Grupo abeliano

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Grupo de intercambio (mathematics)

En matemáticas, un grupo abeliano, también llamado grupo conmutativo, es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos del grupo no depende de el orden en que están escritos. Es decir, la operación de grupo es conmutativa. Con la suma como operación, los números enteros y los números reales forman grupos abelianos, y el concepto de grupo abeliano puede verse como una generalización de estos ejemplos. Los grupos abelianos llevan el nombre del matemático Niels Henrik Abel de principios del siglo XIX.

El concepto de grupo abeliano subyace en muchas estructuras algebraicas fundamentales, como campos, anillos, espacios vectoriales y álgebras. La teoría de los grupos abelianos es generalmente más simple que la de sus contrapartes no abelianas, y los grupos abelianos finitos se entienden muy bien y se clasifican completamente.

Definición

Un grupo abeliano es un conjunto $A$ , junto con una operación $cdot$ que combina dos elementos $a$ y $b$ de $A$ para formar otro elemento $A,$ denotado $acdot b$ . El símbolo $cdot$ es un titular general para una operación concreta. Para calificar como grupo abeliano, el conjunto y la operación, ${displaystyle (A,cdot)}$ , debe satisfacer cuatro requisitos conocidos como abelian group axioms (Algunos autores incluyen en los axiomas algunas propiedades que pertenecen a la definición de una operación: es decir, que la operación es definida para cualquier par ordenado de elementos de $A$ , que el resultado es bien definida, y que el resultado pertenece $A$ ):

Associativity: Para todos $a$ , $b$ , y $c$ dentro $A$ , la ecuación ${displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)}$ sostiene.
Elemento de identidad: Existe un elemento $e$ dentro $A$ , tal que para todos los elementos $a$ dentro $A$ , la ecuación ${displaystyle ecdot a=acdot e=a}$ sostiene.
Elemento inverso: Para cada uno $a$ dentro $A$ existe un elemento $b$ dentro $A$ tales que ${displaystyle acdot b=bcdot a=e}$ , donde $e$ es el elemento de identidad.
Commutativity: Para todos $a$ , $b$ dentro $A$ , ${displaystyle acdot b=bcdot a}$ .

Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina "grupo no abeliano" o "grupo no conmutativo".

Hechos

Notación

Hay dos convenciones de notación principales para los grupos abelianos: aditivo y multiplicativo.

Convención	Operación	Identidad	Potencias	Inverso
Adición	$x+y$	0	${displaystyle nx}$	$-x$
Multiplicación	$xcdot y$ o $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

Por lo general, la notación multiplicativa es la notación habitual para grupos, mientras que la notación aditiva es la notación habitual para módulos y anillos. La notación aditiva también se puede usar para enfatizar que un grupo en particular es abeliano, siempre que se consideren grupos abelianos y no abelianos, algunas excepciones notables son los anillos cercanos y los grupos parcialmente ordenados, donde una operación se escribe de manera aditiva incluso cuando no es abeliano..

Tabla de multiplicar

Para verificar que un grupo finito es abeliano, una mesa (matrix) – conocida como una mesa de Cayley – se puede construir de manera similar a una tabla de multiplicación. Si el grupo es ${displaystyle G={g_{1}=e,g_{2},dotsg_{n}}}$ en virtud de operación $cdot$ , el $(i,j)$ - entrada de esta tabla contiene el producto ${displaystyle g_{i}cdot g_{j}}$ .

El grupo es abeliano si y sólo si esta tabla es simétrica sobre la diagonal principal. Esto es cierto ya que el grupo es abeliano iff ${displaystyle g_{i}cdot g_{j}=g_{j}cdot g_{i}}$ para todos ${displaystyle i,j=1,...,n}$ , que es sif el $(i,j)$ la entrada de la tabla es igual a la ${displaystyle (j,i)}$ entrada para todos ${displaystyle i,j=1,...,n}$ , es decir, la tabla es simétrica sobre la diagonal principal.

