideas, se obtiene un grupo continuo donde los puntos de multiplicación y sus inversos son continuos. Si la multiplicación y la toma de inversas también son suaves (diferenciables), se obtiene un grupo de Lie.

Los grupos de mentiras proporcionan un modelo natural para el concepto de simetría continua, un ejemplo célebre de los cuales es la simetría rotacional en tres dimensiones (procedido por el grupo ortogonal especial ${displaystyle {text{SO}}(3)}$ ). Los grupos de mentira son ampliamente utilizados en muchas partes de las matemáticas y física modernas.

Los grupos de mentira se encontraron primero estudiando subgrupos de matriz $G$ contenidas en ${displaystyle {text{GL}}_{n}(mathbb {R})}$ o ${displaystyle {text{GL}}_{n}(mathbb {C})}$ , el grupos de $ntimes n$ matrices invertibles sobre $mathbb {R}$ o $mathbb {C}$ . Estos son ahora llamados grupos clásicos, ya que el concepto se ha extendido mucho más allá de estos orígenes. Los grupos de mentiras son nombrados después del matemático noruego Sophus Lie (1842-1899), que sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua. La motivación original de Lie para introducir Los grupos de mentiras fueron modelar las simetrías continuas de las ecuaciones diferenciales, de la misma manera que los grupos finitos se utilizan en la teoría de Galois para modelar las simetrías discretas de las ecuaciones algebraicas.

Historia

Según la fuente más autorizada sobre la historia temprana de los grupos de Lie (Hawkins, p. 1), el propio Sophus Lie consideró el invierno de 1873-1874 como la fecha de nacimiento de su teoría de los grupos continuos. Hawkins, sin embargo, sugiere que fue la prodigiosa actividad de investigación de 'Lie' durante el período de cuatro años desde el otoño de 1869 hasta el otoño de 1873'. que condujo a la creación de la teoría (ibid). Algunas de las primeras ideas de Lie se desarrollaron en estrecha colaboración con Felix Klein. Lie se reunió con Klein todos los días desde octubre de 1869 hasta 1872: en Berlín desde finales de octubre de 1869 hasta finales de febrero de 1870, y en París, Göttingen y Erlangen en los dos años siguientes (ibid, p.. 2). Lie afirmó que todos los resultados principales se obtuvieron en 1884. Pero durante la década de 1870, todos sus artículos (excepto la primera nota) se publicaron en revistas noruegas, lo que impidió el reconocimiento del trabajo en el resto de Europa (ibid, pág. 76). En 1884, un joven matemático alemán, Friedrich Engel, se puso a trabajar con Lie en un tratado sistemático para exponer su teoría de los grupos continuos. De este esfuerzo resultó la Theorie der Transformationsgruppen en tres volúmenes, publicada en 1888, 1890 y 1893. El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis de Arthur Tresse, alumno de Lie.

Las ideas de Lie no estaban aisladas del resto de las matemáticas. De hecho, su interés por la geometría de las ecuaciones diferenciales fue motivado primero por el trabajo de Carl Gustav Jacobi, sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden y sobre las ecuaciones de la mecánica clásica. Gran parte del trabajo de Jacobi se publicó póstumamente en la década de 1860, generando un enorme interés en Francia y Alemania (Hawkins, p. 43). La idée fixe de Lie fue desarrollar una teoría de simetrías de ecuaciones diferenciales que lograría para ellos lo que Évariste Galois había hecho para las ecuaciones algebraicas: es decir, clasificarlas en términos de teoría de grupos. Lie y otros matemáticos demostraron que las ecuaciones más importantes para funciones especiales y polinomios ortogonales tienden a surgir de simetrías teóricas de grupos. En los primeros trabajos de Lie, la idea era construir una teoría de grupos continuos, para complementar la teoría de grupos discretos que se había desarrollado en la teoría de las formas modulares, de la mano de Felix Klein. y Henri Poincaré. La aplicación inicial que Lie tenía en mente era la teoría de ecuaciones diferenciales. Sobre el modelo de la teoría de Galois y las ecuaciones polinómicas, la concepción impulsora era la de una teoría capaz de unificar, mediante el estudio de la simetría, todo el ámbito de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, la esperanza de que la Teoría de la Mentira unificara todo el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias no se cumplió. Los métodos de simetría para las EDO continúan estudiándose, pero no dominan el tema. Existe una teoría diferencial de Galois, pero fue desarrollada por otros, como Picard y Vessiot, y proporciona una teoría de cuadraturas, las integrales indefinidas requeridas para expresar soluciones.

Un ímpetu adicional para considerar los grupos continuos provino de las ideas de Bernhard Riemann, sobre los fundamentos de la geometría, y su posterior desarrollo en manos de Klein. Así, Lie combinó tres temas principales de las matemáticas del siglo XIX al crear su nueva teoría: la idea de simetría, ejemplificada por Galois a través de la noción algebraica de grupo; la teoría geométrica y las soluciones explícitas de las ecuaciones diferenciales de la mecánica, elaboradas por Poisson y Jacobi; y la nueva comprensión de la geometría que surgió en las obras de Plücker, Möbius, Grassmann y otros, y culminó en la revolucionaria visión del tema de Riemann.

Aunque hoy en día se reconoce legítimamente a Sophus Lie como el creador de la teoría de los grupos continuos, Wilhelm Killing dio un gran paso en el desarrollo de su teoría estructural, que iba a tener una profunda influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas. quien en 1888 publicó el primer artículo de una serie titulada Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (La composición de grupos de transformación finitos continuos) (Hawkins, p. 100). El trabajo de Killing, más tarde perfeccionado y generalizado por Élie Cartan, condujo a la clasificación de álgebras de Lie semisimples, la teoría de los espacios simétricos de Cartan y la descripción de Hermann Weyl de representaciones de grupos de Lie compactos y semisimples utilizando los pesos más altos..

En 1900, David Hilbert desafió a los teóricos de la mentira con su Quinto Problema presentado en el Congreso Internacional de Matemáticos en París.

Weyl llevó a buen término el período inicial del desarrollo de la teoría de los grupos de Lie, ya que no solo clasificó las representaciones irreducibles de los grupos de Lie semisimples y conectó la teoría de grupos con la mecánica cuántica, sino que también puso a Lie' La teoría de Lie sobre una base más firme al enunciar claramente la distinción entre los grupos infinitesimales de Lie (es decir, álgebras de Lie) y los grupos de Lie propiamente dichos, y comenzó investigaciones sobre la topología de los grupos de Lie. La teoría de los grupos de Lie fue reelaborada sistemáticamente en lenguaje matemático moderno en una monografía de Claude Chevalley.

