Grupo afín

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Grupo de todas las transformaciones afines de un espacio afinado

En matemáticas, el grupo afín o grupo afín general de cualquier espacio afín es el grupo de todas las transformaciones afines invertibles del espacio en sí mismo. En el caso de un espacio euclidiano (donde el campo asociado de escalares son los números reales), el grupo afín consiste en aquellas funciones del espacio a sí mismo tales que la imagen de cada línea es una línea.

Sobre cualquier campo, el grupo afín puede verse como un grupo matriz de forma natural. Si el campo de escalares asociado es el campo real o complejo, entonces el grupo afín es un grupo de Lie.

Relación con el grupo lineal general

Construcción a partir de grupo lineal general

Concretamente, dado un espacio vectorial $V$ , tiene un espacio afín subyacente $A$ obtenido al "olvidar" el origen, con $V$ actuando por traslación, y el grupo afín de $A$ se puede describir concretamente como el producto semidirecto de $V$ por $GL(V)$ , el grupo lineal general de $V$ :

{displaystyle operatorname {Aff} (V)=Vrtimes operatorname {GL} (V)}

La acción de $GL(V)$ en $V$ es el natural (las transformaciones lineales son automorfismos), por lo que define un producto semidirecto.

En términos de matrices, uno escribe:

operatorname{Aff}(n,K) = K^n rtimes operatorname{GL}(n,K)

donde aquí la acción natural de $GL(n, K)$ sobre $K n$ es la multiplicación matricial de un vector.

Estabilizadora de un punto

(feminine)

Dado el grupo afín de un espacio afín $A$ , el estabilizador de un punto $p$ es isomorfo al grupo lineal general de la misma dimensión (por lo que el estabilizador de un punto en $Aff(2, R)$ es isomorfo a $GL(2, R)$ ); formalmente, es el grupo lineal general del espacio vectorial $(A, p)$ : recuérdese que si se fija un punto, un espacio afín se convierte en un espacio vectorial.

Todos estos subgrupos son conjugados, donde la conjugación viene dada por la traducción de $p$ a $q$ (que se define de forma única), sin embargo, ningún subgrupo en particular es una elección natural, ya que ningún punto es especial; esto corresponde a las múltiples opciones de subgrupo transversal o división de la sucesión exacta corta

{displaystyle 1to Vto Vrtimes operatorname {GL} (V)to operatorname {GL} (V)to 1,.}

En el caso de que el grupo afín se haya construido empezando con un espacio vectorial, el subgrupo que estabiliza el origen (del espacio vectorial) es el $GL original (V)$ .

Representación matricial

Representar al grupo afín como un producto semidirecto de $V$ por $GL(V)$ , luego por construcción del producto semidirecto, los elementos son pares $(v, M)$ , donde $v$ es un vector en $V$ y $M$ es una transformación lineal en $GL(V)$ , y la multiplicación viene dada por

{displaystyle (v,M)cdot (w,N)=(v+Mw,MN),.}

Esto se puede representar como la matriz de bloques $(n + 1) \times (n + 1)$

left(begin{array}{c|c} M & v\ hline 0 & 1 end{array}right)

donde $M$ es un $n \times n$ matriz sobre $K$ , $v$ un vector de columna $n \times 1$ , 0 es un $1 \times n$ fila de ceros, y 1 es la matriz de bloques de identidad 1 × 1.

Formalmente, $Aff(V)$ es naturalmente isomorfo a un subgrupo de $GL(V \oplus K)$ , con $V$ incrustado como plano afín {(v, 1) | v ∈ V}, es decir, el estabilizador de este plano afín; la formulación matricial anterior es la (transposición de) la realización de esto, con $n \times n$ y $1 \times 1$ ) correspondientes a la descomposición de suma directa $V \oplus K$ .

Una representación similar es cualquier matriz $(n + 1) \times (n + 1)$ en la que las entradas en cada columna suma 1. La similitud $P$ para pasar del tipo anterior a este tipo es el $(n + 1) \times (n + 1)$ matriz de identidad con la fila inferior reemplazada por una fila de todos unos.

Cada una de estas dos clases de matrices se cierra bajo la multiplicación de matrices.

