Grupo cociente

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Grupo obtenido agregando elementos similares de un grupo mayor

A grupo de referencia o grupo de factores es un grupo matemático obtenido agregando elementos similares de un grupo mayor usando una relación de equivalencia que preserva parte de la estructura del grupo (el resto de la estructura está "factorizado" fuera). Por ejemplo, el grupo cíclico de adición modulo n se puede obtener del grupo de enteros bajo adición identificando elementos que difieren por un múltiplo de $n$ y definir una estructura de grupo que opera en cada clase (conocida como una clase de congruencia) como una entidad única. Es parte del campo matemático conocido como teoría de grupo.

Para una relación de congruencia en un grupo, la clase de equivalencia del elemento de identidad es siempre un subgrupo normal del grupo original, y las otras clases de equivalencia son precisamente los cosets de ese subgrupo normal. El cociente resultante está escrito ${displaystyle G,/,N}$ , donde $G$ es el grupo original y $N$ es el subgrupo normal. (Esto es pronunciado ${displaystyle G{bmod {N}}}$ , donde ${displaystyle {mbox{mod}}}$ es corto para el modulo.)

Gran parte de la importancia de los grupos cocientes se deriva de su relación con los homomorfismos. El primer teorema isomorfismo declara que la imagen de cualquier grupo G bajo un homomorfismo es siempre isomorfo a un cociente $G$ . Específicamente, la imagen de $G$ bajo un homomorfismo ${displaystyle varphi:Grightarrow H}$ es isomorfo a ${displaystyle G,/,ker(varphi)}$ Donde $ker(varphi)$ denota el núcleo $varphi$ .

La noción dual de un grupo cociente es un subgrupo, siendo estas las dos formas principales de formar un grupo más pequeño a partir de uno más grande. Cualquier subgrupo normal tiene un grupo cociente correspondiente, formado a partir del grupo más grande al eliminar la distinción entre los elementos del subgrupo. En la teoría de categorías, los grupos de cocientes son ejemplos de objetos cocientes, que son duales a los subobjetos.

Definición e ilustración

Dado un grupo $G$ y un subgrupo $H$ , y un elemento ${displaystyle ain G}$ , se puede considerar el conjunto izquierdo correspondiente: ${displaystyle aH:=left{ah:hin Hright}}$ . Los cosets son una clase natural de subconjuntos de un grupo; por ejemplo considerar el grupo abeliano G of integers, with operation defined by the usual addition, and the subgroup $H$ incluso de enteros. Entonces hay exactamente dos cosets: ${displaystyle 0+H}$ , que son los números enteros, y ${displaystyle 1+H}$ , que son los números enteros extraños (aquí estamos utilizando notación aditiva para la operación binaria en lugar de notación multiplicativa).

Para un subgrupo general $H$ , es deseable definir una operación de grupo compatible en el conjunto de todos los cosets posibles, ${displaystyle left{aH:ain Gright}}$ . Esto es posible exactamente cuando $H$ es un subgrupo normal, ver abajo. Subgrupo $N$ de un grupo $G$ es normal si y sólo si la igualdad del coset ${displaystyle aN=Na}$ para todos ${displaystyle ain G}$ . Un subgrupo normal $G$ es denotado $N$ .

Definición

Vamos $N$ ser un subgrupo normal de un grupo $G$ . Definir el conjunto ${displaystyle G,/,N}$ para ser el conjunto de todos los cosets izquierdos $N$ dentro $G$ . Eso es, ${displaystyle G,/,N=left{aN:ain Gright}}$ . Desde el elemento de identidad ${displaystyle ein N}$ , ${displaystyle ain aN}$ . Definir una operación binaria en el conjunto de cosets, ${displaystyle G,/,N}$ , como sigue. Por cada uno $aN$ y ${displaystyle bN}$ dentro ${displaystyle G,/,N}$ , el producto de $aN$ y ${displaystyle bN}$ , ${displaystyle (aN)(bN)}$ , es ${displaystyle (ab)N}$ . Esto funciona sólo porque ${displaystyle (ab)N}$ no depende de la elección de los representantes, $a$ y $b$ , de cada conjunto izquierdo, $aN$ y ${displaystyle bN}$ . Para probar esto, supongamos ${displaystyle xN=aN}$ y ${displaystyle yN=bN}$ para algunos ${displaystyle x,y,a,bin G}$ . Entonces...

{textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}

Esto depende del hecho de que N es un subgrupo normal. Queda por demostrar que esta condición no sólo es suficiente sino necesaria para definir la operación sobre G/N.

Para demostrar que es necesario, considere que para un subgrupo $N$ de $G$ , se nos ha dado que la operación está bien definida. Eso es, para todos ${displaystyle xN=aN}$ y ${displaystyle yN=bN}$ , para ${displaystyle x,y,a,bin G,;(ab)N=(xy)N}$ .

Vamos $nin N$ y $gin G$ . Desde ${displaystyle eN=nN}$ , tenemos ${displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$ .

Ahora, ${displaystyle gN=(ng)NLeftrightarrow N=(g^{-1}ng)NLeftrightarrow g^{-1}ngin N,;forall ,nin N}$ y $gin G$ .

Por lo tanto $N$ es un subgrupo normal de $G$ .

También se puede comprobar que esta operación en ${displaystyle G,/,N}$ es siempre asociativo, ${displaystyle G,/,N}$ elemento de identidad $N$ , y el inverso del elemento $aN$ siempre puede ser representado por ${displaystyle a^{-1}N}$ . Por lo tanto, el conjunto ${displaystyle G,/,N}$ junto con la operación definida ${displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$ forma un grupo, el grupo cociente $G$ por $N$ .

Debido a la normalidad de $N$ , los cosets izquierdos y los cosets derecho $N$ dentro $G$ son iguales, y así, ${displaystyle G,/,N}$ podría haber sido definido como el conjunto de cosets correctos $N$ dentro $G$ .

Ejemplo: Adición módulo 6

Por ejemplo, considere el grupo con modulo añadido 6: ${displaystyle G=left{0,1,2,3,4,5right}}$ . Considerar el subgrupo ${displaystyle N=left{0,3right}}$ , que es normal porque $G$ es abeliano. Luego el conjunto de (izquierda) cosets es de tamaño tres:

{displaystyle G,/,N=left{a+N:ain Gright}=left{left{0,3right},left{1,4right},left{2,5right}right}=left{0+N,1+N,2+Nright}}

La operación binaria definida anteriormente convierte este conjunto en un grupo, conocido como grupo cociente, que en este caso es isomorfo al grupo cíclico de orden 3.

Motivación para el nombre "cociente"

La razón ${displaystyle G,/,N}$ se llama un grupo cociente viene de la división de enteros. Al dividir 12 por 3 uno obtiene la respuesta 4 porque uno puede reagrupar 12 objetos en 4 subcolecciones de 3 objetos. El grupo cociente es la misma idea, aunque terminamos con un grupo para una respuesta final en lugar de un número porque los grupos tienen más estructura que una colección arbitraria de objetos.

Para elaborar, al mirar ${displaystyle G,/,N}$ con $N$ un subgrupo normal de $G$ , la estructura del grupo se utiliza para formar un "reagrupamiento" natural. Estos son los cosets $N$ dentro $G$ . Debido a que empezamos con un grupo y subgrupo normal, el cociente final contiene más información que sólo el número de cosets (que es lo que produce la división regular), pero en cambio tiene una estructura de grupo en sí.

Ejemplos

Enteros pares e impares

Considere el grupo de enteros $mathbb {Z}$ (bajo adición) y el subgrupo ${displaystyle 2mathbb {Z} }$ que consiste en todos los enteros. Este es un subgrupo normal, porque $mathbb {Z}$ es abeliano. Sólo hay dos cosets: el conjunto de incluso números enteros y el conjunto de números extraños, y por lo tanto el grupo cociente ${displaystyle mathbb {Z} ,/,2mathbb {Z} }$ es el grupo cíclico con dos elementos. Este grupo de cociente es isomorfo con el conjunto ${displaystyle left{0,1right}}$ con modulo adicional 2; informalmente, a veces se dice que ${displaystyle mathbb {Z} ,/,2mathbb {Z} }$ iguales el conjunto ${displaystyle left{0,1right}}$ con modulo adicional 2.

