Grupo cíclico

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Grupo matemático que puede ser generado como el conjunto de poderes de un solo elemento

En la teoría de grupos, una rama del álgebra abstracta en matemáticas puras, un grupo cíclico o grupo monógeno es un grupo, denominado C_n, que es generado por un solo elemento. Es decir, es un conjunto de elementos invertibles con una única operación binaria asociativa y contiene un elemento g tal que todos los demás elementos del grupo pueden obtenerse aplicando repetidamente la operación de grupo a g o su inversa. Cada elemento se puede escribir como una potencia entera de g en notación multiplicativa, o como un múltiplo entero de g en notación aditiva. Este elemento g se denomina generador del grupo.

Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo aditivo de Z, los números enteros. Todo grupo cíclico finito de orden n es isomorfo al grupo aditivo de Z/nZ, los enteros módulo n. Cada grupo cíclico es un grupo abeliano (lo que significa que su operación de grupo es conmutativa), y cada grupo abeliano finitamente generado es un producto directo de grupos cíclicos.

Todo grupo cíclico de primer orden es un grupo simple, que no se puede descomponer en grupos más pequeños. En la clasificación de grupos simples finitos, una de las tres clases infinitas consiste en los grupos cíclicos de primer orden. Los grupos cíclicos de primer orden se encuentran, por lo tanto, entre los bloques de construcción a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos.

Definición y notación

Las seis etapas complejas de la unidad forman un grupo cíclico bajo multiplicación. Aquí, z es un generador, pero z² no es, porque sus poderes no producen los poderes extrañosz.

Para cualquier elemento g en cualquier grupo G, uno puede formar el subgrupo que consta de todas sus potencias enteras: ⟨g⟩ = { g^k | k ∈ Z }, denominado subgrupo cíclico generado por g. El orden de g es el número de elementos en ⟨g⟩; es decir, el orden de un elemento es igual al orden del subgrupo cíclico que genera.

Un grupo cíclico es un grupo que es igual a uno de sus subgrupos cíclicos: G = ⟨g⟩ para algún elemento g, llamado generador de G.

Para un grupo cíclico finito G de orden n tenemos G = {e, g, g²,... gⁿ⁻¹}, donde e es el elemento de identidad y gⁱ = g^j siempre que i ≡ j (mod n); en particular gⁿ = g⁰ = e, y g⁻¹ = gⁿ⁻¹. Un grupo abstracto definido por esta multiplicación a menudo se denota C_n, y decimos que G es isomorfo al grupo cíclico estándar C_n. Tal grupo también es isomorfo a Z/nZ, el grupo de enteros módulo n con la operación de suma, que es el grupo cíclico estándar en notación aditiva. Bajo el isomorfismo χ definido por χ(gⁱ) = i el elemento de identidad e corresponde a 0, los productos corresponden a sumas y las potencias corresponden a múltiplos.

Por ejemplo, el conjunto de raíces sextas complejas de la unidad

{displaystyle G=left{pm 1,pm {left({tfrac {1}{2}}+{tfrac {sqrt {3}}{2}}iright)},pm {left({tfrac {1}{2}}-{tfrac {sqrt {3}}{2}}iright)}right}}

{displaystyle z={tfrac {1}{2}}+{tfrac {sqrt {3}}{2}}i=e^{2pi i/6}:}

Gzzz²z³z⁴z⁵z⁶₆gegg²g³g⁴g⁵g^jg^kg^j+k^{(mod 6)}g⁶g⁰eZZz^kg^kk1 + 2 ≡ 3 (mod 6)z¹ · z² = z³2 + 5 ngel 1 (mod 6)z² · z⁵ = z⁷ = z¹z²ez²z⁴₃ZZz⁵ez⁵z¹⁰z⁴z¹⁵z³z²⁰z²z²⁵zGz⁵G

En lugar de las notaciones de cociente Z/nZ, Z/(n), o Z/n, algunos autores denotan un grupo cíclico finito como Z_n, pero esto choca con la notación de la teoría de números, donde Z_p denota un anillo numérico p-ádico, o localización en un ideal primo.

