Grupo cuántico

En matemáticas y física teórica, el término grupo cuántico denota uno de los pocos tipos diferentes de álgebras no conmutativas con estructura adicional. Estos incluyen grupos cuánticos de tipo Drinfeld-Jimbo (que son álgebras de Hopf cuasitriangulares), grupos cuánticos de matriz compacta (que son estructuras en álgebras C* unitarias separables) y grupos cuánticos de productos cruzados. A pesar de su nombre, ellos mismos no tienen una estructura de grupo natural, aunque en cierto sentido son 'cercanos'. a un grupo

El término "grupo cuántico" apareció por primera vez en la teoría de los sistemas integrables cuánticos, que luego fue formalizada por Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una clase particular de álgebra de Hopf. El mismo término también se usa para otras álgebras de Hopf que se deforman o están cerca de los grupos de Lie clásicos o álgebras de Lie, como un "bicrossproduct" clase de grupos cuánticos introducida por Shahn Majid poco después del trabajo de Drinfeld y Jimbo.

En el enfoque de Drinfeld, los grupos cuánticos surgen como álgebras de Hopf en función de un parámetro auxiliar q o h, que se convierten en álgebras envolventes universales de un álgebra de Lie determinada, frecuentemente semisimple o afín, cuando q = 1 o h = 0. Estrechamente relacionados están ciertos objetos duales, también álgebras de Hopf y también llamados grupos cuánticos, deformando el álgebra de funciones en el grupo algebraico semisimple correspondiente o en un grupo de Lie compacto.

Significado intuitivo

El descubrimiento de los grupos cuánticos fue bastante inesperado, ya que durante mucho tiempo se sabía que los grupos compactos y las álgebras de Lie semisimples son "rígidos" objetos, es decir, no se pueden "deformar". Una de las ideas detrás de los grupos cuánticos es que si consideramos una estructura que es, en cierto sentido, equivalente pero más grande, es decir, un álgebra de grupos o un álgebra envolvente universal, entonces un álgebra de grupos o envolvente puede "deformarse", aunque la deformación ya no seguirá siendo un grupo o álgebra envolvente. Más precisamente, la deformación se puede lograr dentro de la categoría de álgebras de Hopf que no requieren ser ni conmutativas ni coconmutativas. Uno puede pensar en el objeto deformado como un álgebra de funciones en un "espacio no conmutativo", en el espíritu de la geometría no conmutativa de Alain Connes. Esta intuición, sin embargo, se produjo después de que clases particulares de grupos cuánticos ya hubieran demostrado su utilidad en el estudio de la ecuación cuántica de Yang-Baxter y el método cuántico de dispersión inversa desarrollado por la Escuela de Leningrado (Ludwig Faddeev, Leon Takhtajan, Evgeny Sklyanin, Nicolai Reshetikhin y Vladimir Korepin) y trabajos relacionados de la Escuela Japonesa. La intuición detrás de la segunda clase de grupos cuánticos, bicrossproduct, era diferente y provenía de la búsqueda de objetos autoduales como un enfoque de la gravedad cuántica.

Grupos cuánticos tipo Drinfeld-Jimbo

Un tipo de objetos comúnmente llamado "grupo cuántico" apareció en el trabajo de Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una deformación del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple o, más generalmente, un álgebra de Kac-Moody, en la categoría de álgebras de Hopf. El álgebra resultante tiene una estructura adicional, lo que la convierte en un álgebra de Hopf cuasitriangular.