Ejemplos

Para los enteros y la adición de operación $+$ , denotado ${displaystyle (mathbb {Z}+)}$ , la operación + combina dos enteros para formar un tercer entero, adición es asociativo, cero es la identidad aditiva, cada entero $n$ tiene un inverso aditivo, $-n$ , y la operación de adición es conmutativa desde ${displaystyle n+m=m+n}$ para cualquier dos enteros $m$ y $n$ .
Cada grupo cíclico $G$ es abeliano, porque si $x$ , $y$ están dentro $G$ , entonces ${displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$ . Así los enteros, $mathbb {Z}$ , formar un grupo abeliano bajo adición, al igual que el integers modulo $n$ , $mathbb {Z} /nmathbb {Z}$ .
Cada anillo es un grupo abeliano con respecto a su operación de adición. En un anillo comunicativo los elementos invertibles, o unidades, forman un grupo multiplicador abeliano. En particular, los números reales son un grupo abeliano bajo adición, y los números reales no cero son un grupo abeliano bajo la multiplicación.
Cada subgrupo de un grupo abeliano es normal, por lo que cada subgrupo da lugar a un grupo de cocientes. Subgrupos, cocientes y sumas directas de grupos abelianos son nuevamente abelianos. Los grupos abelianos simples finitos son exactamente los grupos cíclicos de orden primario.
Los conceptos de grupo y grupo abeliano $mathbb {Z}$ - Está de acuerdo. Más específicamente, cada uno $mathbb {Z}$ -module es un grupo abeliano con su funcionamiento de adición, y cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de enteros $mathbb {Z}$ de una manera única.

En general, las matrices, incluso las matrices invertibles, no forman un grupo abeliano bajo la multiplicación porque la multiplicación de matriz generalmente no es conmutativa. Sin embargo, algunos grupos de matrices son grupos abelianos bajo multiplicación de matriz – un ejemplo es el grupo de matrices $2times 2$ matrices de rotación.

Comentarios históricos

Camille Jordan nombró grupos abelianos en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, porque Abel descubrió que la conmutatividad del grupo de un polinomio implica que las raíces del polinomio se pueden calcular usando radicales.

Propiedades

Si $n$ es un número natural y $x$ es un elemento de un grupo abeliano $G$ escrito aditivamente, entonces ${displaystyle nx}$ puede definirse como ${displaystyle x+x+cdots +x}$ () $n$ y ${displaystyle (-n)x=-(nx)}$ . De esta manera, $G$ se convierte en un módulo sobre el anillo $mathbb {Z}$ de enteros. De hecho, los módulos sobre $mathbb {Z}$ se puede identificar con los grupos abelianos.

Teoremas sobre grupos abelianos (es decir, módulos sobre el dominio ideal principal $mathbb {Z}$ ) se puede generalizar a menudo a teoremas sobre módulos sobre un dominio ideal principal arbitrario. Un ejemplo típico es la clasificación de grupos abelianos de generación finita que es una especialización de la estructura teorema para módulos finitos generados sobre un dominio ideal principal. En el caso de grupos abelianos de generación finita, este teorema garantiza que un grupo abeliano se divida como una suma directa de un grupo de torsión y un grupo abeliano libre. El primero puede ser escrito como una suma directa de finitos muchos grupos de la forma ${displaystyle mathbb {Z} /p^{k}mathbb {Z} }$ para $p$ primo, y este último es una suma directa de finitamente muchas copias de $mathbb {Z}$ .

Si $f,g:Gto H$ son dos homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, luego su suma $f + g$ , definida por ${displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ Otra vez es un homomorfismo. (Esto no es verdad si $H$ es un grupo no-abeliano.) El set ${displaystyle {text{Hom}}(G,H)}$ de todos los homomorfismos de grupo $G$ a $H$ es por lo tanto un grupo abeliano en su propio derecho.

Algo parecido a la dimensión de los espacios vectoriales, cada grupo abeliano tiene un rango. Se define como la cardinalidad máxima de un conjunto de elementos del grupo linealmente independientes (sobre los enteros). Los grupos abelianos finitos y los grupos de torsión tienen rango cero, y todo grupo abeliano de rango cero es un grupo de torsión. Los números enteros y los números racionales tienen rango uno, así como todo subgrupo aditivo distinto de cero de los racionales. Por otro lado, el grupo multiplicativo de los racionales distintos de cero tiene un rango infinito, ya que es un grupo abeliano libre con el conjunto de los números primos como base (esto resulta del teorema fundamental de la aritmética).

El centro $Z(G)$ de un grupo $G$ es el conjunto de elementos que se comunican con cada elemento $G$ . Un grupo $G$ es abeliano si y sólo si es igual a su centro $Z(G)$ . El centro de un grupo $G$ es siempre un subgrupo abeliano característico $G$ . Si el grupo cociente $G/Z(G)$ de un grupo por su centro es cíclico entonces $G$ es abeliano.

