Grupo abeliano libre

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Álgebra de sumas formales

En matemáticas, a grupo abeliano libre es un grupo abeliano con base. Ser un grupo abeliano significa que es un conjunto con una operación adicional que es asociativa, comunicativa e invertible. Una base, también llamada base integral, es un subconjunto tal que cada elemento del grupo se puede expresar únicamente como una combinación entero de elementos de base finitos. Por ejemplo, la rejilla de entero bidimensional forma un grupo abeliano libre, con la adición de coordenadas como su operación, y con los dos puntos (1,0) y (0,1) como su base. Grupos abelianos libres tienen propiedades que los hacen similares a los espacios vectoriales, y puede ser llamado equivalentemente gratis $mathbb {Z}$ -módulos, los módulos gratis sobre los enteros. Lattice teoría estudia subgrupos abelianos libres de espacios vectoriales reales. En topología algebraica, grupos abelianos libres se utilizan para definir grupos de cadena, y en geometría algebraica se utilizan para definir divisores.

Los elementos de un grupo abeliano libre con base $B$ puede describirse de varias maneras equivalentes. These include sumas oficiales sobre $B$ , que son expresiones de la forma ${textstyle sum a_{i}b_{i}}$ donde cada $a_{i}$ es un entero no cero, cada uno $b_{i}$ es un elemento de base distinto, y la suma tiene términos finitos. Alternativamente, los elementos de un grupo abeliano libre pueden ser considerados como multiconjuntos firmados con muchos elementos finitos de $B$ , con la multiplicidad de un elemento en el multiset igual a su coeficiente en la suma formal. Otra manera de representar un elemento de un grupo abeliano libre es como una función de $B$ a los enteros con valores finitos no cero; para esta representación funcional, la operación del grupo es la adición puntual de funciones.

Cada conjunto $B$ tiene un grupo abeliano libre con $B$ como base. Este grupo es único en el sentido de que cada dos grupos abelianos libres con la misma base son isomorfos. En lugar de construirlo describiendo sus elementos individuales, un grupo abeliano libre con base $B$ puede ser construido como una suma directa de copias del grupo aditivo de los enteros, con una copia por miembro de $B$ . Alternativamente, el grupo abeliano libre con base $B$ puede ser descrito por una presentación con los elementos $B$ como sus generadores y con los conmutadores de pares de miembros como sus vendedores. El rango de un grupo abeliano libre es la cardinalidad de una base; cada dos bases para el mismo grupo dan el mismo rango, y cada dos grupos abelianos libres con el mismo rango son isomorfos. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre; este hecho permite que un grupo abeliano general se entienda como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones", o como un cokernel de un homomorfismo inyectable entre grupos abelianos libres. Los únicos grupos abelianos libres que son grupos libres son el grupo trivial y el grupo cíclico infinito.

Definición y ejemplos

Una celosa en el plano Euclideano. La adición de dos puntos de celo azul produce otro punto de celo; el grupo formado por esta operación adicional es un grupo abeliano libre.

Un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base. Aquí, ser un grupo abeliano significa que es descrito por un conjunto $S$ de sus elementos y una operación binaria on $S$ , convencionalmente denotado como un grupo aditivo por el $+$ símbolo (aunque no necesita ser la adición habitual de números) que obedecen las siguientes propiedades:

La operación $+$ es comunicativo y asociativo, que significa para todos los elementos $x$ , $y$ , y $z$ de $S$ , $x+y=y+x$ y $(x+y)+z=x+(y+z)$ . Por lo tanto, al combinar dos o más elementos de $S$ usando esta operación, el orden y agrupación de los elementos no afecta el resultado.
$S$ contiene un elemento de identidad (denotado convencionalmente) ${displaystyle 0}$ ) con la propiedad que, por cada elemento $x$ , ${displaystyle x+0=0+x=x}$ .
Cada elemento $x$ dentro $S$ tiene un elemento inverso $-x$ , tales que $x+(-x)=0$ .