El paradigma más simple bien puede ser el caso $n = 1$ , es decir, el triangular superior 2 × 2 matrices que representan el grupo afín en una dimensión. Es un grupo de Lie no abeliano de dos parámetros, por lo que con solo dos generadores (elementos de álgebra de Lie), $A$ y $B$ , tal que $[A, B] = B$ , donde

{displaystyle A=left({begin{array}{cc}1&0\0&0end{array}}right),qquad B=left({begin{array}{cc}0&1\0&0end{array}}right),,}

para que

{displaystyle e^{aA+bB}=left({begin{array}{cc}e^{a}&{tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\0&1end{array}}right),.}

Tabla de caracteres de Aff(Fp)

Did you mean:

Aff(F_p) has order p(p − 1). Since

{displaystyle {begin{pmatrix}c&d\0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}a&b\0&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}c&d\0&1end{pmatrix}}^{-1}={begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\0&1end{pmatrix}},,}

Did you mean:

we know Aff(F_p) has p conjugacy classes, namely

{displaystyle {begin{aligned}C_{id}&=left{{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}right},,\[6pt]C_{1}&=left{{begin{pmatrix}1&b\0&1end{pmatrix}}{Bigg |}bin mathbf {F} _{p}^{*}right},,\[6pt]{Bigg {}C_{a}&=left{{begin{pmatrix}a&b\0&1end{pmatrix}}{Bigg |}bin mathbf {F} _{p}right}{Bigg |}ain mathbf {F} _{p}setminus {0,1}{Bigg }},.end{aligned}}}

Entonces sabemos que $Aff(F p)$ tiene $p$ representaciones irreducibles. Por el párrafo anterior (§ Representación matricial), existen $p - 1$ representaciones unidimensionales, decididas por el homomorfismo

{displaystyle rho _{k}:operatorname {Aff} (mathbf {F} _{p})to mathbb {C} ^{*}}

para $k = 1, 2,\dots p - 1$ , donde

{displaystyle rho _{k}{begin{pmatrix}a&b\0&1end{pmatrix}}=exp left({frac {2ikjpi }{p-1}}right)}

y $i 2 = -1$ , $a = g j$ , $g$ es un generador del grupo $F * p$ . Luego compare con el orden de $F p$ , tenemos

{displaystyle p(p-1)=p-1+chi _{p}^{2},,}

por lo tanto $χ p = p - 1$ es la dimensión del último irreducible representación. Finalmente usando la ortogonalidad de las representaciones irreducibles, podemos completar la tabla de caracteres de $Aff(F p):$

{displaystyle {begin{array}{c|cccccc}&{color {Blue}C_{id}}&{color {Blue}C_{1}}&{color {Blue}C_{g}}&{color {Blue}C_{g^{2}}}&{color {Gray}dots }&{color {Blue}C_{g^{p-2}}}\hline {color {Blue}chi _{1}}&{color {Gray}1}&{color {Gray}1}&{color {Blue}e^{frac {2pi i}{p-1}}}&{color {Blue}e^{frac {4pi i}{p-1}}}&{color {Gray}dots }&{color {Blue}e^{frac {2pi (p-2)i}{p-1}}}\{color {Blue}chi _{2}}&{color {Gray}1}&{color {Gray}1}&{color {Blue}e^{frac {4pi i}{p-1}}}&{color {Blue}e^{frac {8pi i}{p-1}}}&{color {Gray}dots }&{color {Blue}e^{frac {4pi (p-2)i}{p-1}}}\{color {Blue}chi _{3}}&{color {Gray}1}&{color {Gray}1}&{color {Blue}e^{frac {6pi i}{p-1}}}&{color {Blue}e^{frac {12pi i}{p-1}}}&{color {Gray}dots }&{color {Blue}e^{frac {6pi (p-2)i}{p-1}}}\{color {Gray}dots }&{color {Gray}dots }&{color {Gray}dots }&{color {Gray}dots }&{color {Gray}dots }&{color {Gray}dots }&{color {Gray}dots }\{color {Blue}chi _{p-1}}&{color {Gray}1}&{color {Gray}1}&{color {Gray}1}&{color {Gray}1}&{color {Gray}dots }&{color {Gray}1}\{color {Blue}chi _{p}}&{color {Gray}p-1}&{color {Gray}-1}&{color {Gray}0}&{color {Gray}0}&{color {Gray}dots }&{color {Gray}0}end{array}}}

Grupo afín planar sobre los reales

Los elementos de ${displaystyle operatorname {Aff} (2,mathbb {R})}$ puede tomar una forma simple en un sistema de coordenadas affine bien elegido. Más precisamente, dada una transformación afinada de un avión affine sobre los reales, existe un sistema de coordenadas affine en el que tiene una de las siguientes formas, donde $a$ , $b$ , y $t$ son números reales (las condiciones dadas aseguran que las transformaciones son invertibles, pero no para hacer las clases distintas; por ejemplo, la identidad pertenece a todas las clases).