Sea A = (a_ij) la matriz de Cartan del álgebra Kac-Moody, y sea q ≠ 0, 1 sea un número complejo, entonces el grupo cuántico, U_q(G), donde G es el álgebra de Lie cuya matriz de Cartan es A, se define como el álgebra unitaria asociativa con generadores k_λ (donde λ es un elemento de la red de pesos, es decir, 2(λ, α_i)/(α_i, α_i) es un número entero para todos los i), y e_i y f_i (para raíces simples, α_i), sujetas a las siguientes relaciones:

k0=1kλ λ kμ μ =kλ λ +μ μ kλ λ eikλ λ − − 1=q()λ λ ,α α i)eikλ λ fikλ λ − − 1=q− − ()λ λ ,α α i)fi[ei,fj]=δ δ ijki− − ki− − 1qi− − qi− − 1ki=kα α i,qi=q12()α α i,α α i){fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif} }k_{mu } +mu }k_{lambda }e_{i}k_{lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? }f_{i}k_{lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? - ¿Qué? {k_{i}-k_{i} {} {q_{i} {q_} {i} {i} {c} {c}} {c}} {c}}} {c}} {c}}}} {c}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}}} {\\\\\\c}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¿Qué? {1}{2} {Alpha _{i},alpha _{i}\end{aligned}}}}

Y para i ≠ j tenemos las relaciones q-Serre, que son deformaciones de las relaciones Serre:

.. n=01− − aij()− − 1)n[1− − aij]qi![1− − aij− − n]qi![n]qi!einejei1− − aij− − n=0.. n=01− − aij()− − 1)n[1− − aij]qi![1− − aij− − n]qi![n]qi!finfjfi1− − aij− − n=0{displaystyle {begin{aligned}sum ¿Por qué? [1-a_{i}]_{q_{i}} {[1-a_{ij}-n]_{q_{i}! [n]_{q_{i}}}e_{i}e_{n}e_{j}e_{i} {i}{1-a_{ij}-n}-n}=0[6pt]sum ¿Por qué? [1-a_{i}]_{q_{i}} {[1-a_{ij}-n]_{q_{i}! [n]_{q_{i}}}f_{i} {n}f_{j}f_{i} {i}{1-a_{ij}-n}-n}=0end{aligned}} {}}} {} {}} {}}}} {}}}}}} {}}} {}} {}}}} {}} {} {} {} {}}}}}}}} {} {}}}} {} {}}} {} {}}}}}}} {} {} {}}}} {} {} {} {}}}}} {}}}} {} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}

donde el q-factorial, el q-análogo del factorial ordinario, se define recursivamente usando q-number:

[0]qi!=1[n]qi!=∏ ∏ m=1n[m]qi,[m]qi=qim− − qi− − mqi− − qi− − 1{displaystyle {begin{aligned}{q_{q_{i}}} {ccn}}_{q_{i}}}}} {=prod} ################################################################################################################################################################################################################################################################ [m]_{q_{i}={frac {q_{i} {f} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

En el límite como q → 1, estas relaciones se acercan a las relaciones para el álgebra envolvente universal U(G), donde

kλ λ → → 1,kλ λ − − k− − λ λ q− − q− − 1→ → tλ λ {displaystyle k_{lambda}to 1,qquad {frac {k_{cccH001} }-k_{-lambda }{q-q^{-1}to.

y t_λ es el elemento de la subálgebra de Cartan que satisface (t_λ, h ) = λ(h) para todo h en la subálgebra de Cartan.

Hay varios coproductos coasociativos bajo los cuales estas álgebras son álgebras de Hopf, por ejemplo,

Δ Δ 1()kλ λ )=kλ λ ⊗ ⊗ kλ λ Δ Δ 1()ei)=1⊗ ⊗ ei+ei⊗ ⊗ kiΔ Δ 1()fi)=ki− − 1⊗ ⊗ fi+fi⊗ ⊗ 1Δ Δ 2()kλ λ )=kλ λ ⊗ ⊗ kλ λ Δ Δ 2()ei)=ki− − 1⊗ ⊗ ei+ei⊗ ⊗ 1Δ Δ 2()fi)=1⊗ ⊗ fi+fi⊗ ⊗ kiΔ Δ 3()kλ λ )=kλ λ ⊗ ⊗ kλ λ Δ Δ 3()ei)=ki− − 12⊗ ⊗ ei+ei⊗ ⊗ ki12Δ Δ 3()fi)=ki− − 12⊗ ⊗ fi+fi⊗ ⊗ ki12{displaystyle {begin{array}{lll} Delta ¿Qué? }=k_{lambda }otimes k_{lambda } limitDelta _{1}(e_{i})=1otimes E_{i}+e_{i}otimes k_{i} ¿Por qué? f_{i}+f_{i}otimes 1\Delta _{2}(k_{lambda }=k_{lambda }otimes k_{lambda } {2}(e_{i}=k_{i}{-1}otimes e_{i}+e_{i}otimes 1 ventajaDelta _{2}(f_{i})=1otimes f_{i}+f_{i}otimes K_{i}\Delta ¿Qué? }=k_{lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1} {2}}otimes E_{i}+e_{i}otimes ¿Qué? {1}{2} {Delta _{3}(f_{i}=k_{i}^{-{frac {1} {2}}otimes f_{i}+f_{i}otimes ¿Qué? {1} {2}end{array}}}