Una base es un subconjunto $B$ de los elementos $S$ con la propiedad que cada elemento de $S$ se puede formar de una manera única eligiendo finitamente muchos elementos de base $b_{i}$ de $B$ , elegir un entero no cero $k_{i}$ para cada uno de los elementos de base elegidos, y sumando juntos $k_{i}$ copias de los elementos de base $b_{i}$ para la cual $k_{i}$ es positivo, y ${displaystyle -k_{i}}$ copias de ${displaystyle -b_{i}}$ para cada elemento básico para el cual $k_{i}$ es negativo. Como caso especial, el elemento de identidad siempre se puede formar de esta manera como la combinación de elementos de base cero, según la convención habitual para una suma vacía, y no debe ser posible encontrar ninguna otra combinación que represente la identidad.

El enteros $mathbb {Z}$ , bajo la operación de adición habitual, formar un grupo abeliano libre con el base ${1}$ . Los enteros son comunicativos y asociativos, con 0 como identidad aditiva y con cada entero que tiene un inverso aditivo, su negación. Cada no negativo $x$ es la suma de $x$ copias de $1$ , y cada entero negativo $x$ es la suma de $-x$ copias de $-1$ , por lo que la propiedad base también está satisfecha.

Un ejemplo donde la operación del grupo es diferente de la adición habitual de números se da por los números racionales positivos ${mathbb {Q}}^{+}$ , que forman un grupo abeliano libre con la operación de multiplicación habitual en números y con los números primos como su base. Multiplicación es comunicativa y asociativa, con el número $1$ como su identidad y con $1/x$ como elemento inverso para cada racional positivo Número $x$ . El hecho de que los números primos constituyan una base para la multiplicación de estos números sigue del teorema fundamental de la aritmética, según el cual cada entero positivo puede ser factorizado únicamente en el producto de finitamente muchos primos o sus inversos. Si ${displaystyle q=a/b}$ es un número racional positivo expresado en términos más simples, entonces $q$ se puede expresar como una combinación finita de los primos que aparecen en las factorizaciones de $a$ y $b$ . El número de copias de cada primo a utilizar en esta combinación es su exponente en la factorización de $a$ , o la negación de su exponente en la factorización de $b$ .

Los polinomios de un solo variable $x$ , con coeficientes enteros, formar un grupo abeliano libre bajo adición polinomio, con los poderes de $x$ como base. Como grupo abstracto, esto es lo mismo que (un grupo isomorfo a) el grupo multiplicativo de números racionales positivos. Una manera de mapear estos dos grupos entre sí, mostrando que son isomorfos, es reinterpretar el exponente del $i$ T número primo en el grupo multiplicativo de los racionales como en lugar de dar el coeficiente de $x^{i-1}$ en el polinomio correspondiente, o viceversa. Por ejemplo, el número racional ${displaystyle 5/27}$ tiene exponentes de ${displaystyle 0,-3,1}$ para los tres primeros números ${displaystyle 2,3,5}$ y correspondería de esta manera al polinomio ${displaystyle -3x+x^{2}}$ teniendo los mismos coeficientes ${displaystyle 0,-3,1}$ por sus términos constantes, lineales y cuadráticos. Debido a que estos mapas simplemente reinterpretan los mismos números, definen una bijeción entre los elementos de los dos grupos. Y debido a que la operación grupal de multiplicar los racionales positivos actúa aditivamente sobre los exponentes de los números primos, de la misma manera que la operación grupal de añadir polinomios actúa sobre los coeficientes de los polinomios, estos mapas preservan la estructura grupal; son homomorfismos. Un homomorfismo bijetivo se llama isomorfismo, y su existencia demuestra que estos dos grupos tienen las mismas propiedades.