Grupos abelianos finitos

Grupos cíclicos de integers modulo $n$ , $mathbb {Z} /nmathbb {Z}$ , fueron los primeros ejemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia máxima, y estas órdenes son únicamente determinadas, formando un sistema completo de invariantes. El grupo automorfismo de un grupo abeliano finito se puede describir directamente en términos de estos invariantes. La teoría había sido desarrollada por primera vez en el periódico de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y posteriormente fue simplificada y generalizada para generar módulos finitos sobre un dominio ideal principal, formando un importante capítulo de álgebra lineal.

Cualquier grupo de orden primario es isomorfo a un grupo cíclico y por lo tanto abeliano. Cualquier grupo cuyo orden es un cuadrado de un número primo también es abeliano. De hecho, por cada número primo $p$ hay (hasta el isomorfismo) exactamente dos grupos de orden $p^{2}$ , a saber ${displaystyle mathbb {Z} _{p^{2}}}$ y ${displaystyle mathbb {Z} _{p}times mathbb {Z} _{p}}$ .

Clasificación

El teorema fundamental de grupos finitos abelianos declara que cada grupo abeliano finito $G$ se puede expresar como la suma directa de subgrupos cíclicos de orden de primera potencia; también se conoce como la teorema de base para grupos abelianos finitos. Además, los grupos de automorfismo de los grupos cíclicos son ejemplos de grupos abelianos. Esto es generalizado por el teorema fundamental de los grupos abelianos de generación finita, siendo grupos finitos el caso especial cuando G tiene cero rango; esto a su vez admite numerosas generalizaciones adicionales.

La clasificación fue probada por Leopold Kronecker en 1870, aunque no se estableció en términos modernos de teoría de grupos hasta más tarde, y fue precedida por una clasificación similar de formas cuadráticas por Carl Friedrich Gauss en 1801; vea la historia para más detalles.

El grupo cíclico ${displaystyle mathbb {Z} _{mn}}$ de orden $mn$ es isomorfo a la suma directa $mathbb {Z} _{m}$ y $mathbb {Z} _{n}$ si $m$ y $n$ son coprime. Sigue que cualquier grupo abeliano finito $G$ es isomorfo a una suma directa de la forma

{displaystyle bigoplus _{i=1}^{u} mathbb {Z} _{k_{i}}}

en cualquiera de las siguientes formas canónicas:

los números ${displaystyle k_{1},k_{2},dotsk_{u}}$ son poderes de (no necesariamente distintos) primos,
o $k_{1}$ divideciones $k_{2}$ , que divide $k_{3}$ , y así sucesivamente hasta ${displaystyle k_{u}}$ .

Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {Z} _{15}}$ se puede expresar como la suma directa de dos subgrupos cíclicos del orden 3 y 5: ${displaystyle mathbb {Z} _{15}cong {0,5,10}oplus {0,3,6,9,12}}$ . Lo mismo se puede decir para cualquier grupo abeliano del orden 15, lo que lleva a la conclusión notable de que todos los grupos abelianos del orden 15 son isomorfos.

Por otro ejemplo, cada grupo abeliano de orden 8 es isomorfo a cualquiera ${mathbb {Z}}_{8}$ (los enteros 0 a 7 bajo el modulo 8 adicional), ${displaystyle mathbb {Z} _{4}oplus mathbb {Z} _{2}}$ (los números impares 1 a 15 bajo modulo de multiplicación 16), o ${displaystyle mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}}$ .

Consulte también la lista de grupos pequeños para grupos abelianos finitos de orden 30 o menos.

Automorfismos

Uno puede aplicar el teorema fundamental para contar (y a veces determinar) los automorfismos de un grupo abeliano finito dado $G$ . Para hacer esto, se utiliza el hecho de que si $G$ divide como una suma directa ${displaystyle Hoplus K}$ de subgrupos de orden coprime, entonces

{displaystyle operatorname {Aut} (Hoplus K)cong operatorname {Aut} (H)oplus operatorname {Aut} (K).}

Dado esto, el teorema fundamental muestra que para calcular el grupo de automorfismo $G$ basta con calcular los grupos de automorfismo del Sylow $p$ - subgrupos por separado (es decir, todas las sumas directas de subgrupos cíclicos, cada uno con orden de un poder de $p$ ). Arregla un primo $p$ y suponer los exponentes $e_{i}$ de los factores cíclicos del Sylow $p$ - Subgrupo se organiza en orden creciente:

e_{1}leq e_{2}leq cdots leq e_{n}

para algunos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ . Uno necesita encontrar los automorfismos de

mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}oplus cdots oplus mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.