Resumen

El conjunto de todos los números complejos con valor absoluto 1 (correspondiendo a los puntos en el círculo del centro 0 y radio 1 en el plano complejo) es un grupo Lie bajo la multiplicación compleja: el grupo círculo.

Los grupos de mentira son variedades diferenciables suaves y, como tales, se pueden estudiar mediante cálculo diferencial, en contraste con el caso de grupos topológicos más generales. Una de las ideas clave en la teoría de los grupos de Lie es reemplazar el objeto global, el grupo, por su versión local o linealizada, que el propio Lie denominó su "grupo infinitesimal" y que desde entonces se conoce como su álgebra de Lie.

Los grupos de mentira juegan un papel enorme en la geometría moderna, en varios niveles diferentes. Felix Klein argumentó en su programa de Erlangen que uno puede considerar varias "geometrías" especificando un grupo de transformación apropiado que deja ciertas propiedades geométricas invariantes. Así, la geometría euclidiana corresponde a la elección del grupo E(3) de transformaciones que preservan la distancia del espacio euclidiano R³, la geometría conforme corresponde a la ampliación del grupo al conforme grupo, mientras que en geometría proyectiva uno está interesado en las propiedades invariantes bajo el grupo proyectivo. Esta idea más tarde condujo a la noción de una estructura G, donde G es un grupo de Lie de "local" simetrías de una variedad.

Los grupos de Lie (y sus álgebras de Lie asociadas) desempeñan un papel importante en la física moderna, y el grupo de Lie suele desempeñar el papel de una simetría de un sistema físico. Aquí, las representaciones del grupo de Lie (o de su álgebra de Lie) son especialmente importantes. La teoría de la representación se utiliza ampliamente en la física de partículas. Los grupos cuyas representaciones son de particular importancia incluyen el grupo de rotación SO(3) (o su doble cubierta SU(2)), el grupo unitario especial SU(3) y el grupo de Poincaré.

En un "global" nivel, cada vez que un grupo de Lie actúa sobre un objeto geométrico, como un riemanniano o una variedad simpléctica, esta acción proporciona una medida de rigidez y produce una rica estructura algebraica. La presencia de simetrías continuas expresadas a través de una acción de grupo de Lie en una variedad impone fuertes restricciones a su geometría y facilita el análisis de la variedad. Las acciones lineales de los grupos de Lie son especialmente importantes y se estudian en la teoría de la representación.

En las décadas de 1940 y 1950, Ellis Kolchin, Armand Borel y Claude Chevalley se dieron cuenta de que muchos resultados fundamentales relacionados con los grupos de Lie se pueden desarrollar de forma completamente algebraica, lo que dio lugar a la teoría de los grupos algebraicos definidos sobre un campo arbitrario. Esta idea abrió nuevas posibilidades en el álgebra pura, al proporcionar una construcción uniforme para la mayoría de los grupos simples finitos, así como en la geometría algebraica. La teoría de las formas automórficas, una rama importante de la teoría de números moderna, se ocupa extensamente de los análogos de los grupos de Lie sobre los anillos de adele; Los grupos de Lie p-ádicos juegan un papel importante, a través de sus conexiones con las representaciones de Galois en la teoría de números.

Definiciones y ejemplos

Un grupo de Lie real es un grupo que también es una variedad suave real de dimensión finita, en el que las operaciones de grupo de multiplicación e inversión son mapas suaves. Suavidad de la multiplicación de grupos.

mu:Gtimes Gto Gquad mu (x,y)=xy

significa que μ es un mapeo uniforme de la variedad de productos G × G en G. Los dos requisitos se pueden combinar con el único requisito de que el mapeo

(x,y)mapsto x^{-1}y

ser un mapeo fluido de la variedad de productos en G.

Primeros ejemplos

Las matrices invertibles de 2×2 forman un grupo bajo multiplicación, denotado por GL(2, R) o por GL₂()R):

{displaystyle operatorname {GL} (2,mathbf {R})=left{A={begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}:,det A=ad-bcneq 0right}.}

Este es un verdadero no-compacto cuatridimensional Grupo de mentira; es un subconjunto abierto de

{mathbb R}^{4}

. Este grupo está desconectado; tiene dos componentes conectados correspondientes a los valores positivos y negativos del determinante.

Las matrices de rotación forman un subgrupo de GL(2, R), denotado por SO(2, R). Es un grupo de Lie en su propio derecho: específicamente, un grupo de Lie compacto unidimensional conectado que es diffeomorfo al círculo. Usando el ángulo de rotación $varphi$ como parámetro, este grupo puede parametrizarse de la siguiente manera:

{displaystyle operatorname {SO} (2,mathbf {R})=left{{begin{pmatrix}cos varphi &-sin varphi \sin varphi &cos varphi end{pmatrix}}:,varphi in mathbf {R} /2pi mathbf {Z} right}.}

La adición de los ángulos corresponde a la multiplicación de los elementos SO(2, R), y tomar el ángulo opuesto corresponde a la inversión. Así tanto la multiplicación como la inversión son mapas diferenciables.

El grupo affine de una dimensión es una matriz bidimensional Grupo de mentiras, compuesto por $2times 2$ matrices reales, triangulares superiores, con la primera entrada diagonal siendo positiva y la segunda entrada diagonal siendo 1. Así, el grupo consta de matrices de la forma

0,,bin mathbb {R}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A=()ab01),a■0,b▪ ▪ R.{displaystyle A=left({begin{array}{cc}a limitb limit1end{array}}right),quad a título0,,bin mathbb {R}0,,bin mathbb {R}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821f7e2f4d606c47bd86a998a0456a5fce080333" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.548ex; height:6.176ex;"/>

No ejemplo

Ahora presentamos un ejemplo de un grupo con un número incontable de elementos que no es un grupo de Lie bajo una determinada topología. El grupo dado por

{displaystyle H=left{left({begin{matrix}e^{2pi itheta }&0\0&e^{2pi iatheta }end{matrix}}right):,theta in mathbb {R} right}subset mathbb {T} ^{2}=left{left({begin{matrix}e^{2pi itheta }&0\0&e^{2pi iphi }end{matrix}}right):,thetaphi in mathbb {R} right},}

con ${displaystyle ain mathbb {R} setminus mathbb {Q} }$ a fijo número irracional, es un subgrupo del toro ${mathbb T}^{2}$ que no es un grupo de Lie cuando se le da la topología subespacial. Si tomamos un pequeño vecindario $U$ de un punto $h$ dentro $H$ , por ejemplo, la porción de $H$ dentro $U$ está desconectado. El grupo $H$ vientos repetidamente alrededor del toro sin llegar a un punto anterior de la espiral y así forma un subgrupo denso ${mathbb T}^{2}$ .