donde el conjunto de generadores se ha ampliado, si es necesario, para incluir k_λ para λ que se expresa como la suma de un elemento de la red de pesos y medio elemento de la red de raíces.

Además, cualquier álgebra de Hopf conduce a otra con coproducto inverso T o Δ, donde T viene dado por T(x ⊗ y) = y ⊗ x, dando tres versiones más posibles.

La unidad en U_q(A) es la misma para todos estos coproductos: ε(k_λ) = 1, ε(e_i) = ε(f_i) = 0, y las antípodas respectivas para los coproductos anteriores están dadas por

S1()kλ λ )=k− − λ λ S1()ei)=− − eiki− − 1S1()fi)=− − kifiS2()kλ λ )=k− − λ λ S2()ei)=− − kieiS2()fi)=− − fiki− − 1S3()kλ λ )=k− − λ λ S3()ei)=− − qieiS3()fi)=− − qi− − 1fi{displaystyle {begin{lll}S_{1}(k_{lambda })=k_{i}{i} {1} {1})=-e_{i} k_{i}{i}{1} {1} {1} {1}(f_{i})=-k_{i}i}\s_{2}(k_{c_{i} }=k_{-lambda } {2}(e_{i})=-k_{i}e_{i} limitS_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}{i}{3}(k_{3}(k_{c_{i} })=k_{-lambda } {3}(e_{i}=-q_{i}e_{i} {i} {3}(f_{i})=-q_{i}{i}{i}end{array}}}}}

Alternativamente, el grupo cuántico U_q(G) puede considerarse como un álgebra sobre el campo C(q), el campo de todas las funciones racionales de un indeterminado q sobre C.

Del mismo modo, el grupo cuántico U_q(G) puede considerarse como un álgebra sobre el campo Q(q), el campo de todas las funciones racionales de un indeterminado q sobre Q (ver más abajo en el sección sobre grupos cuánticos en q = 0). El centro del grupo cuántico se puede describir mediante determinante cuántico.

Teoría de la representación

Así como hay muchos tipos diferentes de representaciones para las álgebras de Kac-Moody y sus álgebras envolventes universales, también hay muchos tipos diferentes de representación para los grupos cuánticos.

Como es el caso de todas las álgebras de Hopf, U_q(G) tiene una representación adjunta sobre sí mismo como un módulo, con el acción dada por

Adx⋅ ⋅ Sí.=.. ()x)x()1)Sí.S()x()2)),{displaystyle mathrm {Ad} _{x}cdot y=sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}

dónde

Δ Δ ()x)=.. ()x)x()1)⊗ ⊗ x()2).{displaystyle Delta (x)=sum _{(x)}x_{(1)}otimes x_{(2)}.}

Caso 1: q no es raíz de unidad

Un tipo importante de representación es una representación de peso, y el módulo correspondiente se denomina módulo de peso. Un módulo de peso es un módulo con una base de vectores de peso. Un vector de peso es un vector distinto de cero v tal que k_λ · v = d _λv para todos los λ, donde d_λ son números complejos para todos los pesos λ tal que

d0=1,{displaystyle D_{0}=1,}

dλ λ dμ μ =dλ λ +μ μ ,{displaystyle ♪♪{lambda }d_{mu }=d_{lambda +mu } para todos los pesos λ y μ.