Grupos cíclicos infinitos
p1, (*∞)	p11g, (22∞)


Dos grupos frisos son isomorfosZ. Con un generador, p1 tiene traducciones y p11g tiene reflejos de deslizamiento.

Por otro lado, en un grupo cíclico infinito G = ⟨g⟩, las potencias g^k dan elementos distintos para todos los enteros k, de modo que G = {... g⁻², g⁻¹, e, g, g²,... }, y G es isomorfo al grupo estándar C = C_∞ y a Z, el grupo aditivo de los enteros. Un ejemplo es el primer grupo de friso. Aquí no hay ciclos finitos, y el nombre "cíclico" puede ser engañoso.

Para evitar esta confusión, Bourbaki introdujo el término grupo monógeno para un grupo con un solo generador y "grupo cíclico" para significar un grupo monógeno finito, evitando el término "grupo cíclico infinito".

Ejemplos

Ejemplos de grupos cíclicos en la simetría rotacional
C1	C2	C3


C4	C5	C6

Suma entera y modular

El conjunto de números enteros Z, con la operación de suma, forma un grupo. Es un grupo cíclico infinito, porque todos los números enteros se pueden escribir sumando o restando repetidamente el único número 1. En este grupo, 1 y −1 son los únicos generadores. Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a Z.

Para cada entero positivo n, el conjunto de enteros módulo n, nuevamente con la operación de suma, forma un grupo cíclico finito, denotado Z/nZ. Un entero modular i es un generador de este grupo si i es relativamente primo a n, porque estos elementos pueden generar todos los demás elementos del grupo a través de la suma de enteros. (El número de dichos generadores es φ(n), donde φ es la función totient de Euler). Todo grupo cíclico finito G es isomorfo a Z/nZ, donde n = |G| es el orden del grupo.

Las operaciones de suma sobre enteros y enteros modulares, utilizadas para definir los grupos cíclicos, son las operaciones de suma de anillos conmutativos, también denotados Z y Z/ nZ o Z/(n). Si p es un número primo, entonces Z/pZ es un campo finito y generalmente se denota como F_p o GF(p) para el campo de Galois.

Multiplicación modular

Para cada entero positivo n, el conjunto de los enteros módulo n que son primos relativos a n se escribe como ( Z/nZ)^×; forma un grupo bajo la operación de multiplicación. Este grupo no siempre es cíclico, pero lo es siempre que n sea 1, 2, 4, una potencia de un primo impar, o el doble de una potencia de un primo impar (secuencia A033948 en el OEIS). Este es el grupo multiplicativo de unidades del anillo Z/nZ; hay φ(n) de ellos, donde de nuevo φ es la función totient de Euler. Por ejemplo, (Z/6Z)^× = {1, 5}, y dado que 6 es el doble de un primo impar, este es un ciclo grupo. Por el contrario, (Z/8Z)^× = {1, 3, 5, 7} es un grupo de 4 de Klein y no es cíclico. Cuando (Z/nZ)^× es cíclico, sus generadores se denominan raíces primitivas módulo n.

Para un número primo p, el grupo (Z/pZ)^× siempre es cíclico y consta de los elementos distintos de cero del campo finito de orden p. De manera más general, todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de cualquier campo es cíclico.

Simetrías rotacionales

El conjunto de simetrías rotacionales de un polígono forma un grupo cíclico finito. Si hay n formas diferentes de mover el polígono hacia sí mismo mediante una rotación (incluida la rotación nula), entonces este grupo de simetría es isomorfo a Z/nZ. En tres o más dimensiones existen otros grupos finitos de simetría que son cíclicos, pero que no son todos rotaciones alrededor de un eje, sino rotorreflexiones.