Una parte del grupo

H

dentro

{mathbb T}^{2}

. Pequeños barrios del elemento

hin H

están desconectados en la topología del subconjunto

H

El grupo $H$ puede, sin embargo, recibir una topología diferente, en la que la distancia entre dos puntos ${displaystyle h_{1},h_{2}in H}$ se define como la longitud del camino más corto en el grupo $H$ unirse $h_{1}$ a $h_{2}$ . En esta topología, $H$ se identifica homeomorfamente con la línea real identificando cada elemento con el número $theta$ en la definición de $H$ . Con esta topología, $H$ es sólo el grupo de números reales bajo adición y es por lo tanto un grupo de Lie.

El grupo $H$ es un ejemplo de un subgrupo "Lie" de un grupo Lie que no está cerrado. Vea la discusión a continuación de los subgrupos de Lie en la sección sobre conceptos básicos.

Grupos Matrix Lie

Vamos $operatorname {GL}(n,{mathbb {C}})$ denota el grupo $ntimes n$ matrices invertibles con entradas $mathbb {C}$ . Todo subgrupo cerrado $operatorname {GL}(n,{mathbb {C}})$ es un grupo de Lie; grupos de mentira de este tipo se llaman matriz Grupos de mentira. Puesto que la mayoría de los ejemplos interesantes de los grupos de Lie se pueden realizar como matriz Grupos de mentira, algunos libros de texto restringen la atención a esta clase, incluyendo los de Hall, Rossmann y Stillwell. Restricting attention to matriz Los grupos de mentira simplifica la definición del álgebra de Lie y el mapa exponencial. Los siguientes son ejemplos estándar de grupos de matriz Lie.

Los grupos lineales especiales sobre $mathbb {R}$ y $mathbb {C}$ , ${displaystyle operatorname {SL} (n,mathbb {R})}$ y ${displaystyle operatorname {SL} (n,mathbb {C})}$ , que consiste en $ntimes n$ matrices con determinante y entradas $mathbb {R}$ o $mathbb {C}$
Grupos unitarios y grupos unitarios especiales, ${displaystyle {text{U}}(n)}$ y ${displaystyle {text{SU}}(n)}$ , que consiste en $ntimes n$ matrices complejas satisfactorias ${displaystyle U^{*}=U^{-1}}$ (y también ${displaystyle det(U)=1}$ en el caso de ${displaystyle {text{SU}}(n)}$ )
Grupos ortogonales y grupos ortogonales especiales, ${displaystyle {text{O}}(n)}$ y ${displaystyle {text{SO}}(n)}$ , que consiste en $ntimes n$ matrices reales satisfactorias ${displaystyle R^{mathrm {T} }=R^{-1}}$ (y también $det(R)=1$ en el caso de ${displaystyle {text{SO}}(n)}$ )

Todos los ejemplos anteriores caen bajo el encabezado de los grupos clásicos.

Conceptos relacionados

A complejo Grupo de mentiras se define de la misma manera usando múltiples complejos en lugar de reales (ejemplo: $operatorname {SL} (2,mathbb {C})$ ), y mapas holomorficos. Del mismo modo, utilizando una terminación métrica alternativa $mathbb {Q}$ , uno puede definir a p-adic Grupo de mentiras sobre los números p-adic, un grupo topológico que también es un análisis p- adic múltiple, tal que las operaciones del grupo son analíticas. En particular, cada punto tiene un p- vecindario médico.

El quinto problema de Hilbert planteaba si la sustitución de variedades diferenciables por otras topológicas o analíticas puede generar nuevos ejemplos. La respuesta a esta pregunta resultó ser negativa: en 1952, Gleason, Montgomery y Zippin demostraron que si G es una variedad topológica con operaciones grupales continuas, entonces existe exactamente una estructura analítica en G que lo convierte en un grupo de Lie (ver también la conjetura de Hilbert-Smith). Si se permite que la variedad subyacente sea de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Hilbert), entonces se llega a la noción de un grupo de Lie de dimensión infinita. Es posible definir análogos de muchos grupos de Lie sobre campos finitos, y estos dan la mayoría de los ejemplos de grupos simples finitos.

El lenguaje de la teoría de categorías proporciona una definición concisa de los grupos de Lie: un grupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de variedades uniformes. Esto es importante, porque permite la generalización de la noción de grupo de Lie a supergrupos de Lie. Este punto de vista categórico conduce también a una generalización diferente de los grupos de Lie, a saber, los groupoides de Lie, que son objetos grupoides en la categoría de variedades suaves con un requisito adicional.

Definición topológica

A El grupo de mentiras se puede definir como un grupo topológico (Hausdorff) que, cerca del elemento de identidad, se parece a un grupo de transformación, sin referencia a múltiples ejes diferentes. Primero, definimos un inmersely linear Grupo de mentiras ser un subgrupo G del grupo lineal general $operatorname {GL}(n,{mathbb {C}})$ tales que

para algún vecindario V del elemento de identidad e dentro G, la topología en V es la topología subespacial de $operatorname {GL}(n,{mathbb {C}})$ y V está cerrado $operatorname {GL}(n,{mathbb {C}})$ .
G tiene a la mayoría de los componentes conectados.

(Por ejemplo, un subgrupo cerrado de $operatorname {GL}(n,{mathbb {C}})$ ; es decir, una matriz El grupo de mentira satisface las condiciones anteriores.)

Entonces, un grupo de Lie se define como un grupo topológico que (1) es localmente isomorfo cerca de las identidades de un grupo de Lie inmersamente lineal y (2) tiene como máximo muchos componentes conectados numerables. Mostrar la definición topológica es equivalente a la habitual es técnico (y los lectores principiantes deben omitir lo siguiente), pero se hace más o menos de la siguiente manera:

Dado un grupo de Lie G en el sentido común, el grupo Lie – La correspondencia de álgebra de Lie (o una versión del tercer teorema de Lie) construye un subgrupo de Lie inmerso ${displaystyle G'subset operatorname {GL} (n,mathbb {C})}$ tales que ${displaystyle G,G'}$ compartir la misma Lie algebra; por lo tanto, son localmente isomorfos. Por lo tanto, G satisface la definición topológica anterior.
Por el contrario, vamos G ser un grupo topológico que es un grupo de Lie en el sentido topológico anterior y elegir un immersely lineal Grupo de mentiras $G'$ que es localmente isomorfo a G. Luego, por una versión del teorema del subgrupo cerrado, $G'$ es un manifold real-analítico y luego, a través del isomorfismo local, G adquiere una estructura de múltiple cerca del elemento de identidad. Una muestra entonces que la ley del grupo G puede ser dado por la serie de potencia formal; por lo que las operaciones del grupo son reales-analíticas y G en sí mismo es un manifold real-analítico.