Un módulo de peso se llama integrador si las acciones e_i y f_i son nilpotente local (es decir, para cualquier vector v en el módulo, existe un entero positivo k, posiblemente dependiente de v, tal que eik.v=fik.v=0{displaystyle ¿Qué? para todos i). En el caso de módulos integrados, los números complejos d_λ asociado con una satisfacción vectorial de peso dλ λ =cλ λ q()λ λ ,.. ){displaystyle d_{lambda }=c_{lambda }q^{(lambdanu)}}, donde . es un elemento de la celosía de peso, y c_λ son números complejos tales que

• c0=1,{displaystyle C_{0}=1,}
• cλ λ cμ μ =cλ λ +μ μ ,{displaystyle c_{cfnMicrosoft }c_{mu }=c_{lambda +mu } para todos los pesos λ y μ,
• c2α α i=1{displaystyle c_{2alpha ¿Qué? para todos i.

De especial interés son las representaciones de mayor peso y los correspondientes módulos de mayor peso. Un módulo de mayor peso es un módulo generado por un vector de peso v, sujeto a k_λ · v = d_λv para todos los pesos μ, y e_i · v = 0 para todos los i. De manera similar, un grupo cuántico puede tener una representación de menor peso y un módulo de menor peso, es decir, un módulo generado por un vector de peso v, sujeto a k_λ · v = d_λv para todos los pesos λ, y f_i · v = 0 para todos los i.

Define un vector v para tener peso . si kλ λ ⋅ ⋅ v=q()λ λ ,.. )v{displaystyle k_{lambda}cdot v=q^{(lambdanu)}v} para todos λ en la ropa de peso.

Si G es un álgebra Kac-Moody, entonces en cualquier representación de peso más irreducible U_q()G), con mayor peso ν, las multiplicidades de los pesos son iguales a sus multiplicidades en una representación irreducible de U()G) con igual peso más alto. Si el peso más alto es dominante e integral (un peso) μ es dominante e integral si μ satisface la condición de que 2()μ μ ,α α i)/()α α i,α α i){displaystyle 2(mualpha _{i})/(alpha _{i},alpha _{i})} es un entero no negativo para todos i), entonces el espectro de peso de la representación irreducible es invariante bajo el grupo Weyl para G, y la representación es integrador.

Por el contrario, si un módulo de peso más alto es integrador, entonces su vector de peso más alto v satisfizo kλ λ ⋅ ⋅ v=cλ λ q()λ λ ,.. )v{displaystyle k_{lambda }cdot v=c_{lambda }q^{(lambdanu)}v}, donde c_λ · v = d_λv son números complejos tales que

• c0=1,{displaystyle C_{0}=1,}
• cλ λ cμ μ =cλ λ +μ μ ,{displaystyle c_{cfnMicrosoft }c_{mu }=c_{lambda +mu } para todos los pesos λ y μ,
• c2α α i=1{displaystyle c_{2alpha ¿Qué? para todos i,

y ν es dominante e integral.

Como es el caso de todos los álgebras Hopf, el producto tensor de dos módulos es otro módulo. Para un elemento x de U_q(G), y para vectores v y w en los módulos respectivos, x ⋅ (continuación)v ⊗ w) = Δ(x) ⋅ (v ⊗ w), así que kλ λ ⋅ ⋅ ()v⊗ ⊗ w)=kλ λ ⋅ ⋅ v⊗ ⊗ kλ λ .w{displaystyle k_{lambda }cdot (votimes w)=k_{lambda }cdot votimes k_{lambda }.w}, y en el caso del coproducto Δ₁, ei⋅ ⋅ ()v⊗ ⊗ w)=ki⋅ ⋅ v⊗ ⊗ ei⋅ ⋅ w+ei⋅ ⋅ v⊗ ⊗ w{displaystyle e_{i}cdot (votimes w)=k_{i}cdot votimes E_{i}cdot w+e_{i}cdot votimes w} y fi⋅ ⋅ ()v⊗ ⊗ w)=v⊗ ⊗ fi⋅ ⋅ w+fi⋅ ⋅ v⊗ ⊗ ki− − 1⋅ ⋅ w.{displaystyle f_{i}cdot (votimes w)=votimes f_{i}cdot w+f_{i}cdot votimes k_{i} {-1}cdot w.}