Ejemplo más explicado...

Vamos

{displaystyle gamma (m)}

ser los restos de

{displaystyle min mathbb {Z} }

cuando se divide

2

. Entonces,

{displaystyle gamma (m)=0}

cuando

m

es incluso

{displaystyle gamma (m)=1}

cuando

m

Es extraño.

Por definición

gamma

, el núcleo de

gamma

{displaystyle ker(gamma)}

{displaystyle ={min mathbb {Z}:gamma (m)=0}}

, es el conjunto de todos incluso números enteros.

Vamos

{displaystyle H=}

{displaystyle ker(gamma)}

. Entonces,

H

es un subgrupo, porque la identidad en

Z

, que es

{displaystyle 0 }

, está dentro

H

, la suma de dos incluso números enteros es incluso y por lo tanto si

m

n

están dentro

H

{displaystyle m+n}

está dentro

H

(cerrado) y si

m

es incluso,

{displaystyle -m}

también lo es

H

contiene sus inversos.

Define

{displaystyle mu:}

mathbb {Z}

{displaystyle to mathbb {Z} _{2}}

como

{displaystyle mu (aH)=gamma (a)}

para

{displaystyle ain mathbb {Z} }

mathbb {Z}

es el grupo cociente de los cosets izquierdos;

mathbb {Z}

{displaystyle ={H,1+H}}

Note que hemos definido

mu

{displaystyle mu (aH)}

1

a

es extraño

{displaystyle 0 }

a

es incluso.

Así,

mu

es un isomorfismo de

mathbb {Z}

{displaystyle mathbb {Z} _{2}}

Restos de la división de enteros

Una ligera generalización del último ejemplo. Una vez más considerar el grupo de enteros $mathbb {Z}$ abajo. Vamos n ser cualquier entero positivo. Consideraremos el subgrupo ${displaystyle nmathbb {Z} }$ de $mathbb {Z}$ consiste en todos los múltiplos de $n$ . Una vez más. ${displaystyle nmathbb {Z} }$ es normal en $mathbb {Z}$ porque $mathbb {Z}$ es abeliano. Los cosets son la colección ${displaystyle left{nmathbb {Z}1+nmathbb {Z};ldots(n-2)+nmathbb {Z}(n-1)+nmathbb {Z} right}}$ . Un entero $k$ pertenece al coset ${displaystyle r+nmathbb {Z} }$ , donde $r$ es el resto cuando se divide $k$ por $n$ . El cociente ${displaystyle mathbb {Z} ,/,nmathbb {Z} }$ se puede pensar como el grupo de modulo "remanentes" $n$ . Este es un grupo cíclico de orden $n$ .

Raíces enteras complejas de 1

Los cosets de las cuartas raíces de la unidad N en las doce raíces de la unidad G.

Las doce raíces de la unidad, que son puntos en el círculo de la unidad compleja, forman un grupo abeliano multiplicativo $G$ , mostrado en la imagen de la derecha como bolas de colores con el número en cada punto dando su complejo argumento. Considere su subgrupo $N$ hecho de las cuartas raíces de la unidad, mostrado como bolas rojas. Este subgrupo normal divide el grupo en tres cosets, mostrados en rojo, verde y azul. Se puede comprobar que los cosets forman un grupo de tres elementos (el producto de un elemento rojo con un elemento azul es azul, el inverso de un elemento azul es verde, etc.). Así pues, el grupo de cocientes ${displaystyle G,/,N}$ es el grupo de tres colores, que resulta ser el grupo cíclico con tres elementos.