La definición topológica implica la afirmación de que si dos grupos de Lie son isomorfos como grupos topológicos, entonces son isomorfos como grupos de Lie. De hecho, establece el principio general de que, en gran medida, la topología de un grupo de Lie junto con la ley del grupo determina la geometría del grupo.

Más ejemplos de grupos de Lie

Los grupos de mentiras ocurren en abundancia en las matemáticas y la física. Los grupos de matrices o grupos algebraicos son (aproximadamente) grupos de matrices (por ejemplo, grupos ortogonales y simplécticos), y estos dan la mayoría de los ejemplos más comunes de grupos de Lie.

Dimensiones uno y dos

Los únicos grupos conectados de Lie con dimensión uno son la línea real $mathbb {R}$ (con la operación del grupo añadiendo) y el grupo del círculo $S^{1}$ de números complejos con valor absoluto uno (con la operación del grupo siendo multiplicación). El $S^{1}$ grupo es a menudo denotado $U(1)$ , el grupo de $1times 1$ matrices unitarias.

En dos dimensiones, si restringimos la atención a grupos simplemente conectados, entonces se clasifican por sus álgebras Lie. Hay (hasta el isomorfismo) sólo dos álgebras Lie de la dimensión dos. Los grupos asociados simplemente conectados Lie son $mathbb {R} ^{2}$ (con la operación del grupo siendo adición vectorial) y el grupo affine en la dimensión uno, descrito en la subsección anterior bajo "primeros ejemplos".

Ejemplos adicionales

El grupo SU(2) es el grupo $2times 2$ matrices unitarias con determinantes $1$ . Topológicamente, ${displaystyle {text{SU}}(2)}$ es $3$ - Esphere $S^{3}$ ; como grupo, se puede identificar con el grupo de quaternions unitarios.
El grupo Heisenberg es un nilpotente conectado Grupo de mentira de dimensión $3$ , jugar un papel clave en la mecánica cuántica.
El grupo Lorentz es un grupo de Lie de 6 dimensiones de isometrías lineales del espacio de Minkowski.
El grupo Poincaré es un grupo de Lie de 10 dimensiones de isometrías affine del espacio de Minkowski.
Los grupos excepcionales de Lie de tipos G2, F4, E6, E7, E8 tienen dimensiones 14, 52, 78, 133 y 248. Junto con la serie A-B-C-D de grupos simples Lie, los grupos excepcionales completan la lista de grupos simples Lie.
El grupo simpléctico ${displaystyle {text{Sp}}(2n,mathbb {R})}$ consta de todo ${displaystyle 2ntimes 2n}$ matrices preservando un forma simpática on ${mathbb {R}}^{{2n}}$ . Es un grupo conectado de Lie de dimensión ${displaystyle 2n^{2}+n}$ .

Construcciones

Hay varias formas estándar de formar nuevos grupos de Lie a partir de los antiguos:

El producto de dos grupos Lie es un grupo Lie.
Cualquier subgrupo cerrado topológicamente de un grupo Lie es un grupo Lie. Esto se conoce como el teorema del subgrupo cerrado o Teorema de Cartan.
El cociente de un grupo Lie por un subgrupo normal cerrado es un grupo Lie.
La cubierta universal de un grupo de Lie conectado es un grupo Lie. Por ejemplo, el grupo $mathbb {R}$ es la cubierta universal del grupo círculo $S^{1}$ . De hecho, cualquier cobertura de un manifold diferente es también un manifold diferente, pero especificando universal cubierta, se garantiza una estructura de grupo (compatible con sus otras estructuras).

Nociones relacionadas

Algunos ejemplos de grupos que no son grupos de Lie (excepto en el sentido trivial de que cualquier grupo que tenga como máximo muchos elementos contables puede verse como un grupo de Lie de dimensión 0, con la topología discreta), están:

Grupos infinitos, como el grupo aditivo de un espacio vectorial real de dimensiones infinitas, o el espacio de funciones suaves de un múltiple $X$ a un grupo Lie $G$ , ${displaystyle C^{infty }(X,G)}$ . Estos no son grupos de mentira como no finito-dimensional Manifolds.
Algunos grupos totalmente desconectados, como el grupo Galois de una extensión infinita de campos, o el grupo aditivo del p- números médicos. Estos no son grupos de Lie porque sus espacios subyacentes no son grandes. (Algunos de estos grupos son "p-adic Lie groups".) En general, sólo los grupos topológicos tienen propiedades locales similares a Rⁿ para algunos enteros positivos n pueden ser grupos de Lie (por supuesto que también deben tener una estructura diferente).

Conceptos básicos

El álgebra de Lie asociada con un grupo de Lie

(feminine)

A cada grupo de Lie le podemos asociar un álgebra de Lie cuyo espacio vectorial subyacente es el espacio tangente del grupo de Lie en el elemento identidad y que captura completamente la estructura local del grupo. De manera informal, podemos pensar en los elementos del álgebra de Lie como elementos del grupo que son "infinitesimalmente cercanos" a la identidad, y el corchete de Lie del álgebra de Lie está relacionado con el conmutador de dos elementos infinitesimales. Antes de dar la definición abstracta damos algunos ejemplos:

El álgebra Lie del espacio vectorial Rⁿ es sólo Rⁿ con el soporte de Lie
[A,B= 0.
(En general el soporte Lie de un grupo conectado Lie es siempre 0 si y sólo si el grupo Lie es abeliano.)
El álgebra de Lie del grupo lineal general GL(n, C) de matrices invertibles es el espacio vectorial M(n, C) de matrices cuadradas con el soporte de Lie dado por
[A,B= AB−BA.
Si G es un subgrupo cerrado de GL(n, C) entonces el álgebra de Lie de G puede ser pensado informalmente como las matrices m of M(n, C) tal que 1 + εm está dentro G, donde ε es un número positivo infinitesimal con ε²= 0 (por supuesto, no existe tal número real ε). Por ejemplo, el grupo ortogonal O(n, R) consiste en matrices A con AA^T= 1, por lo que el álgebra de Lie consiste en las matrices m con 1 + εm)(1 + εm)^T= 1, que equivale a m+m^T= 0 porque ε²= 0.
La descripción anterior se puede hacer más rigurosa como sigue. El álgebra de Lie de un subgrupo cerrado G of GL(n, C), puede ser calculado como