El módulo de peso más alto integrado descrito anteriormente es un producto tensor de un módulo unidimensional (sobre el cual k_λ = c_λ para todos λ, y e_i = f_i = 0 para todos i) y un módulo de peso más alto generado por un vector no cero v₀, sujeto a kλ λ ⋅ ⋅ v0=q()λ λ ,.. )v0{displaystyle k_{lambda}cdot v_{0}=q^{(lambdanu)}v_{0}} para todos los pesos λ, y ei⋅ ⋅ v0=0{displaystyle E_{i}cdot V_{0}=0} para todos i.

En el caso específico donde G es un álgebra de Lie de dimensión finita (como un caso especial de un álgebra de Kac-Moody), entonces las representaciones irreducibles con pesos integrales dominantes más altos también son de dimensión finita.

En el caso de un producto tensorial de los módulos de mayor peso, su descomposición en submódulos es la misma que para el producto tensorial de los módulos correspondientes del álgebra de Kac-Moody (los pesos mayores son los mismos, al igual que sus multiplicidades).

Caso 2: q es raíz de unidad

Quasi Triangularity

Caso 1: q no es raíz de unidad

Estrictamente, el grupo cuántico U_q(G) no es cuasitriangular, pero se puede pensar de ser "casi triangular" en que existe una suma formal infinita que juega el papel de una matriz R. Esta suma formal infinita es expresable en términos de generadores e_i y f_i, y generadores de Cartan t_λ, donde k_λ se identifica formalmente con q ^t_λ. La suma formal infinita es el producto de dos factores,

q.. .. jtλ λ j⊗ ⊗ tμ μ j{displaystyle q^{eta sum - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - Sí.

y una suma formal infinita, donde λ_j es una base para el espacio dual de la subálgebra de Cartan, y μ _j es la base dual, y η = ±1.

La suma infinita formal que desempeña el papel de la matriz R tiene una acción bien definida sobre el producto tensorial de dos módulos irreducibles de mayor peso, y también sobre el producto tensorial de dos módulos de menor peso. Específicamente, si v tiene peso α y w tiene peso β, entonces

q.. .. jtλ λ j⊗ ⊗ tμ μ j⋅ ⋅ ()v⊗ ⊗ w)=q.. ()α α ,β β )v⊗ ⊗ w,{displaystyle q^{eta sum - ¿Qué? ¿Por qué?

y el hecho de que los módulos sean ambos de mayor peso o ambos de menor peso reduce la acción del otro factor sobre v ⊗ W a una suma finita.

Específicamente, si V es un módulo de mayor peso, entonces la suma infinita formal, R, tiene una acción bien definida e invertible en V ⊗ V, y este valor de R (como elemento de End(V ⊗ V)) satisface la ecuación de Yang-Baxter y, por lo tanto, nos permite determinar una representación del grupo de trenzas y definir cuasi-invariantes para nudos, enlaces y trenzas.

Caso 2: q es raíz de unidad

Grupos cuánticos en q = 0

Masaki Kashiwara ha investigado el comportamiento límite de los grupos cuánticos como q → 0, y encontró una base que se comporta particularmente bien llamada base cristalina.

