Grupo alterno

En matemáticas, un grupo alterno es el grupo de permutaciones pares de un conjunto finito. El grupo alterno en un conjunto de n elementos se llama el grupo alterno de grado n, o el grupo alterno en n letras y denotado por A_n o Alt(n).

Propiedades básicas

Para n > 1, el grupo A_n es el subgrupo conmutador del grupo simétrico S_n con índice 2 y tiene por lo tanto n!/2 elementos. Es el núcleo del homomorfismo de grupo característico sgn: S_n → {1, −1} explicado en grupo simétrico.

El grupo A_n es abeliano si y solo si n ≤ 3 y simple si y solo si n = 3 o n ≥ 5. A₅ es el grupo simple no abeliano más pequeño, de orden 60, y el grupo no soluble más pequeño.

El grupo A₄ tiene el cuatrigrupo V de Klein como un subgrupo normal propio, a saber, la identidad y las transposiciones dobles { (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }, ese es el núcleo de la sobreyección de A₄ sobre A₃ ≅ Z₃. Tenemos la secuencia exacta V → A₄ → A₃ = Z₃. En la teoría de Galois, este mapa, o más bien el mapa correspondiente S₄ → S₃, corresponde a asociar el resolvente de Lagrange cúbico a un cuartico, lo que permite resolver por radicales el polinomio cuartico, tal y como establece Lodovico Ferrari.

Clases de conjugación

Como en el grupo simétrico, dos elementos cualesquiera de A_n que están conjugados por un elemento de A_n debe tener la misma forma de ciclo. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Si la forma del ciclo consta solo de ciclos de longitud impar sin dos ciclos de la misma longitud, donde los ciclos de longitud uno están incluidos en el tipo de ciclo, entonces hay exactamente dos clases de conjugación para esta forma de ciclo (Scott 1987, §11.1, p299).

Ejemplos:

• Las dos permutaciones (123) y (132) no son conjugados en A₃, aunque tienen la misma forma de ciclo, y por lo tanto son conjugados en S₃.
• La permutación (123)(45678) no es conjugada a su inverso (132)(48765) en A₈, aunque las dos permutaciones tienen la misma forma de ciclo, por lo que están conjugadas en S₈.

Relación con grupo simétrico

Ver grupo simétrico.

Así como los grupos simétricos finitos son los grupos de todas las permutaciones de un conjunto con elementos finitos, y los grupos alternos son grupos de permutaciones pares, los grupos alternos son subgrupos de grupos simétricos finitos.

Generadores y relaciones

Para n ≥ 3, A_n se genera mediante 3 ciclos, ya que se pueden obtener 3 ciclos combinando pares de transposiciones. Este grupo electrógeno se usa a menudo para probar que A_n es simple para n ≥ 5.

Grupo de automorfismos

Para n > 3, excepto n = 6, el grupo de automorfismos de A_n es el grupo simétrico S_n, con el grupo de automorfismos interior A_n y el grupo de automorfismos exterior Z ₂; el automorfismo externo proviene de la conjugación por una permutación impar.

Para n = 1 y 2, el grupo de automorfismos es trivial. Para n = 3 el grupo de automorfismos es Z₂, con un grupo de automorfismos interno trivial y un grupo de automorfismos externo Z ₂.

El grupo de automorfismos exterior de A₆ es el grupo de cuatro de Klein V = Z₂ × Z₂, y está relacionado con el automorfismo externo de S6. El automorfismo externo adicional en A₆ intercambia los 3 ciclos (como (123)) con elementos de forma 3² (como (123)(456)).

Isomorfismos excepcionales

Existen algunos isomorfismos excepcionales entre algunos de los pequeños grupos alternos y los pequeños grupos de tipo Lie, en particular los grupos lineales especiales proyectivos. Estos son:

• A₄ es isomorfo para PSL₂(3) y el grupo de simetría de la simetría tetraedral chiral.
• A₅ es isomorfo para PSL₂(4), PSL₂(5), y el grupo de simetría de la simetría icosahedral chiral. (Ver para un isomorfismo indirecto PSL₂(F₅) → A₅ utilizando una clasificación de grupos simples del orden 60, y aquí para una prueba directa).
• A₆ es isomorfo para PSL₂(9) y PSp₄(2)'.
• A₈ es isomorfo para PSL₄2).

Más obviamente, A₃ es isomorfo al grupo cíclico Z₃, y A₀, A₁, y A₂ son isomorfos al grupo trivial (que también es SL₁(q) = PSL₁(q) para cualquier q).

Ejemplos S4 y A4

Cayley mesa del grupo simétrico S4 Las permutaciones extrañas son de color: Transposiciones en verde y 4 ciclos en naranja

Cayley mesa del grupo alternante A4 Elementos: Las permutaciones uniformes (la identidad, ocho 3 ciclos y tres dobles transposiciones (dobles transposiciones en negrita)) Subgrupos:

Gráficos de ciclo

A3 = Z3 (orden 3)	A4 (orden 12)	A4 × Z2 (orden 24)
S3 Dih3 (orden 6)	S4 (orden 24)	A4 en S4 a la izquierda

Ejemplo A5 como un subgrupo de rotaciones de 3 espacios

A₅ Identificado₃()R)

bola – radio π – espacio homogéneo de principio SO(3)

icosidodecahedron – radio π – clase de conjugación de 2-2 ciclos

icosahedron – radio 4π/5 – la mitad de la clase de conjugación dividida de 5 ciclos

dodecahedron – radio 2π/3 - clase de conjugación de 3 ciclos

icosahedron – radio 2π/5 – segunda mitad de ciclos de 5 ciclos divididos

Compuesto de cinco tetrahedra. A₅ actúa en el dodecaedro permutando el 5 tetrahedra inscrito. Incluso las permutaciones de estos tetrahedra son exactamente las rotaciones simétricas del dodecaedro y caracteriza el A₅ Identificado₃()R) correspondencia.