Un caso especial es cuando $n=1$ , por lo que sólo hay un factor de potencia máxima cíclica en el Sylow $p$ - Subgrupo $P$ . En este caso se puede utilizar la teoría de los automorfismos de un grupo cíclico finito. Otro caso especial es cuando $n$ es arbitrario pero $e_{i}=1$ para ${displaystyle 1leq ileq n}$ . Aquí, uno está considerando $P$ ser de la forma

mathbf {Z} _{p}oplus cdots oplus mathbf {Z} _{p},

por lo que los elementos de este subgrupo pueden considerarse como un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre el campo finito $p$ elementos $mathbb {F} _{p}$ . Los automorfismos de este subgrupo son dados por las transformaciones lineales invertibles, por lo tanto

{displaystyle operatorname {Aut} (P)cong mathrm {GL} (n,mathbf {F} _{p}),}

Donde ${displaystyle mathrm {GL} }$ es el grupo lineal general apropiado. Esto se muestra fácilmente tener orden

{displaystyle left|operatorname {Aut} (P)right|=(p^{n}-1)cdots (p^{n}-p^{n-1}).}

En el caso más general, donde el $e_{i}$ y $n$ son arbitrarios, el grupo de automorfismo es más difícil de determinar. Se sabe, sin embargo, que si uno define

{displaystyle d_{k}=max{rmid e_{r}=e_{k}}}

{displaystyle c_{k}=min{rmid e_{r}=e_{k}}}

entonces uno tiene en particular ${displaystyle kleq d_{k}}$ , ${displaystyle c_{k}leq k}$ , y

{displaystyle left|operatorname {Aut} (P)right|=prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}

Se puede comprobar que esto produce las órdenes de los ejemplos anteriores como casos especiales (ver Hillar, C., & Rhea, D.).

Grupos abelianos generados finitamente

Un grupo abeliano $A$ se genera finitamente si contiene un conjunto finito de elementos (llamados generadores) ${displaystyle G={x_{1},ldotsx_{n}}}$ tal que cada elemento del grupo es una combinación lineal con coeficientes enteros de elementos de $G$ .

Vamos $L$ ser un grupo abeliano libre con base ${displaystyle B={b_{1},ldotsb_{n}}.}$ Hay un homomorfismo grupo único ${displaystyle pcolon Lto A,}$ tales que

{displaystyle p(b_{i})=x_{i}quad {text{for }}i=1,ldotsn.}

Este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo se genera de forma finita (ya que los números enteros forman un anillo noetheriano). Considere la matriz $M$ con entradas enteras, de modo que las entradas de su $j$ ésima columna son los coeficientes del $j$ ésimo generador del núcleo. Entonces, el grupo abeliano es isomorfo al cokernel del mapa lineal definido por $M$ . Por el contrario, cada matriz entera define un grupo abeliano finitamente generado.

De ello se deduce que el estudio de grupos abelianos finitamente generados es totalmente equivalente al estudio de matrices enteras. En particular, cambiar el conjunto generador de $A$ es equivalente a multiplicar $M$ a la izquierda por una matriz unimodular (es decir, una matriz entera invertible cuya inversa también es una matriz entera). Cambiar el conjunto generador del kernel de $M$ es equivalente a multiplicar $M$ a la derecha por una matriz unimodular.

La forma normal de Smith de $M$ es una matriz

{displaystyle S=UMV,}

Donde $U$ y $V$ son unimodular, y $S$ es una matriz tal que todas las entradas no diagonales son cero, las entradas diagonales no cero ${displaystyle d_{1,1},ldotsd_{k,k}}$ son los primeros, y ${displaystyle d_{j,j}}$ es un divisor de ${displaystyle d_{i,i}}$ para $i ■ j$ . La existencia y la forma de la normalidad Smith demuestra que el grupo abeliano generado finitamente $A$ es la suma directa

{displaystyle mathbb {Z} ^{r}oplus mathbb {Z} /d_{1,1}mathbb {Z} oplus cdots oplus mathbb {Z} /d_{k,k}mathbb {Z}}

donde $r$ es el número de filas cero en la parte inferior de $r$ (y también el rango del grupo). Este es el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados.

