Grupo abeliano finitamente generado

En álgebra abstracta, un grupo abeliano ()G,+){displaystyle (G,+)} se llama finitamente generado si existen finitamente muchos elementos x1,...... ,xs{displaystyle x_{1},dotsx_{s} dentro G{displaystyle G. tal que todos x{displaystyle x} dentro G{displaystyle G. puede ser escrito en la forma x=n1x1+n2x2+⋯ ⋯ +nsxs{displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+cdots # para algunos enteros n1,...... ,ns{displaystyle No.. En este caso, decimos que el conjunto {}x1,...... ,xs}{displaystyle {x_{1},dotsx_{s}}} es un set de generación de G{displaystyle G. o aquello x1,...... ,xs{displaystyle x_{1},dotsx_{s} generar G{displaystyle G..

Todo grupo abeliano finito se genera finitamente. Los grupos abelianos finitamente generados pueden clasificarse completamente.

Ejemplos

• Los enteros, ()Z,+){displaystyle left(mathbb {Z}+right)}, son un grupo abeliano de generación finita.
• El integers modulo n{displaystyle n}, ()Z/nZ,+){displaystyle left(mathbb {Z}/nmathbb {Z}+right)}, son un grupo abeliano finito (hence finitely generated).
• Cualquier suma directa de grupos abelianos finitos generados finitamente es otra vez un grupo abeliano de generación finita.
• Cada rejilla forma un grupo abeliano libre de generación finita.

No hay otros ejemplos (hasta el isomorfismo). En particular, el grupo ()Q,+){displaystyle left(mathbb {Q}+right)} los números racionales no se generan finitamente: si x1,...... ,xn{displaystyle x_{1},ldotsx_{n} son números racionales, elegir un número natural k{displaystyle k} coprime a todos los denominadores; luego 1/k{displaystyle 1/k} no puede ser generado por x1,...... ,xn{displaystyle x_{1},ldotsx_{n}. El grupo ()QAlternativa Alternativa ,⋅ ⋅ ){displaystyle left(mathbb {Q} ^{*},cdot right)} de números racionales no cero tampoco se genera finitamente. Los grupos de números reales bajo adición ()R,+){displaystyle left(mathbb {R}+right)} y números reales no cero bajo multiplicación ()RAlternativa Alternativa ,⋅ ⋅ ){displaystyle left(mathbb {R} ^{*},cdot right)} tampoco se generan finitamente.

Clasificación

El teorema fundamental de grupos abelianos finitos generados se puede enunciar de dos formas, generalizando las dos formas del teorema fundamental de grupos abelianos finitos. El teorema, en ambas formas, a su vez se generaliza al teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal, que a su vez admite más generalizaciones.

Descomposición primaria

La formulación de la descomposición primaria establece que todo grupo abeliano G generado finitamente es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos primarios y grupos cíclicos infinitos. Un grupo cíclico primario es aquel cuyo orden es una potencia de un número primo. Es decir, todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un grupo de la forma

Zn⊕ ⊕ Zq1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Zqt,{displaystyle mathbb {Z}oplus mathbb {Z} _{q_{1}oplus cdots oplus mathbb {Z} ¿Qué?

donde n ≥ 0 es el rango, y los números q₁,..., q_t son potencias de números primos (no necesariamente distintos). En particular, G es finito si y solo si n = 0. Los valores de n, q₁,..., q_t están (hasta reorganizar los índices) determinados únicamente por G, es decir, hay una y sólo una forma de representar G como tal descomposición.

La prueba de esta declaración utiliza el teorema de base para el grupo abeliano finito: cada grupo abeliano finito es una suma directa de los grupos cíclicos primarios. Denota el subgrupo de torsión G como tG. Entonces, G/tG es un grupo abeliano libre de torsión y por lo tanto es libre abeliano. tG es un sustituto directo G, lo que significa que existe un subgrupo F de G S.T. G=tG⊕ ⊕ F{displaystyle G=tGoplus F}, donde F.. G/tG{displaystyle Fcong G/tG. Entonces, F es también libre abeliano. Desde tG se genera finitamente y cada elemento de tG tiene orden finito, tG es finito. Por el teorema de base para el grupo abeliano finito, tG se puede escribir como suma directa de los grupos cíclicos primarios.

Descomposición de factores invariantes

También podemos escribir cualquier grupo abeliano generado finitamente G como una suma directa de la forma

Zn⊕ ⊕ Zk1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Zku,{displaystyle mathbb {Z}oplus mathbb {Z} _{k_{1}oplus cdots oplus mathbb {Z} _{k_{u}}}}}oplus cdots oplus mathbb {Z}

donde k₁ divide a k₂, que divide a k₃ y así sucesivamente hasta k_u. De nuevo, el rango n y los factores invariantes k₁,..., k_u están determinados únicamente por G (aquí con un orden único). El rango y la secuencia de factores invariantes determinan el grupo hasta el isomorfismo.