Aunque la representación de cada elemento de grupo en términos de una base determinada es única, un grupo abeliano libre tiene generalmente más de una base, y diferentes bases generalmente resultarán en diferentes representaciones de sus elementos. Por ejemplo, si uno reemplaza cualquier elemento de una base por su inverso, uno obtiene otra base. Como ejemplo más elaborado, la celosía de enteros bidimensional ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ , que consiste en los puntos en el plano con coordenadas cartesianas enteros, forma un grupo abeliano libre bajo adición vectorial con la base ${displaystyle {(1,0),(0,1)}}$ . Para ello, el elemento ${displaystyle (4,3)}$ puede ser escrito ${displaystyle (4,3)=4cdot (1,0)+3cdot (0,1)}$ , donde 'multiplicación' se define de modo que, por ejemplo, ${displaystyle 4cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)}$ . No hay otra manera de escribir ${displaystyle (4,3)}$ en la misma base. Sin embargo, con una base diferente, como ${displaystyle {(1,0),(1,1)}}$ , puede ser escrito como ${displaystyle (4,3)=(1,0)+3cdot (1,1)}$ . Generalizando este ejemplo, cada celo forma un grupo abeliano libre de generación finita. El $d$ -dimensional integer lattice ${displaystyle mathbb {Z} ^{d}}$ tiene una base natural que consiste en los vectores de unidad entero positivo, pero también tiene muchas otras bases: si $M$ es un $dtimes d$ matriz entero con determinante $pm 1$ , entonces las filas de $M$ forma una base, y por el contrario cada base de la rejilla entero tiene esta forma. Para más sobre el caso bidimensional, vea el par fundamental de períodos.

Construcciones

Todo conjunto puede ser la base de un grupo abeliano libre, que es único salvo isomorfismos de grupo. El grupo abeliano libre para un conjunto base dado se puede construir de varias formas diferentes pero equivalentes: como una suma directa de copias de los números enteros, como una familia de funciones con valores enteros, como un conjunto múltiple con signo o mediante la presentación de un grupo.

Productos y sumas

El producto directo de grupos consiste en tuples de un elemento de cada grupo en el producto, con adición componente. El producto directo de dos grupos abelianos libres es en sí mismo libre abeliano, con base la unión descomunal de las bases de los dos grupos. Más generalmente el producto directo de cualquier número finito de grupos abelianos libres es libre abeliano. El $d$ -dimensional integer lattice, por ejemplo, es isomorfa al producto directo de $d$ copias del entero grupo $mathbb {Z}$ . El grupo trivial ${0}$ también se considera libre abeliano, con base el conjunto vacío. Puede ser interpretado como un producto vacío, el producto directo de cero copias de $mathbb {Z}$ .

Para familias infinitas de grupos abelianos libres, el producto directo no es necesariamente libre abeliano. Por ejemplo, el grupo Baer-Specker ${mathbb {Z}}^{{mathbb {N}}}$ , un grupo incontable formado como el producto directo de muchas copias de $mathbb {Z}$ , fue mostrado en 1937 por Reinhold Baer para no ser libre abeliano, aunque Ernst Specker demostró en 1950 que todos sus subgrupos contables son abelianos libres. En cambio, para obtener un grupo abeliano libre de una familia infinita de grupos, se debe utilizar la suma directa en lugar del producto directo. La suma directa y el producto directo son los mismos cuando se aplican a finitos muchos grupos, pero difieren en familias infinitas de grupos. En la suma directa, los elementos son de nuevo tuples de elementos de cada grupo, pero con la restricción de que todos pero finitamente muchos de estos elementos son la identidad de su grupo. La suma directa de infinitamente muchos grupos abelianos libres sigue siendo libre abelian. Tiene una base consistente en tuples en los que todo menos un elemento es la identidad, con el elemento restante parte de una base para su grupo.

Cada grupo abeliano libre se puede describir como una suma directa de copias de $mathbb {Z}$ , con una copia para cada miembro de su base. Esta construcción permite cualquier conjunto $B$ para convertirse en la base de un grupo abeliano libre.

Funciones enteras y sumas formales

Dado a set $B$ , uno puede definir un grupo ${mathbb {Z}}^{{(B)}}$ cuyos elementos son funciones de $B$ a los enteros, donde la paréntesis en el superscript indica que sólo las funciones con finito muchos valores no cero están incluidos. Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos de tales funciones, entonces $f+g$ es la función cuyos valores son sumas de los valores en $f$ y $g$ : es decir, ${displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ . Esta operación de adición de punta da ${mathbb {Z}}^{{(B)}}$ la estructura de un grupo abeliano.