El grupo de todas las rotaciones de un círculo (el grupo del círculo, también denominado S¹) es no cíclico, porque no hay rotación única cuyas potencias enteras generan todas las rotaciones. De hecho, el grupo cíclico infinito C_∞ es contable, mientras que S¹ no lo es. El grupo de rotaciones por ángulos racionales es contable, pero aún no cíclico.

Teoría de Galois

Una raíz nésima de la unidad es un número complejo cuya potencia nésima es 1, una raíz del polinomio xⁿ − 1. El conjunto de todas las raíces nésimas de la unidad forma un grupo cíclico de orden n bajo la multiplicación. Por ejemplo, el polinomio z³ − 1 se factoriza como (z − 1)(z − ω)(z − ω²), donde ω = e^2πi/3; el conjunto {1, ω, ω²} = {ω⁰, ω¹, ω²} forma un grupo cíclico bajo la multiplicación. El grupo de Galois de la extensión de campo de los números racionales generados por las raíces nésimas de la unidad forma un grupo diferente, isomorfo al grupo multiplicativo (Z/n Z)^× de orden φ(n), que es cíclico para algunos pero no para todos n (ver arriba).

Una extensión de campo se denomina extensión cíclica si su grupo de Galois es cíclico. Para campos de característica cero, tales extensiones son el tema de la teoría de Kummer y están íntimamente relacionadas con la capacidad de solución por radicales. Para una extensión de campos finitos de característica p, su grupo de Galois es siempre finito y cíclico, generado por una potencia del mapeo de Frobenius. Por el contrario, dado un campo finito F y un grupo cíclico finito G, existe una extensión de campo finito de F cuyo grupo de Galois es G.

Subgrupos

Todos los subgrupos y grupos de cocientes de grupos cíclicos son cíclicos. Específicamente, todos los subgrupos de Z son de la forma ⟨m⟩ = mZ, con m un entero positivo. Todos estos subgrupos son distintos entre sí y, aparte del grupo trivial {0} = 0Z, todos son isomorfos a Z. La red de subgrupos de Z es isomorfa al dual de la red de números naturales ordenados por divisibilidad. Así, dado que un número primo p no tiene divisores no triviales, pZ es un subgrupo propio maximal, y el grupo cociente Z/pZ es simple; de hecho, un grupo cíclico es simple si y solo si su orden es primo.

Todos los grupos de cocientes Z/nZ son finitos, con la excepción Z/0Z = Z/{0}. Por cada divisor positivo d de n, el grupo cociente Z/nZ tiene precisamente un subgrupo de orden d, generado por el residuo clase de n/d. No hay otros subgrupos.

Propiedades adicionales

Todo grupo cíclico es abeliano. Es decir, su operación de grupo es conmutativa: gh = hg (para todo g y h en G). Esto es claro para los grupos de sumas enteras y modulares ya que r + s ≡ s + r (mod n), y se sigue para todos los grupos cíclicos ya que todos son isomorfos a estos grupos estándar. Para un grupo cíclico finito de orden n, gⁿ es el elemento de identidad para cualquier elemento g . Esto nuevamente sigue usando el isomorfismo para la suma modular, ya que kn ≡ 0 (mod n) para cada entero k. (Esto también es cierto para un grupo general de orden n, debido al teorema de Lagrange).

Para una potencia principal p^k, el grupo Z/p ^kZ se denomina grupo cíclico primario. El teorema fundamental de los grupos abelianos establece que todo grupo abeliano finitamente generado es un producto directo finito de grupos cíclicos primarios e infinitos.

Porque un grupo cíclico ${displaystyle G}$ es abeliano, la clase conjugada ${displaystyle {text{Cl}}(x)={gxg^{-1}:gin G}={x}}$ para ${displaystyle xin G}$ . Así, cada una de sus clases de conjugación consiste en un único elemento. Un grupo cíclico de ordenn Por consiguiente, n clases de conjugación.