{displaystyle {begin{aligned}{text{1.}}&&(x,y)&mapsto (x+a,y+b),\[3pt]{text{2.}}&&(x,y)&mapsto (ax,by),&qquad {text{where }}abneq 0,\[3pt]{text{3.}}&&(x,y)&mapsto (ax,y+b),&qquad {text{where }}aneq 0,\[3pt]{text{4.}}&&(x,y)&mapsto (ax+y,ay),&qquad {text{where }}aneq 0,\[3pt]{text{5.}}&&(x,y)&mapsto (x+y,y+a)\[3pt]{text{6.}}&&(x,y)&mapsto (a(xcos t+ysin t),a(-xsin t+ycos t)),&qquad {text{where }}aneq 0.end{aligned}}}

El caso 1 corresponde a las traducciones.

El caso 2 corresponde a escalas que pueden diferir en dos direcciones diferentes. Cuando se trabaja con un plano euclidiano, estas direcciones no necesitan ser perpendiculares, ya que los ejes de coordenadas no necesitan ser perpendiculares.

El caso 3 corresponde a una escala en una dirección y una traslación en otra.

El caso 4 corresponde a un mapeo de corte combinado con una dilatación.

El caso 5 corresponde a un mapeo de corte combinado con una dilatación.

El caso 6 corresponde a similitudes cuando los ejes de coordenadas son perpendiculares.

Las transformaciones afines sin ningún punto fijo pertenecen a los casos 1, 3 y 5. Las transformaciones que no conservan la orientación del plano pertenecen a los casos 2 (con $ab < 0$ ) o 3 (con $a < 0$ ).

La prueba se puede hacer observando primero que si una transformación afín no tiene un punto fijo, entonces la matriz del mapa lineal asociado tiene un valor propio igual a uno, y luego usando el teorema de la forma normal de Jordan para matrices reales.

Otros grupos y subgrupos afines

Caso general

Dado cualquier subgrupo $G < GL(V)$ del grupo lineal general, se puede producir un grupo afín, a veces denominado $Aff(G)$ , de forma análoga a $Aff(G):= V ⋊ G$ .

Más generalmente y abstractamente, dado cualquier grupo $G$ y una representación ${displaystyle rho:Gto operatorname {GL} (V)}$ de $G$ en un espacio vectorial $V$ , uno consigue un grupo de afines asociado $V ⋊ *** G$ : se puede decir que el grupo affine obtenido es "una extensión de grupo por una representación vectorial", y, como arriba, uno tiene la secuencia exacta corta

{displaystyle 1to Vto Vrtimes _{rho }Gto Gto 1.}

Grupo afín especial

El subconjunto de todas las transformaciones invertibles de afina que conservan una forma de volumen fijo para firmar se llama el affine group especial. (Las transformaciones se llaman a veces equiafinidades.) Este grupo es el análogo afine del grupo lineal especial. En términos del producto semi-directo, el grupo especial affine consta de todos los pares $() M, v)$ con ${displaystyle |det(M)|=1}$ , es decir, las transformaciones de afin

{displaystyle xmapsto Mx+v}

M

v

El subgrupo del grupo especial de afines que consiste en aquellas transformaciones cuya parte lineal tiene determinante 1 es el grupo de mapas orientadores y conservadores de volumen. Algebraicamente, este grupo es un producto semidirecto ${displaystyle SL(V)ltimes V}$ del grupo lineal especial $V$ con las traducciones. Se genera por las cartografías de los basureros.

Subgrupo proyectivo

Suponiendo el conocimiento de la proyectividad y el grupo proyectivo de la geometría proyectiva, el grupo afín se puede especificar fácilmente. Por ejemplo, Günter Ewald escribió:

El set

{mathfrak {P}}

de todas las colisiones proyectivas

P n

es un grupo que podemos llamar grupo de proyecto de

P n

. Si procedemos de

P n

al espacio del ataúd

A n

declarando un hiperplano

\cdot

para ser un hiperplano en el infinito, obtenemos affine group

{mathfrak {A}}

A n

como subgrupo

{mathfrak {P}}

que consiste en todos los elementos

{mathfrak {P}}

Que se vaya

\cdot

fijo.

mathfrak{A} subset mathfrak{P}

Isometrías del espacio euclidiano

Cuando el espacio afinado $A$ es un espacio euclidiano (sobre el campo de números reales), el grupo ${mathcal {E}}$ de mapas de conservación de distancia (isometrias) de $A$ es un subgrupo del grupo affine. Algebraicamente, este grupo es un producto semidirecto ${displaystyle O(V)ltimes V}$ del grupo ortogonal $V$ con las traducciones. Geométricamente, es el subgrupo del grupo affine generado por las reflexiones ortogonales.

Grupo de Poincaré

Did you mean:

The Poincaré group is the affine group of the Lorentz group O(1,3):

mathbf{R}^{1,3}rtimes operatorname{O}(1,3)

Este ejemplo es muy importante en relatividad.

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