Descripción y clasificación por sistemas de raíces y diagramas de Dynkin

Ha habido un progreso considerable en la descripción de cocientes finitos de grupos cuánticos como el anterior U_q(g) para q ⁿ = 1; generalmente se considera la clase de álgebras de Hopf puntuales, lo que significa que todos los subcoideales son unidimensionales y, por lo tanto, forman un grupo llamado coradical:

• En 2002 H.-J. Schneider y N. Andruskiewitsch terminaron su clasificación de álgebras Hopf puntiagudos con un grupo co-radical abeliano (excluidos los primos 2, 3, 5, 7), especialmente como los cocientes de arriba finitos de U_q()g) decompose en E′s (parte de la pelea), dual F′s y K′s (Álgebra de Cartagena) como ordinario Álgebras de Lie Semisimple:

()B()V)⊗ ⊗ k[Zn]⊗ ⊗ B()VAlternativa Alternativa ))σ σ {displaystyle left({mathfrak {B}(V)otimes k[mathbf {Z} ^{n}]otimes {mathfrak}(V^{*})right)^{sigma }

Aquí, como en la teoría clásica V es un espacio vectorial trenzado de dimensión n azotado por el E′s, y σ (un giro llamado cocylce) crea el notrivial vinculación entre E′s y F′s. Tenga en cuenta que en contraste con la teoría clásica, pueden aparecer más de dos componentes vinculados. El papel del quantum Borel álgebra es tomado por un álgebra Nichols B()V){displaystyle {Mathfrak}(V)} del espacio vectorial trenzado.

• Un ingrediente crucial fue I. Clasificación de Heckenberger de álgebras finitas de Nichols para grupos abelianos en términos de diagramas de Dynkin generalizados. Cuando están presentes pequeños primos, algunos ejemplos exóticos, como un triángulo, ocurren (ver también la Figura de un diagrama de Dankin 3 rango).

• Mientras tanto, Schneider y Heckenberger han demostrado generalmente la existencia de un aritmética root system also in the nonabelian case, generating a PBW basis as proven by Kharcheko in the abelian case (without the assumed on finite dimension). Esto se puede utilizar en casos específicos U_q()g) y explica por ejemplo la coincidencia numérica entre ciertos subalgebras coideales de estos grupos cuánticos y el orden del grupo Weyl del Álgebra Lie g.

Grupos cuánticos de matriz compacta

S. L. Woronowicz introdujo los grupos cuánticos de matriz compacta. Los grupos cuánticos de matriz compacta son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" sobre la estructura están dadas por elementos de un C*-álgebra. La geometría de un grupo cuántico de matriz compacta es un caso especial de una geometría no conmutativa.

Las funciones continuas de valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff forman un álgebra C* conmutativa. Por el teorema de Gelfand, un álgebra C* conmutativa es isomorfa al álgebra C* de funciones continuas de valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado de forma única por el álgebra C* hasta el homeomorfismo.

Para un grupo topológico compacto, G, existe un homomorfismo de álgebra C* Δ: C()G) → C()G⊗ C()G(donde) C()G⊗ C()G) es el producto C*-algebra tensor - la terminación del producto algebraico tensor de C()G) y C()G), tal que Δ(f)x, Sí.) f()xy) para todos f ▪ C()G), y para todos x, Sí. ▪ G (donde)f ⊗ g)x, Sí.) f()x)g()Sí.) para todos f, g ▪ C()G) y todo x, Sí. ▪ G). También existe un mapeo multiplicativo lineal κ: C()G) → C()G), tal que κ()f)x) f()x⁻¹) para todos f ▪ C()G) y todo x ▪ G. Estrictamente, esto no hace C()G) un álgebra Hopf, a menos que G es finito. Por otro lado, una representación finita-dimensional G se puede utilizar para generar un *-subalgebra de C()G) que es también un Hopf *-Álgebra. Específicamente, si g↦ ↦ ()uij()g))i,j{displaystyle gmapsto (u_{ij}(g)_{i,j} es un n- representación dimensional de G, entonces para todos i, j u_ij ▪ C()G) y

Δ Δ ()uij)=.. kuik⊗ ⊗ ukj.{displaystyle Delta (u_{ij})=sum ### {k}u_{ik}otimes U_{kj}.