Si d es un divisor de n, entonces el número de elementos en Z/nZ que tienen orden d es φ(d), y el número de elementos cuyo orden divide a d es exactamente d. Si G es un grupo finito en el que, para cada n > 0, G contiene como máximo n elementos de orden que dividen n, entonces G debe ser cíclico. El orden de un elemento m en Z/nZ es n/gcd (n,m).

Si n y m son coprimos, entonces el producto directo de dos grupos cíclicos Z/nZ y Z/mZ es isomorfo al grupo cíclico Z/nmZ, y lo contrario también se cumple: esta es una forma del teorema chino del resto. Por ejemplo, Z/12Z es isomorfo al producto directo Z/3Z × Z/4Z bajo el isomorfismo (k mod 12) → (k mod 3, k mod 4); pero no es isomorfo a Z/6Z × Z/2Z, en el que cada elemento tiene un orden máximo 6.

Si p es un número primo, entonces cualquier grupo con elementos p es isomorfo al grupo simple Z/pZ. Un número n se llama número cíclico si Z/nZ es el único grupo de orden n, que es cierto exactamente cuando gcd(n, φ(n)) = 1. La secuencia de números cíclicos incluye todos los números primos, pero algunos son compuestos como el 15. Sin embargo, todos los números cíclicos son impares excepto el 2. Los números cíclicos son:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 139, 141... A003277 en el OEIS)

La definición implica inmediatamente que los grupos cíclicos tienen presentación grupal C_∞ = ⟨x | ⟩ y C_n = ⟨x | xⁿ⟩ para finito n.

Objetos asociados

Representaciones

La teoría de la representación del grupo cíclico es un caso base crítico para la teoría de la representación de grupos finitos más generales. En el caso complejo, una representación de un grupo cíclico se descompone en una suma directa de caracteres lineales, haciendo transparente la conexión entre la teoría de caracteres y la teoría de representación. En el caso característico positivo, las representaciones indescomponibles del grupo cíclico forman un modelo y una base inductiva para la teoría de representación de grupos con subgrupos cíclicos de Sylow y, más en general, la teoría de representación de bloques de defecto cíclico.

Gráfico de ciclo

Un gráfico de ciclos ilustra los diversos ciclos de un grupo y es particularmente útil para visualizar la estructura de pequeños grupos finitos. Un gráfico de ciclo para un grupo cíclico es simplemente un gráfico circular, donde el orden del grupo es igual al número de nodos. Un solo generador define el grupo como un camino direccional en el gráfico, y el generador inverso define un camino hacia atrás. Una ruta trivial (identidad) se puede dibujar como un bucle, pero generalmente se suprime. Z₂ a veces se dibuja con dos bordes curvos como un multigrafo.

Un grupo cíclico Z_n, con orden n, corresponde a un solo ciclo graficado simplemente como un n con los elementos en los vértices.

Ciclo gráficos hasta el orden 24

Z₁	Z₂	Z₃	Z₄	Z₅	Z₆ = Z₃×Z₂	Z₇	Z₈

Z₉	Z₁₀ = Z₅×Z₂	Z₁₁	Z₁₂ = Z₄×Z₃	Z₁₃	Z₁₄ = Z₇×Z₂	Z₁₅ = Z₅×Z₃	Z₁₆

Z₁₇	Z₁₈ = Z₉×Z₂	Z₁₉	Z₂₀ = Z₅×Z₄	Z₂₁ = Z₇×Z₃	Z₂₂ = Z₁₁×Z₂	Z₂₃	Z₂₄ = Z₈×Z₃

Gráfico de Cayley

El gráfico Paley del orden 13, un gráfico circulante formado como el gráfico de Cayley Z/13 con generador {1,3,4}