Los números reales módulo los enteros

Considere el grupo de números reales $mathbb {R}$ y el subgrupo $mathbb {Z}$ de enteros. Cada conjunto de $mathbb {Z}$ dentro $mathbb {R}$ es un conjunto de la forma ${displaystyle a+mathbb {Z} }$ , donde $a$ es un número real. Desde ${displaystyle a_{1}+mathbb {Z} }$ y ${displaystyle a_{2}+mathbb {Z} }$ son conjuntos idénticos cuando las partes no enteros $a_{1}$ y $a_{2}$ son iguales, uno puede imponer la restricción $<math alttext="{displaystyle 0leq a0\leq \leq a.1{displaystyle 0leq a won1} <img alt="{displaystyle 0leq a$ sin cambio de significado. Agregar tales cosets se hace agregando los números reales correspondientes, y restar 1 si el resultado es mayor o igual a 1. The quotient group ${displaystyle mathbb {R} ,/,mathbb {Z} }$ es isomorfo al grupo círculo, el grupo de números complejos de valor absoluto 1 bajo multiplicación, o correspondientemente, el grupo de rotaciones en 2D sobre el origen, es decir, el grupo ortogonal especial ${displaystyle {mbox{SO}}(2)}$ . Un isomorfismo es dado por ${displaystyle f(a+mathbb {Z})=exp(2pi ia)}$ (ver la identidad de Euler).

Matrices de números reales

Si $G$ es el grupo de invertibles $3 times 3$ matrices reales, y $N$ es el subgrupo de $3 times 3$ matrices reales con determinante 1, entonces $N$ es normal en $G$ (ya que es el núcleo del homomorfismo determinante). Los cosets de $N$ son los conjuntos de matrices con un determinado determinante, y por lo tanto ${displaystyle G,/,N}$ es isomorfo al grupo multiplicativo de números reales no cero. El grupo $N$ es conocido como el grupo lineal especial ${displaystyle {mbox{SL}}(3)}$ .

Aritmética modular entera

Considere el grupo abeliano ${displaystyle mathbb {Z} _{4}=mathbb {Z} ,/,4mathbb {Z} }$ (es decir, el set ${displaystyle left{0,1,2,3right}}$ con modulo adicional 4), y su subgrupo ${displaystyle left{0,2right}}$ . The quotient group ${displaystyle mathbb {Z} _{4},/,left{0,2right}}$ es ${displaystyle left{left{0,2right},left{1,3right}right}}$ . Este es un grupo con elemento de identidad ${displaystyle left{0,2right}}$ , y operaciones de grupos como ${displaystyle left{0,2right}+left{1,3right}=left{1,3right}}$ . Ambos subgrupos ${displaystyle left{0,2right}}$ y el grupo de referencia ${displaystyle left{left{0,2right},left{1,3right}right}}$ son isomorfos con $mathbb{Z } _{2}$ .

Multiplicación de enteros

Considere el grupo multiplicador ${displaystyle G=(mathbb {Z} _{n^{2}})^{times }}$ . El set $N$ de $n$ los residuos es un subgrupo multiplicativo isomorfo a ${displaystyle (mathbb {Z} _{n})^{times }}$ . Entonces... $N$ es normal en $G$ y el grupo factorial ${displaystyle G,/,N}$ tiene los cosets ${displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,;ldots(1+n)n-1N}$ . El criptosistema Paillier se basa en la conjetura de que es difícil determinar el conjunto de un elemento aleatorio de $G$ sin conocer la factorización de $n$ .

Propiedades

The quotient group ${displaystyle G,/,G}$ es isomorfo al grupo trivial (el grupo con un elemento), y ${displaystyle G,/,left{eright}}$ es isomorfo a $G$ .

El orden ${displaystyle G,/,N}$ , por definición el número de elementos, es igual a ${displaystyle vert G:Nvert }$ , el índice de $N$ dentro $G$ . Si $G$ es finito, el índice también es igual al orden $G$ dividido por el orden $N$ . El set ${displaystyle G,/,N}$ puede ser finito, aunque ambos $G$ y $N$ son infinitas (por ejemplo, ${displaystyle mathbb {Z} ,/,2mathbb {Z} }$ ).