La existencia de algoritmos para la forma normal de Smith muestra que el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados no es solo un teorema de existencia abstracta, sino que proporciona una forma de calcular la expresión de grupos abelianos finitamente generados como sumas directas.

Grupos abelianos infinitos

El grupo abeliano más simple es el grupo cíclico infinito $mathbb {Z}$ . Cualquier grupo abeliano generado finitamente $A$ es isomorfo a la suma directa $r$ copias de $mathbb {Z}$ y un grupo abeliano finito, que a su vez es descompuesto en una suma directa de finitamente muchos grupos cíclicos de órdenes de energía primaria. Aunque la descomposición no es única, el número $r$ , llamado el rango de $A$ , y los primeros poderes que dan las órdenes de los sumos cíclicos finitos están determinados únicamente.

Por el contrario, la clasificación de los grupos abelianos generados infinitamente está lejos de ser completa. Divisible groups, i.e. abelian groups $A$ en que la ecuación ${displaystyle nx=a}$ admite una solución $xin A$ para cualquier número natural $n$ y elemento $a$ de $A$ , constituyen una clase importante de grupos abelianos infinitos que pueden caracterizarse completamente. Cada grupo divisible es isomorfo a una suma directa, con summands isomorfo a $mathbb {Q}$ y grupos de Prüfer ${displaystyle mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$ para varios números primos $p$ , y la cardinalidad del conjunto de sumos de cada tipo es únicamente determinada. Además, si un grupo divisible $A$ es un subgrupo de un grupo abeliano $G$ entonces $A$ admite un complemento directo: un subgrupo $C$ de $G$ tales que ${displaystyle G=Aoplus C}$ . Así, los grupos divisibles son módulos inyectables en la categoría de grupos abelianos, y por el contrario, cada grupo abeliano inyectable es divisible (el criterio de Baer). Un grupo abeliano sin subgrupos no divisibles se llama Reducción.

Dos clases especiales importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opuestas son grupos de torsión y grupos libres de torsión, ejemplificado por los grupos ${mathbb {Q}}/{mathbb {Z}}$ (peródico) y $mathbb {Q}$ (sin torsión).

Grupos de torsión

Un grupo abeliano se llama periódicos o torsión, si cada elemento tiene orden finito. Es periódica una suma directa de grupos cíclicos finitos. Aunque la afirmación contraria no es cierta en general, se conocen algunos casos especiales. Los teoremas Prüfer primero y segundo declaran que si $A$ es un grupo periódico, y tiene un Limitado exponente, es decir, ${displaystyle nA=0}$ para algún número natural $n$ , o es contable y el $p$ - Alturas de los elementos $A$ son finitos para cada uno $p$ , entonces $A$ es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos. La cardinalidad del conjunto de summands directos isomorfo a ${mathbb {Z}}/p^{m}{mathbb {Z}}$ en tal descomposición es un invariante $A$ . Estos teoremas fueron subsumidos posteriormente en el criterio de Kulikov. En una dirección diferente, Helmut Ulm encontró una extensión del segundo teorema de Prüfer a abelian contable $p$ -grupos con elementos de altura infinita: esos grupos están completamente clasificados por medio de sus invariantes de Ulm.

Grupos libres de torsión y mixtos

Un grupo abeliano se llama libre de torsión si todo elemento distinto de cero tiene un orden infinito. Se han estudiado extensamente varias clases de grupos abelianos libres de torsión:

Free abelian groups, i.e. arbitrary direct sums of $mathbb {Z}$
Cotorsión y grupos libres de torsión algebraicamente compactos tales como $p$ - enteros adictivos
Grupos delgados

Un grupo abeliano que no es periódico ni libre de torsión se llama mixto. Si $A$ es un grupo abeliano y $T(A)$ es su subgrupo de torsión, luego el grupo factor ${displaystyle A/T(A)}$ es libre de torsión. Sin embargo, en general el subgrupo de la torsión no es un sustituto directo de $A$ Así que $A$ es no isomorfo a ${displaystyle T(A)oplus A/T(A)}$ . Así, la teoría de grupos mixtos implica más que simplemente combinar los resultados sobre grupos periódicos y libres de torsión. El grupo aditivo $mathbb {Z}$ de enteros es libre de torsión $mathbb {Z}$ - Bien.