Cada elemento $x$ del conjunto dado $B$ corresponde a un miembro de ${mathbb {Z}}^{{(B)}}$ , la función $e_{x}$ para la cual ${displaystyle e_{x}(x)=1}$ y para qué ${displaystyle e_{x}(y)=0}$ para Todos ${displaystyle yneq x}$ .Cada función $f$ dentro ${mathbb {Z}}^{{(B)}}$ es una combinación lineal de un número finito de elementos de base:

{displaystyle f=sum _{{xmid f(x)neq 0}}f(x)e_{x}.}

e_{x}

para

{mathbb {Z}}^{{(B)}}

{mathbb {Z}}^{{(B)}}

B

Los elementos de ${mathbb {Z}}^{{(B)}}$ puede ser escrito como sumas oficiales, expresiones en forma de una suma de términos finitos, donde cada término está escrito como el producto de un entero no cero con un miembro distinto de $B$ . Estas expresiones se consideran equivalentes cuando tienen los mismos términos, independientemente del orden de términos, y pueden ser agregadas formando la unión de los términos, agregando los coeficientes enteros para combinar términos con el mismo elemento base, y eliminando los términos para los cuales esta combinación produce un coeficiente cero. También pueden interpretarse como los multiconjuntos firmados de muchos elementos finitos de $B$ .

Presentación

Una presentación de un grupo es un conjunto de elementos que generan el grupo (que significa que todos los elementos del grupo se pueden expresar como productos de finitos muchos generadores), junto con "reladores", productos de generadores que dan el elemento de identidad. Los elementos de un grupo definidos de esta manera son clases de equivalencia de secuencias de generadores y sus inversos, bajo una relación de equivalencia que permite insertar o eliminar cualquier par de contador o inversor de generadores como una subsecuencia contigua. El grupo abeliano libre con base $B$ tiene una presentación en la que los generadores son los elementos de $B$ , y los vendedores son los conmutadores de pares de elementos de $B$ . Aquí, el conmutador de dos elementos $x$ y $y$ es el producto ${displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$ ; el establecimiento de este producto a la identidad $xy$ a iguales $yx$ , así $x$ y $y$ Comute. Más generalmente, si todos los pares de generadores se comunican, todos los pares de productos de generadores también se comunican. Por lo tanto, el grupo generado por esta presentación es abeliano, y los vendedores del formulario de presentación un conjunto mínimo de vendedores necesarios para asegurar que sea abeliano.

Cuando el conjunto de generadores es finito, la presentación de un grupo abeliano libre es también finito, ya que sólo hay finitos muchos conmutadores diferentes para incluir en la presentación. Este hecho, junto con el hecho de que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre (abajo) se puede utilizar para demostrar que cada grupo abeliano generado finitamente se presenta finitamente. Para, si $G$ es finitamente generado por un set $B$ , es un cociente del grupo abeliano libre sobre $B$ por un subgrupo abeliano libre, el subgrupo generado por los vendedores de la presentación de $G$ . Pero como este subgrupo es abeliano libre, también se genera finitamente, y su base (junto con los conmutadores) sobre $B$ ) forma un conjunto finito de vendedores para una presentación de $G$ .

Como módulo

Los módulos sobre los números enteros se definen de manera similar a los espacios vectoriales sobre los números reales o números racionales: consisten en sistemas de elementos que se pueden sumar entre sí, con una operación de multiplicación escalar por números enteros compatible con esta suma operación. Todo grupo abeliano puede ser considerado como un módulo sobre los enteros, con una operación de multiplicación escalar definida de la siguiente manera:

${displaystyle 0,x=0}$
${displaystyle 1,x=x}$
${displaystyle n,x=x+(n-1),x,quad }$	si $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$
${displaystyle n,x=-((-n),x),}$	si $<math alttext="{displaystyle nn.0{displaystyle n made0} <img alt="n$

Sin embargo, a diferencia de los espacios vectores, no todos los grupos abelianos tienen una base, por lo que el nombre especial "libre" para los que lo hacen. Un módulo gratuito es un módulo que puede ser representado como una suma directa sobre su anillo base, por lo que grupos abelianos libres y libres $mathbb {Z}$ -módulos son conceptos equivalentes: cada grupo abeliano libre es (con la operación de multiplicación arriba) un libre $mathbb {Z}$ - Mobiliario, y cada uno libre $mathbb {Z}$ - Mobiliario viene de un grupo abeliano libre de esta manera. Además de la suma directa, otra forma de combinar grupos abelianos libres es utilizar el producto tensor de $mathbb {Z}$ -módulos. El producto tensor de dos grupos abelianos libres es siempre libre abeliano, con una base que es el producto cartesiano de las bases para los dos grupos en el producto.