{displaystyle operatorname {Lie} (G)={Xin M(n;mathbb {C})|operatorname {exp} (tX)in G{text{ for all }}t{text{ in }}mathbb {mathbb {R} } },}

donde exp(tX) se define utilizando la matriz exponencial. Se puede entonces mostrar que el álgebra de Lie de G es un espacio vectorial real que se cierra bajo la operación del soporte,

{displaystyle [X,Y]=XY-YX}

Es fácil trabajar con la definición concreta dada anteriormente para los grupos de matrices, pero tiene algunos problemas menores: para usarla, primero debemos representar un grupo de Lie como un grupo de matrices, pero no todos los grupos de Lie se pueden representar en este manera, y ni siquiera es obvio que el álgebra de Lie es independiente de la representación que usamos. Para sortear estos problemas damos la definición general del álgebra de Lie de un grupo de Lie (en 4 pasos):

Campos vectoriales en cualquier manifold suave M puede ser pensado como derivaciones X del anillo de funciones suaves en el múltiple, y por lo tanto forman un álgebra Lie debajo del soporte Lie [X,Y=XY−YX, porque el soporte Lie de cualquier dos derivaciones es una derivación.
Si G es cualquier grupo actuando suavemente en el múltiple M, entonces actúa en los campos vectoriales, y el espacio vectorial de campos vectoriales fijado por el grupo está cerrado bajo el soporte Lie y por lo tanto también forma un álgebra Lie.
Aplicamos esta construcción al caso cuando el múltiple M es el espacio subyacente de un grupo LieG, con G Actuando G=M por traducción izquierda L_g()h)gh. Esto muestra que el espacio de campos vectoriales invariantes izquierdos (campos vencedores satisfactorios L_g_*X_h =X_gh para todos h dentro G, donde L_g_* denota la diferencia L_g) en un grupo Lie es un álgebra Lie bajo el soporte Lie de campos vectoriales.
Cualquier vector tangente en la identidad de un grupo Lie se puede extender a un campo vectorial invariante izquierdo traduciendo el vector tangente a otros puntos del múltiple. Específicamente, la extensión invariante izquierda de un elemento v el espacio tangente en la identidad es el campo vectorial definido por v^_g=L_g_*v. Esto identifica el espacio tangente T_eG en la identidad con el espacio de los campos vectores invariantes izquierdos, y por lo tanto hace el espacio tangente en la identidad en un álgebra de Lie, llamado el álgebra de Lie G, generalmente denotado por un Fraktur ${mathfrak {g}}.$ Así el soporte de Lie en ${mathfrak {g}}$ se da explícitamente por [v,w=v^w^]_e.

Este álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ es finito-dimensional y tiene la misma dimensión que el múltiple G. El álgebra de Lie de G determinaciones G hasta el " isomorfismo local", donde se llaman dos grupos Lie localmente isomorfo si se ven iguales cerca del elemento de identidad. Los problemas sobre los grupos de Lie se resuelven a menudo resolviendo primero el problema correspondiente para los álgebras de Lie, y el resultado para los grupos entonces generalmente sigue fácilmente. Por ejemplo, simple Los grupos de mentira son generalmente clasificados por primera clasificación de los álgebras de Lie correspondientes.

También podríamos definir una estructura de álgebra de Lie en T_e utilizando campos vectoriales invariantes a la derecha en lugar de campos vectoriales invariantes a la izquierda. Esto conduce a la misma álgebra de Lie, porque el mapa inverso en G se puede usar para identificar campos vectoriales invariantes a la izquierda con campos vectoriales invariantes a la derecha, y actúa como −1 en el espacio tangente T_e.

La estructura del álgebra de Lie en T_e también se puede describir de la siguiente manera: la operación del conmutador

()x, Sí.) → xyx⁻¹Sí.⁻¹

en G × G envía (e, e) a e, por lo que su derivada produce una operación bilineal en T_eG. Esta operación bilineal es en realidad el mapa cero, pero la segunda derivada, bajo la identificación adecuada de espacios tangentes, produce una operación que satisface los axiomas de un corchete de Lie, y es igual al doble de la definida a través de campos vectoriales invariantes a la izquierda.

Homomorfismos e isomorfismos

Si G y H son grupos de Lie, entonces un homomorfismo de grupo de Lie f: G → H es un homomorfismo de grupo suave. En el caso de grupos de Lie complejos, se requiere que dicho homomorfismo sea un mapa holomorfo. Sin embargo, estos requisitos son un poco estrictos; todo homomorfismo continuo entre grupos de Lie reales resulta ser analítico (real).

La composición de dos homomorfismos Lie es otra vez un homomorfismo, y la clase de todos los grupos Lie, junto con estos morfismos, forma una categoría. Además, todos El homomorfismo del grupo Lie induce un homomorfismo entre los álgebras Lie correspondientes. Vamos $phi colon Gto H$ ser un grupo de Lie homomorfismo y dejar $phi _{*}$ ser su derivado en la identidad. Si identificamos los álgebras de Lie de G y H con sus espacios tangentes en los elementos de identidad, entonces $phi _{*}$ es un mapa entre el correspondiente Álgebras de mentira:

{displaystyle phi _{*}colon {mathfrak {g}}to {mathfrak {h}},}

que resulta ser un homomorfismo del álgebra de Lie (lo que significa que es un mapa lineal que conserva el paréntesis de Lie). En el lenguaje de la teoría de categorías, tenemos un funtor covariante de la categoría de grupos de Lie a la categoría de álgebras de Lie que envía un grupo de Lie a su álgebra de Lie y un homomorfismo de grupo de Lie a su derivada en la identidad.

Dos grupos Lie se llaman isomorfo si existe un homomorfismo bijetivo entre ellos cuyo inverso es también un homomorfismo grupo Lie. Equivalentemente, es un diffeomorfismo que también es un homomorfismo grupal. Observe que, por lo anterior, un homomorfismo continuo de un grupo Lie $G$ a un grupo Lie $H$ es un isomorfismo de los grupos de Lie si y sólo si es bijetivo.

Isomorfismos de grupo de Lie versus álgebra de Lie

Los grupos de Lie isomorfos necesariamente tienen álgebras de Lie isomorfas; entonces es razonable preguntar cómo se relacionan las clases de isomorfismo de los grupos de Lie con las clases de isomorfismo de las álgebras de Lie.