Se sigue que el *-álgebra generada por u_ij para todo i, j y κ(u_ij) para todo i, j es un *-álgebra de Hopf: la unidad está determinada por ε(u _ij) = δ_ij para todos los i, j (donde δ_ij es el delta de Kronecker), la antípoda es κ, y la unidad está dada por

1=.. ku1kκ κ ()uk1)=.. kκ κ ()u1k)uk1.{displaystyle 1=sum _{k}u_{1k}kappa (u_{k1})=sum _{k}kappa (u_{1k})u_{k1}.}

Definición general

Como generalización, un grupo cuántico de matriz compacta se define como un par (C, u), donde C es un álgebra C* y u=()uij)i,j=1,...... ,n{displaystyle u=(u_{ij}_{i,j=1,dotsn} es una matriz con entradas C tales que

• El *-subalgebra, C₀, de C, que se genera por los elementos de matriz u, es denso en C;

• Existe un homomorfismo de álgebra C* llamado la comultiplicación Δ: C → C ⊗ C (donde) C ⊗ C es el producto C*-algebra tensor - la terminación del producto de tensor algebraico C y CEso para todos i, j tenemos:

Δ Δ ()uij)=.. kuik⊗ ⊗ ukj{displaystyle Delta (u_{ij})=sum ### {k}u_{ik}otimes U_{kj}

• Existe un mapa lineal antimultiplicativo κ: C₀ → C₀ (el inverso) tal que κ()κ()v*)*) = v para todos v ▪ C₀ y

.. kκ κ ()uik)ukj=.. kuikκ κ ()ukj)=δ δ ijI,{displaystyle sum _{k}kappa (u_{ik}u_{kj}=sum ¿Por qué? Yo...

donde I es el elemento de identidad de C. Dado que κ es antimultiplicativo, entonces κ(vw) = κ(w) κ(v) para todo v, w en C₀.

Como consecuencia de la continuidad, la comultiplicación sobre C es coasociativa.

En general, C no es una biálgebra y C₀ es un *-álgebra de Hopf.

Informalmente, C puede considerarse como el álgebra * de funciones continuas de valores complejos sobre el grupo cuántico de matriz compacta, y u puede considerarse como un álgebra finita. representación dimensional del grupo cuántico de matriz compacta.

Representaciones

Una representación del grupo cuántico de matriz compacta es dada por una corepresentación del Hopf *-álgebra (una corepresentación de un coalgebra coasociativa counital A es una matriz cuadrada v=()vij)i,j=1,...... ,n{displaystyle v=(v_{ij}_{i,j=1,dotsn} con entradas A (so v pertenece a M(n, A) tal que

Δ Δ ()vij)=.. k=1nvik⊗ ⊗ vkj{displaystyle Delta (v_{ij})=sum ###{k=1} {n}v_{ik}otimes v_{kj}

para todos i, j y ε(v_ij) = δ_ij para todos los i, j). Además, una representación v se llama unitaria si la matriz para v es unitaria (o de manera equivalente, si κ(v_ij) = v*_ij para todos los i, j).

Ejemplo

Un ejemplo de un grupo cuántico de matriz compacta es SU_μ(2), donde el parámetro μ es un número real positivo. Entonces SU_μ(2) = (C(SU_μ(2)), u), donde C(SU_μ(2)) es el C*-álgebra generada por α y γ, sujeto a

γ γ γ γ Alternativa Alternativa =γ γ Alternativa Alternativa γ γ ,{displaystyle gamma gamma ^{*}=gamma ^{*}gamma}

α α γ γ =μ μ γ γ α α ,{displaystyle alpha gamma =mu gamma alpha}

α α γ γ Alternativa Alternativa =μ μ γ γ Alternativa Alternativa α α ,{displaystyle alpha gamma ^{*}=mu gamma ^{*}alpha}

α α α α Alternativa Alternativa +μ μ γ γ Alternativa Alternativa γ γ =α α Alternativa Alternativa α α +μ μ − − 1γ γ Alternativa Alternativa γ γ =I,{displaystyle alpha alpha ^{*}+mu gamma ^{*}gamma =alpha ^{*}alpha ¿Qué?

y

u=()α α γ γ − − γ γ Alternativa Alternativa α α Alternativa Alternativa ),{displaystyle u=left({begin{matrix}alpha &gamma \-gamma ^{*} {} {}end{matrix}right),}}

de manera que la comultiplicación está determinada por ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, y la inversa está determinada por κ(α) = α *, κ(γ) = −μ⁻¹γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Tenga en cuenta que u es una representación, pero no una representación unitaria. u es equivalente a la representación unitaria

v=()α α μ μ γ γ − − 1μ μ γ γ Alternativa Alternativa α α Alternativa Alternativa ).{displaystyle v=left {begin{matrix}alpha {fnMicrosoft Sans} {1}{sqrt {mu} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}}derecho).