Invariantes y clasificación

Uno de los invariantes más básicos de un grupo abeliano infinito $A$ es su rango: la cardinalidad del subconjunto linealmente independiente maximal $A$ . Los grupos abelianos de rango 0 son precisamente los grupos periódicos, mientras que los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son necesariamente subgrupos de $mathbb {Q}$ y se puede describir completamente. Más generalmente, un grupo abeliano libre de torsión de rango finito $r$ es un subgrupo ${displaystyle mathbb {Q} _{r}}$ . Por otro lado, el grupo de $p$ - enteros adictivos $mathbb {Z} _{p}$ es un grupo abeliano libre de torsión de infinito $mathbb {Z}$ -rank y los grupos ${displaystyle mathbb {Z} _{p}^{n}}$ con diferente $n$ no son isómorfos, por lo que este invariante ni siquiera captura completamente las propiedades de algunos grupos familiares.

Los teoremas de clasificación para grupos abelianos finitamente generados, divisibles, contables periódicos y de rango 1 sin torsión explicados anteriormente se obtuvieron antes de 1950 y forman la base de la clasificación de grupos abelianos infinitos más generales. Las herramientas técnicas importantes utilizadas en la clasificación de infinitos grupos abelianos son subgrupos puros y básicos. La introducción de varias invariantes de grupos abelianos libres de torsión ha sido una vía de mayor progreso. Consulte los libros de Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith y David Arnold, así como las actas de las conferencias sobre la teoría de grupos abelianos publicadas en Lecture Notes in Mathematics para conocer los hallazgos más recientes.

Grupos aditivos de anillos

El grupo aditivo de un anillo es un grupo abeliano, pero no todos los grupos abelianos son grupos aditivos de anillos (con multiplicación no trivial). Algunos temas importantes en esta área de estudio son:

Producto de tensor
Los resultados de A.L.S. Corner en grupos sin torsión
El trabajo de Shelah para eliminar las restricciones de la cardinalidad
Anillo de Burnside

Relación con otros temas matemáticos

Muchos grandes grupos abelianos poseen una topología natural, lo que los convierte en grupos topológicos.

La colección de todos los grupos abelianos, junto con los homomorfismos entre ellos, forma la categoría ${displaystyle {textbf {Ab}}}$ , el prototipo de una categoría abeliana.

Wanda Szmielew (1955) demostró que la teoría de primer orden de los grupos abelianos, a diferencia de su contraparte no abeliana, es decidible. La mayoría de las estructuras algebraicas distintas de las álgebras booleanas son indecidibles.

Todavía hay muchas áreas de investigación actual:

Entre los grupos abelianos libres de torsión de rango finito, sólo el caso finito generado y el caso de rango 1 son bien entendidos;
Hay muchos problemas sin resolver en la teoría de grupos abelianos libres de torsión sin infinito;
Mientras que los grupos abelianos de torsión contables se entienden bien a través de presentaciones simples e invariantes de Ulm, el caso de grupos mixtos contables es mucho menos maduro.
Se sabe que muchas extensiones leves de la teoría de primera orden de los grupos abelianos son indecibles.
Los grupos abelianos finitos siguen siendo un tema de investigación en la teoría del grupo computacional.

Además, los grupos abelianos de orden infinito conducen, sorprendentemente, a preguntas profundas sobre la teoría de conjuntos que comúnmente se supone que subyace a todas las matemáticas. Tomemos el problema de Whitehead: ¿son todos los grupos de Whitehead de orden infinito también grupos abelianos libres? En la década de 1970, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es:

Undecidable en ZFC (Zermelo–Fraenkel axioms), la teoría convencional de conjunto axiomático de la cual casi todas las matemáticas actuales pueden ser derivadas. El problema de Whitehead es también la primera pregunta en las matemáticas ordinarias demostró ser indecible en ZFC;
Undecidable incluso si ZFC se aumenta tomando la hipótesis continuum generalizada como axioma;
Respuesta positiva si ZFC se aumenta con el axioma de la constructibilidad (ver declaraciones verdaderas en L).

Una nota sobre la tipografía

Entre los adjetivos matemáticos derivados del nombre propio de un matemático, la palabra "abelian" es raro porque a menudo se escribe con una a minúscula, en lugar de una A mayúscula, siendo la falta de mayúsculas un reconocimiento tácito no solo del grado en que Abel&# 39;s nombre se ha institucionalizado, sino también de lo omnipresentes en las matemáticas modernas son los conceptos introducidos por él.

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