El primer resultado en esta dirección es el tercer teorema de Lie, que establece que cada álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie (lineal). Una forma de probar el tercer teorema de Lie es usar el teorema de Ado, que dice que cada álgebra de Lie real de dimensión finita es isomorfa a un álgebra de Lie matricial. Mientras tanto, para cada álgebra de Lie de matriz de dimensión finita, hay un grupo lineal (grupo de matriz de Lie) con esta álgebra como su álgebra de Lie.

Por otro lado, los grupos de Lie con álgebras de Lie isomorfas no necesitan ser isomorfos. Además, este resultado sigue siendo cierto incluso si asumimos que los grupos están conectados. En otras palabras, la estructura global de un grupo de Lie no está determinada por su álgebra de Lie; por ejemplo, si Z es cualquier subgrupo discreto del centro de G entonces G y G/ Z tienen la misma álgebra de Lie (consulte la tabla de grupos de Lie para ver ejemplos). Un ejemplo de importancia en física son los grupos SU(2) y SO(3). Estos dos grupos tienen álgebras de Lie isomorfas, pero los grupos en sí no son isomorfos, porque SU(2) está simplemente conectado pero SO(3) no lo está.

Por otro lado, si requerimos que el grupo de Lie sea simplemente conexo, entonces la estructura global está determinada por su álgebra de Lie: dos grupos de Lie simplemente conexos con álgebras de Lie isomorfas son isomorfos. (Consulte la siguiente subsección para obtener más información sobre los grupos de Lie simplemente conectados). A la luz del tercer teorema de Lie, podemos decir que existe una correspondencia uno a uno entre las clases de isomorfismo de álgebras de Lie reales de dimensión finita. y clases de isomorfismo de grupos de Lie simplemente conectados.

Grupos de Lie simplemente conectados

A Grupo de mentiras $G$ se dice que simplemente conectado si cada bucle en $G$ puede ser rematado continuamente a un punto $G$ . Esta noción es importante debido al siguiente resultado que tiene una conexión simple como hipótesis:

TheoremSuppose

G

H

son grupos Lie con álgebras Lie

{mathfrak {g}}

{mathfrak {h}}

y eso

{displaystyle f:{mathfrak {g}}rightarrow {mathfrak {h}}}

es un homomorfismo de álgebra Lie. Si

G

es simplemente conectado, entonces hay un único Homomorfismo del grupo de mentiras

{displaystyle phi:Grightarrow H}

tales que

{displaystyle phi _{*}=f}

, donde

{displaystyle phi _{*}}

es el diferencial de

phi

en la identidad.

El tercer teorema de Lie dice que cada álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Del tercer teorema de Lie y del resultado anterior se deduce que toda álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie único simplemente conectado.

Un ejemplo de un grupo simplemente conectado es el grupo unitario especial SU(2), que como múltiple es el 3-sphere. El grupo de rotación SO(3), por otro lado, no está simplemente conectado. (Ver Topología de SO(3).) El fracaso de SO(3) simplemente conectado está íntimamente conectado a la distinción entre giro entero y giro medio entero en mecánica cuántica. Otros ejemplos de grupos simplemente conectados de Lie incluyen el grupo unitario especial SU(n), el grupo de giro (bajo cubierta del grupo de rotación) Spin(n) para $ngeq 3$ , y el grupo simpléctico compacto Sp(n).

Los métodos para determinar si un grupo de Lie está simplemente conectado o no se analizan en el artículo sobre grupos fundamentales de grupos de Lie.

El mapa exponencial

El mapa exponencial del álgebra de Lie ${displaystyle mathrm {M} (n;mathbb {C})}$ del grupo lineal general ${displaystyle mathrm {GL} (n;mathbb {C})}$ a ${displaystyle mathrm {GL} (n;mathbb {C})}$ se define por la matriz exponencial, dada por la serie de potencia habitual:

{displaystyle exp(X)=1+X+{frac {X^{2}}{2!}}+{frac {X^{3}}{3!}}+cdots }

para matrices $X$ . Si $G$ es un subgrupo cerrado ${displaystyle mathrm {GL} (n;mathbb {C})}$ , entonces el mapa exponencial toma el álgebra de Lie $G$ en $G$ ; por lo tanto, tenemos un mapa exponencial para todos los grupos de matriz. Cada elemento $G$ que está suficientemente cerca de la identidad es el exponencial de una matriz en el álgebra de Lie.

La definición anterior es fácil de usar, pero no está definida para grupos de Lie que no son grupos de matrices, y no está claro que el mapa exponencial de un grupo de Lie no dependa de su representación como grupo de matrices. Podemos resolver ambos problemas usando una definición más abstracta del mapa exponencial que funciona para todos los grupos de Lie, como sigue.

Para cada vector $X$ en el álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ de $G$ (es decir, el espacio tangente a $G$ en la identidad), se prueba que hay un subgrupo de un solo parámetro único ${displaystyle c:mathbb {R} rightarrow G}$ tales que ${displaystyle c'(0)=X}$ . Decir eso $c$ es un subgrupo de un parámetro significa simplemente que $c$ es un mapa liso en $G$ y eso

c(s+t)=c(s)c(t)

para todos $s$ y $t$ . La operación en el lado derecho es la multiplicación del grupo en $G$ . La similitud formal de esta fórmula con la válida para la función exponencial justifica la definición

{displaystyle exp(X)=c(1). }

Esto se llama mapa exponencial, y mapea el álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ en el grupo Lie $G$ . Proporciona un difeomorfismo entre un barrio de 0 en ${mathfrak {g}}$ y un barrio $e$ dentro $G$ . Este mapa exponencial es una generalización de la función exponencial para números reales (porque $mathbb {R}$ es el álgebra Lie del grupo Lie de números reales positivos con multiplicación), para números complejos (por $mathbb {C}$ es el álgebra de Lie del grupo de números complejos no cero con multiplicación) y para matrices (por ${displaystyle M(n,mathbb {R})}$ con el conmutador regular es el álgebra Lie del grupo Lie ${displaystyle mathrm {GL} (n,mathbb {R})}$ de todas las matrices invertibles).

Porque el mapa exponencial es subjetivo en algún barrio $N$ de $e$ , es común llamar elementos del álgebra de Lie Generadores infinitesimal del grupo $G$ . El subgrupo $G$ generados por $N$ es el componente de identidad $G$ .