A₅ es el grupo de isometrías de un dodecaedro en 3 espacios, por lo que existe una representación A₅ → SO₃(R).

En esta imagen, los vértices de los poliedros representan los elementos del grupo, con el centro de la esfera representando el elemento de identidad. Cada vértice representa una rotación alrededor del eje que apunta desde el centro a ese vértice, por un ángulo igual a la distancia desde el origen, en radianes. Los vértices en el mismo poliedro están en la misma clase de conjugación. Dado que la ecuación de clase de conjugación para A₅ es 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60, obtenemos cuatro poliedros distintos (no triviales).

Los vértices de cada poliedro están en correspondencia biyectiva con los elementos de su clase de conjugación, con la excepción de la clase de conjugación de (2,2)-ciclos, que está representada por un icosidodecaedro en la superficie exterior, con su antípoda vértices identificados entre sí. La razón de esta redundancia es que las rotaciones correspondientes son π radianes, y por lo tanto pueden representarse mediante un vector de longitud π en cualquiera de las dos direcciones. Así, la clase de (2,2)-ciclos contiene 15 elementos, mientras que el icosidodecaedro tiene 30 vértices.

Las dos clases de conjugación de doce ciclos de 5 en A₅ están representadas por dos icosaedros de radio 2 π/5 y 4π/5, respectivamente. El automorfismo externo no trivial en Out(A₅) ≃ Z₂ intercambia estas dos clases y los icosaedros correspondientes.

Ejemplo: el rompecabezas del 15

Un rompecabezas de 15.

Se puede probar que el rompecabezas del 15, un ejemplo famoso del rompecabezas deslizante, se puede representar mediante el grupo alternante A₁₅, porque las combinaciones del rompecabezas del 15 se pueden generar por 3- ciclos De hecho, cualquier rompecabezas deslizante 2k − 1 con fichas cuadradas del mismo tamaño se puede representar con A_2k−1.

Subgrupos

A₄ es el grupo más pequeño que demuestra que el inverso del teorema de Lagrange no es cierto en general: dado un grupo finito G y un divisor d de |G|, hay no necesariamente existe un subgrupo de G con orden d: el grupo G = A₄, de orden 12, no tiene subgrupo de orden 6. Un subgrupo de tres elementos (generado por una rotación cíclica de tres objetos) con cualquier elemento no trivial distinto genera el grupo completo.

Para todos los n > 4, A_n no tiene subgrupos normales no triviales (es decir, propios). Por lo tanto, A_n es un grupo simple para todos los n > 4. A₅ es el grupo no solucionable más pequeño.

Homología de grupo

La homología de grupo de los grupos alternos exhibe estabilización, como en la teoría de homotopía estable: para n suficientemente grande, es constante. Sin embargo, hay algunas homologías excepcionales de baja dimensión. Tenga en cuenta que la homología del grupo simétrico exhibe una estabilización similar, pero sin las excepciones de baja dimensión (elementos de homología adicionales).

H1: Abelianización

El primer grupo de homología coincide con la abelianización, y (dado que A_n es perfecto, salvo las excepciones citadas) queda así:

H₁(A_n, Z) = Z₁ para n = 0, 1, 2;

H₁(A₃, Z) = A^ab
₃ = A₃ = Z₃;

H₁(A₄, Z) = A^ab
₄ = Z₃;

H₁(A_n, Z) = Z₁ para n ≥ 5.

Esto se ve fácilmente de forma directa, de la siguiente manera. A_n se genera mediante 3 ciclos, por lo que los únicos mapas de abelianización no triviales son A_n → Z₃, ya que los elementos de orden 3 deben asignarse a los elementos de orden 3, y para n ≥ 5 todos los 3 ciclos son conjugados, por lo que deben asignarse al mismo elemento en la abelianización, ya que la conjugación es trivial en grupos abelianos. Por lo tanto, un ciclo de 3 como (123) debe corresponder al mismo elemento que su inverso (321), pero debe corresponder a la identidad, ya que debe tener un orden que divida 2 y 3, por lo que la abelianización es trivial.

Para n < 3, A_n es trivial y, por lo tanto, tiene una abelianización trivial. Para A₃ y A₄, se puede calcular la abelianización directamente, teniendo en cuenta que los 3 ciclos forman dos clases de conjugación (en lugar de que todas sean conjugadas) y que no son triviales. mapas A₃ ↠ Z₃ (de hecho, un isomorfismo) y A₄ ↠ Z₃.

H2: Multiplicadores de Schur

Los multiplicadores de Schur de los grupos alternos A_n (en el caso de que n sea al menos 5) son los grupos cíclicos de orden 2, excepto en el caso de que n sea 6 o 7, en cuyo caso también hay una cubierta triple. En estos casos, entonces, el multiplicador de Schur es (el grupo cíclico) de orden 6. Estos fueron calculados por primera vez en (Schur 1911).

H₂(A_n, Z) = Z₁ para n = 1, 2, 3;

H₂(A_n, Z) = Z₂ para n = 4, 5;

H₂(A_n, Z) = Z₆ para n = 6, 7;

H₂(A_n, Z) = Z₂ para n ≥ 8.