Muchas propiedades importantes de grupos abelianos libres pueden generalizarse a módulos gratuitos sobre un dominio ideal principal. Por ejemplo, los submódulos de módulos gratuitos sobre los principales dominios ideales son gratuitos, un hecho que Hatcher (2002) escribe permite la "generación automática" de la maquinaria homológica a estos módulos. Además, el teorema que cada proyecto $mathbb {Z}$ - Mobiliario es libre generaliza de la misma manera.

Propiedades

Propiedad universal

Un grupo abeliano libre $F$ con base $B$ tiene la siguiente propiedad universal: para cada función $f$ desde $B$ a un grupo abeliano $A$ , existe un homomorfismo de grupo único $F$ a $A$ que se extiende $f$ . Aquí, un homomorfismo de grupo es un mapeo de un grupo al otro que es consistente con la ley del producto del grupo: realizar un producto antes o después de la asignación produce el mismo resultado. Por una propiedad general de propiedades universales, esto muestra que "el" grupo abeliano de base $B$ es único hasta un isomorfismo. Por lo tanto, la propiedad universal se puede utilizar como una definición del grupo abeliano libre de base $B$ . La singularidad del grupo definido por esta propiedad muestra que todas las otras definiciones son equivalentes.

Es debido a esta propiedad universal que grupos abelianos libres son llamados "libres": son los objetos libres en la categoría de grupos abelianos, la categoría que tiene grupos abelianos como sus objetos y homomorfismos como sus flechas. El mapa de una base a su grupo abeliano libre es un functor, una estructura reservando la asignación de categorías, de conjuntos a grupos abelianos, y está unido al functor olvidadizo de grupos abelianos a conjuntos. Sin embargo, a libre abelian grupo es no a free group except in two cases: a free abelian group having an empty basis (rank cero, giving the trivial group) or having just one element in the basis (rank one, giving the infinite cyclic group). Otros grupos abelianos no son grupos libres porque en grupos libres $ab$ debe ser diferente de $ba$ si $a$ y $b$ son diferentes elementos de la base, mientras que en grupos abelianos libres los dos productos deben ser idénticos para todos los pares de elementos. En la categoría general de grupos, es una limitación adicional para exigir que ${displaystyle ab=ba}$ , mientras que esta es una propiedad necesaria en la categoría de grupos abelianos.

Clasificación

Cada dos bases del mismo grupo abeliano libre tienen la misma cardenalidad, por lo que la cardinalidad de una base forma un invariante del grupo conocido como su rango. Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y sólo si tienen el mismo rango. Un grupo abeliano libre se genera finitamente si y sólo si su rango es un número finito $n$ , en cuyo caso el grupo es isomorfo a $mathbb {Z} ^{n}$ .

Esta noción de rango se puede generalizar, desde grupos abelianos libres a grupos abelianos que no son necesariamente libres. El rango de un grupo abeliano $G$ se define como el rango de un subgrupo abeliano libre $F$ de $G$ para el cual el grupo cociente ${displaystyle G/F}$ es un grupo de torsión. Equivalentemente, es la cardinalidad de un subconjunto maximal de $G$ que genera un subgrupo libre. El rango es un grupo invariante: no depende de la elección del subgrupo.

Subgrupos

Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo un grupo abeliano libre. Este resultado de Richard Dedekind fue un precursor del teorema análogo de Nielsen-Schreier de que todo subgrupo de un grupo libre es libre y es una generalización del hecho de que todo subgrupo no trivial del grupo cíclico infinito es cíclico infinito. La prueba necesita el axioma de elección. Se puede encontrar una prueba usando el lema de Zorn (uno de los muchos supuestos equivalentes al axioma de elección) en Álgebra de Serge Lang. Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky argumentan que usar el principio de buena ordenación en lugar del lema de Zorn conduce a una prueba más intuitiva.