Equivalencia

Estas declaraciones son equivalentes como resultado del teorema restante chino, lo que implica que Zjk.. Zj⊕ ⊕ Zk{displaystyle mathbb {Z} _{jk}cong mathbb {Z} _{j}oplus mathbb {Z} si j y k son coprime.

Historia

La historia y el crédito del teorema fundamental se complican por el hecho de que se demostró cuando la teoría de grupos no estaba bien establecida y, por lo tanto, las primeras formas, aunque son esencialmente el resultado y la prueba modernos, a menudo se establecen para un caso específico. Brevemente, se probó una forma temprana del caso finito en (Gauss 1801) harv error: no target: CITEREFGauss1801 (ayuda), el caso finito se demostró en (Kronecker 1870) harv error: no target: CITEREFKronecker1870 (ayuda), y expresado en términos de teoría de grupos en (Frobenius & Stickelberger 1878) harv error: no objetivo: CITEREFFrobeniusStickelberger1878 (ayuda). El caso finitamente presentado se resuelve mediante la forma normal de Smith y, por lo tanto, con frecuencia se atribuye a (Smith 1861), aunque el caso finitamente generado a veces se atribuye a (Poincaré 1900) harv error: no target: CITEREFPoincaré1900 (ayuda); siguen los detalles.

El teórico de grupos László Fuchs afirma:

Por lo que respecta al teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, no está claro hasta qué punto en el tiempo hay que ir a rastrear su origen... tomó mucho tiempo formular y probar el teorema fundamental en su forma actual...

El teorema fundamental para los grupos abelianos finitos fue demostrado por Leopold Kronecker en (Kronecker 1870) error de harv: sin objetivo: CITEREFKronecker1870 (ayuda), utilizando una prueba de teoría de grupos, aunque sin establecerla en términos de teoría de grupos; se da una presentación moderna de la prueba de Kronecker en (Stillwell 2012), 5.2.2 Teorema de Kronecker, 176–177. Esto generalizó un resultado anterior de Carl Friedrich Gauss de Disquisitiones Arithmeticae (1801), que clasificaba las formas cuadráticas; Kronecker citó este resultado de Gauss. El teorema fue enunciado y probado en el lenguaje de grupos por Ferdinand Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger en 1878. El alumno de Kronecker, Eugen Netto, dio otra formulación de teoría de grupos en 1882.

El teorema fundamental para grupos abelianos presentados finitamente fue probado por Henry John Stephen Smith en (Smith 1861), ya que las matrices enteras corresponden a presentaciones finitas de grupos abelianos (esto se generaliza a módulos presentados finitamente sobre un dominio ideal principal), y Smith la forma normal corresponde a la clasificación de grupos abelianos finitamente presentados.

El teorema fundamental para los grupos abelianos generados finitamente fue demostrado por Henri Poincaré en (Poincaré 1900) error de harv: sin objetivo: CITEREFPoincaré1900 (ayuda), usando una prueba matricial (que se generaliza a dominios ideales principales). Esto se hizo en el contexto de calcular la homología de un complejo, concretamente el número de Betti y los coeficientes de torsión de una dimensión del complejo, donde el número de Betti corresponde al rango de la parte libre, y los coeficientes de torsión corresponden a la parte de torsión.

La prueba de Kronecker fue generalizada a grupos abelianos generados finitamente por Emmy Noether en (Noether 1926) error de harv: sin destino: CITEREFNoether1926 (ayuda).

Corolarios

Dicho de otra manera, el teorema fundamental dice que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, cada uno de los cuales es único hasta el isomorfismo. El grupo abeliano finito es solo el subgrupo de torsión de G. El rango de G se define como el rango de la parte libre de torsión de G; este es solo el número n en las fórmulas anteriores.

Un corolario al teorema fundamental es que cada grupo abeliano sin torsión generada por fin es libre de abelian. La condición finitamente generada es esencial aquí: Q{displaystyle mathbb {Q} es libre de torsión pero no libre abeliano.

Cada subgrupo y grupo de factores de un grupo abeliano finitamente generado es nuevamente abeliano finitamente generado. Los grupos abelianos generados finitamente, junto con los homomorfismos de grupo, forman una categoría abeliana que es una subcategoría de Serre de la categoría de grupos abelianos.

Grupos abelianos generados de forma no finita

Tenga en cuenta que no todo grupo abeliano de rango finito se genera finitamente; el grupo de rango 1 Q{displaystyle mathbb {Q} es un contraejemplo, y el grupo rango-0 dado por una suma directa de contablemente infinitamente muchas copias de Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2} es otro.