El mapa exponencial y el álgebra de Lie determinan el estructura de grupos locales de cada conexión Grupo de mentiras, debido a la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff: existe un barrio $U$ del elemento cero ${mathfrak {g}}$ , tal para ${displaystyle X,Yin U}$ tenemos

{displaystyle exp(X),exp(Y)=exp left(X+Y+{tfrac {1}{2}}[X,Y]+{tfrac {1}{12}}[,[X,Y],Y]-{tfrac {1}{12}}[,[X,Y],X]-cdots right),}

donde los términos omitidos son conocidos e implican soportes de Lie de cuatro o más elementos. En caso $X$ y $Y$ coma, esta fórmula reduce a la ley exponencial familiar ${displaystyle exp(X)exp(Y)=exp(X+Y)}$

El mapa exponencial se refiere a los homomorfismos del grupo Lie. Eso es, si $phi:Gto H$ es un grupo de Lie homomorfismo y $phi _{*}:{mathfrak {g}}to {mathfrak {h}}$ el mapa inducido en los correspondientes álgebras de Lie, entonces para todos $xin {mathfrak {g}}$ tenemos

phi (exp(x))=exp(phi _{*}(x)).,

En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta,

(En resumen, exp es una transformación natural del funtor Lie al funtor identidad en la categoría de grupos de Lie).

El mapa exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie no siempre es correcto, incluso si el grupo está conectado (aunque sí se asigna al grupo de Lie para grupos conectados que son compactos o nilpotentes). Por ejemplo, el mapa exponencial de SL(2, R) no es sobreyectivo. Además, el mapa exponencial no es sobreyectivo ni inyectivo para grupos de mentiras de dimensión infinita (ver más abajo) modelados en el espacio C∞ Fréchet, incluso desde un pequeño vecindario arbitrario de 0 hasta el vecindario correspondiente de 1.

Subgrupo de mentiras

A Subgrupo de mentiras $H$ de un grupo Lie $G$ es un grupo de Lie que es un subconjunto de $G$ y tal que el mapa de inclusión $H$ a $G$ es una inmersión inyectable y homomorfismo grupal. Según el teorema de Cartan, un subgrupo cerrado de $G$ admite una estructura lisa única que lo convierte en un embebido Subgrupo de mentiras $G$ —es decir, un subgrupo de Lie que el mapa de inclusión es una incrustación suave.

Ejemplos de subgrupos no cerrados son abundantes; por ejemplo, tomar $G$ ser un toro de dimensión 2 o mayor, y dejar $H$ ser un subgrupo de un parámetro pendiente irracional, es decir, uno que se abre G. Entonces hay un grupo de Lie homomorfismo ${displaystyle varphi:mathbb {R} to G}$ con ${displaystyle mathrm {im} (varphi)=H}$ . El cierre $H$ será un sub-torus en $G$ .

El mapa exponencial da una correspondencia entre los subgrupos de Lie conectados de un grupo Lie conectado $G$ y los subalgebras de la Lie álgebra de $G$ . Típicamente, el subgrupo correspondiente a un subalgebra no es un subgrupo cerrado. No hay ningún criterio basado exclusivamente en la estructura $G$ que determina qué subalgebras corresponden a subgrupos cerrados.

Representaciones

Un aspecto importante del estudio de los grupos de Lie es sus representaciones, es decir, la forma en que pueden actuar (en línea) en los espacios vectoriales. En física, los grupos Lie a menudo codifican las simetrías de un sistema físico. La forma en que se utiliza esta simetría para ayudar a analizar el sistema es a menudo a través de la teoría de la representación. Considere, por ejemplo, la ecuación Schrödinger independiente en la mecánica cuántica, ${displaystyle {hat {H}}psi =Epsi }$ . Supongamos que el sistema en cuestión tiene el grupo de rotación SO(3) como simetría, lo que significa que el operador Hamiltoniano ${hat {H}}$ comunica con la acción de SO(3) en la función de onda $psi$ . (Un ejemplo importante de tal sistema es el átomo de hidrógeno, que tiene una única órbita esférica). Esta suposición no significa necesariamente que las soluciones $psi$ son funciones rotativas invariantes. Más bien, significa que espacio de soluciones a ${displaystyle {hat {H}}psi =Epsi }$ es invariante bajo rotaciones (por cada valor fijo de $E$ ). Por lo tanto, este espacio constituye una representación de SO(3). Estas representaciones han sido clasificadas y la clasificación conduce a una simplificación sustancial del problema, convirtiendo esencialmente una ecuación diferencial parcial tridimensional a una ecuación diferencial común unidimensional.

El caso de un grupo de Lie compacto conectado K (incluido el caso recién mencionado de SO(3)) es particularmente tratable. En ese caso, cada representación de dimensión finita de K se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. Las representaciones irreductibles, a su vez, fueron clasificadas por Hermann Weyl. La clasificación es en términos de "mayor peso" de la representacion La clasificación está estrechamente relacionada con la clasificación de representaciones de un álgebra de Lie semisimple.

También se pueden estudiar representaciones unitarias (en general de dimensión infinita) de un grupo de Lie arbitrario (no necesariamente compacto). Por ejemplo, es posible dar una descripción explícita relativamente simple de las representaciones del grupo SL(2,R) y las representaciones del grupo de Poincaré.

Clasificación

Los grupos de mentiras pueden considerarse como familias de simetrías que varían suavemente. Los ejemplos de simetrías incluyen la rotación alrededor de un eje. Lo que debe entenderse es la naturaleza de 'pequeño' transformaciones, por ejemplo, rotaciones a través de ángulos pequeños, que vinculan transformaciones cercanas. El objeto matemático que captura esta estructura se llama álgebra de Lie (el mismo Lie los llamó "grupos infinitesimales"). Se puede definir porque los grupos de Lie son variedades suaves, por lo que tienen espacios tangentes en cada punto.

El álgebra de Lie de cualquier grupo de Lie compacto (más o menos: uno para el que las simetrías forman un conjunto acotado) se puede descomponer como una suma directa de un álgebra de Lie abeliana y una serie de álgebras simples. La estructura de un álgebra de Lie abeliana no es matemáticamente interesante (ya que el paréntesis de Lie es idénticamente cero); el interés está en los sumandos simples. De ahí surge la pregunta: ¿Qué son las álgebras de Lie simples de grupos compactos? Resulta que en su mayoría se dividen en cuatro familias infinitas, las "álgebras de Lie clásicas" A_n, B_n, C_n y D_n, que tienen descripciones simples en términos de simetrías del espacio euclidiano. Pero también hay cinco "álgebras de mentira excepcionales" que no pertenecen a ninguna de estas familias. E₈ es el mayor de ellos.