En el caso de grupos abelianos libres de generación finita, la prueba es más fácil, no necesita el axioma de elección, y conduce a un resultado más preciso. Si $G$ es un subgrupo de un grupo abeliano libre de generación finita $F$ , entonces $G$ es libre y existe una base $(e_{1},ldotse_{n})$ de $F$ y números enteros positivos $d_{1}|d_{2}|ldots |d_{k}$ (es decir, cada uno divide el siguiente) tal que $(d_{1}e_{1},ldotsd_{k}e_{k})$ es una base de $G.$ Además, la secuencia $d_{1},d_{2},ldotsd_{k}$ depende sólo de $F$ y $G$ y no sobre la base. Una prueba constructiva de la parte de existencia del teorema es proporcionada por cualquier algoritmo que computa la forma normal Smith de una matriz de enteros. La unicidad se debe al hecho de que, para cualquier ${displaystyle rleq k}$ , el mayor divisor común de los menores de rango $r$ la matriz no se cambia durante la computación de forma normal Smith y es el producto $d_{1}cdots d_{r}$ al final de la computación.

Torsión y divisibilidad

Todos los grupos abelianos libres son libres de torsión, lo que significa que no hay elemento de grupo de no identidad $x$ and nonzero integer $n$ tales que ${displaystyle nx=0}$ . Por el contrario, todos los grupos abelianos sin torsión generados finitamente son abelianos libres.

El grupo aditivo de números racionales $mathbb {Q}$ proporciona un ejemplo de un grupo abeliano libre de torsión (pero no generado finitamente) que no es libre abeliano. Una razón por la que $mathbb {Q}$ no es libre abeliano es que es divisible, lo que significa que, por cada elemento ${displaystyle xin mathbb {Q} }$ y cada entero no cero $n$ , es posible expresar $x$ como un escalar múltiple ${displaystyle ny}$ de otro elemento ${displaystyle y=x/n}$ . Por el contrario, los grupos abelianos libres no tribales nunca son divisibles, porque en un grupo abeliano libre los elementos de base no se pueden expresar como múltiples de otros elementos.

Simetría

Las simetrías de cualquier grupo se pueden describir como automorfismos de grupo, los homomorfismos invertibles del grupo a sí mismo. En los grupos no abelianos éstos se subdividen en automorfismos interiores y externos, pero en los grupos abelianos todos los automorfismos no-identitarios son externos. Forman otro grupo, el grupo automorfismo del grupo dado, bajo el funcionamiento de la composición. El grupo automorfismo de un grupo abeliano libre de rango finito $n$ es el grupo lineal general ${displaystyle operatorname {GL} (n,mathbb {Z})}$ , que se puede describir concretamente (para una base específica del grupo de automorfismo libre) como el conjunto de $ntimes n$ matrices enteros invertibles bajo el funcionamiento de la multiplicación de matriz. Su acción como simetrías en el grupo abeliano libre $mathbb{Z } ^{n}$ es sólo la multiplicación de la matriz-vector.

Los grupos de automorfismos de dos grupos abelianos libres de rango infinito tienen las mismas teorías de primer orden entre sí, si y solo si sus rangos son cardinales equivalentes desde el punto de vista de la lógica de segundo orden. Este resultado depende de la estructura de involuciones de grupos abelianos libres, los automorfismos que son su propio inverso. Dada una base para un grupo abeliano libre, se pueden encontrar involuciones que mapean cualquier conjunto de pares disjuntos de elementos básicos entre sí, o que niegan cualquier subconjunto elegido de elementos básicos, dejando fijos los otros elementos básicos. Por el contrario, para cada involución de un grupo abeliano libre, uno puede encontrar una base del grupo para la cual todos los elementos básicos se intercambian en pares, se niegan o se dejan sin cambios por la involución.

Relación con otros grupos

Si un grupo abeliano libre es un cociente de dos grupos $A/B$ , entonces $A$ es la suma directa ${displaystyle Boplus A/B}$ .