Hay un homomorfismo de grupo "natural" ${displaystyle pi:Grightarrow G,/,N}$ , envío de cada elemento $g$ de $G$ al conjunto de $N$ a la cual $g$ pertenece, es decir: ${displaystyle pi (g)=gN}$ . La asignación $pi$ a veces se llama proyección canónica de $G$ sobre ${displaystyle G,/,N}$ . Su núcleo es $N$ .

Hay una correspondencia bijetiva entre los subgrupos de $G$ que contienen $N$ y los subgrupos de ${displaystyle G,/,N}$ ; si $H$ es un subgrupo $G$ que contiene $N$ , entonces el subgrupo correspondiente ${displaystyle G,/,N}$ es ${displaystyle pi (H)}$ . Esta correspondencia guarda para subgrupos normales de $G$ y ${displaystyle G,/,N}$ también, y se formaliza en el teorema de celo.

Varias propiedades importantes de los grupos de cocientes se registran en el teorema fundamental sobre homomorfismos y los teoremas de isomorfismos.

Si $G$ es abeliano, nilpotente, solvable, cíclico o finitamente generado, entonces es así ${displaystyle G,/,N}$ .

Si $H$ es un subgrupo en un grupo finito $G$ , y el orden de $H$ es la mitad del orden $G$ , entonces $H$ está garantizada a ser un subgrupo normal, por lo que ${displaystyle G,/,H}$ existe y es isomorfo $C_{2}$ . Este resultado también se puede decir como "cualquier subgrupo del índice 2 es normal", y en esta forma se aplica también a grupos infinitos. Además, si $p$ es el número primario más pequeño que divide el orden de un grupo finito, $G$ , entonces si ${displaystyle G,/,H}$ tiene orden $p$ , $H$ debe ser un subgrupo normal de $G$ .

Dado $G$ y un subgrupo normal $N$ , entonces $G$ es una extensión de grupo ${displaystyle G,/,N}$ por $N$ . Uno podría preguntar si esta extensión es trivial o dividida; en otras palabras, uno podría preguntar si $G$ es un producto directo o semidirecto $N$ y ${displaystyle G,/,N}$ . Este es un caso especial del problema de extensión. Un ejemplo en el que la extensión no se divide es el siguiente: Vamos ${displaystyle G=mathbb {Z} _{4}=left{0,1,2,3right}}$ , y ${displaystyle N=left{0,2right}}$ , que es isomorfo a $mathbb{Z } _{2}$ . Entonces... ${displaystyle G,/,N}$ es también isomorfo a $mathbb{Z } _{2}$ . Pero... $mathbb{Z } _{2}$ tiene sólo el automorfismo trivial, así que el único producto semi-directo $N$ y ${displaystyle G,/,N}$ es el producto directo. Desde ${displaystyle mathbb {Z} _{4}}$ es diferente de ${displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}}$ , concluimos que $G$ no es un producto semi-directo $N$ y ${displaystyle G,/,N}$ .

Cocientes de grupos de Lie

Si $G$ es un grupo de Lie y $N$ es un normal y cerrado (en el topológico más que el sentido algebraico de la palabra) Subgrupo de mentiras $G$ , el cociente $G$ / $N$ es también un grupo Lie. En este caso, el grupo original $G$ tiene la estructura de un paquete de fibra (específicamente, un principal $N$ - abundante), con espacio base $G$ / $N$ y fibra $N$ . La dimensión de $G$ / $N$ iguales ${displaystyle dim G-dim N}$ .

Tenga en cuenta que la condición $N$ está cerrado es necesario. De hecho, si $N$ no está cerrado entonces el espacio cociente no es un espacio T1 (ya que hay un conjunto en el cociente que no puede ser separado de la identidad por un conjunto abierto), y por lo tanto no un espacio Hausdorff.

Para un no normal Subgrupo de mentiras $N$ , el espacio ${displaystyle G,/,N}$ de los cosets izquierdos no es un grupo, sino simplemente un múltiple diferente en el que $G$ actos. El resultado es conocido como un espacio homogéneo.

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