Los grupos de mentira se clasifican según sus propiedades algebraicas (simples, semisimples, solubles, nilpotentes, abelianos), su conexión (conexa o simplemente conexa) y su compacidad.

Un primer resultado clave es la descomposición de Levi, que dice que todo grupo de Lie simplemente conexo es el producto semidirecto de un subgrupo normal soluble y un subgrupo semisimple.

compacto conectado Todos los grupos de mentira son conocidos: son cocientes centrales finitos de un producto de copias del grupo círculo S¹ y simples grupos compactos de Lie (que corresponden a diagramas de Dynkin conectados).
Cualquier simplemente conectado solvable El grupo de mentiras es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles de algún rango, y cualquier representación irreducible-dimensional finita de tal grupo es 1-dimensional. Los grupos flexibles son demasiado desordenados para clasificar excepto en algunas pequeñas dimensiones.
Cualquier simple nilpotente conectado El grupo de mentiras es isomórfico a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles con 1's en la diagonal de algún rango, y cualquier representación irreducible-dimensional finita de tal grupo es 1-dimensional. Como grupos solvables, los grupos nilpotent son demasiado desordenados para clasificar excepto en algunas pequeñas dimensiones.
Simple Los grupos de mentira se definen a veces para ser aquellos que son simples como grupos abstractos, y a veces se definen para estar conectados Grupos de mentira con un simple álgebra de Lie. Por ejemplo, SL(2, R) es simple según la segunda definición pero no según la primera. Todos ellos han sido clasificados (para cualquier definición).
Semisimple Grupos de mentira son grupos de Lie cuyo álgebra de Lie es un producto de álgebras simples de Lie. Son extensiones centrales de productos de grupos simples Lie.

El componente identidad de cualquier grupo de Lie es un subgrupo normal abierto y el grupo cociente es un grupo discreto. La cobertura universal de cualquier grupo de Lie conexo es un grupo de Lie simplemente conexo y, a la inversa, cualquier grupo de Lie conexo es un cociente de un grupo de Lie simplemente conexo por un subgrupo normal discreto del centro. Cualquier grupo de Lie G se puede descomponer en grupos discretos, simples y abelianos de forma canónica de la siguiente manera. Escribe

G_con para el componente conectado de la identidad

G_Sol para el subgrupo solvable más grande conectado

G_Nil para el subgrupo nilpotent más grande conectado

para que tengamos una secuencia de subgrupos normales

1 ⊆ G_Nil ⊆ G_Sol ⊆ G_con ⊆ G.

Entonces

G/G_con es discreto

G_con/G_Sol es una extensión central de un producto de simples grupos conectados Lie.

G_Sol/G_Nil es abeliano. Un abelian conectado Lie group es isomorfo a un producto de copias de R y el grupo del círculo S¹.

G_Nil/1 es nilpotent, y por lo tanto su serie central ascendente tiene todos los cocientes abelianos.

Esto se puede usar para reducir algunos problemas sobre grupos de Lie (como encontrar sus representaciones unitarias) a los mismos problemas para grupos simples conectados y subgrupos nilpotentes y resolubles de menor dimensión.

El grupo diffeomorfismo de un grupo Lie actúa transitivamente en el grupo Lie
Cada grupo Lie es paralelizable, y por lo tanto un múltiple orientable (hay un paquete de isomorfismo entre su paquete tangente y el producto de sí mismo con el espacio tangente en la identidad)

Grupos de mentiras de dimensión infinita

Los grupos de Lie a menudo se definen como de dimensión finita, pero hay muchos grupos que se asemejan a los grupos de Lie, excepto por ser de dimensión infinita. La forma más sencilla de definir grupos de Lie de dimensión infinita es modelarlos localmente en espacios de Banach (a diferencia del espacio euclidiano en el caso de dimensión finita), y en este caso gran parte de la teoría básica es similar a la de Lie de dimensión finita. grupos Sin embargo, esto es inadecuado para muchas aplicaciones, porque muchos ejemplos naturales de grupos de Lie de dimensión infinita no son variedades de Banach. En su lugar, es necesario definir grupos de Lie modelados en espacios vectoriales topológicos localmente convexos más generales. En este caso, la relación entre el álgebra de Lie y el grupo de Lie se vuelve bastante sutil, y varios resultados sobre grupos de Lie de dimensión finita ya no se cumplen.

La literatura no es completamente uniforme en su terminología en cuanto a exactamente qué propiedades de los grupos de dimensión infinita califican al grupo para el prefijo Lie en Grupo de mentira. En el lado de los asuntos del álgebra de mentira, las cosas son más simples ya que los criterios de calificación para el prefijo Mentir en Álgebra de mentira son puramente algebraicos. Por ejemplo, un álgebra de Lie de dimensión infinita puede o no tener un grupo de Lie correspondiente. Es decir, puede haber un grupo correspondiente al álgebra de Lie, pero puede que no sea lo suficientemente bueno para llamarlo grupo de Lie, o la conexión entre el grupo y el álgebra de Lie puede no ser lo suficientemente buena (por ejemplo, la falla del mapa exponencial para estar en una vecindad de la identidad). Es el "suficientemente agradable" que no está universalmente definido.

Algunos de los ejemplos que se han estudiado incluyen:

El grupo de diffeomorfismos de un múltiple. Mucho se sabe sobre el grupo de diffeomorfismos del círculo. Su álgebra Lie es (más o menos) el álgebra Witt, cuya extensión central el álgebra Virasoro (ver álgebra Virasoro de álgebra Witt para una derivación de este hecho) es el álgebra de simetría de la teoría de campo conformal bidimensional. Los grupos de difeomorfismo de los manifolds compactos de mayor dimensión son grupos regulares de Fréchet Lie; muy poco acerca de su estructura se conoce.
El grupo diffeomorfismo de tiempo espacial aparece a veces en intentos de cuantificar la gravedad.
El grupo de mapas suaves de un manifold a una dimensión finita El grupo de mentira es un ejemplo de un grupo de calibre (con operación de multiplicación de punto), y se utiliza en teoría de campo cuántico y teoría de Donaldson. Si el manifold es un círculo estos se llaman grupos de bucle, y tienen extensiones centrales cuyos álgebras Lie son (más o menos) álgebras Kac-Moody.
Hay analogías infinitas de grupos lineales generales, grupos ortogonales, etc. Un aspecto importante es que estos pueden tener simpler propiedades topológicas: ver por ejemplo el teorema de Kuiper. En la Teoría M, por ejemplo, un SU de 10 dimensionesN) la teoría del calibre se convierte en una teoría de 11 dimensiones cuando N se convierte en infinito.

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