Un gráfico de Cayley es un gráfico definido a partir de un par (G,S) donde G es un grupo y S es un conjunto de generadores para el grupo; tiene un vértice para cada elemento del grupo y una arista para cada producto de un elemento con un generador. En el caso de un grupo cíclico finito, con su único generador, el gráfico de Cayley es un gráfico de ciclo, y para un grupo cíclico infinito con su generador, el gráfico de Cayley es un gráfico de camino doblemente infinito. Sin embargo, los gráficos de Cayley también se pueden definir a partir de otros conjuntos de generadores. Los gráficos de Cayley de grupos cíclicos con conjuntos generadores arbitrarios se denominan gráficos circulantes. Estos gráficos se pueden representar geométricamente como un conjunto de puntos igualmente espaciados en un círculo o en una línea, con cada punto conectado a vecinos con el mismo conjunto de distancias que cada otro punto. Son exactamente los grafos transitivos de vértice cuyo grupo de simetría incluye un grupo cíclico transitivo.

Endomorfismos

El anillo de endomorfismo del grupo abeliano Z/nZ es isomorfo a Z/ nZ en sí mismo como un anillo. Bajo este isomorfismo, el número r corresponde al endomorfismo de Z/nZ que asigna cada elemento al suma de r copias del mismo. Esta es una biyección si y solo si r es coprimo con n, por lo que el grupo de automorfismos de Z/n Z es isomorfo al grupo unitario (Z/nZ)^×.

Del mismo modo, el anillo de endomorfismo del grupo aditivo de Z es isomorfo al anillo Z. Su grupo de automorfismos es isomorfo al grupo de unidades del anillo Z, que es ({−1, +1}, ×) ≅ C₂.

Clases de grupos relacionadas

Se han definido varias otras clases de grupos por su relación con los grupos cíclicos:

Grupos virtualmente cíclicos

Un grupo se llama virtualmente cíclico si contiene un subgrupo cíclico de índice finito (el número de clases laterales que tiene el subgrupo). En otras palabras, se puede llegar a cualquier elemento de un grupo virtualmente cíclico multiplicando un miembro del subgrupo cíclico y un miembro de cierto conjunto finito. Todo grupo cíclico es virtualmente cíclico, como lo es todo grupo finito. Un grupo infinito es virtualmente cíclico si y solo si se genera finitamente y tiene exactamente dos extremos; un ejemplo de tal grupo es el producto directo de Z/nZ y Z, en el que el factor Z tiene un índice finito n. Cada subgrupo abeliano de un grupo hiperbólico de Gromov es virtualmente cíclico.

Grupos localmente cíclicos

Un grupo localmente cíclico es un grupo en el que cada subgrupo generado finitamente es cíclico. Un ejemplo es el grupo aditivo de los números racionales: todo conjunto finito de números racionales es un conjunto de múltiplos enteros de una sola fracción unitaria, el inverso de su mínimo común denominador, y genera como subgrupo un grupo cíclico de múltiplos enteros de esta fracción unitaria. Un grupo es localmente cíclico si y solo si su retícula de subgrupos es una retícula distributiva.

Grupos ordenados cíclicamente

Un grupo ordenado cíclicamente es un grupo junto con un orden cíclico preservado por la estructura del grupo. A cada grupo cíclico se le puede dar una estructura como un grupo ordenado cíclicamente, de acuerdo con el orden de los números enteros (o los números enteros módulo el orden del grupo). Todo subgrupo finito de un grupo ordenado cíclicamente es cíclico.

Grupos metacíclicos y policíclicos

Un grupo metacíclico es un grupo que contiene un subgrupo normal cíclico cuyo cociente también es cíclico. Estos grupos incluyen los grupos cíclicos, los grupos dicíclicos y los productos directos de dos grupos cíclicos. Los grupos policíclicos generalizan los grupos metacíclicos al permitir más de un nivel de extensión de grupo. Un grupo es policíclico si tiene una secuencia descendente finita de subgrupos, cada uno de los cuales es normal en el subgrupo anterior con un cociente cíclico, que termina en el grupo trivial. Todo grupo abeliano o grupo nilpotente generado finitamente es policíclico.

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