Equivalentemente, SU_μ(2) = (C(SU_μ(2)), w), donde C(SU_μ(2)) es el C*-álgebra generada por α y β, sujeto a

β β β β Alternativa Alternativa =β β Alternativa Alternativa β β ,{displaystyle beta beta ^{*}=beta ^{*}beta}

α α β β =μ μ β β α α ,{displaystyle alpha beta =mu beta alpha}

α α β β Alternativa Alternativa =μ μ β β Alternativa Alternativa α α ,{displaystyle alpha beta ^{*}=mu beta ^{*}alpha}

α α α α Alternativa Alternativa +μ μ 2β β Alternativa Alternativa β β =α α Alternativa Alternativa α α +β β Alternativa Alternativa β β =I,{displaystyle alpha alpha ^{*}+mu ^{2}beta ^{*}beta =alpha ^{*}alpha - ¿Qué?

y

w=()α α μ μ β β − − β β Alternativa Alternativa α α Alternativa Alternativa ),{displaystyle w=left({begin{matrix}alpha &mu beta \-beta ^{*} {} {}end{matrix}derecho),}}

por lo que la comultiplicación se determina por α(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α β + β α*, y el monedasverso se determina por κ(α) = α*, κ(β) = −⁻¹β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. w es una representación unitaria. Las realizaciones se pueden identificar equiparando γ γ =μ μ β β {displaystyle gamma ={sqrt {mu }beta }.

Cuando μ = 1, entonces SU_μ(2) es igual al álgebra C(SU(2)) de funciones en el grupo compacto concreto SU(2).

Grupos cuánticos de productos cruzados

Mientras que los pseudogrupos de matriz compacta son típicamente versiones de grupos cuánticos de Drinfeld-Jimbo en una formulación de álgebra de función dual, con estructura adicional, los de productos bicruzados son una segunda familia distinta de grupos cuánticos de creciente importancia como deformaciones de grupos de Lie solubles en lugar de semisimples.. Están asociados a divisiones de Lie de álgebras de Lie o factorizaciones locales de grupos de Lie y pueden verse como el producto cruzado o la cuantificación de Mackey de uno de los factores que actúan sobre el otro para el álgebra y una historia similar para el coproducto Δ con el segundo factor. actuando de nuevo sobre el primero.

El ejemplo no trivial más simple corresponde a dos copias de R que actúan localmente entre sí y dan como resultado un grupo cuántico (dado aquí en forma algebraica) con generadores p, K, K⁻¹, digamos y coproducto

[p,K]=hK()K− − 1){displaystyle [p,K]=hK(K-1)}

Δ Δ p=p⊗ ⊗ K+1⊗ ⊗ p{displaystyle Delta p=potimes K+1otimes p}

Δ Δ K=K⊗ ⊗ K{displaystyle Delta K=Kotimes K}

donde h es el parámetro de deformación.

Este grupo cuántico se vinculó a un modelo de juguete de la física a escala de Planck que implementaba la reciprocidad de Born cuando se veía como una deformación del álgebra de Heisenberg de la mecánica cuántica. Además, a partir de cualquier forma real compacta de un álgebra de Lie semisimple g, su complejización como un álgebra de Lie real del doble de dimensión se divide en g y una cierta álgebra de Lie solucionable (la descomposición de Iwasawa), y esto proporciona un grupo cuántico biproducto canónico asociado a g. Para su(2) se obtiene una deformación de grupo cuántico del grupo euclidiano E(3) de movimientos en 3 dimensiones.