Dado un grupo abeliano arbitrario $A$ , siempre existe un grupo abeliano libre $F$ y un grupo subjetivo homomorfismo $F$ a $A$ . Una forma de construir una subjeción sobre un grupo determinado $A$ es dejar $F={mathbb {Z}}^{{(A)}}$ ser el grupo abeliano libre sobre $A$ , representado como sumas formales. Entonces se puede definir una subjeción mediante la asignación de sumas formales $F$ a las sumas correspondientes de los miembros $A$ . Es decir, los mapas de subjeción

{displaystyle sum _{{xmid a_{x}neq 0}}a_{x}e_{x}mapsto sum _{{xmid a_{x}neq 0}}a_{x}x,}

a_{x}

e_{x}

F

A

e_{x}mapsto x

Cuando $F$ y $A$ son como arriba, el núcleo $G$ de la subjeción $F$ a $A$ es también libre abeliano, ya que es un subgrupo de $F$ (el subgrupo de elementos mapeados a la identidad). Por lo tanto, estos grupos forman una secuencia exacta corta

{displaystyle 0to Gto Fto Ato 0}

F

G

A

{displaystyle F/G}

A

Aplicaciones

Topología algebraica

En la topología algebraica, una suma formal de $k$ - simplices dimensionales se llama un $k$ - cadena, y el grupo abeliano libre que tiene una colección de $k$ - los obstáculos como su base se llama un grupo de cadena. Los simplices son generalmente tomados de algún espacio topológico, por ejemplo como el conjunto de $k$ -simplices en un complejo simplicial, o el conjunto de singulares $k$ - ¿Qué? Cualquier $k$ -dimensional simplex tiene un límite que puede ser representado como una suma formal $(k-1)$ - simplices dimensionales, y la propiedad universal de grupos abelianos libres permite que este operador de límites se extenda a un homomorfismo grupo desde $k$ - Chains a $(k-1)$ - Chains. El sistema de grupos de cadena ligados por operadores de límites de esta manera forma forma un complejo de cadena, y el estudio de complejos de cadenas forma la base de la teoría de la homología.

Geometría algebraica y análisis complejo

La función racional

{displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}

tiene un cero de orden cuatro a 0 (el punto negro en el centro de la parcela), y polos simples en los cuatro números complejos

pm 1

pm i

(los puntos blancos en los extremos de los cuatro pétalos). Puede ser representado (hasta un escalar) por el divisor

{displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}

Donde

{displaystyle e_{z}}

es el elemento base de un número complejo

z

en un grupo abeliano libre sobre los números complejos.

Cada función racional sobre los números complejos se puede asociar con un multiconjunto firmado de números complejos $c_{i}$ , los ceros y polos de la función (puntos donde su valor es cero o infinito). La multiplicidad $m_{i}$ de un punto en este multiset es su orden como un cero de la función, o la negación de su orden como un polo. Entonces la función en sí puede ser recuperada de estos datos, hasta un factor de escalar, como

{displaystyle f(q)=prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}

Esta construcción se ha generalizado, en geometría algebraica, a la noción de divisor. Hay diferentes definiciones de divisores, pero en general forman una abstracción de una codimensión, una subvariedad de una variedad algebraica, el conjunto de puntos de solución de un sistema de ecuaciones polinómicas. En el caso de que el sistema de ecuaciones tenga un grado de libertad (sus soluciones forman una curva algebraica o superficie de Riemann), una subvariedad tiene codimensión uno cuando se compone de puntos aislados, y en este caso un divisor vuelve a ser un multiconjunto de puntos con signo de la variedad. Las funciones meromórficas en una superficie compacta de Riemann tienen un número finito de ceros y polos, y sus divisores forman un subgrupo de un grupo abeliano libre sobre los puntos de la superficie, con la multiplicación o división de funciones correspondientes a la suma o resta de elementos del grupo. Para ser un divisor, un elemento del grupo abeliano libre debe tener multiplicidades que sumen cero y cumplir ciertas restricciones adicionales según la superficie.

Anillos de grupo

El anillo de grupo integral ${displaystyle mathbb {Z} [G]}$ , para cualquier grupo $G$ , es un anillo cuyo grupo aditivo es el grupo abeliano libre sobre $G$ . Cuando $G$ es finito y abeliano, el grupo multiplicativo de unidades en ${displaystyle mathbb {Z} [G]}$ tiene la estructura de un producto directo de un grupo finito y un grupo abeliano libre generado finitamente.

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